(Dùng thử) bài 1 TÍNH đơn điệu của hàm số

BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ MỤC TIÊU: Kiến thức: -Biết, hiểu cơng thức, quy tắc tính đạo hàm -Nắm vững tính đơn điệu hàm số -Thấy mối liên hệ biến thiên hàm số thơng qua đạo hàm -Biết quy tắc xét dấu học lớp 10 -Nhận biết mối liên hệ hàm số y  f ( x), y  f (u ( x )) biết bảng biến thiên hàm số đồ thị hàm y  f  x  , số y y  f  x  đồ thị hàm số y  f '  x  Kỹ năng: -Biết áp dụng cơng thức, quy tắc tính đạo hàm vào hàm số -Nhận diện bảng biến thiên, đồ thị hàm số đơn điệu khoảng cụ thể -Vẽ bảng biến thiên, đồ thị hàm số bản, hàm chứa trị tuyệt đối -Vận dụng tính chất hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, hàm hữu tỷ vào giải nhanh tốn trắc nghiệm -Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f ( x ), y  f (u ( x )) y  f (u ( x )) �h( x ) biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f  x   y  f ' x  I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa: Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K • Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K x1  x2 � f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến • Hàm số f gọi đồng biến (giảm) K x1  x2 � f  x1   f  x2  Hàm số nghịch biến Định lí thuận Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K •Nếu f �( x)  0, x �K hàm số đồng biến khoảng K • Nếu f �( x)  0, x �K hàm số nghịch biến khoảng K •Nếu f �( x)  0, x �K hàm số khơng đổi khoảng K Định lí đảo Trang Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K • Nếu hàm số f đồng biến khoảng f �( x) �0, x �K • Nếu hàm số f nghịch biến khoảng f �( x) �0, x �K Lưu ý: - Hàm số f  x  đồng biến K đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải - Hàm số f  x  nghịch biến K đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải Xét dấu tam thức bậc hai g ( x)  ax  bx  c( a �0) a0 � g ( x) �0, x ��� �  �0 � �a  g ( x )  0, x ��� � ;   � �� g ( x)‫ף‬0, x � �a  ; � � �0 �a  � g ( x )  0, x ��� � �  Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Dựa vào đồ thị ta thấy Hàm số đồng biến khoảng  1;0  Hàm số nghịch biến khoảng  1;  Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  , Ta có bảng xét dấu sau: Ta thấy � 1� Hàm số đồng biến khoảng ��; �: (t  �) � 3� �1 � Hàm số nghịch biến khoảng � ;1� �3 � Ví dụ 3: Cho hàm số g ( x)  x  x  a20 � Hàm số có �   (5)  4.2.6  23  � � g ( x)  0, x �� Trang Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”: f �( x ) �0x �k dấu “-” hữu hạn điểm k hàm số nghịch biến k SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Hàm số nghịch biến Hàm số đồng biến Định lí thuận Định lí thuận � - Nếu f ( x)  0, x �K hàm số nghịch biến - Nếu f ( x)  0, x �K hàm số nghịch biến khoảng K khoảng K Định lí đảo Định lí đảo - Nếu hàm số f nghịch biến khoảng - Nếu hàm số f nghịch biến khoảng f �( x) �0, x �K f �( x) �0, x �K � Định lí thuận “mở rộng” Định lí thuận “mở rộng” f �( x ) �0x �k dấu hữu hạn điểm f �( x) �0x �k dấu hữu hạn điểm k hàm số đồng biến k k hàm số đồng biến k Đồ thị Đồ thị Hàm số nghịch biến Hàm số nghịch biến - Đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải - Đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải Định nghĩa Định nghĩa Hàm số f gọi đồng biến K Hàm số f gọi đồng biến K  x1  x2 x1  x2 � f  x1   f  x2  � f  x1   f  x2  II.