Đang tải... (xem toàn văn)
Töø ñoù giaûi phöông trình löôïng giaùc cô baûn tìm ñöôïc u... Haõy giaûi (1) trong tröôøng hôïp ñoù.[r]
(1)( )
( )
( )
( )
+ + = ≠
+ + = ≠
+ = = ≠
+ + =
2 2
2
a sin u b sin u c a
a cos u b cos u c a
atg u btgu c a
a cot g u b cot gu c a 0≠
Cách giải:
Đặt : t sin u= hay t cos u= với t ≤1
(điều kiện
t tgu= u k
2
π
≠ + π) (điều kiện
t cot gu= u k≠ π )
Các phương trình thành: at2 +bt c 0+ =
Giải phương trình tìm t, so với điều kiện để nhận nghiệm t Từ giải phương trình lượng giác tìm u
Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002) Tìm nghiệm (0,2π) phương trình
( )
cos 3x sin 3x
5 sin x cos 2x *
1 2sin 2x
+
⎛ + ⎞= +
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
Điều kiện: sin 2x
≠ −
Ta coù: sin 3x cos 3x+ = (3sin x sin x− ) (+ 4 cos x 3cos x3 − )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3
2
3 cos x sin x cos x sin x
cos x sin x cos x cos x sin x sin x
cos x sin x 2sin 2x
= − − + −
⎡ ⎤
= − ⎣− + + + ⎦
= − +
Lúc đó: (*) ⇔ 5 sin x⎡ +(cos x sin x− )⎤ = +3 (2cos x 12 )
⎣ ⎦ −
1 sin 2x
2
⎛ ≠ − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2cos x 5cos x
(2)( )
1 cos x
2 cos x loại
⎡ =
⎢ ⇔ ⎢
= ⎢⎣
x
π
⇔ = ± + k2π (nhaän sin 2x
2
= ± ≠ − )
Do x∈(0,2π) neân x x
3
π π
= ∨ =
Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005) Giải phương trình: cos 3x.cos 2x cos x *2 − = ( )
Ta coù: (*) cos 6x.cos 2x cos 2x
2
+ +
⇔ − =
cos6x.cos2x
⇔ − = (**)
Caùch 1: (**) ⇔(4 cos 2x 3cos 2x cos 2x 03 − ) − = =
4
4 cos 2x 3cos 2x
⇔ − −
( )
2
cos 2x 1
cos 2x vô nghiệm
4
⎡ =
⎢
⇔ ⎢ = −
⎢⎣
( )
sin 2x
k
2x k x k Z
2
⇔ =
π
⇔ = π ⇔ = ∈
Caùch 2: (**) cos8x cos4x 0( )
2
⇔ + − =
( )
2
cos 8x cos 4x 2cos 4x cos 4x
cos 4x
cos 4x loại
2
⇔ + − =
⇔ + −
= ⎡
⎢ ⇔
⎢ = −
⎣
=
( )
k
4x k2 x k Z
2
π
⇔ = π ⇔ = ∈
Cách 3: phương trình lượng giác không mẫu mực:
(**) ⇔ cos 6x cos 2x
cos 6x cos 2x
= =
⎡
⎢ = = −
⎣
Caùch 4: cos 8x cos 4x 0+ − = ⇔cos 8x cos 4x 2+ =
⇔cos 8x cos 4x 1= = ⇔cos 4x 1=
Bài 58: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005)
Giải phương trình: cos x sin x cos x4 sin 3x 0
4
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟−
(3)Ta coù: (*)
( 2 2 )2 2 2
sin x cos x 2sin x cos x sin 4x sin 2x
2
⎡ ⎛ π⎞ ⎤
⇔ + − + ⎢ ⎜ − ⎟+ ⎥−
⎝ ⎠
⎣ ⎦ =
[ ]
2
1
1 sin 2x cos 4x sin 2x
2 2
⇔ − + − + − =
( )
2
1sin 2x 1 2sin 2x 1sin 2x 0
2 2
⇔ − − − + − =
2
sin 2x sin 2x
⇔ + − =
( )
sin 2x
sin 2x loại
= ⎡
⇔ ⎢ = −
⎣
π
⇔ = + π ∈
π
⇔ = + π ∈
2x k2 , k
2
x k , k
4
