Từ đó cho biết đồ thị của nó có thể được suy ra từ đồ thị của hàm số nào nhờ các phép tịnh tiến song song với các trục tọa độ.. Hãy mô tả các phép tịnh tiến đó..[r]
(1)1 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
BÀI – HÀM SỐ BẬC HAI
1 Định nghĩa: Hàm số bậc hai hàm số mà biểu thức có dạng 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 𝑎, 𝑏, 𝑐 số thực cho trước 𝑎 ≠
2 Đồ thị:
a Đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐: đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2 parabol (𝑃 𝑜) có: Đỉnh gốc tọa độ 𝑂
Trục đối xứng trục 𝑂𝑦
Bề lõm hướng lên 𝑎 > hướng xuống 𝑎 <
b đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄: Ta có: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂 𝒙𝟐+𝒃
𝒂𝒙 + 𝒄
𝒂 = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝟐𝒂
𝟐 +𝒄
𝒂− 𝒃𝟐 𝟒𝒂𝟐 = 𝒂 𝒙 + 𝒃
𝟐𝒂 𝟐
− 𝒃𝟐
𝟒𝒂− 𝒄 = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝟐𝒂
𝟐 − ∆
𝟒𝒂
Suy ra, đồ thị ảnh parabol 𝑃𝑜 : 𝑦 = 𝑎𝑥2 qua hai phép tịnh tiến song song với trục
Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) parabol có đỉnh 𝐼 − 𝑏 2𝑎; −
∆ 4𝑎 Trục đối xứng đường thẳng 𝑥 = −2𝑎𝑏
Khi 𝑎 > bề lõm hướng lên có giá trị nhỏ −4𝑎∆ Khi 𝑎 < bề lõm hướng xuống có giá trị lớn −4𝑎∆
𝒂 > 𝟎 𝑦
𝑂 𝑥
𝒂 < 𝟎 𝑦
𝑂 𝑥
𝒂 > 𝟎 𝑦
𝑥 𝑂
𝒂 < 𝟎
𝑥 𝑦
(2)2 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 Áp dụng 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: ① 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 +
② 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 +
c Sự biến thiên hàm số bậc hai:
𝒂 > 𝟎 𝒂 < 𝟎
Áp dụng 2: Lập bảng biến thiên hàm số sau
① 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + ② 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3
Xác định tọa độ đỉnh
Xác định trục đối xứng hướng bề lõm
Xác định vài điểm đặc biệt nối chúng lại
𝑥
𝑦
−∞ − 𝑏 +∞
2𝑎 − ∆
4𝑎
−∞ −∞
𝑥
𝑦
−∞ − 𝑏 +∞
2𝑎
− ∆ 4𝑎
(3)3 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Các kết dễ dàng kiểm chứng
Phương trình parabol có đỉnh đặt đường thẳng 𝑦 = 𝛽 là: 𝒚 = 𝒎(𝒙 − 𝒂)𝟐+ 𝜷 (𝒎 ≠ 𝟎) Phương trình parabol có đỉnh 𝐼(𝛼; 𝛽) có dạng: 𝒚 = 𝒎(𝒙 − 𝜶)𝟐+ 𝜷 (𝒎 ≠ 𝟎)
Phương trình parabol qua hai điểm 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 ; 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵 thuộc đường thẳng 𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞 có dạng: 𝒚 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝑨 𝒙 − 𝒙𝑩 + 𝒑𝒙 + 𝒒 𝒎 ≠ 𝟎
Phương trình parabol qua hai điểm có tung độ 𝐴 𝛼; 𝛾 ; 𝐵 𝛽; 𝛾 có dạng: 𝒚 = 𝒎 𝒙 − 𝜶 𝒙 − 𝜷 + 𝜸 (𝒎 ≠ 𝟎)
3 Luyện tập:
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎) ① 𝑦 = −2𝑥2− 4𝑥 +
② 𝑦 = 2𝑥2− 5𝑥 + ③ 𝑦 =1
2𝑥2− 2𝑥 ④ 𝑦 = −3
2𝑥2 + 6𝑥 −
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒚 = 𝒂 𝒙 𝟐+ 𝒃 𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎)
① 𝑦 = −2𝑥2− 4𝑥 + ② 𝑦 = −2 𝑥 2− 𝑥 + ③ 𝑦 = 2𝑥2 − 5𝑥 + ④ 𝑦 = 𝑥 2− 𝑥 + ⑤ 𝑦 =
2𝑥2− 2𝑥
⑥ 𝑦 =1
2 𝑥 2− 𝑥 ⑦ 𝑦 = −3
2𝑥2− 6𝑥 − ⑧ 𝑦 = −3
2 𝑥 2− 𝑥 − Tập xác định: 𝐷 = ℝ
Xác định tọa độ đỉnh: 𝐼 −2𝑎𝑏 ; −4𝑎∆ Trục đối xứng: 𝑥 = −2𝑎𝑏