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xét tính đơn điệu hàm số khơng chứa tham số Bài tốn Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho công thức y  f  x  - Phương pháp giải Thực bước sau: Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y '  f '  x  Bước Tìm giá trị x mà f '  x   hoặcnhững giá trị làm cho f '  x  không xác định Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y  f  x  ( chọn đáp án ) Ví dụ: Hàm số y   A (5; �) x3  3x  x  đồng biến khoảng đây? B (�;1) C (2;3) D  1;5  Hướng dẫn giải Trang Tập xác định D  � Ta có y '   x  x  x 1 � � Suy y  �  x  x   � � x5 � Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biển khoảng  1;5  Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  x  x  x  15 Khẳng định khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng (-3;1) B Hàm số đồng biến (-2;-5) C Hàm số đồng biến � D Hàm số đồng biến (5; +∞) Hướng dẫn giải Tập xác định D = � Ta có y � 3x  x  x 1 � � Cho y  � � x  3 � Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai Chọn C Ví dụ Các khoảng nghịch biến hàm số y   x  x  A (-1;0) (1+ ) A (1; 0) (1, �) B (�;1) (1  �) C ( 1;0) (0;1) D (�; 1) (0;1) Hướng dẫn giải Tập xác định D = � Ta có y � 4 x  x x0 � y � � � x  �1 � Bảng biến thiên hàm số y   x  x  sau Trang Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến (-1;0) (1;+ ∞) Chọn A x 1 Ví dụ Cho hàm số y  Mệnh đề đúng? x2 A Hàm số đồng biến � B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến �\  2 D Hàm số đồng biến khoảng miền xác định Hướng dẫn giải Tập xác định D  �\  2 � Ta có y  x 1  0, x �D nên hàm số y  đồng biến từngkhoảng miền xác định ( x  2) x2 Chọn D Ví dụ Hàm số nghịch biến � ? Hướng dẫn giải Tập xác định D  � Ta có y   x  x � y � 3x   0, x �� Vậy hàm số y   x  x nghịch biến � Chọn A Ví dụ Cho hàm y  x  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (5;+∞) B Hàm số đồng biến khoảng (3;-∞) C Hàm số đồng biến khoảng (-2;1) D Hàm số nghịch biến khoảng (-2;3) Hướng dẫn giải Tập xác định D  (�;1] �[5; �) � Ta có y  x3  0, x �(5; �) x  6x  Vậy hàm số đồng biến khoảng (5; +∞) Chọn A Ví dụ Hàm số y  x  đồng biến khoảng đây? x A  0; � B  2;  C  2;0  D  2; � Hướng dẫn giải Tập xác định D  �\ {0} x2  x2  � � y  �  � x  �2 x2 x2 Bảng biến thiên Ta có y � Trang Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến (�; 2) (2; �) Chọn D Ví dụ Cho hàm số f ( x )    x  2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến � B Hàm số đồng biến (-∞;0) C Hàm số nghịch biến (-∞;0) D Hàm số nghịch biến � Hướng dẫn giải Tập xác định D  � Đạo hàm f �( x)  2019 �   x2  Vì 2019 �   x2  2018 2015 �   x   2019 �  x  � 2018 � ( 2 x) �0, x �� nên dấu đạo hàm dấu với   x  x0 � � Ta có f ( x)  � � x  �1 � Ta có bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến (-2;0) Chú ý : Dấu hiệu mở rộng kết luận khoảng đồng biến  �;0  Chọn B Ví