BÀI 3. HÀM SỐ BẬC HAI

BÀI HÀM SỐ BẬC HAI MỤC TIÊU Kiến thức: - Nhận dạng hàm số y  ax2  bx  c Nắm nội dung tập xác định, đồng biển, nghịch biến đồ thị hàm số - Phát vấn đề toán học hàm số nghiên cứu từ toán thực tế - Phát biểu vận dụng điều kiện để điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số y  ax2  bx  c , điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) tập X, điều kiện để hàm số hàm chẵn (hàm lẻ) D Kỹ năng: - Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số y  ax2  bx  c lập bảng biến thiên hàm số a > 0, a < - Xác định tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng parabol y  ax2  bx  c, tìm giao điểm đồ thị hàm số với trục tọa độ và xét tương giao hai đồ thị hàm số - Xác định hàm số y  ax2  b  c , biết đồ thị thỏa mãn số điều kiện cho trước - Vẽ đồ thị hàm số y  ax  bx  c, y  ax  bx  c , y  a | x |2 b | x | c I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Hàm số bậc hai cho công thức y  ax  bx  c(a  0) Tập xác định hàm số D  Đồ thị hàm số bậc hai  b b  4ac  Đồ thị hàm số y  ax2  bx  c(a  0) parabol có đỉnh l   ;   , nhận đường thẳng 4a   2a b x làm trục đối xứng hướng bề lõm lên a  , hướng bề lõm xuống a  2a Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai  b b  4ac  Bước Xác định tọa độ đỉnh l   ;   4a   2a b Bước Vẽ trục đối xứng x   2a Bước Xác định số điểm cụ thể parabol (chẳng hạn, giao điểm parabol với trục tọa độ điểm đối xứng chúng qua trục đối xứng) Bước Căn vào tính đối xứng, bề lõm hình dáng parabol để vẽ parabol Sự biến thiên hàm số bậc hai b    b  - Khi a  , hàm số nghịch biến khoảng  ;   , đồng biến khoảng   ;   có giá 2a    2a  b 4ac  b2 x   2a 4a Bảng biến thiên hàm số a  sau: trị hỏ Trang b   - Khi a  , hàm số đồng biến khoảng  ;   , nghịch biến khoảng 2a    b    ;   có giá  2a  b 4ac  b2 x   2a 4a Bảng biến thiên hàm số a  sau: trị lớn Chú ý : Hàm số y  ax2 (a  0) trường hợp đặc biệt hàm số bậc hai b  c  Ví dụ: Đồ thị hàm số y  x2  2x  prabol có đỉnh l  1;3 nhận đường thẳng x  1 làm trục đối xứng và có bề lõm hướng lên a  Đồ thị hàm số y  x2  2x  cắt trục tung A  0;4 , khơng cắt trục hồnh Điểm đối xứng với điểm A  0;4 qua đường thẳng x  1 điểm A '  2;4 Đồ thị hàm số qua hai điểm B 1;7  B '  3;7  đối xứng với qua đường thẳng x  1 Đồ thị hàm số hình vẽ Ví dụ : Trang - Hàm số y  x2  4x 1 có a    b  nên hàm số nghịch biến khoảng  ;2 ,đồng 2a biến khoảng  2;  có giá trị nhỏ 5 x  Bảng biến thiên hàm số sau : - Hàm số y   x2  2x  có a  1   b  1 nên hàm số đồng biến khoảng  ; 1 , 2a , nghịch biến khoảng  1;   có giá trị lớn 1 x  1 Bảng biến thiên hàm số sau: Trang CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số - Phương pháp giải Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số bậc hai Xét hàm số y  ax2  bx  c với a, b, c số, a  Để xác định khoảng đồng biển, nghịch biến hàm số, ta thường thực sau - Xác định hệ số a, b, c - Tính  b 2a b   - Nếu a  hàm số nghịch biến khoảng  ;   đồng biến khoảng 2a   Bảng biến thiên hàm số sau  b    ;    2a  Trang b   - Nếu a  hàm số đồng biến khoảng  ;   nghịch biến khoảng 2a   Bảng biến thiên hàm số sau  b    ;    2a  Vẽ đồ thị hàm số bậc hai Để vẽ đồ thị hàm số y  ax  bx  c, , với a, b, c số a  ta thực sau - Xác định hệ số a, b, c - Xác định trục đối xứng x   b tọa độ đỉnh 2a  b 4ac  b   ;  4a   2a - Xác định thêm số điểm - Vẽ đường cong qua điểm vừa xác định Lưu ý đến biến thiên hàm số Ví dụ 1: Hàm số y  x2  3x  có a   , b  3, c  2,  b  2a Hàm số có bảng biến thiên sau 3  3  Hàm số nghịch biến khoảng  ;  đồng biến khoảng  ;   2  2  b  1 Ví dụ 2: Hàm số y  2x2  4x có a  2  , b  4, c  0,  2a Hàm số có bảng biến thiên sau Hàm số đồng biến khoảng  ; 1 nghịch biến khoảng  1;   Ví dụ 3: Cho hàm số y  2x2  4x có a  2  , b  4, c  0,  b  1 ,có đồ thị parabol  P  2a - Trục đối xứng  P  x  1 - Đỉnh  P  l  1;2 Trang - Bảng giá trị số điểm - Đồ thị  P  hình vẽ sau Ví dụ mẫu Ví dụ Lập bảng biến thiên, xác định khoảng đồng biến, nghịch biến vẽ đồ thị hàm số bậc hai sau a) y  x2 b) y  x2  2x 1 c) y  x2  3x  Hướng dẫn giải a) Hàm số y  x2 có a  1, b  c  0,  b 0 2a Bảng biến thiên hàm số sau Hàm số nghịch biến khoảng  ;0 đồng biến khoảng  0;  Đồ thị hàm số y  x2 parabol (P) có trục đối xứng đường thẳng x  (trục tung) đỉnh điểm O(0;0) (gốc tọa độ) Để vẽ đồ thị (P) ta lấy số điểm theo bảng giá trị sau Đồ thị (P) hình vẽ Trang Chú ý: Đường thẳng x  x0 vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x0 Đường thẳng y  y0 , vng góc với trục Oy điểm có tung độ y Điểm M  x0 ; y0  giao điểm hai đường thẳng vuông góc x  x0 y  y0 b) Hàm số y  x  x  có a  1, b  2, c  1,  b 1 2a Bảng biến thiện hàm số sau Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 đồng biến khoảng 1;   Đồ thị hàm số y  x2  2x 1 parabol (P) có trục đối xứng đường thẳng x  đỉnh điểm l 1; 2  Để vẽ đồ thị (P) ta lấy số điểm theo bảng giá trị sau Ta có đồ thị (P) hình vẽ c) Hàm số y  x2  3x  có a  1, b  3, c  3,  b  2a Bảng biến thiên hàm số sau Trang 3  Hàm số nghịch biến khoảng  ;   đồng biến khoảng 2  3   ;  2  Đồ thị hàm số y  x  3x  parabol (P) có trục đối xứng đường 3 3 l  ;  2 4 Để vẽ đồ thị (P) ta lấy số điểm theo bảng giá trị sau thẳng x  đỉnh điểm Đồ thị (P) hình vẽ Ví dụ Cho đồ thị hàm số y  ax2  bx  c hình vẽ Khẳng định sau đúng? A a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  Hướng dẫn giải Do đồ thị quay bề lõm xuống nên a  Đồ thị cắt trục tung điểm (0;c) nằm phía gốc tọa độ nên c  b  , dẫn tới b  Hoành độ đỉnh đồ thị nhận giá trị âm nên  2a Trang Vậy a, b, c âm Chọn D Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số y  x  x Hướng dẫn giải x  Ta thấy x  x    x  x    x  x   x2  x x  (;0]  [2; ) y  Viết lại hàm số y  x  x dạng   x  x x  (0; 2) Để vẽ đồ thị hàm số ta thực bước sau: - Bước Ta vẽ đồ thị hàm số y  x2  2x (hình 1), cách vẽ tương tự ví dụ - Bước Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y  x2  2x nằm phía trục hồnh (hình 2) - Bước Xóa toàn phần đồ thị y  x2  2x nằm phía trục hồnh thu đồ thị hàm số y  x  x hình Chú ý: Ta vẽ đồ thị hàm số y  x2  2x y  x2  2x hệ trục toạ độ xóa tồn phần đồ thị nằm phía bên trục hồnh, thu đồ thị hàm số y  x2  2x Ví dụ Cho hàm số y  x2  (3m 1) x  m (với m tham số) có đồ thị (P) a) Tìm m để (P) qua điểm A 1;0 b) Tìm điểm cố định mà (P) qua với m c) Tìm quỹ tích đỉnh (P) m thay đổi d) Tìm m để hàm số hàm chẵn Hướng dẫn giải a) Thay x  1, y  vào y  x2  (3m 1) x  m ta  12  (3m 1).1 m  2m    m  Vậy với m = parabol (P): y  x2  (3m 1) x  m qua điểm A 1;0 b) Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định mà (P): y  x2  (3m 1) x  m qua với m Khi đó: y0   x02  (3m 1) x0  m, m  Trang     3x0  1 m   x02  x0  y0  0, m  3x0     