Lập bảng biến thiên Lập bảng giá trị Vẽ đồ thị
Dạng 1: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎) Vẽ 𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Lấy phần đồ thị (𝐶) phía trục 𝑂𝑥, bỏ phần đồ thị (𝐶) phía trục 𝑂𝑥 Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶) trục
𝑂𝑥 qua 𝑂𝑥
Dạng 2: 𝒚 = 𝒂 𝒙 𝟐+ 𝒃 𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎) Vẽ 𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Lấy phần đồ thị 𝐶 bên phải trục 𝑂𝑦, bỏ phần đồ thị 𝐶 bên trái trục 𝑂𝑦 Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶) bên phải
trục 𝑂𝑦 qua 𝑂𝑦 Tìm GTLN, GTNN (nếu có)
① Trên −3; ② Trên −32; ③ Trên 0; ④ Trên 1; 𝑦
𝑥 𝑂
𝑦
𝑥 𝑂
𝑦
𝑥 𝑂
𝐻3
𝐻1 𝐻2 𝐻3
(4)4 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Xác định hệ số 𝒂, 𝒃, 𝒄 hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎)
Phương pháp: ta thiết lập hệ phương trình với ẩn 𝑎, 𝑏, 𝑐 biểu thị tính chất đồ thị hàm số, thường sử dụng cơng thức sau:
Hồnh độ đỉnh: 𝑥 = −2𝑎𝑏 Tung độ đỉnh: 𝑦 = −4𝑎∆
𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀 ∈ 𝑃 ⇔ 𝑦𝑀 = 𝑎𝑥𝑀2 + 𝑏𝑥 𝑀+ 𝑐
𝑎 > hàm số đạt giá trị nhỏ 𝑥 = −2𝑎𝑏 𝑎 < hàm số đạt giá trị lớn 𝑥 = −2𝑎𝑏
Bài 1: Cho hàm số 𝑃 : 𝑦 = 𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 Tìm 𝑏, 𝑐 biết:
① Đi qua điểm 𝐴 −1; ; 𝐵 2; −1 ② Hàm số đạt GTNN −1 𝑥 = Bài 2: Cho hàm số 𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2− 4𝑥 + 𝑐 Tìm 𝑎, 𝑐 biết:
① Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ có GTNN
② Hàm số đạt GTNN 𝑥 = ③ Hàm số có giá trị 𝑥 = GTNN −1 ④ Đồ thị hàm số có hồnh độ đỉnh 𝑥 = cắt trục hoành điểm 𝑀(0; 5)
Bài 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 2, Tìm 𝑎, 𝑏 biết:
① Đồ thị qua điểm 𝐴 1; ; 𝐵 −2; ② Đồ thị hàm số có đỉnh 𝐼 2; −2 ③ Đồ thị qua điểm 𝐴 3; −4 có trục đối xứng 𝑥 = −32
④ Đồ thị qua điểm 𝐵(−1; 6) tung độ đỉnh −14 ⑤ Hàm số đạt cực đại 12 𝑥 =
⑥ Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành 𝑥 = −1
Bài 4: Cho hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 có đồ thị 𝑃 Tìm 𝑎, 𝑏, 𝑐 biết: ① Đồ thị (𝑃) qua điểm 𝐴 1; ; 𝐵 −3; ; 𝐶(0; −4)
② Đồ thị (𝑃) có đỉnh 𝐼 2; −1 , cắt trục tung điểm có tung độ ③ Đồ thị (𝑃) có đỉnh 𝐼 1; , qua điểm 𝐷(3; 0)
④ Hàm số 𝑓(𝑥) hàm số chẵn, đồ thị (𝑃) qua hai điểm 𝐴 −1; ; 𝐵(2; −3)
⑤ Đồ thị (𝑃) cắt trục tung điểm có tung độ −1 hàm số đạt GTLN 𝑥 = ⑥ Đường thẳng 𝑦 = cắt (𝑃) điểm có hồnh độ −1 3, hàm số đạt GTNN −1 ⑦ (𝑃) có trục đối xứng 𝑥 = −2, qua 𝐴(1; 4) đỉnh 𝐼 thuộc đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 − ⑧ (𝑃) qua 𝐴(−3; 0) tiếp xúc với 𝑑 : 𝑦 = 𝑥 − điểm 𝐵(−1; −2)
⑨ (𝑃) có trục đối xứng 𝑥 = 2, qua 𝐴(1; 8) cắt trục 𝑂𝑦 điểm có tung độ ⑩ Hàm số đạt cực tiểu −4 𝑥 = qua điểm 𝑀(2; −3)
Giải bất phương trình 𝒚 ≤ 𝟎; 𝒚 ≥ 𝟎; 𝒚 < 𝟎; 𝒚 > 𝟎 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)
(5)5 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 Bài 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 +
① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ② Tìm 𝑥 ∈ 0; để 𝑦 ≥ ③ Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn 0;