dụ Cho hàm số f ( x)  x  x  x  cos x Với hai số thực a, b cho a < b Khẳng định sau đúng? A f (a )  f (b) B f (a)  f (b) C f (a)  f (b) D f (a) �f (b) Hướng dẫn giải Tập xác định D  � � 2 Ta có f ( x)  3x  x   sin x   x  x  1  (7  sin x)  0, x �� Suy f  x  đồng biến � Do a < b = f(a)< f(b) Chọn C Ví dụ Hàm số y  x  x  đồng biến khoảng đây? A (�; 1) Hướng dẫn giải Tập xác định D  � B ( 1;3) C (1; �) D (3; �) Trang Ta có y  x  x   x  x  3 � y  � (2 x  2)  x  x  3 x  x  3 y � � x   � x  1; y �không xác định x  1; x  Ta có bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng (-1;1) (3;+∞) Chú ý: - Vì | f ( x) | � -Đạo hàm y  f ( x) nên xét tính đơn điệu hàm số y  f ( x) để suy kết f �( x) f ( x) f ( x) Chọn D Bài tốn Xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  cho hàm số y  f '  x  ► Phương pháp giải Thực theo ba bước sau: Bước Tìm giá trị x mà f '  x   hoặcnhững giá trị làm cho f '  x  không xác định Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y  f  x  (chọn đáp án) Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm � f �( x)  x ( x  1) Hàm số cho đồng biến khoảng A  1; � B ( �; 0);(1; �) C  0;1 D  �;1 Hướng dẫn giải x0 � � Ta có f ( x )  � x ( x  1)  � � x 1 � Ta có bảng xét dấu tiếp Vậy hàm số đồng biến khoảng  1; � Chọn A ►Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm f �( x)  ( x  1) ( x  1)3 (2  x) Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng nào, khoảng đây? A  1;1 B  1;  C  �; 1 D  2; � Hướng dẫn giải x2 � � Ta có f ( x )  � � x  �1 � Trang Bảng xét dấu Hàm số f  x  đồng biến khoảng (1;2) Chọn B Ví dụ Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng (0; 3) có tính chất f ( x) �0, x �(0;3) f ( x)  0, x �(1; 2) � � Tìm khẳng định khẳng định sau A Hàm số f  x  đồng biến khoảng (0;2) B Hàm số f  x  không đổi khoảng (1;2) C Hàm số f  x  đồng biến khoảng (1;3) D Hàm số f  x  đồng biến khoảng (0;3) Hướng dẫn giải Vì f �( x)  0, x �(1; 2) nên f  x  hàm khoảng (1;2) Trên khoảng (0;2),(1;3),(0;3) hàm số y  f  x  thỏa f '  x   f �( x )  0, x �(1; 2) nên f  x  không đồng f  x  biến khoảng Chọn B Bài tốn Xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  cho bảng biến thiên đồ thị ► Phương pháp giải Khi cho bảng biến thiên: - Trên khoảng (a;b) f '  x  mang dấu + (dương) sau: ta kết luận đồng biến (a; b) - Trên khoảng (c; d) f  x  mang dấu - (âm) ta kết luận f  x  nghịch biến (c;d) Khi cho đồ thị: - Hàm số f  x  đồng biến (a;b) hàm số có đồ thị đường lên từ trái sang phải (a; b) - Hàm số f  x  nghịch biến (a;b) hàm số có đồ thị đường xuống từ trái sang phải (a;b) - Trong trường hợp: Hàm số f  x  hàm (không đổi) (a;b) hàm số có đồ thị đường song song trùng với trục Ox (a;b) Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng đây? A (�; 0) B (0; 2) C  2;  D  2; � Hướng dẫn giải Dựa vào bảng biến thiên, ta có y � 0, x �(0; 2) � hàm số đồng biến (0;2) Trang Chọn B ► Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau Hỏi bảng biến thiên bảng biến thiên hàm số hàm số đây? A y   x  x  12 x B y  x3  x  12 x C y   x  x  x Hướng dẫn giải Xét hàm số y   x  x  12 