x0  x0  y0    x0   y    1 4 Vậy với m parabol (P): y  x2  (3m 1) x  m qua điểm M  ;   3 9  3m  9m  10m   ; c) Định (P) điểm : I     Ta thấy  x1   3m  2x 1  m  x1  m         2  y  9m  10m   y   x1    10  x1     y  x  x,  1 1      3  4  4  4  Vì y1  x12  x1  với m m chạy khắp tập x1, chạy khắp tập 3 nên quỹ tích  3m  9m2  10m   ; điểm I   parabol    P1  : y  x  x  3 Chú ý: Để tìm phương trình (P1) ta thực sau: 3m  2x 1 - Hoành độ đỉnh parabol (P) x  , ta rút m  2x 1 - Thay m  phương trình (P) ta 2x 1 y   x  [(2 x  1)  1]x   y  x2  x  3 - Vậy phương trình (P1) y  x  x  3 d) Đặt f ( x)  x2  (3m 1) x  m f (x)  x2  (3m 1) x  m Hàm số cho hàm chẵn f ( x)  f ( x), x    x  (3m  1) x  m   x  (3m  1) x  m, x   2(3m  1) x  0, x   3m    m  Vậy với m  hàm số y  x2  (3m 1) x  m hàm chẵn Trang 10 Ví dụ Cho hàm số y  x  x  x  Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (; 2) đồng biến khoảng (2; ) B Hàm số nghịch biến khoảng (;3) đồng biến khoảng (3; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( ;1) nghịch biến khoảng (1; ) D Hàm số nghịch biến khoảng (;0), (1; 4) đồng biến khoảng (0;1), (4; ) Hướng dẫn giải Ta viết lại hàm số y  x  x  x  sau  x2  x  y  x  x  x  (;0]  [4; ) x  (0; 4) Hàm bậc hai f ( x)  x2  6x 1 nghịch biến (;3) , đồng biến (3; ), nghịch biến (;0) đồng biến (4; ) Hàm bậc hai g( x)  x2  2x 1 đồng biến ( ;1) , nghịch biến (1; ), đồng biến (0;1) nghịch biến (1;4) Vậy hàm số cho nghịch biến khoảng (;0), (1; 4) đồng biến khoảng (0;1), (4; ) Chọn D Chú ý: Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) tập D X tập khác rỗng D hàm số đồng biến (tương ứng nghịch biến X Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trong điểm sau, điểm không thuộc đồ thị hàm số y  x  x  1? 9   7 A M 1;  B N  1;   C P(2;9) D Q  2;7  2   2 Câu Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị qua điểm A  2;6  ? A y  x2  3x 1 B y   3x  x2 C y  4x2  D y  2x2  x Câu Trục đối xứng parabol y  2x2  12x 11 A x  B X  3 x  3 C x  6 D x  Câu Đồ thị hàm số y  x2  4x  cắt trục tung điểm A cắt trục hoành hai điểm B, C phân biệt Diện tích tam giác ABC A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Câu Hình bên đồ thị bốn hàm số cho đáp án A, B, C, D sau Hỏi hàm số nào? A y  x2  2x  B y  x2  2x  C y  x2  2x  D y  x2  2x  Trang 11 Câu Bảng hình bên bảng biến thiên hàm số sau đây? A y  x2  2x 1 B y  2x2  4x C y  2x2  4x  D y  x2  2x Câu Cho hàm số y  x2  4x 1 Khẳng định sau sai? A Hàm sổ đồng biến ( ;1] nghịch biến [3; ) B Hàm số đồng biến (; 2] nghịch biến [2; ) C Hàm số đồng biến (;0] nghịch biến [4; ) D Hàm số đồng biến (;3] nghịch biến [3; ) Câu Để trục đối xứng đồ thị hàm số y  x2  (m  2) x  3m  qua điểm M  4;3 A m  B m  C m  D m  Câu Để hàm số y  4x  (2m 1) x 19m hàm chẵn 1 A m  B m  C m  D m   2 Câu 10 Hình vẽ bốn hình vẽ sau đồ thị 2 x  x  ? hàm số y   x  x  2 Bài tập nâng cao Câu 11 Đồ thị hàm số y  mx2  (2  3m) x  2m 1 qua hai điểm cố định A,B với m Độ dài đoạn thẳng AB Trang 12 A 13 B C D Câu 12 Cho họ parabol (P) : y  x2  (2m 1) x 1 với m tham số Khi m thay đổi, quỹ tích đỉnh (P) đường có phương trình sau đây? A y   x2 1 B y  2x2  C y  x2  2x 1 D y   x2 Câu 13 Cho điểm F 1; 4  đường thẳng  : y  Tập hợp tất các điểm M mặt phẳng cho M cách điểm F đường thẳng  A ( P) : y   x  x  10 5 1 C ( P) : y   x  x  10 5 x 5 1 D ( P) : y   x  