chuyên đề Toán 12 đầy đủ các chủ đề phân dạng, phương pháp giải, bài tập trắc nghiệm có đáp án cực hay.chuyên đề Toán 12 đầy đủ các chủ đề phân dạng, phương pháp giải, bài tập trắc nghiệm có đáp án cực hay.chuyên đề Toán 12 đầy đủ các chủ đề phân dạng, phương pháp giải, bài tập trắc nghiệm có đáp án cực hay.
CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Mục tiêu Kiến thức + Biết, hiểu cơng thức, quy tắc tính đạo hàm + Nắm vững tính đơn điệu hàm số + Thấy mối liên hệ biến thiên hàm số thơng qua đạo hàm + Biết quy tắc xét dấu học lớp 10 + Nhận biết mối liên hệ hàm số biết bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) biết bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , đồ thị hàm số y = f ( x ) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Kĩ + Biết áp dụng công thức, quy tắc tính đạo hàm vào hàm số + Nhận diện bảng biến thiên, đồ thị hàm số đơn điệu khoảng cụ thể + Vẽ bảng biến thiên, đồ thị hàm số bản, hàm chứa trị tuyệt đối + Vận dụng tính chất hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, hàm hữu tỷ vào giải nhanh tốn trắc nghiệm + Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ± h ( x ) ) biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y = f ( x ) ( y = f ′ ( x ) ) I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn vẽ nửa khoảng) K Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K ∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Dựa vào đồ thị ta thấy Hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) Ta có bảng xét dấu Trang ∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) sau: x −∞ + y′ +∞ 1 − + Ta thấy Hàm Định lí thuận Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến số đồng biến khoảng 1 −∞; ÷; ( 1; +∞ ) 3 1 Hàm số nghịch biến khoảng ;1÷ 3 Ví dụ 3: Cho hàm số g ( x ) = x − x + khoảng K a = > Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến Hàm số có ∆ = ( −5 ) − 4.2.6 = −23 < khoảng K ⇒ g ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K hàm số khơng đổi Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”: khoảng K f ′ ( x ) ≤ ∀x ∈ K dấu “=” hữu hạn điểm Định lí đảo K hàm số nghịch biến K Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K Lưu ý: - Hàm số f ( x ) đồng biến K đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải - Hàm số f ( x ) nghịch biến K đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải Xét dấu tam thức bậc hai g ( x ) = ax + bx + c Trang ( a ≠ 0) g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ g ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ g ( x ) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ { { { { a>0 ; ∆≤0 a>0 ; ∆ 0, ∀x ∈ ( 5; +∞ ) Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) Chọn A Ví dụ Hàm số y = x + đồng biến khoảng đây? x A ( 0; +∞ ) B ( −2; ) C ( −2;0 ) D ( 2; +∞ ) Hướng dẫn giải Tập xác định D = ¡ \ { 0} Ta có y ′ = x2 − x2 − ′ ⇒ y = ⇔ = ⇔ x = ±2 x2 x2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến ( −∞; −2 ) ( 2; +∞ ) Trang Chọn D. Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = ( − x ) 2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến ¡ B Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) C Hàm số nghịch biến ( −∞;0 ) D Hàm số nghịch biến ¡ Hướng dẫn giải Tập xác định D = ¡ Đạo hàm f ′ ( x ) = 2019 ( − x ) Vì 2019 ( − x ) 2018 2018 ( − x ) ′ = 2019 ( − x ) 2018 ( −2 x ) ≥ , ∀x ∈ ¡ nên dấu đạo hàm dấu với ( − x ) x = Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x = ±1 Ta có bảng biến thiên x f ′( x) −∞ + −1 f ( x) + 0 − − +∞ 0 −∞ −∞ Vậy hàm số đồng biến ( −∞;0 ) Chọn B Chú ý: Dấu hiệu mở rộng kết luận khoảng đồng biến ( −∞;0 ) Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = x + x + x + cos x Với hai số thực a, b cho a < b Khẳng định sau đúng? A f ( a ) = f ( b ) B f ( a ) > f ( b ) C f ( a ) < f ( b ) D f ( a ) ≥ f ( b ) Hướng dẫn giải Tập xác định D = ¡ 2 Ta có f ′ ( x ) = x + x + − sin x = ( x + x + 1) + ( − sin x ) > 0, ∀x ∈ ¡ Suy f ( x ) đồng biến ¡ Do a < b ⇒ f ( a ) < f ( b ) Chọn C Trang Ví dụ Hàm số y = x − x − đồng biến khoảng đây? A ( −∞; −1) B ( −1;3) C ( 1; +∞ ) D ( 3; +∞ ) Hướng dẫn giải Tập xác định D = ¡ Ta có y = x − x − = (x − x − 3) ⇒ y ′ = 2 ( x − ) ( x − x − 3) (x − x − 3) y ′ = ⇔ x − = ⇔ x = ; y ′ không xác định x = −1; x = Ta có bảng biến thiên −∞ x y′ y −1 − + +∞ − +∞ + +∞ Hàm số đồng biến khoảng ( −1;1) ( 3; +∞ ) Chọn D Chú ý: - Vì f ( x ) = - Đạo hàm y ′ = f ( x ) nên xét tính đơn điệu hàm số y = f ′( x) f ( x) f ( x) f ( x ) để suy kết Bài tốn Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) cho hàm số y = f ′ ( x ) Phương pháp giải Thực theo ba bước sau: Bước Tìm giá trị x mà f ′ ( x ) = giá trị làm cho f ′ ( x ) không xác định Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ f ′ ( x ) = x ( x − 1) Hàm số cho đồng biến khoảng Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp A ( 1; +∞ ) B ( −∞;0 ) ; ( 1; +∞ ) đạo hàm C ( 0;1) D ( −∞;1) Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) (chọn đáp án) Hướng dẫn giải x = Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x ( x − 1) = ⇔ x =1 Ta có bảng xét dấu x f ′( x) −∞ − 0 − + +∞ Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) Chọn A Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( − x ) Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng nào, khoảng đây? A ( −1;1) B ( 1; ) C ( −∞; −1) D ( 2; +∞ ) Hướng dẫn giải x = Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x = ±1 Bảng xét dấu x f ′( x) −∞ −1 − − + +∞ − Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 1; ) Chọn B Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( 0;3) có tính chất f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3) f ′ ( x ) = , ∀x ∈ ( 1; ) Tìm khẳng định khẳng định sau A Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) B Hàm số f ( x ) không đổi khoảng ( 1; ) C Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 1;3) D Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0;3) Hướng dẫn giải Vì f ′ ( x ) = , ∀x ∈ ( 1; ) nên f ( x ) hàm khoảng ( 1; ) Trên khoảng ( 0; ) , ( 1;3) , ( 0;3 ) hàm số y = f ( x ) thỏa f ( x ) ≥ f ′ ( x ) = , ∀x ∈ ( 1; ) nên f ( x ) không đồng biến khoảng Chọn B Bài toán Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) cho bảng biến thiên đồ thị Phương pháp giải Khi cho bảng biến thiên: - Trên khoảng ( a; b ) f ′ ( x ) mang dấu + (dương) ta kết luận f ( x ) đồng biến ( a; b ) - Trên khoảng ( c; d ) f ′ ( x ) mang dấu − (âm): ta kết luận f ( x ) nghịch biến ( c; d ) Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x y′ y −∞ −∞ + −2 − −1 + − +∞ −∞ Trang Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng Khi cho đồ thị: - Hàm số f ( x ) đồng biến ( a; b ) hàm số có đây? đồ thị đường lên từ trái sang phải ( a; b ) A ( −∞;0 ) - Hàm số f ( x ) nghịch biến ( a; b ) hàm số C ( −2;0 ) B ( 0; ) D ( 2; +∞ ) Hướng dẫn giải có đồ thị đường xuống từ trái sang phải Dựa vào bảng biến thiên, ta có y ′ > 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇒ ( a; b ) - Trong trường hợp: Hàm số f ( x ) hàm hàm số đồng biến ( 0; ) (không đổi) ( a; b ) hàm số có đồ thị Chọn B đường song song trùng với trục Ox ( a; b ) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau x y′ y −∞ +∞ − − +∞ f ( 2) −∞ Hỏi bảng biến thiên bảng biến thiên hàm số hàm số đây? A y = − x + x − 12 x B y = x − x + 12 x C y = − x + x − x D y = − x + x − Hướng dẫn giải Xét hàm số y = − x + x − 12 x y ′ = −3 x + 12 x − 12 = −3 ( x − ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ , thỏa mãn Xét hàm số y = x − x + 12 x y ′ = x − 12 x + 12 = ( x − ) ≥ , ∀x ∈ ¡ , không thoả mãn Xét hàm số y = − x + x − x x= ′ ′ y = −3 x + x − 4, y = ⇔ không thoả mãn x = Xét hàm số y = − x + x − y ′ = −2 x + 4, y ′ = ⇔ x = nghiệm Trang 10 Có giá trị nguyên m thuộc ( 0; 2020 ) để hàm số g ( x ) = f ( x − x + m ) nghịch biến khoảng ( −1;0 ) ? A 2017 B 2018 C 2016 D 2015 Câu 8: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số f ( 3x − ) nghịch biến khoảng ( α; β ) Khi giá trị lớn β − α A B C D Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị Đặt g ( x ) = f ( x2 + x + 2 ) Chọn khẳng định khẳng định sau? A g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) B g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 ) C g ( x ) nghịch biến khoảng − ;0 ÷ D g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình Hàm số y = −2019 f ( x ) đồng biến khoảng A ( 1; ) B ( 2;3) C ( −1;0 ) D ( −1;1) Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = f ( x + x + m ) nghịch biến ( 0;1) A B C Trang 46 D Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ có đồ thị hàm f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( x − x ) đồng biến khoảng nào? 1 A ;1÷ 2 B ( 1; ) 1 C −1; ÷ 2 D ( −∞; −1) Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f ( + x ) nghịch biến khoảng đây? ( 3; +∞ ) B ( − 3; −1) C ( 1; ) A D ( 0;1) Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f ( x − ) nghịch biến khoảng khoảng sau đây? A ( −∞; −3) B ( −5; −2 ) 1 3 C ; ÷ 2 2 D ( 2; +∞ ) Trang 47 Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ Biết đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Gọi S tập giá trị nguyên tham số m thoả mãn m ∈ ( −2019; 2019 ) cho hàm số g ( x ) = f ( x − m ) đồng biến khoảng ( −2;0 ) Số phần tử tập S A 2017 B 2019 C 2015 D 2021 Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ hình bên đồ thị đạo hàm y = f ′ ( x ) Hàm số g ( x ) = −2 f ( − x ) + x nghịch biến khoảng A ( −3; −2 ) B ( −2; −1) C ( −1;0 ) D ( 0; ) Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = f ( − x ) + x2 −x nghịch biến khoảng 3 A −1; ÷ 2 B ( −2;0 ) Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) C ( −3;1) có đạo hàm ¡ D ( 1;3) thoả f ( −2 ) = f ( ) = đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có dạng hình bên Hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến khoảng khoảng sau? Trang 48 3 A −1; ÷ 2 B ( −1;1) C ( −2; −1) D ( 1; ) Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên f ( ) = f ( −2 ) = Hàm số g ( x ) = f ( − x ) nghịch biến khoảng khoảng sau? A ( −2; ) B ( 1; ) C ( 2;5 ) D ( 5; +∞ ) Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( − x ) hình vẽ bên Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng sau đây? A ( −2; ) B ( −1;3) C ( −2;1) D ( 0;1) Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x + ) hình vẽ Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng nào? A ( −∞;8 ) B − ; +∞ ÷ −4 C ; ÷ 3 Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d D ( −8;10 ) ( a , b, c , d ∈ ¡ ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( f ′ ( x ) ) nghịch biến khoảng đây? Trang 49 A ( 1; +∞ ) B ( −∞; −2 ) C ( −1;0 ) 3 ; D − ÷ ÷ 3 Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x + 1) + f ( − x ) − x + x − đồng biến khoảng cho đây? A ( −∞;0 ) B ( 0;3) C ( 1; ) D ( 3; +∞ ) Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Các giá trị m để hàm số y = f ( x ) + ( m − 1) x đồng biến khoảng ( 0;3) A m > B m ≤ C m ≥ D < m < Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Trang 50 Đặt g ( x ) = f ( x − m ) − ( x − m − 1) + 2019 với m tham số thực Gọi S tập giá trị nguyên dương m để hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( 5;6 ) Tổng phần tử S A B 11 C 14 D 20 Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình Bài tốn Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình Phương pháp giải Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đồng biến (hoặc Ví dụ: Giải phương trình nghịch biến) tập D, ta có x + x = ( 3x − 1) x − Với u , v ∈ D mà f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v Hướng dẫn giải Nhận xét: f ( x ) = f ( x0 ) ⇔ x = x0 Do phương Điều kiện x ≥ trình f ( x ) = có nhiều nghiệm 3 Ta có x + x = ( x − 1) x − ⇔ x3 + x = ( ) 3x − + 3x − Xét hàm số f ( t ) = t + t , t ≥ Ta có f ′ ( t ) = 3t + > , ∀t ≥ ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ ) Do f ( x ) = f ( ) 3x − ⇔ x = 3x − { x ≥ x=2 ⇔ ⇔ x =1 x − 3x + = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x =1 Ví dụ mẫu Trang 51 Ví dụ Biết phương trình 27 x3 − 23 x + = 26 x − có nghiệm thực dương x = a c với + b d b, c, d số nguyên tố Khẳng định A ( a + d ) = b + c + B ( a + d ) = b + c − C ( a + d ) = b + c − D ( a + d ) = b + c + Hướng dẫn giải Phương trình 27 x − 23 x + = 26 x − ⇔ ( 3x ) + x = ( 26 x − 1) + 26 x − (1) 3 Xét hàm số f ( t ) = t + t ⇒ f ′ ( t ) = 3t + > , ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số đồng biến ¡ Phương trình (1): f ( 3x ) = f ( ) 26 x − ⇔ x = 26 x − ⇔ 27 x − 26 x + = x = −1 < 1 23 ⇔ 1 23 ⇒ x = + nghiệm có dạng cho x = ± 6 ⇒ a = 1, b = 2, c = 23, d = ⇒ ( a + d ) = b + c −1 Chọn B Ví dụ Biết phương trình x − 12 x + 10 x − = ( 10 x + 1) 10 x − có nghiệm thực dương x= a+ b với a, b, c ∈ ¥ a, c số nguyên tố c Khẳng định A ( a + c ) = b + B ( a + c ) = b − C ( a + c ) = b − D ( a + c ) = b + Hướng dẫn giải Nhận xét: - Vế trái đa thức bậc ba, vế phải chứa bậc hai nên ta biến đổi để xuất ( 10 x + 1) 10 x − = ( 10 x − 1) + 10 x − = ( Điều kiện x ≥ ) 10 x − Ta có 10 x − + 10 x − Khi phương trình có dạng ( ax + b ) + ( ax + b ) = ) ( ( ) 10 x − + 10 x − 1 10 Trang 52 Phương trình cho ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = ( ) 10 x − + 10 x − (1) Xét hàm số f ( t ) = t + 2t ⇒ f ′ ( t ) = 3t + > , ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số đồng biến ¡ Phương trình ( 1) ⇔ f ( x − 1) = f ( 2 x − ≥ 10 x − ⇔ x − = 10 x − ⇔ ( x − 1) = 10 x − ) + 41 x ≥ ⇔ ⇔ x= 2 x − x + = ⇒ a = 7, b = 41, c = ⇒ ( a + c ) = b + Chọn D Ví dụ Biết phương trình x +1 − a+ b = , có nghiệm thực x = , với a, b, c ∈ ¥ c số 2x +1 − x + 2 nguyên tố Khẳng định A 2ac = b + B ac = b − C 2ac = b − D ac = b + Hướng dẫn giải Điều kiện { x ≠ 13 x ≥ −1 Phương trình cho ⇔ ( x + ) x + − ( x + ) = x + − ⇔ ( ) x +1 + x +1 = ( ) 2x + + 2x +1 ⇔ f ( ) x +1 = f ( ) x + (1) với f ( t ) = t + t Xét hàm số f ( t ) = t + t , có f ′ ( t ) = 3t + , ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số đồng biến ¡ Do ( 1) ⇔ 2 x + ≥ x +1 = 2x +1 ⇔ x + = ( ) ( 2x +1 ) −1 x ≥ ⇔ x3 − x − x = x = 1+ ⇔ ⇒ a = 1, b = 5, c = ⇒ 2ac = b − 1+ ⇔ x = x = Chọn C Bài tốn 2: Ứng dụng tính đơn điệy vào giải bất phương trình Phương pháp giải Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đồng biến (hoặc Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có nghịch biến) tập D , ta có f ′( x) > , ∀x ∈ ¡ Tìm tất giá trị tham số m để Trang 53 Với u , v ∈ D : f ( u ) ≥ f ( v ) ⇔ u ≥ v f ( m + 2m ) < f ( ) Với u , v ∈ D : f ( u ) ≤ f ( v ) ⇔ u ≤ v • Hướng dẫn giải Vì f ′ ( x ) > , ∀x ∈ ¡ Với u, nên hàm số cho đồng biến ¡ ⇒ f ( m + 2m ) < f ( 3) m + m < ⇔ m + 2m − < ⇔ −3 < m < Vậy m ∈ ( −3;1) giá trị cần tìm thỏa mãn u cầu đề Ví dụ mẫu 1 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) < , ∀x ∈ ¡ Tất giá trị thực x để f ÷ > f ( ) x 1 A x ∈ 0; ÷ 2 1 B x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ; +∞ ÷ 2 1 C x ∈ −∞; ÷ 2 1 D x ∈ ( −∞;0 ) ∪ 0; ÷ 2 Hướng dẫn giải Ta có f ′ ( x ) < , ∀x ∈ ¡ nên hàm số y = f ( x ) nghịch biến ¡ 1− 2x 1 1 < ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ; +∞ ÷ Do f ÷ > f ( ) ⇔ < ⇔ x x x 2 Chọn B Ví dụ Bất phương trình x + x + x + 16 − − x ≥ có tập nghiệm [ a; b ] Tổng a + b có giá trị A −2 C B D Hướng dẫn giải Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Xét f ( x ) = x + x + x + 16 − − x đoạn [ −2; 4] Có f ′ ( x ) = ( x + x + 1) x + 3x + x + 16 + , ∀x ∈ ( −2; ) , hàm số đồng biến [ −2; 4] 4− x Bất phương trình cho ⇔ f ( x ) ≥ f ( 1) = ⇔ x ≥ So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S = [ 1; 4] ⇒ a + b = Chọn C Dạng 2: Bài tốn ứng dụng tính đơn điệu vào tốn tìm điều kiện đề phương trình có nghỉệm Trang 54 Phương pháp giải f ( x) = A Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục có D = B phương trình , max D f ( x) = g ( m) Ví dụ: Cho hàm số f ( x ) = x + x Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có f ( f ( x ) ) = x + 2m có nghiệm đoạn [ 1; 2] ? nghiệm thuộc tập hợp D ⇔ A ≤ g ( m ) ≤ B A B C D 10 Hướng dẫn giải Hàm số f ( x ) = x + x ⇒ f ′ ( x ) = 3x + > , ∀x ∈ ¡ ⇒ Hàm