Bài 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 +
① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ② Tìm 𝑥 cho 𝑦 ≤ ③ Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn 0;
Bài 3: Cho hàm số 𝑦 =12𝑥2+ 𝑥 −3
① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ② Tìm 𝑥 cho 𝑦 > ③ Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn −2;
Bài 4: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥2+ 2𝑥 +
① Khảo sát vẽ đồ thị ② Tìm 𝑥 cho 𝑦 > ③ Tìm 𝑥 cho 𝑦 < Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị
Vẽ parabol 𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)
Biến đổi phương trình bậc hai đề thành phường trình hoành độ giao điểm (𝑃) đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑚 phương với trục 𝑂𝑥)
Số nghiệm phương trình đề số giao điểm (𝑃) 𝑑 Bài 1: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥2+ 3𝑥 +
① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
② Biện luận theo 𝑚 số nghiệm phương trình: 𝑥2− 3𝑥 − + 𝑚 = Bài 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 +
① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
② Dựa vào đồ thị (𝑃) tìm 𝑚 để phương trình: 𝑥2− 4𝑥 + − 𝑚 = có nghiệm dương Bài 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥
① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
② Dựa vào đồ thị (𝑃) tìm 𝑚 để phương trình: 𝑥2− 2𝑥 + 𝑚 = có hai nghiệm dương
③ Dựa vào đồ thị (𝑃) tìm tất giá trị 𝑚 để phương trình: 𝑥2− 2𝑥 + − 𝑚 = có nghiệm thuộc đoạn −1;
Bài 4: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + ① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
② Dựa vào (𝑃) tìm 𝑚 để pt: −𝑥2+ 4𝑥 + 𝑚 = có hai nghiệm phân biệt 𝑥 ∈ −∞; ∪ 4; +∞ Bài 5: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥2+ 6𝑥 −
① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số trên, từ suy đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥2+ 𝑥 −
(6)6 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 Bài 6: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + ① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
② Dựa vào đồ thị (𝑃) tìm tất giá trị 𝑚 để phương trình: 𝑥2− 𝑥 + − 𝑚 = có ba nghiệm phân biệt thỏa 𝑥 + >
Bài 7: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − ① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
② Định 𝑚 để phương trình: 𝑚 − 𝑥2+ 𝑥 + = có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng −1; Bài 8: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥2+ 𝑥 − + 4𝑥 +
① Khảo sát vẽ đồ thị hàm số xét tính chẵn lẻ
② Định 𝑚 để phương trình: −𝑥2+ 𝑥 − + 4𝑥 + = 𝑚 có bốn nghiệm phân biệt thuộc Tịnh tiến đồ thị
Cho hai parabol 𝑃 : 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑃′ : 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑥2+ 𝑏′𝑥 + 𝑐′ có hai hệ số 𝑎 Tìm phép tịnh tiến song song trục tọa độ biến (𝑃) thành 𝑃′
Bước 1: Tìm tọa độ đỉnh 𝐼 𝑃 𝐼′ 𝑃′