x D y   x  x  y � 3x  12 x  12  3( x  2) �0, x �� thỏa mãn Xét hàm số y  x3  x  12 x y � 3x  12 x  12  3( x  2) �0, x �� , không thoả mãn Xét hàm số y   x3  x  x � x y  3x  8x  4, y  � � không thoả mãn � x2 � � � Xét hàm số y   x  x  y �� 2 x  4, y �� � x  nghiệm Hàm số đồng biến (-∞;2), nghịch biến (2;+∞) khơng thoả mãn Chọn A Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? A  2;  B  0;  C  1;1 D  1;  Hướng dẫn giải - Xét đáp án A, khoảng  1;1 � 2;  đồ thị hướng xuống hay hàm nghịch biến khoảng - Xét đáp án B, khoảng  0;1 � 0;  đồ thị có đoạn hướng xuống hay hàm số nghịch biến - Xét đáp án C, khoảng (-1;1) đồ thị có hướng xuống hay hàm số nghịch biến khoảng - Xét đáp án D, khoảng (1;2) đồ thị có hướng lên hay hàm số đồng biến khoảng nên chọn Chọn D ax  b Ví dụ Cho hàm số y  có đồ thị hình vẽ cx  d Trang Khẳng định A Hàm số đồng biến �\  1 B Hàm số đồng biến khoảng (-2;2) C Hàm số nghịch biến khoảng (-1;+∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng (-1;+ ∞) Hướng dẫn giải Nhìn vào thị cho, ta có khoảng (-1;+∞) đồ thị hàm số lên (theo chiều từ trái qua phải) nên hàm số đồng biến khoảng (-1;+∞) Chú ý: Kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng không viết dạng �\  1 Chọn D ► Bài tập tự luyện dạng Câu : Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm (a,b) Phát biểu đúng? A Hàm số y  f  x  đồng biến (a, b) f �( x) �0, x �( a; b) B Hàm số y  f  x  đồng biến (a;b) f �( x)  0, x �( a, b) C Hàm số y  f  x  đồng biến (a;b) f �( x) �0, x �( a; b) D Hàm số y  f  x  đồng biến (a;b) f �( x) �0, x �( a; b) f '  x   hữu hạn giá trị Câu 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm khoảng (a;b) Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu f '  x   với x thuộc (a;b) hàm số f  x  nghịch biến (a,b) B Nếu hàm số f  x  đồng biến (a,b) f  x   với x thuộc (a;b) C Nếu hàm số f  x  đồng biến (a;b) f '  x   với x thuộc (a;b) D Nếu f '  x   với x thuộc (a;b) hàm số f  x  đồng biến (a;b) Câu : Cho hàm số f  x  đồng biến tập số thực � , mệnh đề sau đúng? A Với x1  x2 ��� f  x1   f  x2  B Với x1 , x2 ��� f  x1   f  x2  C Với x1 , x2 ��� f  x1   f  x2  D Với x1  x2 ��� f  x1   f  x2  Câu : Phát biểu sau đúng? A Nếu f �( x) �0, x �(a; b) hàm số y  f  x  đồng biến (a,b) B Nếu f �( x)  0, x �(a; b) hàm số y  f  x  đồng biến (a;b) Trang 10 x  1 � f '( x)  � � x2 � f �'( x) �1 � 1 �x �2 Ví dụ Cho hai hàm số f  x  g  x  có đồ thị hình vẽ Biết hai hàm số f  x  1 g  ax  b  có khoảng nghịch biến ( m; n), m, n �� Khi giá trị biểu thức (4 a+b) A B 2 Hướng dẫn giải - Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng (1;3) C 4 D Hàm số y  f  x  1 có y � f �(2 x  1) Với y � � f �(2 x  1)  � f �(2 x  1)  �  x   �  x  Vậy hàm số y=f(2 x-1) nghịch biến khoảng (1; 2) - Hàm số y  g  ax  b  có đạo hàm y � ag �(ax  b) � b � x   � � ax  b  a y � ag �(ax  b)  � � �� ax  b  2b � � x � � a � � b 2b �Nếu a  �   a a b ��2  b � � ; ; ��(không thỏa mãn) Hàm số nghịch biến khoảng ��;  �� a �� a � � b 2b �Nếu a  �   a a �2  b b � ; � Hàm số nghịch biến khoảng � a� �a �2  b �2  �  1 � a  2 � �a �a �� �� Do