1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

NỘI DUNG 2 cực TRỊ của hàm số

16 544 13

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 16
Dung lượng 904,39 KB

Nội dung

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chun đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '( x0 ) 2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y f ( x) liên tục khoảng a; b chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng a; x x0 ; b Khi a) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a; b chứa điểm x0 , f '( x0 ) f có đạo hàm cấp hai khác không điểm x0 Khi a) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 4) Định lý 4: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 B Phương pháp giải toán Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có cực trị (có cực trị) PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: Lưu ý: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m  1) x  (m  1) x  x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  (m2  1) x  2(m  1) x  y' (m  1) x  2(m  1) x   ♣ Hàm số có hai điểm cực trị y' có hai nghiệm phân biệt m2 ' m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m (m 1)2 m m m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 3(m2 1) 2m 2m 1 m m  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ Cho hàm số y  mx  (m  9)x  10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị 2 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2(m2  9) x  x.(2mx  m2  9) y' x 0 2mx m2 (1) ♣ Hàm số có ba điểm cực trị y' m có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác m m( m ' m2 9) m 0 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3 m m m 3 m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  (m  1)x  2m  Tìm m để hàm số có điểm cực trị Đáp số: m Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị điểm x0 PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị x y '( x0 ) Giá trị tham số m b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại Khi thử lại dùng quy tắc quy tắc 2 VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x   m  m   x  (3m  1) x  m  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  x   m2  m   x  3m2  a) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu x y '( 2) m2 4m m m b) Điều kiện đủ: ♣ Với m , ta có: y ' x x , y ' x Bảng biến thiên x y' y Từ BBT ta suy m không thỏa ♣ Với m , ta có: y ' x 16 x 28 , y ' x 14 x Bảng biến thiên 14 x y' y CĐ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu x ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  mx  3x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x Đáp số: m 15 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x  (2m  1)x  (2  m)x  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dương Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x  2(2m  1) x   m y' 3x  2(2m  1) x   m  0 ♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dương ' y' có hai nghiệm dương phân biệt P S 4m 2 m 2m m 0 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m m m m 5 m (2m 1) 3(2 m) m 2(2m 1) 2  3 Ví dụ Cho hàm số y  x  mx  2(3m  1) x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1 x2 2( x1 x2 ) Bài giải ♦ Tập xác định: D  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ♦ Đạo hàm: y '  x  2mx  2(3m  1) y' 2 x  2mx  2(3m  1)  0 (1) ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 y' có hai nghiệm phân biệt m2 ' 13m2 4(3m 1) 13 13 m 13 13 m (*) x1 Vì x1 x2 nghiệm (1) nên theo định lý Viet ta có: Do đó: x1 x2 2( x1 x2 ) 1 3m 2m 3m ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m 2m x2 x1 x2 m m m 3m2 (**)  3 Ví dụ Cho hàm số y  mx  (m  1) x  3(m  2) x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1 x2 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  mx  2(m  1) x  3(m  2) y' mx  2(m  1) x  3(m  2)  0 ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 m y' 2m có hai nghiệm phân biệt m ' (1) 4m 0 m (*) Vì x1 x2 nghiệm (1) nên theo định lý Viet ta có: x1 x1 x2 x2 2(m 1) m 3(m 2) m Theo đề : x1 x2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (2) (3) (4) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 3m m (5) Thay (5) (3) ta được: m m x1 Từ (2) (4) suy x2 3m m m m 3(m 2) m 6m 16m m m ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m (**) m  Ví dụ Cho hàm số y  x  3mx  (1), với m tham số thực Cho điểm A(2;3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B C cho tam giác ABC cân A Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x  3m y' 3x  3m  (1) ♦ Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B C y' m Khi y ' có hai nghiệm phân biệt x ♣ Với x m ♣ Với x y m y m3 m3 Tọa độ điểm cực trị B