x  5 B ( P) : y   x  Câu 14 Gọi m0 giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y  x2  2mx 1 đoạn  1;3 đạt nhỏ Khẳng định sau đúng? A m0  (1,4) B m0  (1;5) D m0  (;0) C m0  (3;1) Câu 15 Cho số thực x, y, z thỏa mãn  x  y  z   12 x  20 y  28z 39 Giá trị lớn biểu thức S  2x2  y2  7z 87 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Dạng Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1-D 2-D 3-A 4-A 5-A A 12 11-B B 12-A 13-C 14-A C 23 6-C D 7-D 8-D 76 9-C 10-D 15-B Câu 11 Chọn B Gọi  x0 , y0  điểm Cố định mà đồ thị hàm số qua Khi phương trình y0  mx02  (2  3m) x0  2m 1 nghiệm với m   x02  3x0   m  x0   y0  nghiệm với m  x2  3x0    x0  1, y0     2 x0   y0   x0  2, y0   Suy A 1;1 , B  2;3 suy AB  Câu 12 Chọn A  2m   2m  2  Đỉnh (P) điểm I  ;   1  2     Từ suy yI   xI 1 Khi m thay đổi, quỹ tích điểm I parabol  P ' : y   x2 1 Câu 13 Chọn C Gọi M  x; y  Khi MF  d (M , )  ( x  1)2  ( y  4) | y  1| x  x   y  y  16  y  y  1  x  x  10 y  16   y   x  x  10 5 Trang 13 Vậy tập hợp (quỹ tích) tất các điểm M mặt phẳng cho M cách điểm F 1; 4  đường thằng  : y  parabol ( P) : y   x  x 10 5 Nhận xét: Parabol (P) : y  ax2  bx  c (với a,b,c số, a  0) tập hợp tất điểm  b 4ac  b   4ac  b2  mặt phẳng cách điểm F   ; đường thẳng  : y   4a 4a  2a   b 4ac  b   4ac  b2  • Điểm F   ; gọi tiêu điểm gọi đường thẳng  : y   4a 4a  2a  b chuẩn 4a parabol (P) : y  ax2  bx  c Trục đối xứng d : x   (P) qua tiêu điểm F, qua 2a  b 4ac  b   b 4ac  b   , H đỉnh I   ; vng góc cắt đường thẳng chuẩn    ;  Khi I 4a  4a  2a  2a  trung điểm đoạn thẳng HF Câu 14 Chọn A Từ tính chất đồ thị hàm số bậc hai ta suy 2m  m  max y  max{ y(1); y(3)}  max{2m  2;10  6m}   x[ 1;3] 10  6m m  Dễ thấy 2m   4, m  10  6m  4, m  Do max y đạt nhỏ m  m0  x[ 1;3] Câu 15 Chọn B Vì  x  y  z   12 x  20 y  28z  39 nên S  2 x  y  z  2 x  y  z  2 x  3x  39  f ( x) Ta có Như S  f ( x)  Vậy max S  87 87 Đẳng thức S  xảy x  , y  z  8 87 Dạng Bài toán tường giao đồ thị hàm số Phương pháp giải +) Xét hàm số y  a1x2  b1x  c1, y  a2 x  b2 ( a1, a2 , b1, b2 , c1 số, a1 # 0) có đồ thị (P), (d) Phương trình hồnh độ điểm chung (P) (d) Trang 14 a1 x  b1 x  c1  a2 x  b2  a1 x   b1  a2  x   c1  b2   0(1) - Nếu (1) vơ nghiệm (P), (d) khơng có điểm chung - Nếu (1) có nghiệm kép x  x0 (P), (d) có điểm chung M  x0 ; a2 x0  b2  Lúc (P) (d) tiếp xúc với M0 Ta gọi đường thẳng (d) tiếp tuyến parabol (P), điểm M0 gọi tiếp điểm - Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt x  x1, x  x2 (P), (d) cắt hai điểm phân biệt M1  x1; a2 x1  b2  , M  x2 ; a2 x2  b2  +) Xét hàm số y  a1x2  b1x  c1 , y  a2 x2  b2 x  c2  a1 , a2 , b4 , b2 , c1 , c2 số, a1  0, a2  0 có đồ thị  P1  ,  P2  Phương trình hồnh độ điểm chung (P1) (P2) a1 x  b1 x  c1  a2 x  b2 x  c2   a1  a2  x   b1  b2  x   c1  c2   - Nếu (2) vơ nghiệm  P1  ,  P2  khơng có điểm chung - Nếu (2) phương trình bậc có nghiệm x  x0 ,  P1  ,  P2  cắt điểm   M x0 ; a1 x02  b1 x0  c1 (cắt không tiếp xúc) - Nếu (2) phương trình bậc hai có nghiệm kép x  x0 ,   P1  ,  P2  tiếp xúc với  M x0 ; a1 x02  b1 x0  c1 Điểm M0 gọi tiếp điểm - Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt x  x1, x  x2     P1  ,  P2  cắt hai điểm phân biệt  M1 x1; a1 x12  b1 x1  c1 , M x2 ; a1 x22  b1x2  c1 Ví dụ 1: Xét hàm số y  3x  có đồ thị (d) hàm số y  x2  x  có đồ thị (P) Phương