hàm số có khoảng nghịch biến là(1; 2) nên � b4 � � b  �b  2 �a �a Vậy  4a  b  4 Chọn C > Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục R , dấu đạo hàm cho bảng Hàm số y  f  x   nghịch biến khoảng nào? Trang 38 A (-1,1) B (2; �) C (1; 2) D (�; 1) Câu 2: Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số y  2 f  x   2019 nghịch biến khoảng khoảng đây? A (-4 ; 2) B (-1 ; 2) C (-2 ;-1) D (2 ; 4) Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục R có bảng biến thiên sau Hàm số y  f  x  x  nghịch biến khoảng đây? A (�; 0) B (0 ; 1) C (2; �) D (1 ; 2) Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục R bảng biến thiên y  f �( x) sau Hàm số g  x   f  x   3x đồng biến khoảng nào? A (2 ; 2018) B (-2019; -2) C (1; 2) D (-1 ; 1) Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau Đặt y  g ( x)  f ( x)  x  x Khẳng định đúng? A Hàm số y = g(x) đồng biến khoảng ( �;1) B Hàm số y = g(x) đồng biến khoảng (1; 2) C Hàm số y = g(x) đồng biến khoảng (0;1) Trang 39 D Hàm số y = g(x) nghịch biến khoảng ( 2;1) Câu 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục R có bảng xét dấu đạo hàm sau Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g(x) = f(x+m) đồng biến khoảng (0; 2) ? A B C D Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm R có bảng xét dấu sau Có giá trị nguyên m thuộc (0 ; 2020) để hàm số g ( x)  f  x  x  m  nghịch biến khoảng (1; 0) ? A 2017 B 2018 C 2016 D 2015 Câu 8: Cho hàm số y = f(x) bậc ba có đồ thị hình vẽ Hàm số f  x   nghịch biến khoảng (   ;   Khi giá trị lớn A    B C D Câu 9: Cho hàm số y  f ( x)  ax  bx  cx  d có đồ thị Đặt g ( x)  f ( x  x  2) Chọn khẳng định khẳng định sau? A g  x  nghịch biến khoảng (0; 2) B g  x  đồng biến khoảng (-1; 0) �1 � C g  x  nghịch biến khoảng � ; � D g  x  đồng biến khoảng (- �; -1) �2 � Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình Hàm số y  2019 f  x  đồng biến khoảng Trang 40 A (1; 2) B (2; 3) C (-1; 0) D (-1; 1) Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f  x  x  m  nghịch biến (0; 1) A B C D Câu 12: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R có đồ thị hàm f �( x ) hình vẽ Hàm số g ( x)  f  x  x  đồng biến khoảng nào? �1 � A � ;1� �2 � B (1 ; 2) � 1� 1, � C � � 2� D (�, 1) C (1; 3) D (0 ; 1) Câu 13: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f �( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y  f   x  nghịch biến khoảng đây? A ( 3; �) B ( 3; 1) Câu 14: Cho hàm số y  f  x  liên tục R Biết hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y  f  x   đồng biến khoảng khoảng sau đây? Trang 41 A (�; 3) B (-5 ;-2) �1 � C � ; � �2 � D (2; �) Câu 15: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm R Biết đồ thị hàm số y  f �( x) hình vẽ Gọi S tập giá trị nguyên tham số m thoả mãn m �(2019; 2019) cho hàm số g  x   f  x  m  đồng biến khoảng (-2 ; 0) Số phần tử tập S A 2017 B 2019 C 2015 D 2021 Câu 16: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm R hình bên đồ thị đạo hàm y  f �( x ) Hàm số g ( x )  2 f (2  x)  x nghịch biến khoảng A (-3; -2) B (-2; -1) C (-1; 0) D (0; 2) Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f �( x ) hình vẽ Hàm số y  f (1  x)  nghịch biến khoảng Trang 42 x2 x � 3� 1; � A � � 2� B (-2; 0) C (-3; 1) D (1; 3) Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm R thoả f    f  2  đồ thị hàm số y  f �( x) có dạng hình bên Hàm số y  ( f ( x )) nghịch biến khoảng khoảng sau? � 3� A �1; � � 2� B (-1; 1) C (2; 5) D (5; +�) Câu 19: Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f �( x ) hình bên f  2   f    Hàm số g ( x)  [ f (3  x )]2 nghịch biến khoảng khoảng sau? A (-2 ; 2) B (1, 2) C (2 ; 5) D (5 ; �) Câu 20: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y  f �(2  x) hình vẽ bên Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng sau đây? A (-2 ; 4) B (-1, 3) C (-2 ; 1) D (0 ; 1) Trang 43 Câu 21: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y  f �(3x  5) hình vẽ Hàm số y  f  x  nghịch khoảng nào? 4 ; ) B (- , +�) C ( D (-8 ; 10) 3 Câu 22: Cho hàm số y  f  x  hàm số f �( x)  x3  ax  bx  c (a, b, c �R ) có đồ thị hình vẽ Hàm số A (-�; 8) g ( x )  f  f �( x )  nghịch biến khoảng đây? A (1 ; +�) B (-�, -2) C (-1; 0) Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f �( x) hình vẽ D (- 3 ; ) 3 Hỏi hàm số g ( x)  f ( x  1)  f (2  x)  x  x  đồng biến khoảng cho đây? A (-�; 0) B (0, 3) C (1; 2) D (3 ; +�) Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f �( x ) hình vẽ bên Các giá trị m để hàm số y  f  x    m  1 x đồng biến khoảng (0 ; 3) Trang 44 B m �4 C m �4 D 0>m>4 Câu 25: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục R đồ thị hàm số y  f �( x ) hình vẽ A m>4 Đặt g ( x )  f ( x  m)  ( x  m  1)  2019 với m tham số thực Gọi S tập giá trị nguyên dươngcủa m để hàm số y  g  x  đồng biến khoảng (5; 6) Tổng phần tử S A B 11 C 14 1-C 2-B 3-B 4-A ĐÁP ÁN 5-B 6-A 11-B 12-C 13-C 14-C 15-C 21-A 22-B 23-C 24-C 25-C 16-C D 20 7-C 8-D 9-C 10-A 17-B 18-D 19-C 20-D Dạng Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình Bài tốn Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình > Phương pháp giải Cho hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến) tập D , ta có Trang 45 Với u , v �D mà f (u )  f (v ) � u  v Nhận xét: f ( x)  f  x0  � x  x0 Do phương trình f(x) = có nhiều nghiệm Ví dụ: Giải phương trình x3  x  (3x  1) 3x  Hướng dẫn giải Điều kiện x � Ta có x3  x  (3x  1) x  Xét hàm số f (t )  t  t , t �0 Ta có f �(t )  3t   0, t �0  hàm số f(t) đồng biến [0; �) Do f ( x)  f ( 3x  2) � x  x  � �x  �x � �� �� �x  � �x  3x   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x =1 > Ví dụ mẫu Ví dụ Biết phương trình 27 x3  23x   26 x  có nghiệm thực dương x  số nguyên tố Khẳng định A (a+d) = b+c+1 B (a+d) = b+c-1 C 5(a+d) = b+c-1 a c với b, c, d  b d D 5(a+d) = b+c+1 Hướng dẫn giải Phương trình 27 x3  23x   26 x  � (3 x)3  x  (26 x  1)  26 x  (1) Xét hàm số f (t )  t  t � f �(t )  3t   0, t �� Hàm số đồng biến R Phương trình (1): f (3x)  f ( 26 x  1) � 3x  26 x  � 27 x  26 x   x  1  � 1 23 � � �x  nghiệm có dạng cho 1 23 � x � � � � a  1, b  2, c  23, d  � 6(a  d )  b  c  Chọn B Ví dụ Biết phương trình x  12 x  10 