Bài 59: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2004)
( ) (
− = −
5 sin x sinx tg x *) Giải phương trình:
Khi đó: (*)
cos x 0≠ ⇔ sin x≠ ±1 Điều kiện:
( )sin x22
5sin x sin x
cos x
⇔ − = −
( ) sin x2 2
5sin x sin x
1 sin x
⇔ − = −
−
2
3sin x 5sin x
1 sin x
⇔ − =
+
2sin x 3sin x
⇔ + − =
( )
( )
1
sin x nhaän dosin x
2
sin x vô nghiệm
⎡ = ≠
⎢ ⇔ ⎢
= − ⎢⎣
±
( )
5
x k2 x k2 k
6
π π
⇔ = + π ∨ = + π ∈Z
( )
1
2sin 3x 2cos 3x *
sin x cos x
− = +
Bài 60: Giải phương trình:
Lúc đó: (*)
Điều kiện: sin 2x 0≠
( ) 1
2 sin 3x cos3x
sin x cos x
(4)( ) ( 3 ) 1
2 sin x cos x sin x cos x
sin x cos x
⎡ ⎤
⇔ ⎣ + − + ⎦ = +
( ) ( 2 ) sin x cos x
2 sin x cos x sin x sin x cos x cos x
sin x cos x
+
⎡ ⎤
⇔ + ⎣ − − + ⎦ =
(sin x cos x) 8sin x cos x
sin x cos x
⎡ ⎤
⇔ + ⎢− + − ⎥ =
⎣ ⎦
(sin x cos x sin 2x) 2
sin 2x
⎡ ⎤
⇔ + ⎢ − − ⎥
⎣ ⎦ =
( )
2
tgx
sin x cos x
nhận so vớiđiều kiện
sin 2x sin 2x
4 sin 2x 2sin 2x 2
= − ⎡
+ =
⎡ ⎢
⇔ ⎢ ⇔ −
⎢ = ∨ =
− − =
⎣ ⎣
π π π π
⇔ x= − + π ∨k 2x = +k2π ∨2x = − +k2π ∨2x = +k2 , kπ ∈
4 6
π π π
⇔ x= ± + π ∨ = −k x + π ∨ =k x + πk , k∈
4 12 12
( + )− − ( )
= +
2
cos x sin x 2 cos x
1 * sin 2x
Bài 61: Giải phương trình:
sin 2x x m
4
π ≠ − ⇔ ≠ − + π
Điều kiện: Lúc đó:
(*) ⇔ 2sin x cos x cos x 2cos x 1 sin 2x+ − − = +
2cos x cos x
⇔ − + =
( )
⇔ cos x = hay cos x = vô nghiệm
( )
x k2
4
x k '2 loại điều kiện
4
π
⎡ = + π ⎢
⇔ ⎢
π
⎢ = − + π
⎢⎣
x k2
4
⇔ = π + π
Bài 62: Giải phương trình:
( )
x 3x x 3x
cos x.cos cos sin x sin sin *
2 − 2 =
Ta coù: (*) 1cos x cos 2x cos x( ) 1sin x cos 2x cos x( )
2
1
⇔ + + − =
2
cos x.cos 2x cos x sin x cos 2x sin x cos x
⇔ + + − =
cos x
⇔ cos 2x cos x sin x( + ) = −1 cos x sin x2 +
( ) ( )
cos 2x cos x sin x sin x sin x cos x
(5)(cos x sin x cos 2x sin x)( ) * *( )
⇔ + − =
(cos x sin x 2sin x sin x)( ) 0
⇔ + − − =
2
cos x sin x
2sin x sin x
= − ⎡
⇔ ⎢
+ − =
⎣
tgx
sin x
1 sin x
2
⎡
⎢ = −
⎢
⇔ ⎢ =
⎢
= ⎢
⎣
− ( )
x k
4
x k2 k
2
5
x k2 x k2
6
π ⎡ = − + π ⎢
⎢
π ⎢
⇔ ⎢ = − + π ∈
⎢ π π
⎢ = + π ∨ = + π
⎢⎣
Z
Caùch khaùc: (**) tgx cos 2x sin x cos x
2
π
⎛ ⎞
⇔ = − ∨ = = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
( )
4 cos x sin 2x 8cos x *+ =
Bài 63: Giải phương trình:
Ta có: (*) ⇔4 cos x sin x cos x 8cos x 03 + − =
( )
cos x 2cos x sin x
⇔ + − =
( )
cos x sin x⎡ sin x 4⎤
⇔ ⎣ − + − ⎦ =
2
cos x 2sin x sin x
⇔ = ∨ − + =
( )
cos x sin x
2
sin x vô nghiệm
= ⎡
⎢ ⎢
⇔ ⎢ =
⎢
= ⎢⎣
2
x k sin x sin
2
π π
⇔ = + π ∨ = =
4
( )
3
x k x k2 x k2 k
2 4
π π π
⇔ = + π ∨ = + π ∨ = + π ∈Z