trình hồnh độ điểm chung x  x   3x   x  x   Phương trình có hai nghiệm phân biệt x  1, x  Thay giá trị x vào phương trình (d) (cũng thay vào phương trình (P)), ta giá trị tương ứng y  y  Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M1 1;2 , M 3,8 Ví dụ 2: Xét hàm số y  2x2  3x  có đồ thị  P1  hàm số y  x2  x  có đồ thị  P2  Phương trình hồnh độ giao điểm x  3x   x  x   x  x   Phương trình có nghiệm kép x  2 Thay giá trị x vào phương trình  P1  (cũng thay vào phương trình  P2  ), ta y  Vậy  P1   P2  tiếp xúc với điểm M0 (2;8) Ví dụ mẫu Ví dụ Đường thẳng sau cắt parabol y  x2 hai điểm phân biệt? A y  3x  B y  1  x C y  2 x  D y  x  Hướng dẫn giải Phương trình x  3x   x  3x   (Có hai nghiệm phân biệt) Vậy đường thẳng y  3x  cắt parabol y = x hai điểm phân biệt Trang 15 Phương trình x   x   x  x   (vô nghiệm) Vậy đường thẳng y  1  x parabol y  x2 khơng có điểm chung Phương trình x  2 x   x  x   (có nghiệm kép) Vậy đường thẳng y  2 x –1 tiếp xúc với parabol Phương trình x  5x   x  5x   (vô nghiệm) Vậy đường thẳng y  x  parabol y  x2 khơng có điểm chung Chọn A Ví dụ Cho hai parabol có phương trình y  x2  2x  2, y  4x2 Khẳng định sau đúng? A Hai parabol khơng có điểm chung B Hai parabol cắt điểm (không tiếp xúc) C Hai parabol tiếp xúc với điểm D Hai parabol cắt hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai parabol x  x   4 x  x  x   (vơ nghiệm) Vậy hai parabol khơng có điểm chung Chọn A Ví dụ Cho hai parabol có phương trình y  3x2  2x, y  3x2  x  Khẳng định sau đúng? A Hai parabol khơng có điểm chung B Hai parabol cắt điểm (không tiếp xúc) C Hai parabol tiếp xúc với điểm D Hai parabol cắt hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai parabol 3x  x  3x  x   3x   (là phương trình bậc có nghiệm) Vậy hai parabol cắt điểm (khơng tiếp xúc) Chọn B Ví dụ Cho parabol (P) : y  x2  (m  2) x 1 đường thẳng  d  : y   m 1 x  2m  Để (d) tiếp tuyến (P) A m  B m  4 C m   8 D m  Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) x2  (m  2) x 1  (m 1) x  2m   x2  x  2m   1 Đường thẳng (d) tiếp tuyến (P) phương trình (1) có nghiệm kép    8m    m   Chọn C Ví dụ Biện luận theo m số nghiệm phân biệt phương trình sau: a) x  x   m b) x  x    m c) x2  | x | 2m Hướng dẫn giải a) Hàm số y  x2  6x  có đồ thị đường parabol (P) hình vẽ Trang 16 Hàm y  m có đồ thị đường thẳng d vng góc với trục Oy điểm có tung độ m (ở phương với Ox) Số nghiệm phân biệt phương trình x  x   m số điểm chung phân biệt (P) d Từ đồ thị ta nhận thấy - Nếu m  2 (P) d khơng có điểm chung, nên phương trình cho vơ nghiệm - Nếu m  2 (P) d có điểm chung, nên phương trình cho có nghiệm, - Nếu m  2 (P) có hai điểm chung phân biệt, nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt b) Từ đồ thị hàm số y  x2  6x  ta suy đồ thị hàm số y  x  x  đường cong (P1) hình vẽ Hàm số y   m Có đồ thị đường thẳng d, vng góc với trục Oy điểm có tung độ 1m (d, phương với Ox ) Số nghiệm phân biệt phương trình x  x    m số điểm chung phân biệt  P1  d1 Từ đồ thị ta nhận thấy  P1  d1  P1  d1 - Nếu  m   m  khơng có điểm chung, nên phương trình cho vô nghiệm - Nếu  m   m  có hai điểm chung phân biệt, nên phương trình cho có hai nghiện phân biệt - Nếu   m   1  m   P1  d1 có bốn điểm chung phân biệt, nên phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt - Nếu  m   m  1  P1  d1 có ba điểm