Chuong 1 - Ham so va dao ham

CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ ĐẠO HÀM C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 25/12/2015 Nội dung Giới thiệu hàm số Các hàm sơ cấp Giới hạn hàm số, hàm số liên tục Định nghĩa đạo hàm Các quy tắc tính đạo hàm Cực trị giá trị lớn nhất, nhỏ Quy tắc L’Hospital Nguyên hàm 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm GIỚI THIỆU VỀ HÀM SỐ • Hàm số xuất đại lượng phụ thuộc đại lượng khác • Diện tích ‫ ܣ‬của đường tròn phụ thuộc vào bán kính theo cơng thức ‫ ݎߨ = ܣ‬ଶ nên ‫ ܣ‬là hàm số theo ‫ݎ‬ • Dân số giới ܲ phụ thuộc vào năm ‫ ݐ‬đang xét nên ܲ hàm số theo ‫ݐ‬ 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm • Gia tốc thẳng đứng ܽ mặt đất đo máy ghi địa hàm số theo thời gian ‫ݐ‬ 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm Định nghĩa hàm số (function) Một hàm số (function) ݂ quy tắc cho tương ứng ‫ ݔ‬thuộc tập ‫ ܦ‬một phần tử ݂ ‫ݔ‬ thuộc tập ‫ܧ‬ • • • • Thơng thường ‫ ܦ‬và ‫ ܧ‬là tập số Tập ‫ ܦ‬gọi tập xác định (domain) ݂ Con số ݂ ‫ ݔ‬gọi giá trị ݂ ‫ݔ‬ Miền giá trị (range) ݂ tập tất giá trị ݂ ‫ݔ‬ ‫ ݔ‬thay đổi khắp ‫ܦ‬ • Ký tự đại diện cho số nằm miền xác định ݂ gọi biến độc lập (independent variable) • Ký tự đại diện cho số nằm miền giá trị ݂ gọi biến phụ thuộc (dependent variable) 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm • Đồ thị hàm số ݂ miền ‫ ܦ‬là tập hợp điểm mặt phẳng có dạng ‫ݔ‬, ݂ ‫ ݔ‬: ‫ܦ ∈ ݔ‬ 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 10 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 25/12/2015 94 • Ký hiệu • ‫ ݔ ݎ‬là doanh thu bán ‫ ݔ‬sản phẩm, • ܿ ‫ ݔ‬là chi phí để sản xuất ‫ ݔ‬sản phẩm, • ‫ ݔ ݎ = ݔ ݌‬− ܿ ‫ ݔ‬là lợi nhuận thu • Trong • ‫ݎ‬ᇱ ‫ݔ‬ • ܿᇱ ‫ݔ‬ • ‫݌‬ᇱ ‫ݔ‬ kinh tế người ta gọi doanh thu biên (marginal revenue), chi phí biên (marginal cost), lợi nhuận biên (marginal profit) • Khi đạt lợi nhuận tối đa doanh thu biên chi phí biên 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 95 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 96 • Giả sử ‫ = ݔ ݎ‬9‫ ݔ‬và ܿ ‫ ݔ = ݔ‬ଷ − 6‫ ݔ‬ଶ + 15‫ݔ‬, với ‫ݔ‬ số triệu máy nghe nhạc MP3 sản xuất Tìm ‫ ݔ‬để lợi nhuận thu tối đa mức lợi nhuận tối đa bao nhiêu? 