C B ♦ Tam giác ABC cân A 2 m 2 m AB m AB AC 2 m có hai nghiệm phân biệt (*) m m ; m3 2 m ; m3 ,C AC 2 ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m m m m m (**)  Ví dụ Cho hàm số y  x  2mx  2m  m (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C đồng thời điểm A, B, C tạo thành tam giác vuông Bài giải NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  x3  4mx  x( x  m) y' x   x  m (1) ♦ Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C y' có ba nghiệm phân biệt m (*) Khi y ' có ba nghiệm phân biệt x , x ♣ Với x ♣ Với x y m 2m m4 m4 y m m2 2m Tọa độ điểm cực trị A, B, C A 0; 2m Suy ra: AB m4 ; B m ; m ; AC ♦ Tam giác ABC vuông m ; m4 m2 2m ; C m ; m4 m2 2m m ; m2 Tam giác ABC vuông A AB AC m m4 m m (**) ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tìm cực trị của hàm số y  x3  x  x  Cách * Tập xác định:R  x  1 x  Ta có: y '  x  x  2; y '    * Bảng biến thiên: x  –1  y’ y + – + Vậy hàm số đạt cực đại x = -1 giá trị cực đại yCĐ  y  1  19 Hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu yCT  y    4 Cách * Tập xác định:  x  1 x   Ta có: y '  x  x  2; y '    * y ''  x  1, y ''  1  3  nên hàm số đạt cực đại điểm x = -1 giá trị cực đại yCĐ  y  1  19 * y ''     nên hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu Câu Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  3x  Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  3x  * Tập xác định: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x  y '  3x  x, y '    x  Bảng xét dấu đạo hàm x y  +  - + Từ bảng xét đấu đạo hàm ta có Hàm sớ đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x  và giá tri ̣ cực đa ̣i y  ; đa ̣t cực tiể u ta ̣i x  và giá tri ̣ cực tiể u y  Vậy điểm cực đại đồ thị hàm số M  0;  , điểm cực tiểu đồ thị hàm số N  2;  Câu Tìm điểm cực trị hàm số y  x  x  TXĐ: D  y '  x -8x  x ( x -1) x  D x  y'     x  1 Bảng xét dấu y’: x - + y’ + -1 0 + - Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = ycd  y (0)  1 Hàm số đạt cực tiểu x = ± yct  y ( 1)  3 Câu Cho hàm số y  x3  3mx   m2  1 x  2, m tham số Tìm tất giá trị m để hàm số cho đạt cực tiểu x 2 Ta có: y '  3x  6mx  m  1; y ''  x  6m  y '(2)   y ''(2)  Hàm số cho đạt cực tiểu x    m2  12m  11   m 1  12  6m  Vậy với m = thỏa mãn yêu cầu toán NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m  m 2 (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Ta có y  3x  6mx  3(m2  1) Hàm số (1) có cực trị PT y  có nghiệm phân biệt  x2  2mx  m2   có nhiệm phân biệt     0, m Khi đó, điểm cực đại A(m  1;2  2m) điểm cực tiểu B(m  1; 2  2m)  m  3  2 Ta có OA  2OB  m2  6m      m  3  2 Câu Tìm m để hàm số y m x m x đạt cực tiểu điểm x = y '  m  x  1  m  Điều kiện cần y ' 1   m  Thử lại m = : y '   x  1 đổi dấu từ âm sang dương qua x = Vậy nhận m = Câu Cho hàm số y  x  3(m  1) x  x  m , với m tham số thực Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1  x2  Ta có: y'  3x  6(m  1) x  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2  Phương trình y '  có hai nghiệm pb x1 , x2  Pt x  2(m  1) x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x   '  (m  1)    m  1   (1)  m  1  Với ĐK (1), theo định lý Viet ta có: x1  x2  2(m  1); x1 x2  x1  x2    x1  x2   x1 x2    m  1  12  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  (m  1)   m  3  m  (2)  m  3  Từ (1) (2) ta được:  m  TMYCBT Câu Cho hàm số: y  x3  3(m  1) x  x  m , với m tham số thực.Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1  x2   Ta có y '  3x2  6(m  1) x   Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2  PT y’ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2  x  2(m  1) x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   '  (m  1)    m  1   m  1  (1) Theo đề ta có: x1  x2    x1  x2   x1x2  (*) Theo định lý Viet ta có: x1  x2  2(m  1); x1 x2  (*)   m  1  12   (m  1)2   3  m  (2) Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm là: 3  m  1  1   m  Câu Cho hàm số: y  x4  2(m2  1) x2  (1) Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn y’ = 4x3 – 4(m2+1)x x  y’ =    x   m   hàm số (1) ln có điểm cực trị với m xCT   m2   giá trị cực tiểu yCT  (m2  1)2  Vì (m  1)   yCT  max( yCT )   m2    m  Câu 10 Cho hàm số y   x3  3mx  cực trị A, B cho tam giác OAB (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm vng O ( với O gốc tọa độ ) y '  3x  3m  3  x  m  y '   x  m   * Đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị  PT (*) có nghiệm phân biệt  m  ** NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khi điểm cực trị A   m ;1  2m m  , B  m ;1  2m m  Tam giác OAB vuông O  OA.OB   4m3  m    m  ( TM (**) ) Vậy m  Câu 11 Cho hàm số f ( x)  x4  2(m  2) x2  m2  5m  (Cm) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Hàm số có CĐ, CT m < Toạ độ điểm cực trị là: A(0; m  5m  5), B(  m ;1  m), C (  m ;1  m) Tam giác ABC cân A  ABC vuông A m = Câu 12 Cho hàm số y 2x 3x 1 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d : y với đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm 2x M thuộc d với hai điểm cực trị đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông M Xét phương trình hồnh độ giao điểm d : y  x  đồ thị (C) là: x  x   x   x  x  x  (*) Giải phương trình (*) ta ba nghiệm phân biệt x1  0, x  2, x       Vậy d cắt (C) ba điểm phân biệt A(0;1), B(2;5),C   ;  M  d : y  2x   M (t;2t  1) , tọa độ điểm cực trị (C) D(0;1),T (1; 0) M với hai điểm cực trị đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông M  DM TM  0(**) , mặt khác ta có DM  (t;2t ),TM  (t  1;2t  1)  (**)  5t  t   t  t   M (0;1)  D (loại);  3 t    M  ;   5 t   Câu 13 Cho hàm số y  x4  2m2 x2  Cm  (1) Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân x  Ta có: y '  x3  4m x  x  x  m     2 x  m  m  (*) Với điều kiện (*) hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị là: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 A  0;1 ; B  m;1  m  ; C  m;1  m  Do ba điểm cực trị tạo thành tam giác 4 vng cân, đỉnh A Do tính chất hàm số trùng phương, tam giác ABC tam giác cân rồi, để thỏa mãn điều kiện tam giác vng, AB vng góc với AC  AB   m; m4  ; AC   m; m  ; BC   2m;0  Tam giác ABC vuông khi: BC  AB  AC  4m2  m2  m8   m2  m8   2m2  m4  1  0;  m4   m  1 Vậy với m = -1 m = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 14 Cho hàm số y  x4  2m2 x2  (1).Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C diện tích tam giác ABC 32 (đơn vị diện tích) x  +) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ =   2 x  m ; ĐK có điểm cực trị: m  +) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; – m4), C(m ; – m4) ; +) CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I BC I(0 ; – m4) +) S ABC  AI BC  m4 m  m  32  m  2 (tm) Câu 15 Cho hàm số y  x4  2mx  m  (1), với m tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp x  y '  x3  4mx  x  x  m     x  m Hàm số cho có ba điểm cực trị  pt y '  có ba nghiệm phân biệt y ' đổi dấu x qua nghiệm  m   Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là:    A  0; m  1 , B  m ; m  m  , C  m ; m  m  1 yB  y A xC  xB  m2 m ; AB  AC  m4  m , BC  m m  m4  m m AB AC.BC R 1   m  2m     m   4S ABC 4m m   S ABC    Câu 16 Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Gọi d đường thẳng qua điểm A(1;1) có hệ số góc Tìm điểm M thuộc đường thẳng d tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ + d: y=3x-2 + Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm (0;2)=>P=-4P=6>0 Vậy điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d Từ đây, để MA+MB nhỏ => điểm A, M, B thẳng hàng + Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2  x   y  3x   + Tọa độ điểm M nghiệm hệ:   y   x   y   Câu 17 Cho hàm số y  x  x  x  (1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1;1  vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1;1  vuông góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) Đuờng thẳng qua c ực trị A(1;2) B(3;-2) y=-2x+4 Ta có pt đt vng góc với (AB) nên có hệ số góc k= ½ Vậy PT đ ờng thẳng cần tìm y  x  Câu 18 Cho hàm số y  x3  3mx  4m2  (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho điểm I (1; 0) trung điểm đoạn AB Ta có y '  3x  6mx x  y '   3x  6mx     x  2m Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị y '  có hai nghiệm phân biệt Tọa độ điểm cực trị A(0; 4m2  2), B(2m; 4m3  4m  2)  m0 m  Điểm I (1; 0) trung điểm đoạn AB  2m  4m   Giải hệ, ta m  Vậy m 1 giá trị cần tìm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 19 Cho hàm số y   x  (2m  1) x  (m  3m  2) x  (m tham số) có đồ thị 2 (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung y  3x  2(2m  1) x  (m2  3m  2) (Cm) có điểm CĐ CT nằm hai phía trục tung  PT y  có nghiệm trái dấu  3(m2  3m  2)    m  Câu 20 Cho hàm số y  x3  3mx2  4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x x  Ta có: y’ = 3x2  6mx =    x  2m Để hàm số có cực đại cực tiểu m  Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  AB  (2m; 4m3 ) Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3) Điều kiện để AB đối xứng qua đường thẳng y = x AB vng góc với đường thẳng y = x I thuộc đường thẳng y = x   2m  4m     2m  m Giải hệ phương trình ta m   Kết hợp với điều kiện ta có: m   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ;m=0 2 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Ngày đăng: 04/09/2016, 17:52

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w