Bài 64: Giải phương trình:
( )
cos 2x cos 2x sin x 2 sin x *
4
π π
⎛ + ⎞+ ⎛ − ⎞+ = + −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( )
(*) 2cos 2x.cos sin x 2 sin x( )
π
⇔ + = + −
( ) ( )
( )
2
2 2sin x sin x 2
2 sin x sin x
⇔ − + + − − =
⇔ − + + =
(6)( )
⇔2 sin x2 − 2 sin x+ + 0= ( )
⎡ ⎢si
⇔ ⎢ =
= ⎢⎣
n x loại
1 sin x
2
⇔ x = π +k2 hay xπ = 5π +k2 , kπ ∈
6
Baøi 65: Giải phương trình : cotg x 22 + sin x2 =(2 cos x *+ ) ( )
Điều kiện: (*)
sin x 0≠ ⇔ cos x≠ ±1 Chia hai vế (*) cho sin x2 ta được:
( )
2
4
cos x cos x
3 2
sin x sin x
⇔ + = + vaø sin x 0≠
2
cos x t
sin x
=
Đặt ta phương trình:
( )
2
3t − 3+ t 2+ 2
t t
3
=
⇔ = ∨ =
* Với t
= ta coù: cos x2
3 sin x =
( )
( )
(
co nhaän
⎢⎣ )
2
3cos x cos x 2cos x 3cos x
cos x loại
s x cos x
2
⇔ = −
⇔ + − =
⎡ = −
⎢
⇔ ⎢ = ≠ ±
( )
x k2 k
3
π
⇔ = ± + π ∈Z
* Với t = ta có: cos x2 = sin x
( )
( )
( )
⇔ = −
⇔ + − =
⎡ = −
⎢ ⇔ ⎢
= ≠ ±
⎢⎣ π
⇔ x= ± +k2 , kπ ∈ 2
cos x cos x
2 cos x cos x
cos x loại
2
cos x nhaän cos x
2
Baøi 66: Giải phương trình: sin 2x sin x cos 2x *2 + − − = ( )
(7)Điều kiện: Lúc đó:
(*) =
≠
cos x
2
4 sin 2x 6sin x 3cos 2x
⇔ + − −
( ) ( )
2
4 cos 2x cos 2x 3cos 2x
4 cos 2x 6cos 2x
cos 2x cos 2x
2
⇔ − + − − − =
⇔ + + =
⇔ = − ∨ = −
2
2cos x 1 2cos x
2
⇔ − = − ∨ − = −
( )
( )
( )
cos x loại dođiều kiện
cos x nhaän cos x
2
2
x k2 x
3
⇔ = ± + π ∨ k2 k Z
3
⎡ =
⎢
⇔ ⎢ = ± ≠
π = ± π + π ∈
⎢⎣
( )
f x sin x sin 3x sin 5x
3
= + +
Baøi 67: Cho
( )
f ' x =0
Giải phương trình: Ta có:
=
( )
f ' x =
( ) ( )
( ) ( )
cos x cos 3x 2cos5x
cos x cos5x cos 3x cos5x
2cos3x cos 2x 2cos 4x cos x
4 cos x 3cos x cos 2x 2cos 2x cos x
⇔ + + =
⇔ + + + =
⇔ + =
⇔ − + −
( )
( )
⎡ ⎤
⇔ ⎣ − + − ⎦
⎡⎡⎣ + − ⎤⎦ + − =
⇔ ⎢
= ⎢⎣
⎡ − − =
⇔ ⎢
= ⎣
±
⇔ = ∨ =
2
2
2
4 cos x cos 2x cos 2x cos x
2 cos 2x cos 2x cos 2x
cos x
4 cos 2x cos 2x cos x
1 17
cos 2x cos x
8
=
( )
1 17 17
cos 2x cos cos 2x cos cos x
8
x k x k x k k Z
2 2
+ −
⇔ = = α ∨ = = β ∨ =
α β π
(8)( )
8 17
sin x cos x cos 2x *
16
+ =
Bài 68: Giải phương trình: Ta có:
( )
( )
2
8 4 4
2
2 2
2
2
2
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x
1
sin x cos x 2sin x cos x sin 2x
8
1
1 sin 2x sin 2x
2
1
1 sin 2x sin 2x
8
+ = + −
⎡ ⎤
= ⎢ + − ⎥ −
⎣ ⎦
⎛ ⎞
= ⎜ − ⎟ −
⎝ ⎠
= − +
Do đó:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
⎛ ⎞
⇔ ⎜ − + ⎟ = −
⎝ ⎠
⇔ + − =
⎡ = −
⎢
⇔ ⎢ ⇔ −
= ⎢
= π
⇔ = ⇔ = + ∈
2
4
2
1
* 16 sin 2x sin 2x 17 sin 2x
8
2 sin 2x sin 2x
sin 2x loại 1 1
1 cos 4x
1 2 2
sin 2x
cos 4x x 2k , k Z
