NỘI DUNG 1 TÍNH đơn điệu của hàm số

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chuyên đề: Hàm số A.. Tóm tắt lí thuyết I... Phương pháp giải toán Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.. PHƯƠNG PHÁP B1.

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề: Hàm số

A Tóm tắt lí thuyết

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K

b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K

 [ f(x) đồng biến trên K]  [f '(x)  0 với mọi x  K]

 [ f(x) nghịch biến trên K]  [f '(x)  0 với mọi x  K] [f '(x)  0 với mọi x  K]  [ f(x) không đổi trên K]

2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f ' x  0 với mọi x  Kthì hàm số f (x) đồng biến trên K

b) Nếu f ' x  0 với mọi x  Kthì hàm số f (x) nghịch biến trên K

c) Nếu f ' x  0 với mọi x  Kthì hàm số f (x) không đổi trên K

 [f '(x)  0 với mọi x  K]  [ f(x) đồng biến trên K]

 [f '(x)  0 với mọi x  K]  [ f(x) nghịch biến trên K]

3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f ' x  0 với mọi x  Kvà f ' x  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên K

b) Nếu f ' x  0 với mọi x  Kvà f ' x  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K

4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba   3 2  

y  f x  ax  bx  cx  d a  0 , ta có

f ' x  3ax  2bx  c

y  f x  ax  bx  cx  d a  0

đồng biến trên R    2

f ' x  3ax  2bx   c 0 x   R

y  f x  ax  bx  cx  d a  0

nghịch biến trên R    2

f ' x  3ax  2bx   c 0 x   R

NHẮC LẠI

Định lý: Cho tam thức bậc hai 2

f x ax bx c a ta có:

f x

f x

B Phương pháp giải toán

Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước

1 PHƯƠNG PHÁP

B1 Tập xác định: D ?

B2 Tính y' ?

B3 Lập luận:

y đồng biến trên X y' 0, x X

y nghịch biến trên X y' 0, x X

Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình

' 0

y có hữu hạn nghiệm, nếu phương trình y' 0 có vô hạn nghiệm thì trong điều kiện sẽ không có dấu bằng

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số 1 ( 2 ) 3 2 2 3 1

3

y m m x  mx  x Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên R

Bài giải:

♦ Tập xác định: DR

y  m m x  mx

♣ Hàm số luôn đồng biến trên R  y'  0  x R

0

1

m

m





    



+ Với m 0, ta có y'     3 0, x R, suy ra m 0 thỏa

+ Với m 1, ta có ' 4 3 0 3

4

y  x    x , suy ra m 1 không thỏa

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

0

1

m

m





    

 , khi đó:

♣ y'  0  x R  2

2

0

   





 

m

  



   

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là    3 m 0.

Ví dụ 2 Cho hàm số y x 3  3mx2  3(m2  1)x 2m 3 Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng  1;2

Bài giải

♦ Tập xác định: DR

y  x  mx m 

♣ Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;2  y'  0  x  1; 2

' 9m 9(m 1) 9 0, m

Suy ra y' luôn có hai nghiệm phân biệt x1  m 1;x2  m 1 (x1x2)

Do đó: y'  0  x  1; 2  x1   1 2 x2  1

2

1 2

x x





 

  1 1

m m

 



  

  1  m 2

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 1  m 2.

Bài tập tương tự

Cho hàm số y 2x3  3 2 m 1x2  6m m  1x 1 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; 

Đáp số: m 1

Ví dụ 3 Cho hàm số y x 3  3x2 mx 2 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

0; 

Bài giải

♦ Tập xác định: DR

y  x  xm

♣ Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 

 y'  0,  x 0;  (có dấu bằng)

 2

3x  6x m 0,  x 0; 

 2

3x  6xm,  x 0;  (*)

f x x x,  x 0; , ta có:

f '( )x 6x 6 ; f '( )x 0 x 1 Bảng biến thiên:

x 0 1

'( )

f x 0

( )

f x 0

3

♣ Từ BBT ta suy ra: (*) m 3

♦ Vậy giá trị m cần tìm là m 3.

Bài tập tương tự

Cho hàm số y  x3 3x2  3mx 1 Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 

Đáp số: m 1

Ví dụ 4 Cho hàm số y mx 7m 8

x m



 Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Bài giải

♦ Tập xác định: DR\ m

♦ Đạo hàm:

2 2

y

x m



 Dấu của y' là dấu của biểu thức

2

♣ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

' 0

y  ,  x D (không có dấu bằng)

2

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 8 m 1.

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 Xác định m để hàm số sau đồng biến trong khoảng (0; +∞):

2

1

x m y

x







+ TXĐ: D = R

+ y’ =

1

mx

 

 

Hàm số ĐB trong (0; +∞) y’ ≥ 0 mọi x (0; +∞)

-mx + 1 ≥ 0 mọi x (0; +∞) (1)

m = 0 (1) đúng

m > 0: -mx + 1 ≥ 0 x ≤ 1/m Vậy (1) không thỏa mãn

m < 0: -mx + 1 ≥ 0 x ≥ 1/m Khi đó (1) 1/m ≤ 0 t/m

Giá trị cần tìm là: m ≤ 0

Câu 2 Tìm m để hàm số luôn nghịch biến: 3 2

y   x m x  mx

+ Tập xác định: DR

y   x  m x m

+ Để hàm số luôn nghịch biến thì y'  0 x

2 2

3 0 0

a

m

 



Câu 3 Tìm m để hàm số luôn nghịch biến x: 3 2

ymx  x  x

+ Tập xác định: DR

y  mx  x

+ Để hàm số luôn nghịch biến x thì y'  0 x

2

3mx 6x 3 0

    x  1

+ TH1: m 0

(1)   6x  3 0

  

1 2

x

   ( không thỏa x)

+ TH2: m 0

  

     

0

1 1

m

m m





       + Vậy m  1 thì hàm số thỏa đề bài