x   (10 x  1) 10 x  có nghiệm thực dương a b với a, b, c �N a, c số nguyên tố Khẳng định c A 2(a+c) = b+3 B 4(a+c) = b-3 C 2(a+c) = b-3 D 4(a+c) = b+3 Hướng dẫn giải Nhận xét: x - Vế trái đa thức bậc ba, vế phải chứa bậc hai nên ta biến đổi để xuất ( 10 x  1)3 Ta có (10 x  1) 10 x   [(10 x  1)  2] 10 x   ( 10 x  1)3  10 x  Trang 46 Khi phương trình có dạng (ax  b)3  2(ax  b)  ( 10 x  1)3  10 x  Điều kiện x � 10 Phương trình cho  � (2 x  1)3  2(2 x  1)  ( 10 x  1)  10 x  1(1) Xét hàm số f (t )  t  2t � f �(t )  3t   0, t ��  Hàm số đồng biến R Phương trình x  �0 � 1) � f (2 x  1)  f ( 10 x  1) � x   10 x  � � (2 x  1)  10 x  � �  41 �x � �� � x � x2  x   � � a  7, b  41, c  � 4( a  c)  b  Chọn D x 1  a b  , có nghiệm thực x  với a, b, c �� c 2x   x  c số nguyên tố Khẳng định A 2ac = b+1 B ac = b-2 C 2ac = b-1 D ac = b+2 Hướng dẫn giải �x �13 Điều kiện � �x �1 Ví dụ Biết phương trình Phương trình cho � ( x  2) x   2( x  2)  x   � ( x  1)3  x   ( 2 x  1)  x  � f ( x  1)  f ( x  1) (1) với f (t )  t  t Xét hàm số f (t )  t  t , có f �(t )  3t   0, t ��� hàm số đồng biến R � � 1 x  �0 � �x � �� Do (1) � x   x  � � ( x  1)6  ( 2 x  1) � � �x  x  x  � x0 � 1 � � �x � a  1, b  5, c  � 2ac  b  1  � x � Chọn C Bài tốn Ứng dụng tính đơn điệu vào giải bất phương trình > Phương pháp giải Cho hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến) tập D , ta có �Với u, v γ D : f (u )  D : f (u ) �Với u, v Σ f (v) ۳ u v f (v)  u v Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có f �( x )  , x ��.Tìm tất giá trị tham số m để f  m  2m   f (3) Hướng dẫn giải Vì f ' ( x)  0, x �� nên hàm số cho đồng biến �� f  m  2m   f (3) Trang 47 m  2m  � m  m   � 3  m  Vậy m �(3;1) giá trị cần tìm thỏa mãn u cầu đề > Ví dụ mẫu �1 � Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có f �( x)  , x �� Tất giá trị thực x để f � � f (2) �x � � 1� �1 � � 1� � 1� 0; � �; � 0; � A x �� B x �(�;0) �� ; �� C x �� D x �(�; 0) �� � 2� �2 � � 2� � 2� Hướng dẫn giải Ta có f �( x )  0, x �� nên hàm số y = f(x) nghịch biến R 1 2x �1 � �1 �  � x �(�;0) �� ; �� Do y = f(x) f � � f (2) �  � x x �x � �2 � Chọn B x3  3x  x  16   x �2 có tập nghiệm [ ; b] Tổng a+b có giá Ví dụ Bất phương trình trị A -2 Hướng dẫn giải Điều kiện 2 �x �4 C B D Xét f ( x )  x3  3x  x  16   x đoạn [-2 ; 4] Có f ( x)  �  x  x  1 x  3x  x  16   0, x �( 2; 4), hàm số đồng biến [-2 ; 4] 4 x f (1)  ۳ x So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S  [1; 4] � a  b  Bất phương trình cho ۳ f ( x) Chọn C Bài toán Ứng dụng tính đơn điệu vào tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm > Phương pháp giải Nếu hàm số y  f  x  liên tục có D f ( x)  A, max D f ( x)  B phương trình f  x   g  m  có �A nghiệm thuộc tập hợp D ۣ g ( m) B Ví dụ: Cho hàm số f ( x )  x  x Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( f ( x ))  x  2m có nghiệm đoạn [1; 2] ? A B Hướng dẫn giải Hàm số f ( x)  x  x � f �( x)  x   0, x �� C D 10  Hàm số f ( x)  x  x đồng biến � x � [t , 2] f (1) f ( x ) f (2) f ( x ) 10 Ta có ��� Bài Tính đơn điệu hàm số Xét phương trình f ( f ( x ))  x  2m � [ f ( x)]2  f ( x)  x  m � [ f ( x)]3  x  2m � (1) Xét x �[t , 2]; 23  13 �[ f ( x)]2  x �103  23 Trang 48 ۣ ۣ �9 [ f ( x)]3 x3 1008 Phương trình cho có nghiệm  (1) Có nghiệm ۣ �ۣ 2m 1008 24 � m �{4;5;6;7;8;9} 2m 210 Chọn B >Ví dụ mẫu Ví dụ Cho f ( x)  x  x  m Tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm đoạn  1, 4 A B Hướng dẫn giải t  f ( x) � � f (t )  t  f ( x)  x Đặt t  f ( x) � � �f (t )  x C 21 D 22 (1) Xét hàm số g (u )  f (u )  u  u  2u  m có g �(u )  3u   0, u �� Do (1) � t  x � f ( x)  x � x3  2m (2) Phương trình f(f(x)) = x có nghiệm ��� ۣ 13 2n đoạn [1; 4] (2) có nghiệm đoạn [1; 4] 43 m {0; t ; 2;3; 4;5;6} Tổng giá trị (1+2+3+4+5+6)=21 Chọn C Ví dụ Cho hàm số f ( x )  x  3x  4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( f ( x)  m )  x  m có nghiệm đoạn [1; 2]? A 15 Hướng dẫn giải Đặt t  C 17 B 16 f ( x )  m � f ( x)  t  m , kết hợp với D 18 phương trình ta có hệ phươngtrình �f (t )  x  m � f (t )  t  f ( x)  x (1) � �f ( x)  t  m Xét hàm số g (u )  f (u )  u  u  4u  4m � g �(u )  5u  12u  0, u �[1, 2] � Hàm số đồng biến đoạn [1; 2] Do (1) � t  x � f ( x)  x  m � x  x  3m (2) Với x Σ[1,�2],3 x x3 48 �� 3m 48 Phương trình (2) có nghiệm đoạn [1; 2] ۣ Chọn B m 16 Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m  m  2sin x  sin x có nghiệm thực? A Hướng dẫn giải Điều kiện sin x �0 Ta có B C D m  m  2sin x  sin x � m  m  2sin x  sin x � m  2sin x  m  2sin x  sin x  2sin x (1) Xét hàm số f (t )  t  2t f �(t )  2t   0, t �0 � Hàm số f(t) đồng biến [0; �) Trang 49 Phương trình (1) � f ( m  2sin x )  f (sin x) � m  2sin x  sin x � sin x  2sin x  m Đặt sin x  t � t �[0;1] Phương trình cho có nghiệm phương trình t  2t  m có nghiệm [0; 1] Xét hàm số g (t )  t  2t , t �[0;1] Ta có g �(t )  2t  2; g �(t )  � t  Suy (a ; b) max[0;1] g (t )  0; min[0;1] g (t )  1 Do phương trình có nghiệm 1 �m �0 Mà m �Z nên m=0 ; m=-1 Chọn D Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục R , có đồ thị hình vẽ Có giá trị tham số m để phương trình A Hướng dẫn giải 9m3  m f ( x)  B 2 C  f ( x)  có nghiệm thực phân biệt? D Phương trình � 27m3  3m   f ( x)   f ( x)  � (3m)3  3m  ( f ( x )  8)3  f ( x)  � g (3m)  g ( f ( x)  8) (1) Bài Tính đơn điệu hàm số Xét hàm số g (t )  t  t � g �(t )  3t   0, t �� nên hàm số đồng biến R Do � � 9m  � (2) �f ( x )  3m � � � (1) � f ( x)   3m � � 9m   � 2 f ( x )  � �f ( x )   9m  (3) � � � Dựa vào hình vẽ phương trình (3) vơ nghiệm (vì f ( x)  0, x) Do để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt (2) có ba nghiệm phân biệt hay � 9m  � 35 3 � � m � �� � � 11 � 9m   m � � � Chọn B > Bài tập tự luyện dạng Trang 50 Câu 1: Biết nghiệm nhỏ phương trình x  x  x   3 a c a a, b, c ��2  , tối giản Giá trị biểu thức S  a  b3  c  b b A S  2428 B S  2432 C S  2418 16 x  x  có dạng x0  D S  2453 Câu 2: Số nghiệm thực phương trình 3(2 x  3) 3x   x  x  x  A D C B x2 2 a b  có nghiệm dạng x   với a, c �� b số c 2x   x  nguyên tố Tổng P=a+b+c A B C D Câu 3: Biết phương trình Câu 4: Biết phương trình (2 x  1)(2  x  x  4)  3x(2  x  3)  có nghiệm a Khi A 1