1.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 − CB&Nâng cao VẤN ĐỀ 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A − Tóm tắt lí thuyết : 2 − Đònh nghóa : Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D ⊂ R và x 0 ∈D. a) Điểm x 0 là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x 0 sao cho f(x) < f(x 0 ), ∀x ∈(a;b)\{x 0 } * f(x 0 ) − giá trò cực đại của hàm số. * Điểm M( x 0 ; f(x 0 )) điểm cực đại của đồ thò. b) Điểm x 0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x 0 sao cho f(x) > f(x 0 ), ∀x ∈(a;b)\{x 0 } * f(x 0 ) − giá trò cực tiểu * Điểm M( x 0 ; f(x 0 )) điểm cực tiểu của đồ thò. c) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là các cực trò. ( Minh họa bằng đồ thị) * Lưu ý: 1− Giá trị cực đại ( cực tiểu) nói chung khơng phải là GTLN( gtnn), nó mang tính địa phương trong một khoảng nào đó, có thể gt cực đại nhỏ hơn gt cực tiểu. 2− Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên D, cùng có thể hàm số khơng có cực trị trên D. 3− Đònh lí: +Dấu hiệu cần: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại đó thì f’(x 0 ) = 0. +Dấu hiệu đủ: Dấu hiệu 1: (Tính theo chiều tăng của trục số) • f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 ⇒ x 0 − là điểm cực đại. • f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 ⇒ x 0 − là điểm cực tiểu. Dấu hiệu 2: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục tại x 0 . * 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 f x x là điểm cực trò của HS f x ′ =  ⇒ −  ′′ ≠  * 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 f x x là điểm cực đại của HS f x ′ =  ⇒ −  ′′ <  * 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 f x x là điểm cực tiểucủa HS f x ′ =  ⇒ −  ′′ >  4 − Phương pháp tìm cực trò: Qui tắc 1: + Tìm f’(x). + Tìm các nghiệm x i ( i = 1,2, .) của phương trình f’(x) = 0. + Lập bảng xét dấu − Căn cứ dấu hiệu 1 kết luận. Qui tắc 2: ( Chỉ áp dụng tìm cực trò tại những điểm ở đó đạo hàm cấp 1 bằng 0) B1− Tính đạo hàm cấp một rồi giải pt: y’ = 0 tìm các nghiệm x i . B2− Tính f”(x i ) . Nếu f”(x i ) < 0 ⇒ x i là điểm cực đại Nếu f”(x i ) > 0 ⇒ x i là điểm cực tiểu. Nếu f”(x i ) = 0 không thể kết luận được cực trò. Chú ý: Quy tắc 2 tuy đơn giản nhưng có nhiều hạn chế. Do đó chỉ nên dùng quy tắc này trong trường hợp đạo hàm cấp hai quá đơn giản. Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 − CB&Nâng cao B − Luyện tập: I − Bài tốn 1: Tìm cực trị của hàm số − Cho biết cực trị tìm hệ số. Bài 1: Xét tính đơn điệu và tìm cực trò của các hàm số sau: a) y = 2x 3 +3x 2 −36x −10 b) y= 4 2 3 3 4 2 x x x x+ − − c) 2 3 1 x y x − = − d) y = 2 2 1 2 x x x − + − e) y= 2 1 1 x x x + − + g) y = sin2x − x h) 2 3 1 x y x + = + i) 2 2 4 2 2 3 x x y x − + = + Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: a) f(x) = 2x 3 −9x 2 + 12x + 3b) f(x) = − 5x 3 + 3x 2 − 4x + 5 c) f(x) = 3x 4 − 4x 3 −24x 2 + 48x −3 d) f(x) = 9 x 3 x 2 − + − e) f(x)= 2 2 x 8x 24 x 4 + − − g) f(x) = 2 x x 4+ h) f(x) = x 3 x− . Bài 3: Tìm m để hàm số y = 2 2 1x x y x m + + = + đạt cực đại tại x = 2. Bài 4: Cho hàm số y = mx 3 + 3x 2 + 5x +2 .(1) a) Tìm khoảng đơn điệu và cực trò của hàm số khi m = −1. b) Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2. Bài 5: Cho hàm số 1 sin3 sin 3 y x m x= + (3). Tìm m để hàm Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Chủ đề 1.