chung phân biệt, nên phương trình cho Có ba nghiệm phân biệt - Nếu  m   m  1  P1  d1 có hai điểm chung phân biệt, nên phương trình cho hai nghiệm phân biệt c) Biến đổi x2  | x | 2m  x2  | x | 7  2m  Đồ thị hàm số y  x2  | x | 7 đường cong (P2) hình vẽ Hàm số y  2m  có đồ thị đường thẳng d2, vng góc với trục Oy điểm có tung độ 1- m (d2 phương với Ox) Số nghiệm phân biệt phương trình x2  | x | 2m số điểm chung phân biệt  P2  d Để vẽ đồ thị (P2) ta thực sau: Trang 17 - Vẽ phần parabol y  x2  6x  ứng với x  - Lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua trục Oy - Hợp hai phần đồ thị (P) hàm số y  x2  | x | 7 Dễ thấy y  x2  | x | 7 hàm chẵn (P2) nhận Oy làm trục đối xứng Từ đồ thị ta nhận thấy - Nếu 2m    m   P2  d khơng có điểm chung, phương trình cho vơ nghiệm - Nếu 2m    m   P2  d có điểm chung, phương trình cho có nghiệm - Nếu 2m    m   P2  d có hai điểm chung, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Chú ý: 1) Cách vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) Cách Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị y  f  x  nằm phía trục Ox Sau xóa phần đồ thị nằm phía Ox Tồn phần cịn lại đồ thị hàm số y  f  x  Cách Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y   f  x  hệ trục tọa độ Xóa tồn phần đồ thị nằm phía trục hồnh hai hàm số nói Phần cịn lại thu đồ thị hàm số y  f ( x) Đồ thị hàm số y  f ( x) khơng có điểm nằm phía trục hoành 2) Cách vẽ đồ thị hàm số y  f  x  Vẽ phần đồ thị hàm số y  f  x  ứng với x  Lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua trục tung Tồn phần thu đồ thị hàm số y  f  x  Hàm số y  f  x  hàm chẵn đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng (3) Gọi  C1  ,  C2  đồ thị hai hàm số y  f  x  , y  g  x  Ta gọi phương trình f  x   g  x  phương trình hoành độ điểm chung  C1  ,  C2  Phương trình có k nghiệm phân biệt  C1  ,  C2  có k điểm chung phân biệt Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Đường thẳng y  – x cắt parabol y  x2 hai điểm phân biệt A  x1; y1  , B  x2 ; y2  , biết y1  y2 Giá trị 2x1  x2 A 6 B 17 C D 7 Câu Parabol y  3x2 đường thẳng sau khơng có điểm chung? Trang 18 A y   x  3 B y  x  C y  3x  D y  3x  Câu Parabol y  x2  4mx  tiếp xúc với trục hoành B m  1 A m   C m  2 D m   Câu Gọi d tiếp tuyến chung hai parabol ( P) : y  x  x,  P  : y ∣ x  3x Điểm sau thuộc đường thẳng d ? 33    41   17  A M  2;  B M  1;  C M 1;    16   16   16  Câu Đường thẳng y  x  parabol sau khơng có điểm chung? 7  D M  4;   16   A y  2x2  6x 1 B y  x2  x 1 C y  x2  4x  D y  x2  3x  Câu Hai parabol sau cắt hai điểm phân biệt? A y  2x2 , y  x2  x 1 B y   2x2 , y  3x2  6x C y  2x2  2x  3, y  x2  x  D y  2x2  7x  2, y  x2  x 1 Câu Để phương trình x  x   m có bốn nghiệm phân biệt điều kiện m A  m  B  m  C  m  D  m  Câu Cho (P) : y  x2  mx,(d ) : y  2x  m Trong trường hợp (P) cắt (d) hai điểm phân biệt A, B trung điểm đoạn thẳng AB chạy đường thẳng sau đây? A y  4 x  B y  x  C y  2 x  D y  x  Câu Cho hàm số y  f ( x)  ax2  bx  c (với a, b, c số, a  ) có đồ thị (P) tiếp xúc với đường thẳng d : y  x – điểm có hồnh độ Giá trị f 1  f  3 A B 2 C D 1 Bài tập nâng cao Câu 10 Cho hai phương trình x2  3x  2m 1  0(1)  x2  x  m  (2) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm (1) nằm xen kẽ với nghiệm (2) điều kiện m A 2   m  2  B 2   m  2  D   m   C   m   