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 97 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 25/12/2015 98 QUY TẮC L’HOSPITAL Định lý Quy tắc L’Hospital Cho hàm ݂, ݃ khả vi ݃ᇱ ‫ ≠ ݔ‬0 khoảng mở chứa ܽ (có thể ngoại trừ ܽ) Giả sử hai điều sau a) lim ݂ ‫ = ݔ‬lim ݃ ‫ = ݔ‬0 ௫→௔ ௫→௔ b) lim ݂ ‫ = ݔ‬lim ݃ ‫ = ݔ‬±∞ ௫→௔ Thì ௫→௔ ௙ ௫ lim ௫→௔ ௚ ௫ = ௙ᇲ ௫ lim ᇲ ௫→௔ ௚ ௫ miễn giới hạn vế phải tồn (có thể ±∞) 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 99 • Chú ý, thay ‫ ܽ → ݔ‬bằng ‫ ܽ → ݔ‬ା , ‫ ି ܽ → ݔ‬, ‫→ ݔ‬ ∞ hay ‫ → ݔ‬−∞ quy tắc Ví dụ Tính giới hạn ln ‫ݔ‬ ln ‫ݔ‬ b) lim a) lim ௫→ଵ − ‫ݔ‬ ௫→ஶ ‫ݔ‬ sin ‫ݔ‬ ݁௫ c) lim d) lim ଶ ௫→గ/ଶ − cos ‫ݔ‬ ௫→ஶ ‫ݔ‬ 3‫ ݔ‬− sin ‫ݔ‬ 1+‫ݔ‬−1 ݁) lim ݂) lim ௫→଴ ௫→଴ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 100 1+‫ݔ‬−‫ݔ‬−2 ‫ݔ‬ ݃) lim ℎ) lim − ଶ ௫→଴ ௫→ଵ ‫ ݔ‬− ‫ݔ‬ ln ‫ݔ‬ ݅) lim ‫ ݔ‬sin ݆) lim + cos 4‫ ݔ‬ୡ୭୲ ௫ ௫→ஶ ௫→ஶ ‫ݔ‬ మ ଵ/௫ tan ‫ݔ‬ ௫ ଵ/௫ ݇) lim ݁ + ‫ݔ‬ ݈) lim ௫→ஶ ௫→ஶ ‫ݔ‬ 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 101 NGUYÊN HÀM Định nghĩa Nguyên hàm - antiderivative Hàm số ‫ ܨ‬được gọi nguyên hàm ݂ khoảng ‫ ܫ‬nếu ‫ ܨ‬ᇱ ‫ ݔ ݂ = ݔ‬, ∀‫ܫ ∈ ݔ‬ Tìm nguyên hàm cho hàm số cos ‫ ݔ‬2‫ݔ‬ Định lý Nếu ‫ ܨ‬là nguyên hàm ݂ nguyên hàm tổng quát ݂ có dạng ‫ ݔ ܨ‬+ ‫ ܥ‬với ‫ ܥ‬là số 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 102 Ví dụ 10 a) Tìm nguyên hàm ‫ ܨ‬của ݂ ‫ = ݔ‬3‫ ݔ‬ଶ biết ‫ ܨ‬1 = − b) Tìm nguyên hàm ‫ ܨ‬của ݂ ‫= ݔ‬ ଵ ௫ biết ‫ ܨ‬9 = c) Tìm hàm số ݂ biết ݂ ᇱ ‫ ݁ = ݔ‬௫ + 20 + ‫ ݔ‬ଶ ିଵ , ݂ = −2 d) Tìm hàm số ݂ biết ݂ ᇱᇱ ‫ = ݔ‬12‫ ݔ‬ଶ + 6‫ ݔ‬− 4, ݂ = 4, ݂ =1 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 103 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm Bảng nguyên hàm 104 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 105 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 106 • Từ tính chất đạo hàm, dễ dàng suy tính chất sau nguyên hàm 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm 107 Tích phân bất định Định nghĩa Tích phân bất định – indefinite integral Tập hợp tất nguyên hàm ݂ gọi tích phân bất định ký hiệu න݂ ‫ݔ݀ ݔ‬ 25/12/2015 C01124 - Chương - Hàm số đạo hàm Ví dụ 11 Tính tích phân bất định a) න ‫ ݔ‬ଷ − 2‫ ݔ‬+ ݀‫ݔ‬ b) න cos 2‫ ݔ‬− sin 3‫ݔ݀ ݔ‬ c) න ݁ ଷ௫ + 5݁ ି௫ ݀‫ݔ‬ ‫ݐ ݐ‬+ ‫ݐ‬ d) න ݀‫ݐ‬ ଶ ‫ݐ‬ e) න − ଵ ݀‫ݕ‬ − ‫ݕ‬ଶ ‫ݕ‬ସ 108 ... 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 10 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 11 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 12 25 /12 /2 015 ... 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 18 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 19 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 20 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 25 /12 /2 015 21 Hàm... lũy thừa 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 22 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 23 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo hàm 24 25 /12 /2 015 C 011 24 - Chương - Hàm số đạo