Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 − CB&Nâng cao VẤNĐỀ 2 : CỰC TRỊCỦAHÀMSỐ A − Tóm tắt lí thuyết : 2 − Đònh nghóa : Hàmsố f(x) xác định trên tập hợp D ⊂ R và x 0 ∈D. a) Điểm x 0 là điểm cực đại củahàmsố y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x 0 sao cho f(x) < f(x 0 ), ∀x ∈(a;b)\{x 0 } * f(x 0 ) − giá trò cực đại củahàm số. * Điểm M( x 0 ; f(x 0 )) điểm cực đại của đồ thò. b) Điểm x 0 là điểm cực tiểu củahàmsố y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x 0 sao cho f(x) > f(x 0 ), ∀x ∈(a;b)\{x 0 } * f(x 0 ) − giá trò cực tiểu * Điểm M( x 0 ; f(x 0 )) điểm cực tiểu của đồ thò. c) Giá trịcực đại và giá trịcực tiểu gọi chung là các cực trò. ( Minh họa bằng đồ thị) * Lưu ý: 1− Giá trịcực đại ( cực tiểu) nói chung khơng phải là GTLN( gtnn), nó mang tính địa phương trong một khoảng nào đó, có thể gt cực đại nhỏ hơn gt cực tiểu. 2− Hàmsố có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên D, cùng có thể hàmsố khơng có cựctrị trên D. 3− Đònh lí: +Dấu hiệu cần: Nếu hàmsố y = f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại đó thì f’(x 0 ) = 0. +Dấu hiệu đủ: Dấu hiệu 1: (Tính theo chiều tăng của trục số) • f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 ⇒ x 0 − là điểm cực đại. • f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 ⇒ x 0 − là điểm cực tiểu. Dấu hiệu 2: Cho hàmsố y= f(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục tại x 0 . * 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 f x x là điểm cực trò của HS f x ′ = ⇒ − ′′ ≠ * 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 f x x là điểm cực đại của HS f x ′ = ⇒ − ′′ < * 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 f x x là điểm cực tiểucủa HS f x ′ = ⇒ − ′′ > 4 − Phương pháp tìm cực trò: Qui tắc 1: + Tìm f’(x). + Tìm các nghiệm x i ( i = 1,2, .) của phương trình f’(x) = 0. + Lập bảng xét dấu − Căn cứ dấu hiệu 1 kết luận. Qui tắc 2: ( Chỉ áp dụng tìm cực trò tại những điểm ở đó đạo hàm cấp 1 bằng 0) B1− Tính đạo hàm cấp một rồi giải pt: y’ = 0 tìm các nghiệm x i . B2− Tính f”(x i ) . Nếu f”(x i ) < 0 ⇒ x i là điểm cực đại Nếu f”(x i ) > 0 ⇒ x i là điểm cực tiểu. Nếu f”(x i ) = 0 không thể kết luận được cực trò. Chú ý: Quy tắc 2 tuy đơn giản nhưng có nhiều hạn chế. Do đó chỉ nên dùng quy tắc này trong trường hợp đạo hàm cấp hai quá đơn giản. Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 − CB&Nâng cao B − Luyện tập: I − Bài tốn 1: Tìm cựctrịcủahàmsố − Cho biết cựctrị tìm hệ số. Bài 1: Xét tính đơn điệu và tìm cực trò của các hàmsố sau: a) y = 2x 3 +3x 2 −36x −10 b) y= 4 2 3 3 4 2 x x x x+ − − c) 2 3 1 x y x − = − d) y = 2 2 1 2 x x x − + − e) y= 2 1 1 x x x + − + g) y = sin2x − x h) 2 3 1 x y x + = + i) 2 2 4 2 2 3 x x y x − + = + Bài 2: Tìm cựctrịcủa các hàmsố sau: a) f(x) = 2x 3 −9x 2 + 12x + 3b) f(x) = − 5x 3 + 3x 2 − 4x + 5 c) f(x) = 3x 4 − 4x 3 −24x 2 + 48x −3 d) f(x) = 9 x 3 x 2 − + − e) f(x)= 2 2 x 8x 24 x 4 + − − g) f(x) = 2 x x 4+ h) f(x) = x 3 x− . Bài 3: Tìm m đểhàmsố y = 2 2 1x x y x m + + = + đạt cực đại tại x = 2. Bài 4: Cho hàmsố y = mx 3 + 3x 2 + 5x +2 .(1) a) Tìm khoảng đơn điệu và cực trò củahàmsố khi m = −1. b) Tìm m đểhàmsố (1) đạt cực đại tại x = 2. Bài 5: Cho hàmsố 1 sin3 sin 3 y x m x= + (3). Tìm m đểhàmsố (3) đạt cực đại tại x = 2. Bài 6: Tìm cựctrịcủa các hàmsố sau: a) [ ] 2 y sin x 3cosx, x 0;π= − ∈ b) y = 2sinx + cos2x, [ ] x 0;π∈ c) y = sin2x + cos2x. Bài 7: Xác định m đểhàmsố 2 x mx 1 y x m + + = + đạt cực đại tại x = 2. Bài 8: a) Tìm a, b để các cực trịcủahàmsố : y = 2 3 2 5 a x 2ax 9x b 3 + − + đều là những số dưong và x 0 = 5 9 − là điểm cực đại. b) Tìm các hệ số a, b, c, d củahàmsố f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d biết rằng hàmsố f đạt cực tiểu tại x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1. c) Tìm các hệ số a, b, c, d củahàmsố f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d biết rằng hàmsố f đạt cực tiểu tại x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1 3 , và giá trịcực đại bằng 4 27 . d) Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàmsố f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c