Câu 11 Cho hàm số y  f ( x)  ax  bx  c (với a, b, c số, a  ) Khẳng định sau sai? u  v A Với u, v  ta có f (u )  f (v)   u   b  v a  b  b   thỏa mãn  u   v    f (u )  f (v)  u  v 2a  2a   f (u)  f (v) u v  C Nếu a  u, v  f    D Nếu d : y  kx  m tiếp tuyến đồ thị hàm số cho f ( x)  kx  m, x  B Với u, v  Câu 12 Cho hàm số y  ax2  bx  c (với a, b, c số, a  ) có đồ thị (P) tiếp xúc với  P1  : y  2x2  điểm có hồnh độ 2, tiếp xúc với  P2  : y   x2  8x  17 điểm có hồnh độ Giá trị a  b  c Trang 19 A B 4 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-D 2-C 11-D 12-C 3-B 4-C C 2 5-C 6-D D 7-C 8-D 9-BA 10- Câu 10 Chọn A Ta có (2)  x2  x  m  xét hai parabol  P1  : y  x2  3x  2m  1,  P2  : y  x2  x  m Phương trình hồnh độ điểm chung  P1  ,  P2  x  3x  2m   x  x  m  m   x  x  m 1  m  m  4m   ; Hai đồ thị  P1  ,  P2  cắt điểm M     Hai phương trình (1) (2) phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm phương trình nằm xen kẽ với nghiệm phương trình điểm M nằm phía trục hồnh, tức m2  4m    2   m  2  Câu 11 Chọn D Xét đáp án: Đáp án A Ta có f (u)  au2  bu  c; f (v)  av2  bv  c u  v Khi au  bu  c  av  bv  c  au  av  bu  bv   (u  v)[a(u  v)  b]    u   b  v a  2 2 u  v Đáp án B Theo chứng minh f (u )  f (v)   u   b  v a  b b b   b  b  b       v     u   v      v    (mâu thuẫn) Khi u    v u  a 2a 2a   2a  2a  2a    Vậy với u, v  b  b   thỏa mãn  u   v    f (u )  f (v)  u  v 2a  2a   1 uv uv u v 2 Đáp án C Ta có f    a   b   c  a  u  v  2uv   b(u  v)  c       2  u  v  au  bu  c  av  bv  c   f    a  u  v  2uv   b(u  v)  c   2   4  1 1 f (u)  f (v) u v   au  auv  av  a(u  v)2  0, a   f  4   Xét f (u)  f (v)  Trang 20 Đáp án D Khẳng định D sai Nếu có thêm giả thiết a  khẳng định Câu 12 Chọn C Phương trình ax2  bx  c  2x2   (a  2) x2  bx  (c  5)  có nghiệm kép 2 nên  a   a    b  4(a  2)(c  5)   b  4(a  2) 1   b c  4(a  2)    2  2(a  2) Phương trình ax2  bx  c  x2  8x 17  (a 1) x2  (b  8) x  (c 17)  có nghiệm kép nên  a   a  1   (b  8)  4(a  1)(c  17)   b  6(a  1)   b 8 c  9(a  1)  17   3  2(a  1) 2 4(a  2)  6(a  1)   a   b  4; c  Từ (1) (2)suy  4(a  2)   9(a  1)  17 Vậy a  b  c  2 Dạng Sự xác định hàm số bậc hai Phương pháp giải Hàm số bậc hại có dạng y  ax2  bx  c với a, b, c số, a  Hàm số bậc hai xác định biết hệ số a, b, c Ví dụ: Xác định hàm số y  x2  3x  c biết đồ thị parabol cắt trục tung điểm có tung độ Thay x = 0, y = vào hàm số, ta c  Vậy hàm số cho y  x2  3x  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho số a, b, c (với a  thỏa mãn parabol  P1  : y   x2  x  c qua điểm M1 1;1 , parabol  P2  : y  2x2  bx  qua điểm M,(-1;4), parabol  P3  : y  ax2  x  qua điểm M, (2;-8) Giá trị abc A abc  10 C abc  36 Hướng dẫn giải Ta có M1 (1;1)   P1    12   c  c  B abc  5 D abc = M (1, 4)   P2    2(1)  b.(1)   b  5 M (2; 8)   P3   8  a.22    a  2 Vậy abc  10 Chọn A Ví dụ Xác định hệ số b, c để đồ thị hàm số y  x2  bx  c qua hai điểm A  2; 3 , B 1;1 A b  7, c  7 B b  7, c  C b  7, c  7 D b  7, c  Trang 21 Hướng dẫn giải Parabol y  x2  bx  c qua điểm A(2;-3) nên 2b  c  7 Parabol y  x2  bx  c qua điểm B(1;1) nên b  c  2b  c  7 b  7  Ta có hệ phương trình:  c  b  c  Chọn B Ví dụ Cho hàm số bậc hai y  x2  (m 1) x  2m 1 với m tham số, có đồ thị (P) Hãy xác định hàm số bậc hai cho, biết (P) tiếp xúc với trục hoành Hướng dẫn giải  m  m  10m   ; Parabol (P) : y  x2  (m 1) x  2m 1 có đỉnh : I      m  m2  10m   ; Ta thấy (P) tiếp xúc với trục hoành điểm : I   thuộc trục hoành, tức   m2  10m    m  5  Ví dụ Xác định hệ số a, b, c để đồ thị hàm số y  ax2  bx  c parabol (P) có đỉnh I (3; 8) cắt đường thẳng  d  : y  3x 1 hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB  10 Hướng dẫn giải Vì parabol (P): y  ax2  bx  c có đỉnh I  3; 8 nên  b 3 b  6a, a     2a c  a   8  9a  3b  c Ta viết lại phương trình (P) sau y  ax2  6ax  9a  Lúc này, phương trình hồnh độ điểm chung (P) (d) ax2  6ax  9a   3x 1  ax2  (3  6a) x  9a   Với a  , phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ,    8a   a  Với điều kiện a  0, a  (P) cắt (d) hai điểm phân biệt A  x1; 3x1 1 , B  x2 ; 3x2 1 , x1  x2   8a |a| Do AB  10   x1  x2    3x1  3x2   10   x1  x2    2  8a   a  a  9 a2 Cả hai giá trị a thỏa mãn điều kiện a  0, a  Với a =1 b  6, c  Với a  9 b  54, c  89 Vậy a  1, b  6, c  a  9, b  54, c  89 Bài tập tự luyện dạng Trang 22 Bài tập Câu Để đồ thị hàm số y  ax2  bx  c parabol có đỉnh I(3;8) qua điểm M(1;4) 13 A a  , b  , c  5 C a  1, b  6, c  1 13 B a   , b   , c   5 D a  1, b  6, c  Câu Biết parabol (P): y  ax2  bx  c qua ba điểm A 1;1 , B  2;16 , C 3;11 Khẳng định sau đúng? A a  1, b  16, c  11 B a  2, b  2, c  3 C a  2, b  3, c  D a  1, b  2, c  Câu Tìm để a,b parabol y  ax2  bx  c c qua hai điểm A(1;2), B(2;1) A b  c  B b  1, c  C b  2, c  D b  c  Câu Hàm số y  ax2  bx  c có đồ thị qua hai điểm A 1;2 , B  1;1 Khẳng định sau đúng? B a  b  A a  b2  1 C a  b  D a  b  Câu Cho hàm số y  ax2  bx  c (với a, b, c số, a  ) Biết hàm số nhận giá trị -1 x  0, x  nhận giá trị x  1 Giá trị abc B 1 A C D 2 Câu Cho (P): y  ax  bx  c với a, b, c số, a  Biết (P) có đỉnh điểm (1:8) cắt trục hoành hai điểm M,N thỏa mãn MN = Giá trị a3  b3  c3 A B 56 C 512 D 272 Câu Cho (P): y  ax2  bx  c với a, b, c số, a  Biết (P) có trục đối xứng đường 1 thẳng x  đồng thời tiếp xúc với hai đồ thị  P1  : y  x2 ,  P2  : y  x2  2x Giá trị   a b c 1 A 1 B  C D Bài tập nâng cao Câu Khi bóng đá lên, bay theo quỹ đạo cung parabol mặt phẳng tọa độ Oth, t thời gian kể từ bóng đá lên (tính giây), h độ cao (tính mét) bóng Giả sử bóng đá lên từ độ cao 1,1m Sau giây đạt độ cao 8,6 m Sau giây, đạt độ cao 6m Hỏi độ cao lớn mà bóng đạt gần với giá trị sau nhất? A 8,888m B 8,897 m C 9,1m D 9,291m Trang 23 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-C 2-C 3-C 4-D 5-A 6-D 7-A 8-B Câu Chọn B Ta có h  at  bt  c a,b,c số, a  - Nếu t  h  1,1 nên c  1,1 , - Khi t  h  8, nên a  b  c  8, - Khi t  h  nên 4a  2b  c  c  1,1 a  5, 05   Xét hệ a  b  c  8,  b  12,55 Do h  5,05t 12,55t 1,1 4a  2b  c  c  1,1   Theo tính chất hàm số bậc hai, h đạt giá trị lớn t   b 251   1, 2a 202 Suy max(h)  8,897 Trang 24 ... Dạng Sự xác định hàm số bậc hai Phương pháp giải Hàm số bậc hại có dạng y  ax2  bx  c với a, b, c số, a  Hàm số bậc hai xác định biết hệ số a, b, c Ví dụ: Xác định hàm số y  x2  3x  c... đồ thị hàm số y  f  x  Cách Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y   f  x  hệ trục tọa độ Xóa tồn phần đồ thị nằm phía trục hồnh hai hàm số nói Phần cịn lại thu đồ thị hàm số y ...  hàm số đồng biến khoảng  ;   nghịch biến khoảng 2a   Bảng biến thiên hàm số sau  b    ;    2a  Vẽ đồ thị hàm số bậc hai Để vẽ đồ thị hàm số y  ax  bx  c, , với a, b, c số