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A KIẾ KIẾN THỨ THỨC CƠ CƠ BẢ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng (a; b) (có thể a −∞ ; b +∞ ) điểm x0 ∈ (a; b) Nếu tồn số h > cho f ( x ) < f ( x0 ) với mọ i x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại x0 Nếu tồn số h > cho f ( x ) > f ( x0 ) với mọ i x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu x0 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục K = ( x0 − h; x0 + h) có đạo hàm K K \ {x0 } , với h > Nếu f ' ( x ) > khoảng ( x0 − h; x0 ) f '( x) < ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f ( x ) Nếu f ′ ( x ) < khoảng ( x0 − h; x0 ) f ′( x ) > ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f ( x ) x f ′( x ) Minh họa bảng biến thiến x0 x0 + h x0 − h x x0 − h f ( x) + − fCÑ f ′( x ) x0 + h x0 + − f ( x) fCT Chú ý Nếu hàm số y = f ( x ) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f ( x0 ) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu fCĐ ( f CT ) , điểm M ( x0 ; f ( x0 )) gọ i điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số B KỸ NĂNG CƠ BẢ BẢN Quy tắc tìm cực trị hàm số Quy tắc 1: Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tính f ′ ( x ) Tìm điểm f ′ ( x ) f ′ ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Quy tắc 2: Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tính f ′ ( x ) Giải phương trình f ′ ( x ) ký hiệu xi ( i = 1, 2,3, ) nghiệm Bước Tính f ′′ ( x ) f ′′ ( xi ) http://megabook.vn/ Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số Bước Dựa vào dấu f ′′ ( xi ) suy tính chất cực trị điểm xi Kỹ giải nhanh toán cực trị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) Ta có y ′ = 3ax + 2bx + c Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình y ′ = có hai nghiệm phân biệt  2c 2b  bc ⇔ b − 3ac > Khi đường thẳng qua hai điểm cực trị : y =  − x+d − 9a  9a  Bấm máy tính tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị :  x b  x =i → Ai + B ⇒ y = Ax + B ax3 + bx + cx + d − ( 3ax + 2bx + c )  +    9a  y′ y ′′ Hoặc sử dụng công thức y − 18a Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba là: 4e + 16e3 b − 3ac AB = với e = a 9a Kỹ giải nhanh toán cực trị hàm trùng phương Cho hàm số: y = ax + bx + c ( a ≠ ) có đồ thị ( C ) x = y ′ = 4ax + 2bx; y ′ = ⇔  x = − b 2a  ( C ) có ba điểm cực trị y ′ = có nghiệm phân biệt ⇔ − b >0 2a   b b ∆  ∆  Khi ba điểm cực trị là: A ( 0; c ) , B  − − ; −  , C  − ; −  với ∆ = b − 4ac 2a 4a  2a 4a    Độ dài đoạn thẳng: AB = AC = b4 b b − , BC = − 16a 2a 2a Các kết cần ghi nhớ: ∆ABC vuông cân ⇔ BC = AB + AC  b4  b  b4 b b  b3 b3 2b ⇔− = 2 − ⇔ + =0⇔ +1 =  + 1 = ⇔ a 16a 2a a  8a  8a  16a 2a  ∆ABC ⇔ BC = AB ⇔−  b4 b b4 b  b3 b3 2b 3b = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ +3= 0   a 16a 2a 16a 2a a  8a 8a  BAC = α , ta có: cos α = S ∆ABC = b2 4a − α b3 + 8a 8a ⇔ tan = − 3 b − 8a b b 2a Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC R = http://megabook.vn/ b − 8a 8ab Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số b2 4a Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC r = − b 2a b4 b b − + − 16a 2a 2a = b2 a + 16a − 2ab3 2 ∆  2 ∆  Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: x + y −  − + c y + c −  =  b 4a   b 4a  Kỹ giải nhanh toán cực trị hàm phân thức Cơng thức tính nhanh đạo hàm a b c d ad − bc  ax + b ′ =   = (cx + d )  cx + d  (cx + d )  ax + bx + c ′ amx + 2anx + bn − cm   = (mx + n)  mx + n   a1 x + b1 x + c1 ′   =  a2 x + b2 x + c2  a1 a2 b1 a x +2 b2 a2 (a x 2 c1 b x+ c2 b2 + b2 x + c2 ) c1 c2 Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c 2ax + b y = mx + n m C KỸ NĂNG SỬ SỬ DỤNG MÁY TÍNH Ví dụ 1: Tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số: y = x + 3x − x + Bấm máy tính: MODE  x  x =i x + 3x − x + − ( x + x − 1)  +   → − i⇒ y = − x+ 3 3  3 Ví dụ 2: Tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị ( có ) đồ thị hàm số: y = x3 − 3x + m x + m Bấm máy tính: MODE  x  x =i , m = A=1000 1003000 1999994 → + x − x + m x + m − ( 3x − x + m )  −   i 3  3 m + 3m 2m − 1003000 1999994 1000000 + 3000 2000000 − + + + i= i= x 3 3 3 2m − m + 3m Vậy đường thẳng cần tìm: y = x+ 3 Ta có: http://megabook.vn/ Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để xét tính biên thiên vẽ đồ thị hàm số D BÀI TẬ TẬP TRẮ TRẮC NGHIỆ NGHIỆM Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ: Đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? A B C Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên: x −∞ y′ + D − +∞ + +∞ y −2 −∞ Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = C Hàm số đạt cực đại x = B Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số đạt cực đại x = −2 Câu Cho hàm số y = x − x + Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = B Hàm số đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = C Hàm số đạt cực đại x = −2 cực tiểu x = D Hàm số đạt cực đại x = cực tiểu x = −2 Câu Cho hàm số y = x − x + Khẳng ... Tuần 2 Tiết 4 §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. Mục tiêu: + Về kiến thức: Qua bài này học sinh cần hiểu rõ: - Định nghĩa cực đại và cực tiểu của hàm số - Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu. - Hiểu rỏ hai quy tắc 1 và 2 để tìm cực trị của hàm số. + Về kỹ năng: Sử dụng thành thạo quy tắc 1 và 2 để tìm cực trị của hàm số và một số bài toán có liền quan đến cực trị. + Về tư duy và thái độ: - Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội. - Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: + Giáo viên: Bảng phụ minh hoạ các ví dụ và hình vẽ trong sách giáo khoa. + Học sinh: làm bài tập ở nhà và nghiên cứu trước bài mới. III. Phương pháp: - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp. IV. Tiến trình bài học: 1. Ổn định tổ chức: kiểm tra sĩ số học sinh 2. Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: Xét sự biến thiên của hàm số: y = -x 3 + 3x 2 + 2 Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 10’ - Gọi 1 học sinh lên trình bày bài giải. - Nhận xét bài giải của học sinh và cho điểm. - Treo bảng phụ 1 có bài giải hoàn chỉnh. - Trình bày bài giải (Bảng phụ 1) 3. Bài mới: Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm cực trị của hàm số Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng Tổ trưởng KD Ngày: 1 8’ - Yêu cầu học sinh dựa vào BBT (bảng phụ 1) trả lời 2 câu hỏi sau: * Nếu xét hàm số trên khoảng (-1;1); với mọi x )1;1( −∈ thì f(x) ≤ f(0) hay f(x) ≥ f(0)? * Nếu xét hàm số trên khoảng (1;3); ( với mọi x )1;1( −∈ thì f(x) ≤ f(2) hay f(x) ≥ f(2)? - Từ đây, Gv thông tin điểm x = 0 là điểm cực tiểu, f(0) là giá trị cực tiểu và điểm x = 2 là gọi là điểm cực đại, f(2) là giá trị cực đại. - Gv cho học sinh hình thành khái niệm về cực đại và cực tiểu. - Gv treo bảng phụ 2 minh hoạ hình 1.1 trang 10 và diễn giảng cho học sinh hình dung điểm cực đại và cực tiểu. - Gv lưu ý thêm cho học sinh: Chú ý (sgk trang 11) - Trả lời : f(x) ≥ f(0) - Trả lời : f(2) ≥ f(x) - Học sinh lĩnh hội, ghi nhớ. - Định nghĩa: (sgk trang 10) Hoạt động 2: Điều kiện cần để hàm số có cực trị Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 12’ - Gv yêu cầu học sinh quan sát đồ thị hình 1.1 (bảng phụ 2) và dự đoán đặc điểm của tiếp tuyến tại các điểm cực trị * Hệ số góc của tiếp tuyến này bằng bao nhiêu? * Giá trị đạo hàm của hàm số tại đó bằng bao nhiêu? - Gv gợi ý để học sinh nêu định lý 1 và thông báo không cần chứng minh. - Gv nêu ví dụ minh hoạ: Hàm số f(x) = 3x 3 + 6 2 9)(' xxf =⇒ , Đạo hàm của hàm số này bằng 0 tại x 0 = 0. Tuy nhiên, hàm số này không đạt cực trị tại x 0 = 0 vì: f’(x) = 9x 2 Rx ∈∀≥ ,0 nên hàm số - Học sinh suy nghĩ và trả lời * Tiếp tuyến tại các điểm cực trị song song với trục hoành. * Hệ số góc của cac tiếp Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 65 Dạng 3 : Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp: • Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị, • Biểu diễn điều kiện của bài toán thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số từ đó ta tìm được điều kiện của tham số. Chú ý: * Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét. * Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau: Định lí 1: Cho hàm đa thức ( ) = y P x , giả sử ( ) ( ) ( ) = + + ’y ax b P x h x khi đó nếu 0 x là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: ( ) ( ) 0 0 y x h x = và ( ) y h x = gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. Chứng minh: Giả sử 0 x là điểm cực trị của hàm số, vì ( )P x là hàm đa thức nên ( ) 0 ' 0P x = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ( ) 'y x ax b P x h x h x ⇒ = + + = (đpcm) . Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ ( ) ( ) u x y v x = khi đó nếu 0 x là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: ( ) ( ) 0 0 0 ' ( ) ' u x y x v x = . Và ( ) ( ) ' ' u x y v x = là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. Chứng minh: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' ' ' u x v x v x u x y v x − = ( ) ( ) ( ) ( ) ' 0 ' ' 0y u x v x v x u x ⇒ = ⇔ − = (*). Giả sử 0 x là điểm cực trị của hàm số thì 0 x là nghiệm của phương trình (*) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ' ' u x u x y x v x v x ⇒ = = . Ví dụ 1 : Tìm m để đồ thị của hàm số ( ) 3 2 1 2 1 2 3 y x mx m x = − + − + có 2 điểm cực trị dương. Giải : * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên » . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 66 * Ta có 2 ' 2 2 1 y x mx m = − + − 2 ' 0 2 2 1 0 (*) y x mx m = ⇔ − + − = * Hàm số có hai điểm cực trị dương ⇔ (*) có hai nghiệm dương phân biệt  ∆ = − + >   >   ⇔ = > ⇔     ≠ = − >    2 ' 2 1 0 1 2 0 2 1 2 1 0 m m m S m m P m . Vậy  >    ≠  1 2 1 m m là những giá trị cần tìm. Bài tập tương tự : 1. Tìm m để đồ thị của hàm số ( ) 3 2 6 5y x mx m x= − + + + có 2 điểm cực trị dương. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số 2 2 2 1 x mx m y mx − + − = + có §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (Tiết 1) ( Giải tích 12 - Chương trình chuẩn) I. Mục tiêu: * Về kiến thức: + Biết các khái niệm cực đại, cực tiểu; biết phân biệt các khấi niệm lớn nhất, nhỏ nhất. + Biết các điều kiện đủ để hàm số có cực trị. * Về kĩ năng: + Sử dụng thành thạo các điều kiện đủ để tìm cực trị của hàm số. * Về tư duy và thái độ: + Hiểu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm. + Cẩn thận, chính xác; Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy trực quan, tương tự. II. Chuẩn bị: * Giáo viên: Giáo án, bảng phụ… * Học sinh: Nắm kiến thức bài cũ, nghiên cứu bài mới, đồ dùng học tập. III. Phương pháp: Kết hợp nhiều phương pháp, trong đó vấn đáp, gợi mở là phương pháp chủ đạo. IV. Tiến trình: 1. Ổn định tổ chức (1’): Kiểm tra tác phong, sỉ số, thái độ học tập… 2. Kiểm tra bài cũ (5’): Xét sự đồng biến, nghịch bến của hàm số: 32 1 23 3 y xxx= −+ 3. Bài mới: Hoạt động 1: Khái niệm cực trị và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. TG HĐGV HĐHS GB + Trả lời. + Nhận xét. + Phát biểu. + Lắng nghe. §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 10’ 10’ + Treo bảng phụ (H8 tr 13 SGK) và giới thiệu đây là đồ thị của hàm số trên. H1 Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng 13 ; 22 ⎛⎞ ⎜⎟ ? ⎝⎠ H2 Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 3 ;4 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ? ⎝⎠ + Cho HS khác nhận xét sau đó GV chính xác hoá câu trả lời và giới thiệu điểm đó là cực đại (cực tiểu). + Cho học sinh phát biểu nội dung định nghĩa ở SGK, đồng thời GV giới thiệu chú ý 1. và 2. + Từ H8, GV kẻ tiếp tuyến tại các điểm cực trị và dẫn dắt đến chú ý 3. và nhấn mạnh: nếu thì 0 '( ) 0 fx ≠ 0 x không phải là điểm cực trị. + Yêu cầu HS xem lại đồ thị ở bảng phụ và bảng biến thiên ở phần KTBC (Khi đã được chính xác hoá). H1 Nêu mối liên hệ giữa tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm? I. Khái niệm cực đại, cực tiểu Định nghĩa (SGK) Chú ý (SGK) II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị + Cho HS nhận xét và GV chính xác hoá kiến thức, từ đó dẫn dắt đến nội dung định lí 1 SGK. + Dùng phương pháp vấn đáp cùng với HS giải vd2 như SGK. + Cho HS nghiên cứu vd3 rồi lên bảng trình bày. + Cho HS khác nhận xét và GV chính xác hoá lời giải. + Trả lời. + Nhận xét. 8’ 7’ Định lí 1 (SGK) x x -h x x +h 0 0 0 f’(x) + - f(x) f CD x x -h x x +h 0 0 0 f’(x) - + f(x) f CT 4. Củng cố toàn bài(3’): + Cho học sinh giải bài tập trắc nghiệm: Số điểm cực trị của hàm số: là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 42 2 yx x =+ − 1 + Nêu mục tiêu của tiết. 5. Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà (1’) : HS về nhà xem kĩ lại phần đã học, xem trước bài mới và làm các bài tập: 1, 3-6 tr18 SGK. V. Phụ lục: Bảng phụ: x y 4 3 3 2 1 2 3 4 O 1 2 Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chuyên đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '( x0 ) 2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y f ( x) liên tục khoảng a; b chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng a; x x0 ; b Khi a) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a; b chứa điểm x0 , f '( x0 ) f có đạo hàm cấp hai khác không điểm x0 Khi a) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 4) Định lý 4: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 B Phương pháp giải toán Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có cực trị (có cực trị) PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: Lưu ý: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m  1) x  (m  1) x  x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  (m2  1) x  2(m  1) x  y' (m  1) x  2(m  1) x   ♣ Hàm số có hai điểm cực trị y' có hai nghiệm phân biệt m2 ' m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m (m 1)2 m m m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 3(m2 1) 2m 2m 1 m m  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ Cho hàm số y  mx  (m  9)x  10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị 2 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2(m2  9) x  x.(2mx  m2  9) y' x 0 2mx m2 (1) ♣ Hàm số có ba điểm cực trị y' m có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác m m( m ' m2 9) m 0 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3 m m m 3 m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  (m  1)x  2m  Tìm m để hàm số có điểm cực trị Đáp số: m Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị điểm x0 PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị x y '( x0 ) Giá trị tham số m b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại Khi thử lại dùng quy tắc quy tắc 2 VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x   m  m   x  (3m  1) x  m  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  x   m2  m   x  3m2  a) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu x y '( 2) m2 4m m m b) Điều kiện đủ: ♣ Với m , ta có: y ' x x , y ' x Bảng biến thiên x y' y Từ BBT ta suy m không thỏa ♣ Với m , ta có: y ' x 16 x 28 , y ' x 14 x Bảng biến thiên 14 x y' y CĐ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu x ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  mx  3x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x Đáp số: m 15 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x  (2m  1)x  (2  m)x  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hoành độ dương Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x  2(2m  1) x   m y' 3x  2(2m  1) x   m  0 ♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hoành độ dương ' y' có hai nghiệm dương phân biệt P S 4m 2 m 2m m 0 ♦ Vậy ... sau A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số đạt cực tiểu x = C Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số khơng có cực trị Câu 13 Cho hàm số y = x − x5 Khẳng định sau A Hàm số có điểm cực trị B Hàm số có... hàm số y = ( x − x) Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực tiểu x = C Hàm số khơng có điểm cực trị B Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số có điểm cực trị Câu 16 Cho hàm số y = − x3 + x + x Hàm số. .. sau đúng? A Hàm số có cực đại, cực tiểu m < B Với mọ i m , hàm số ln có cực trị C Hàm số có cực đại, cực tiểu m ≠ D Hàm số có cực đại, cực tiểu m > Câu 53 Cho hàm số y = Câu 54 Hàm số y = − x