đạt cựctrị bằng 0 tại x = - 2 và đồ thị hàmsố đi qua điểm A(1; 0). e) Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàmsố f(x) = ax 4 + bx 2 + c đạt cựctrị bằng −9 tại x = 3 và đồ thị hàmsố đi qua gốc tọa độ. Bài 9: Tìm a, b, c đểhàm số: a) 2 1 x bx c y x + + = − đạt cựctrị bằng −6 tại x = −1. b) 2 ax bx ab y bx a + + = + đạt cựctrị tại x = 0 và x = 4. c) 2 2 ax 2 1 x b y x + + = + đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 − CB&Nâng cao II − Bài toán 2: Tìm điều kiện đểhàmsố có hoặc không có cựctrị . * Điều cần nhớ : 1. Nếu hàmsố y = f(x) đạt cựctrị tại điểm x 0 thì f’(x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm. 2. Đểhàmsố đạt cựctrị tại điểm x 0 thì f’(x) đổi dấu khi x đi qua x 0 . * Điều chú ý: 1. Hàmsố bậc ba 3 2 axy bx cx d= + + + có cựctrị ⇔ Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Nếu x 0 là điểm cực trị, để tính giá trịcựctrị y(x 0) ta có thể tiến hành bằng hai cách sau: Cách 1: Thay giá trị x 0 vào biểu thức hàm, cụ thể: 3 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ax x xy x f x b c d= = + + + . Cách 2: Lấy hàmsố y chia đạo hàm y’ được phần dư y = Ax + B khi đó 0 0 0 ( ) ( ) Axy x f x B= = + . 2. Hàmsố dạng ( ) 2 ax ( ) . ' 0 ' ' ( ) bx c P x y a a a x b Q x + + = = ≠ + có cựctrị ⇔ Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a − . Nếu x 0 là điểm cực trị, để tính giá trịcựctrị y(x 0) ta có thể tiến hành bằng hai cách sau: Cách 1: Thay giá trị x 0 vào biểu thức hàm, cụ thể: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x = . Cách 2: Thay giá trị x 0 vào biểu thức 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x ′ = ′ ( trong đó P’(x), Q’(x) là đạo hàmcủa P(x), Q(x)). • Khi sử dụng điều kiện cần để xét cực trịcủahàmsố cần kiểm tra lại để loại nghiệm lạ. • Bài tập loại này đôi khi còn dùng kiến thức khác nữa, đặc biệt là định lí Vi−ét. Bài 1: Chứng minh các hàmsố sau luôn có cực đại, cực tiểu. a) ( ) 3 2 2 3 3 3 1y x mx m x m= − + − − b) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + + c) ( ) 3 2 2 3 5y m x x mx= + + + − d) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 3 2 1y x m x m m x m m = − − + − + − − c) 2 2 x 2x m y x 2 + + = + d) ( ) 2 3 x m m 1 x m 1 y x m − + + + = − e) ( ) 2 2 4 x m m 1 x m 1 y x m + − − + = − g) 2 x mx m 2 y x m 1 + − + = − + . Bài 2: Tìm m đểhàmsố sau không có cực trị: a) 3 2 3 3 3 4y x x mx m= − + + + b) ( ) 3 2 3 1 1y mx mx m x= + − − − c) 2 5 3 x mx y x − + + = − d) ( ) 2 2 1 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − Bài 3: Tìm m đểhàmsố ( hoặc đồ thị hàm số): a) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − + đạt cựctrị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho các điểm cựctrị này thõa ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 x x x x + = + . b) 3 2 3y x x mx= − + có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị đối xứng qua đường thẳng (d): x − 2y − 5 = 0.(*) c) 3 2 2 12 13y x mx x= + − − có hai điểm cựctrị cách đều trục tung. d) 3 2 3 3 4y x mx m= − + có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm cùng phía đối với đường thẳng (d): 3 2 8 0x y− + = . Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 − CB&Nâng cao e) 3 2 1 1 3 y x mx mx= − + − đạt cựctrị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho thõa: 1 2 8x x− ≥ . g) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 3 3 y mx m x m x= − − + − + đạt cựctrị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho thõa: 1 2 2 1x x+ = . h) ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + + có điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.(*) i) 4 2 4y x mx x m= − + + có ba điểm cựctrị M, N, P và tam giác MNP nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. Bài 4:Tìm m đểhàmsố (hoặc đồ thị hàm số): a) 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + có cực đại, cực tiểu và các giá trịcực đại, cực tiểu cùng dấu. b) 2 2 2 1 1 x x m y x − + − = − có cực đại, cực tiểu và các giá trịcực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị bằng 5.