Bước 2: Xác định phép tịnh tiến song song trục tọa độ biến 𝐼 thành 𝐼′: qua trái hay qua phải đơn vị, sau lên hay xuống đơn vị phép tịnh tiến biến (𝑃) thành 𝑃′ Bước 3: Kiểm tra lại công thức 𝑦 = 𝑓 𝑥 ± 𝑝 ± 𝑞 để chứng tỏ hàm số
𝑦 = 𝑔 𝑥
Bài 1: Cho hàm số 𝑦 = 2𝑥2 có đồ thị 𝑃
𝑜 Hãy xác định phép tịnh tiến song song với trục tọa độ biến đổi (𝑃𝑜) thành đồ thị hàm số sau đây:
① 𝑦 = 2(𝑥 + 1)2 ② 𝑦 = 2(𝑥 − 2)2
③ 𝑦 = 2(𝑥 + 2)2− ④ 𝑦 = 2(𝑥 − 3)2+ 1
Bài 2: Cho hai hàm số bậc hai 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thị (𝑃1) 𝑃2 Hãy xác định phép tịnh tiến song song với trục tọa độ biến đổi (𝑃1) thành 𝑃2 vẽ (𝑃1) 𝑃2 hệ trục tọa độ
① 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 2𝑥2− 6𝑥 + 1; 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 2𝑥2+ ② 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2− 2𝑥 + 3; 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑥2+ 4𝑥 + ③ 𝑦 = 𝑓 𝑥 = −𝑥2+ 2𝑥 − 1; 𝑦 = 𝑔 𝑥 = −𝑥2+ 4𝑥 +
Bài 3: Phân tích hàm số sau thành dạng: 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2+ 𝑞 Từ cho biết đồ thị có thể suy từ đồ thị hàm số nhờ phép tịnh tiến song song với trục tọa độ Hãy mô tả phép tịnh tiến
① 𝑦 = 𝑥2− 8𝑥 + 12 ② 𝑦 = −3𝑥2− 12𝑥 +
③ 𝑦 = 2𝑥2− 4𝑥
(7)7 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Các loại tập khác Bài 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số:
𝑦 = 𝐹 𝑥 = −𝑥 +
2 𝑥 ≤ − −2𝑥2+ 𝑥 + 𝑥 > −1
Bài 2: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: 𝑦 = 𝐹 𝑥 = 𝑥2− 2𝑥 + 4𝑥2− 12𝑥 + Bài 3: Tìm m để hàm số 𝑦 = 2𝑥2− 2𝑚𝑥 + đồng biến khoảng (−1; 3) Bài 4: Tìm m để hàm số 𝑦 = 𝑥2 + 𝑚 + 𝑥 + 𝑚 − giảm khoảng (−2; 3)
Bài 5: Viết phương trình parabol 𝑃 , có đỉnh 𝐴 1; −2 (𝑃) chắn đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑥 + dây cung có độ dài 𝑀𝑁 = 34
Bài 6: Viết phương trình parabol 𝑃 , biết (𝑃) cắt 𝐻 : 𝑦 =𝑥−41 điểm có hồng độ nghiệm phương trình 𝑥3− 4𝑥2− 5𝑥 =
Bài 7: Viết phương trình parabol 𝑃 , có đỉnh nằm đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = −34 cắt 𝐻 : 𝑦 =2𝑥2+ 𝑚−1 𝑥+𝑚𝑥−𝑚 điểm cố định
Bài 8: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 𝑚𝑥 + 𝑚 − có đồ thị 𝑃 𝑚 ① Xác định giá trị 𝑚 cho (𝑃𝑚) qua điểm 𝐴(2; 1)
② Tìm tọa độ điểm B cho đồ thị (𝑃𝑚) qua dù 𝑚 lấy giá trị nào? Bài 9: Cho hàm số 𝑦 = 𝑚𝑥2− 𝑚 + 𝑥 − 2𝑚 + có đồ thị 𝑃
𝑚 ① Xác định giá trị 𝑚 cho (𝑃𝑚) qua điểm 𝐴(2; 1)
② Tìm tọa độ điểm cho đồ thị (𝑃𝑚) qua dù 𝑚 lấy giá trị nào?
Bài 10: Cho parabol 𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎 ≠ đường thẳng song song trục hoành, cắt (𝑃) hai điểm 𝐴, 𝐵 Chứng minh trung điểm 𝐴𝐵 thuộc trục đối xứng 𝑃
Bài 11: Cho parabol 𝑃 : 𝑦 = 2𝑥2+ 𝑥 − đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑚𝑥 Chứng minh (𝑑) cắt (𝑃) hai điểm phân biệt 𝐴, 𝐵 xác định tọa độ trung điểm đoạn 𝐴𝐵
Bài 12: Cho 𝑃𝑚 : 𝑦 = 𝑚𝑥2− 2𝑚𝑥 + (𝑚 ≠ 0)
① Chứng tỏ đỉnh (𝑃𝑚) di động đường thẳng cố định với 𝑚 ≠ ② Chứng tỏ 𝑚 thay đổi, (𝑃𝑚) qua hai điểm cố định
③ Định m để (𝑃𝑚) có hai điểm phân biệt đối xứng qua 𝑂
④ Chứng tỏ (𝑃𝑚) cắt 𝑑𝑚 : 𝑦 = 𝑥 − 𝑚 hai điểm phân biệt 𝐴, 𝐵 Tìm quỹ tích trung điểm 𝐼 đoạn 𝐴𝐵 𝑚 thay đổi
“Bạn cần phải thấy thỏa mãn sống