Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
16
Dung lượng
904,39 KB
Nội dung
Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chun đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '( x0 ) 2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y f ( x) liên tục khoảng a; b chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng a; x x0 ; b Khi a) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a; b chứa điểm x0 , f '( x0 ) f có đạo hàm cấp hai khác không điểm x0 Khi a) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 4) Định lý 4: a) Hàm số y f x ax bx cx d a có hai điểm cực trị f ' x 3ax 2bx c có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y f x ax bx c a có ba điểm cực trị f ' x 4ax 2bx có ba nghiệm phân biệt NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 B Phương pháp giải toán Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có cực trị (có cực trị) PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: Lưu ý: a) Hàm số y f x ax bx cx d a có hai điểm cực trị f ' x 3ax 2bx c có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y f x ax bx c a có ba điểm cực trị f ' x 4ax 2bx có ba nghiệm phân biệt CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y (m 1) x (m 1) x x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Bài giải ♦ Tập xác định: D ♦ Đạo hàm: y ' (m2 1) x 2(m 1) x y' (m 1) x 2(m 1) x ♣ Hàm số có hai điểm cực trị y' có hai nghiệm phân biệt m2 ' m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m (m 1)2 m m m NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 3(m2 1) 2m 2m 1 m m SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ Cho hàm số y mx (m 9)x 10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị 2 Bài giải ♦ Tập xác định: D ♦ Đạo hàm: y ' 4mx3 2(m2 9) x x.(2mx m2 9) y' x 0 2mx m2 (1) ♣ Hàm số có ba điểm cực trị y' m có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác m m( m ' m2 9) m 0 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3 m m m 3 m Bài tập tương tự Cho hàm số y x (m 1)x 2m Tìm m để hàm số có điểm cực trị Đáp số: m Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị điểm x0 PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị x y '( x0 ) Giá trị tham số m b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại Khi thử lại dùng quy tắc quy tắc 2 VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y x m m x (3m 1) x m Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bài giải ♦ Tập xác định: D ♦ Đạo hàm: y ' x m2 m x 3m2 a) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu x y '( 2) m2 4m m m b) Điều kiện đủ: ♣ Với m , ta có: y ' x x , y ' x Bảng biến thiên x y' y Từ BBT ta suy m không thỏa ♣ Với m , ta có: y ' x 16 x 28 , y ' x 14 x Bảng biến thiên 14 x y' y CĐ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu x ♦ Vậy giá trị m cần tìm m Bài tập tương tự Cho hàm số y x mx 3x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x Đáp số: m 15 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y x (2m 1)x (2 m)x Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dương Bài giải ♦ Tập xác định: D ♦ Đạo hàm: y ' 3x 2(2m 1) x m y' 3x 2(2m 1) x m 0 ♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dương ' y' có hai nghiệm dương phân biệt P S 4m 2 m 2m m 0 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m m m m 5 m (2m 1) 3(2 m) m 2(2m 1) 2 3 Ví dụ Cho hàm số y x mx 2(3m 1) x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1 x2 2( x1 x2 ) Bài giải ♦ Tập xác định: D NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ♦ Đạo hàm: y ' x 2mx 2(3m 1) y' 2 x 2mx 2(3m 1) 0 (1) ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 y' có hai nghiệm phân biệt m2 ' 13m2 4(3m 1) 13 13 m 13 13 m (*) x1 Vì x1 x2 nghiệm (1) nên theo định lý Viet ta có: Do đó: x1 x2 2( x1 x2 ) 1 3m 2m 3m ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m 2m x2 x1 x2 m m m 3m2 (**) 3 Ví dụ Cho hàm số y mx (m 1) x 3(m 2) x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1 x2 Bài giải ♦ Tập xác định: D ♦ Đạo hàm: y ' mx 2(m 1) x 3(m 2) y' mx 2(m 1) x 3(m 2) 0 ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 m y' 2m có hai nghiệm phân biệt m ' (1) 4m 0 m (*) Vì x1 x2 nghiệm (1) nên theo định lý Viet ta có: x1 x1 x2 x2 2(m 1) m 3(m 2) m Theo đề : x1 x2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 (2) (3) (4) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 3m m (5) Thay (5) (3) ta được: m m x1 Từ (2) (4) suy x2 3m m m m 3(m 2) m 6m 16m m m ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m (**) m Ví dụ Cho hàm số y x 3mx (1), với m tham số thực Cho điểm A(2;3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B C cho tam giác ABC cân A Bài giải ♦ Tập xác định: D ♦ Đạo hàm: y ' 3x 3m y' 3x 3m (1) ♦ Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B C y' m Khi y ' có hai nghiệm phân biệt x ♣ Với x m ♣ Với x y m y m3 m3 Tọa độ điểm cực trị B C B ♦ Tam giác ABC cân A 2 m 2 m AB m AB AC 2 m có hai nghiệm phân biệt (*) m m ; m3 2 m ; m3 ,C AC 2 ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m m m m m (**) Ví dụ Cho hàm số y x 2mx 2m m (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C đồng thời điểm A, B, C tạo thành tam giác vuông Bài giải NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ♦ Tập xác định: D ♦ Đạo hàm: y ' x3 4mx x( x m) y' x x m (1) ♦ Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C y' có ba nghiệm phân biệt m (*) Khi y ' có ba nghiệm phân biệt x , x ♣ Với x ♣ Với x y m 2m m4 m4 y m m2 2m Tọa độ điểm cực trị A, B, C A 0; 2m Suy ra: AB m4 ; B m ; m ; AC ♦ Tam giác ABC vuông m ; m4 m2 2m ; C m ; m4 m2 2m m ; m2 Tam giác ABC vuông A AB AC m m4 m m (**) ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tìm cực trị của hàm số y x3 x x Cách * Tập xác định:R x 1 x Ta có: y ' x x 2; y ' * Bảng biến thiên: x –1 y’ y + – + Vậy hàm số đạt cực đại x = -1 giá trị cực đại yCĐ y 1 19 Hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu yCT y 4 Cách * Tập xác định: x 1 x Ta có: y ' x x 2; y ' * y '' x 1, y '' 1 3 nên hàm số đạt cực đại điểm x = -1 giá trị cực đại yCĐ y 1 19 * y '' nên hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu Câu Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3x Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3x * Tập xác định: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x y ' 3x x, y ' x Bảng xét dấu đạo hàm x y + - + Từ bảng xét đấu đạo hàm ta có Hàm sớ đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x và giá tri ̣ cực đa ̣i y ; đa ̣t cực tiể u ta ̣i x và giá tri ̣ cực tiể u y Vậy điểm cực đại đồ thị hàm số M 0; , điểm cực tiểu đồ thị hàm số N 2; Câu Tìm điểm cực trị hàm số y x x TXĐ: D y ' x -8x x ( x -1) x D x y' x 1 Bảng xét dấu y’: x - + y’ + -1 0 + - Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = ycd y (0) 1 Hàm số đạt cực tiểu x = ± yct y ( 1) 3 Câu Cho hàm số y x3 3mx m2 1 x 2, m tham số Tìm tất giá trị m để hàm số cho đạt cực tiểu x 2 Ta có: y ' 3x 6mx m 1; y '' x 6m y '(2) y ''(2) Hàm số cho đạt cực tiểu x m2 12m 11 m 1 12 6m Vậy với m = thỏa mãn yêu cầu toán NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho hàm số y x 3mx 3(m 1) x m m 2 (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Ta có y 3x 6mx 3(m2 1) Hàm số (1) có cực trị PT y có nghiệm phân biệt x2 2mx m2 có nhiệm phân biệt 0, m Khi đó, điểm cực đại A(m 1;2 2m) điểm cực tiểu B(m 1; 2 2m) m 3 2 Ta có OA 2OB m2 6m m 3 2 Câu Tìm m để hàm số y m x m x đạt cực tiểu điểm x = y ' m x 1 m Điều kiện cần y ' 1 m Thử lại m = : y ' x 1 đổi dấu từ âm sang dương qua x = Vậy nhận m = Câu Cho hàm số y x 3(m 1) x x m , với m tham số thực Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 x2 Ta có: y' 3x 6(m 1) x Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 Phương trình y ' có hai nghiệm pb x1 , x2 Pt x 2(m 1) x có hai nghiệm phân biệt x1 , x ' (m 1) m 1 (1) m 1 Với ĐK (1), theo định lý Viet ta có: x1 x2 2(m 1); x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 m 1 12 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 (m 1) m 3 m (2) m 3 Từ (1) (2) ta được: m TMYCBT Câu Cho hàm số: y x3 3(m 1) x x m , với m tham số thực.Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 x2 Ta có y ' 3x2 6(m 1) x Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2 PT y’ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x 2(m 1) x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ' (m 1) m 1 m 1 (1) Theo đề ta có: x1 x2 x1 x2 x1x2 (*) Theo định lý Viet ta có: x1 x2 2(m 1); x1 x2 (*) m 1 12 (m 1)2 3 m (2) Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm là: 3 m 1 1 m Câu Cho hàm số: y x4 2(m2 1) x2 (1) Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn y’ = 4x3 – 4(m2+1)x x y’ = x m hàm số (1) ln có điểm cực trị với m xCT m2 giá trị cực tiểu yCT (m2 1)2 Vì (m 1) yCT max( yCT ) m2 m Câu 10 Cho hàm số y x3 3mx cực trị A, B cho tam giác OAB (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm vng O ( với O gốc tọa độ ) y ' 3x 3m 3 x m y ' x m * Đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị PT (*) có nghiệm phân biệt m ** NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khi điểm cực trị A m ;1 2m m , B m ;1 2m m Tam giác OAB vuông O OA.OB 4m3 m m ( TM (**) ) Vậy m Câu 11 Cho hàm số f ( x) x4 2(m 2) x2 m2 5m (Cm) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Hàm số có CĐ, CT m < Toạ độ điểm cực trị là: A(0; m 5m 5), B( m ;1 m), C ( m ;1 m) Tam giác ABC cân A ABC vuông A m = Câu 12 Cho hàm số y 2x 3x 1 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d : y với đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm 2x M thuộc d với hai điểm cực trị đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông M Xét phương trình hồnh độ giao điểm d : y x đồ thị (C) là: x x x x x x (*) Giải phương trình (*) ta ba nghiệm phân biệt x1 0, x 2, x Vậy d cắt (C) ba điểm phân biệt A(0;1), B(2;5),C ; M d : y 2x M (t;2t 1) , tọa độ điểm cực trị (C) D(0;1),T (1; 0) M với hai điểm cực trị đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông M DM TM 0(**) , mặt khác ta có DM (t;2t ),TM (t 1;2t 1) (**) 5t t t t M (0;1) D (loại); 3 t M ; 5 t Câu 13 Cho hàm số y x4 2m2 x2 Cm (1) Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân x Ta có: y ' x3 4m x x x m 2 x m m (*) Với điều kiện (*) hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị là: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 A 0;1 ; B m;1 m ; C m;1 m Do ba điểm cực trị tạo thành tam giác 4 vng cân, đỉnh A Do tính chất hàm số trùng phương, tam giác ABC tam giác cân rồi, để thỏa mãn điều kiện tam giác vng, AB vng góc với AC AB m; m4 ; AC m; m ; BC 2m;0 Tam giác ABC vuông khi: BC AB AC 4m2 m2 m8 m2 m8 2m2 m4 1 0; m4 m 1 Vậy với m = -1 m = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 14 Cho hàm số y x4 2m2 x2 (1).Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C diện tích tam giác ABC 32 (đơn vị diện tích) x +) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ = 2 x m ; ĐK có điểm cực trị: m +) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; – m4), C(m ; – m4) ; +) CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I BC I(0 ; – m4) +) S ABC AI BC m4 m m 32 m 2 (tm) Câu 15 Cho hàm số y x4 2mx m (1), với m tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp x y ' x3 4mx x x m x m Hàm số cho có ba điểm cực trị pt y ' có ba nghiệm phân biệt y ' đổi dấu x qua nghiệm m Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: A 0; m 1 , B m ; m m , C m ; m m 1 yB y A xC xB m2 m ; AB AC m4 m , BC m m m4 m m AB AC.BC R 1 m 2m m 4S ABC 4m m S ABC Câu 16 Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Gọi d đường thẳng qua điểm A(1;1) có hệ số góc Tìm điểm M thuộc đường thẳng d tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ + d: y=3x-2 + Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm (0;2)=>P=-4P=6>0 Vậy điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d Từ đây, để MA+MB nhỏ => điểm A, M, B thẳng hàng + Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2 x y 3x + Tọa độ điểm M nghiệm hệ: y x y Câu 17 Cho hàm số y x x x (1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1;1 vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1;1 vuông góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) Đuờng thẳng qua c ực trị A(1;2) B(3;-2) y=-2x+4 Ta có pt đt vng góc với (AB) nên có hệ số góc k= ½ Vậy PT đ ờng thẳng cần tìm y x Câu 18 Cho hàm số y x3 3mx 4m2 (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho điểm I (1; 0) trung điểm đoạn AB Ta có y ' 3x 6mx x y ' 3x 6mx x 2m Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị y ' có hai nghiệm phân biệt Tọa độ điểm cực trị A(0; 4m2 2), B(2m; 4m3 4m 2) m0 m Điểm I (1; 0) trung điểm đoạn AB 2m 4m Giải hệ, ta m Vậy m 1 giá trị cần tìm NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 19 Cho hàm số y x (2m 1) x (m 3m 2) x (m tham số) có đồ thị 2 (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung y 3x 2(2m 1) x (m2 3m 2) (Cm) có điểm CĐ CT nằm hai phía trục tung PT y có nghiệm trái dấu 3(m2 3m 2) m Câu 20 Cho hàm số y x3 3mx2 4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x x Ta có: y’ = 3x2 6mx = x 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu m Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) AB (2m; 4m3 ) Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3) Điều kiện để AB đối xứng qua đường thẳng y = x AB vng góc với đường thẳng y = x I thuộc đường thẳng y = x 2m 4m 2m m Giải hệ phương trình ta m Kết hợp với điều kiện ta có: m NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 ;m=0 2 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