(*) c) ( ) 2 2 1 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − có cực đại, cực tiểu và tích các giá trịcực đại, cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. d) 2 3 4 x x m y x − + + = − có giá trịcực đại M và giá trịcực tiểu m sao cho 4M m− = . e) 2 2 3 2 2 x x m y x + + − = + có giá trịcực đại M và giá trịcực tiểu m sao cho sao cho 12M m− < . g) 2 2 5 1 x mx y x − + + = − có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đối với đường thẳng 2x−y = 0 h) 2 2 3x x m y x m + + + = − có hai điểm cựctrị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. i) ( ) 2 2 2 1 1 1 x m x m y x + + + + = + có hai điểm cựctrị nằm ở hai phía đối với đg.thẳng (d): 2x−3y−1=0. Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: a) ( ) 2 1 2 1x m x m y x m − + + − = − có hai điểm cựctrị thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ. b) ( ) 2 2 2 2 4 1 32 2 2 mx m x m m y x m + + + + = + có một điểm cựctrị nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm cựctrị kia thuộc góc phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa độ. c) ( ) 2 2 2 1 4mx m x m m y x m − + + + = − có một điểm cựctrị nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm cựctrị kia thuộc góc phần tư thứ ba của mặt phẳng tọa độ. d) ( ) 2 2 2 1 1 1 x m x m y x + + + + = + có hai điểm cựctrị nằm hai phía của trục hoành ( hoặc trục tung). Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 − CB&Nâng cao III − Bài toán 3: Luận về đường thẳng qua các điểm cựctrịcủa đồ thị. Cách xác định phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: 1). Đối với hàmsố bậc ba 3 2 ( ) ax .y f x bx cx d= = + + + (1) + Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta được: ( ) ( ) ( ). Ax .f x P x f x B ′ = + + + Chứng minh đường thẳng có phương trình Axy B= + là đường thẳng qua các điểm cực trịcủahàmsố (1) Giả sử M 1 (x 1 ; y 1 ), M 2 (x 2 ; y 2 ) là các điểm cựctrịcủa đồ thị hàmsố (1), thế thì: f’(x i ) = 0, i=1,2. Do đó, các đẳng thức y 1 = Ax 1 + B và y 2 = Ax 2 + B đúng ⇒ M 1 (x 1 ; y 1 ), M 2 (x 2 ; y 2 ) thuộc đường thẳng Axy B= + . 2) Đối với hàm phân thức dạng: 2 ( ) ax ( ) ( . ' 0) ( ) ' ' P x bx c y f x a a Q x a x b + + = = = ≠ + .(2) + Thực hiện đạo hàm riêng tử thức (P’(x)=2ax+b) và mẫu thức (Q’(x)=a’). + Chứng minh đường thẳng có phương trình ( ) ( ) 2ax+b ' P x y Q x a ′ = = ′ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Thật vậy, giả sử x i là điểm cực trị, ta có: f’(x i ) = 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) 0 ( ) 0, 1,2 ( ) i i i i i i i i i i i i i i P x Q x P x Q x P x P x P x Q x P x Q x Q x i Q x Q x Q x ′ ′ ′ = ′ ′ − = ⇒ ⇒ = ′ ≠ = Do đó các điểm cực tricủahàmsố (2) thuộc đường thẳng ( ) ( ) 2ax+b ' P x y Q x a ′ = = ′ hay 2ax − a’y +b = 0. Chú ý: Khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cựctrị ta cần xác định điều kiện đểhàmsố có hai cựctrị trước đã. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cựctrịcủa đồ thị các hàmsố sau: a). 3 2 2 1y x x x= − − + b) 3 2 3 6 8y x x x= − − + c) 3 2 2 3y x x= − + d) 2 2 4 x x y x − − = − e) 2 1 2 x x y x − − = − g) 2 2 1 3 x x y x − + = + Bài 2: Tìm điều kiện của tham sốđểhàmsố có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cựctrịcủa đồ thị hàm số. a) ( ) 3 2 2 3 3 3 1y x mx m x m= − + − − b) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 3 2 1y x k x k k x k k= − − + − + − − c) 2 6x mx y x m + − = − d) 2 2 1 x kx k y x k + − + = − + Bài 3: Tìm điều kiện của tham sốđểhàm số: a) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − − có đường thẳng đi qua hai điểm cựctrị song song với đường thẳng y = − 4x + 1. b) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 1 2y x k x k k x= + − + − có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị thuộc đường thẳng 4y x= − . c) 3 2 7 3y x mx x= + + + có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng 3 7y x= − . d) 3 2 2 3y x x k x k= − + + có các điểm cực đại và cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua các điểm cựctrị đó. . − + = + Bài 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số. a) ( ) 3. m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2. Bài 5: Cho hàm số 1 sin3 sin 3 y x m x= + (3). Tìm m để hàm số (3) đạt cực đại tại x = 2. Bài 6: Tìm cực trị của