số f ( x ) = x + x đồng biến ¡ Ta có ∀x ∈ [ 1; 2] ⇒ f ( 1) ≤ f ( x ) ≤ f ( ) ⇔ ≤ f ( x ) ≤ 10 Xét phương trình f ( f ( x ) ) = x + 2m ⇔ f ( x ) + f ( x ) = x + 2m ⇔ f ( x ) + x = 2m (1) Xét ∀x ∈ [ 1; 2] ; 23 + 13 ≤ f ( x ) + x ≤ 103 + 23 ⇔ ≤ f ( x ) + x ≤ 1008 Phương trình cho có nghiệm ⇔ ( 1) có nghiệm ⇔ ≤ 2m ≤ 1008 ⇒ 24 2m ≤ 210 ⇒ m ∈ { 4;5;6;7;8;9} Chọn B Ví dụ mẫu m Ví dụ Cho f ( x ) = x + x − Tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( f ( x ) ) = x có nghiệm đoạn [ 1; 4] A B C 21 D 22 Hướng dẫn giải t = f ( x ) ⇒ f ( t ) + t = f ( x ) + x (1) Đặt t = f ( x ) ⇒ f ( t) = x m Xét hàm số g ( u ) = f ( u ) + u = u + 2u − có g ′ ( u ) = 3u + > , ∀u ∈ ¡ Trang 55 m Do ( 1) ⇔ t = x ⇔ f ( x ) = x ⇔ x = (2) Phương trình f ( f ( x ) ) = x có nghiệm đoạn [ 1; 4] ⇔ ( ) có nghiệm đoạn [ 1; 4] ⇔ 13 ≤ 2m ≤ 43 ⇒ m ∈ { 0;1; 2;3; 4;5;6} Tổng giá trị ( + + + + + ) = 21 Chọn C Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = x + x − 4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x ) + m = x − m có nghiệm đoạn [ 1; 2] ? A 15 C 17 B 16 D 18 Hướng dẫn giải Đặt t = f ( x ) + m ⇒ f ( x ) = t − m , kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình f ( t ) = x3 − m ⇒ f ( t ) + t = f ( x ) + x (1) f ( x) = t − m Xét hàm số g ( u ) = f ( u ) + u = u + 4u − 4m ⇒ g ′ ( u ) = 5u + 12u > 0, ∀u ∈ [ 1; 2] ⇒ Hàm số đồng biến đoạn [ 1; 2] Do ( 1) ⇔ t = x ⇔ f ( x ) = x − m ⇔ x + x = 3m (2) Với x ∈ [ 1; 2] ,3 ≤ x + x ≤ 48 ⇒ Phương trình (2) có nghiệm đoạn [ 1; 2] ⇔ ≤ 3m ≤ 48 ⇔ ≤ m ≤ 16 Chọn B Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m + m + 2sin x = sin x có nghiệm thực? A C B D Hướng dẫn giải Điều kiện sin x ≥ Ta có m + m + 2sin x = sin x ⇔ m + m + 2sin x = sin x ⇔ m + 2sin x + m + 2sin x = sin x + 2sin x (1) Xét hàm số f ( t ) = t + 2t f ′ ( t ) = 2t + > 0, ∀t ≥ ⇒ Hàm số f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ ) Phương trình ( 1) ⇔ f ( ) m + 2sin x = f ( sin x ) ⇔ m + 2sin x = sin x ⇔ sin x − 2sin x = m Trang 56 Đặt sin x = t ⇒ t ∈ [ 0;1] Phương trình cho có nghiệm phương trình t − 2t = m có nghiệm [ 0;1] Xét hàm số g ( t ) = t − 2t , t ∈ [ 0;1] Ta có g ′ ( t ) = 2t − 2; g ′ ( t ) = ⇔ t = g ( t ) = 0; g ( t ) = −1 Suy max [ 0;1] [ 0;1] Do phương trình có nghiệm −1 ≤ m ≤ Mà m ∈ ¢ nên m = 0; m = −1 Chọn D Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ , có đồ thị hình vẽ Có giá trị tham số m để phương trình 9m3 + m 3f ( x) + = f ( x ) + có nghiệm thực phân biệt? A C B D Hướng dẫn giải Phương trình ⇔ 27 m3 + 3m = ( f ( x ) + ) f ( x ) + ⇔ ( 3m ) + 3m = ⇔ g ( 3m ) = g ( ( ) 3 f ( x) + + f ( x) + ) f ( x ) + (1) Xét hàm số g ( t ) = t + t ⇒ g ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số đồng biến ¡ 9m − 3m ≥ f ( x) = ( 2) ⇔ f x + = m ⇔ ⇔ ( ) Do ( ) 9m − 9m − f ( x ) = f x = − ( ) ( 3) Dựa vào hình vẽ phương trình (3) vơ nghiệm (vì f ( x ) > 0, ∀x ) Trang 57 Do để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt ⇔ ( ) có ba nghiệm phân biệt hay 9m − = m = ⇔ 9m − =1 m = 35 11 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Biết nghiệm nhỏ phương trình x − x + x + = 3 ( a , b, c ∈ ¥ * ) , 16 x + x + a− c có dạng x0 = b a tối giản Giá trị biểu thức S = a + b3 + c b A S = 2428 B S = 2432 C S = 2418 D S = 2453 Câu 2: Số nghiệm thực phương trình ( x − 3) x − = x − x + x − A B C D x+2 −2 a+ b = có nghiệm dạng x = > với a, c ∈ ¢ b số 2x + − x + c nguyên tố Tổng P = a + b + c Câu 3: Biết phương trình A B C ) ( D ) ( 2 Câu 4: Biết phương trình ( x + 1) + x + x + + x + x + = có nghiệm a Khi A < a < B < a < Câu 5: Bất phương trình C −2 < a < −1 D −1 < a < x − x + − x − x + 11 > − x − x − có tập nghiệm ( a; b ] Hiệu b − a có giá trị A B C ( ) D −1 Câu 6: Tập nghiệm bất phương trình ( x − 1) x − + x + ≤ x + có dạng [ a; b ] Tổng a + b A B C D Câu 7: Có số nguyên thuộc đoạn [ −2020; 2020] thỏa mãn bất phương trình ( x + ) ( x + ) A 4041 + + 1 + x ( ) x2 + + > ? B 2024 C 2026 D 2025 Câu 8: Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho phương trình ( x + 1) + − m = 3 x + m có hai nghiệm thực Tổng phần tử tập S A B C D Trang 58 3 2 Câu 9: Tập giá trị m để phương trình x + x − m x + ( − m ) x − 6mx + 10 = có hai 1 nghiệm phân biệt thuộc ; S = ( a; b ] Giá trị biểu thức T = 5a + 8b 2 A T = 18 B T = 43 C T = 30 D T = 31 Câu 10: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x + 6sin x − m3 sin x + ( 15 − 3m ) sin x − 6m sin x + 10 = vô nghiệm? A B C D Vơ số Câu 11: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 2019m + 2019m + x = x có nghiệm? A B C Vơ số Câu 12: Có giá trị âm tham số m để phương trình A B D C D m + 3 m + 3sin x = sin x có nghiệm? Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục R có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình f ( 6sin x + 8cos x ) = f ( m ( m + 1) ) có nghiệm x ∈ ¡ ? A B C D Câu 14: Cho phương trình sin x ( − cos x ) − ( 2cos x + m + 1) 2cos x + m + = 2cos x + m + Có 2π giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm x ∈ 0; A B C ÷? D Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Trang 59 Các giá trị tham số m để phương trình A m = ± 37 B m = m3 + m 2f 2 ( x) + = f ( x ) + có nghiệm phân biệt C m = 37 D m = ± ĐÁP ÁN DẠNG Xét tính đơn điệu hàm số không chứa tham số 1-D 2-C 3-D 4-B 11-A 12-A 13-B 14-A 21-B 22-D 23-B 24-D DẠNG Các toán chứa tham số 8-D 18-D 9-C 19-A 10-B 20-D 1-C 2-D 3-A 4-A 5-D 6-C 7-A 8-D 11-A 12-C 13-D 14-A 15-D 16-A 17-A 18-D 21-C 22-C 23-B 24-C 25-A 26-A 27-C DẠNG Hàm ẩn liên quan đến đồng biến nghịch biến hàm số 9-C 19-D 10-D 20-D 1-C 2-B 3-B 4-A 5-B 6-A 7-C 8-D 11-B 12-C 13-C 14-C 15-C 16-C 17-B 18-D 21-A 22-B 23-C 24-C 25-C DẠNG Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình 9-C 19-C 10-A 20-D 1-B 11-A 9-C 10-A 2-C 12-A 3-C 13-D 4-D 14-C 5-C 15-A 5-A 15-C 6-B 16-D 6-D 7-B 17-D 7-D 8-C Trang 60 ... Cho hàm số có bảng biến thiên Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến ( −∞; ? ?1) ∪ ( 1; +∞ ) nghịch biến ( ? ?1; 0 ) ∪ ( 0 ;1) Trang 14 B Hàm số đồng biến ( −∞; ? ?1) ∪ ( 11 ; +∞ ) nghịch biến ( ? ?1; 11) C Hàm. .. Hàm số f gọi đồng biến K ∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) ∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số không chứa tham số Bài tốn Tìm khoảng đơn điệu. .. 5: Cho hàm số y = x − x + x + Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( 1; +∞ ) ? ?1 B Hàm số đồng biến khoảng ;1? ? 3 ? ?1 C Hàm số nghịch biến khoảng ;1? ? 3 1? ?? D Hàm số nghịch