8 Baøi 69
⎣
( )
5x x
sin 5cos x.sin *
2 =
: Giải phương trình:
Nhận xét thấy: cosx x k2 cos x
2 = ⇔ = π + π ⇔ = −
Thay vào (*) ta được:
π
⎛ + π = −⎞ ⎛ + π
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
5
sin 5k 5.sin k
2
π ⎞
⎟
⎠, không thỏa ∀k
x cos
2
Do không nghiệm (*) neân:
( )* ⇔sin5x.cosx =5 cos x.sin cos2 x x
2 2 vaø
x
cos
2 ≠
( )
1 sin 3x sin 2x 5cos x.sin x
2
⇔ + = vaø cosx ≠
vaø
3
3sin x sin x 2sin x cos x 5cos x.sin x
⇔ − + = cosx ≠
2
2
x
cos
2
3 sin x 2cos x 5cos x sin x
⎧ ≠
⎪ ⇔ ⎨
⎪ − + = ∨
(9)3
x
cos
2
x
5cos x cos x 2cos x sin
2
⎧ ≠
⎪⎪ ⇔ ⎨
⎪ − − + = ∨
⎪⎩ =
( )( )
cos x
x
cos x 5cos x cos x sin
2
≠ − ⎧
⎪
⇔ ⎨ − + − = ∨ =
⎪⎩
≠ − ⎧
⎪⎡ ⎪
⎢ =
⎪⎢ ⎪
⇔ ⎨⎢ = − + = α
⎪⎢ ⎪⎢
− −
⎪⎢ = = β
⎣ ⎩
cos x
cos x
1 21
cos x cos
10
1 cos 10
⎪⎢cos x
( )
⇔ x k2 hay x= π = ±α +k2 hay xπ = ±β +k2 , k Zπ ∈
( ) ( )
sin 2x cot gx tg2x+ = cos x * Bài 70: Giải phương trình:
iều kiện: cos2x
Đ cos2x 0≠ sin x 0≠ ⇔ cos2x≠ ∧0 ≠
Ta coù: cot gx tg2x cos x sin 2x sin x cos2x
+ = +
cos 2x cos x sin 2x sin x sin x cos 2x
cos x sin x cos 2x
+ =
=
2
cos x
2sin x.cos x cos x
sin x cos 2x
⎛ ⎞
⇔ ⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
Lúc đó: (*)
( ) ( )
( )
( )
⇔ =
⇔ + = +
⇔ + = =
⇔ = − ∨ = ≠ ≠
2
2
cos x 2 cos x cos 2x
cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x hay cos 2x
1
cos 2x cos 2x nhaän cos 2x vaø cos 2x
π
⇔ = π + π ∨ = ± + π ∈
π π
⇔ = + π ∨ = ± + π ∈
2x k2 2x k2 , k
3
x k x k , k
Baøi 71
2
( )
2 6x 8x
2 cos 3cos *
5 + =
(10)⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔⎜ + ⎟+ = ⎜
⎝ ⎠ ⎝
2
12x 4x
1 cos cos
5
Ta coù : (*) − ⎟
⎠
⇔ + − = ⎜⎛ ⎞⎟
⎝ ⎠
34x 4x 4x
2 cos 3cos cos
5 5 −
Đặt t cos x điều kiện t 14 ( )
= ≤
Ta có phương trình :
( )( )
( )
3
3 2
4t 3t 6t
4t
⇔ 6t 3t
t 4t 2t
1 21 21
t t t loïai
4
− + = −
− − + =
⇔ − − − =
− +
⇔ = ∨ = ∨ =
Vậy
( )
• = ⇔ = π
π
⇔ = ∈
4x 4x
cos 2k
5
5k
x k
2 Z
( )
( )
4x 21
cos cos với
5
4x 2
5
5
x , Z
4
−
• = = α < α < π
⇔ = ±α + π
α π
⇔ = ± + ∈
l l
l
Baøi 72 tg x3 tgx *( )
4
π
⎛ − ⎞= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
: Giải phương trình
t x x t
4
π π
= − ⇔ = +
Đặt
3 tgt
tg t tg t 1 với cos t tgt
4 tgt
π +
⎛ ⎞
= ⎜ + − =⎟ − ≠ ∧
−
⎝ ⎠
(*) thaønh : ≠
⇔ =
−
3 2tgt
tg t
1 tgt
( )
)( )
( )
(
3
3
2 tg t tg t 2tgt tgt tg t tg t
t tg t 2tgt tgt tgt nhận so àu kiện
t k t k ,k
4
⇔ − =
⇔ − + =
+ − + =
⇔ = ∨ = −
π
⇔ = π ∨ = − + π ∈¢
Vậy (*)
tgt tg
⇔
(11)x k hay x
⇔ = + ππ =k ,kπ ∈¢
Bài 73 sin 2x cos 2x4 cos 4x (*)4
tg x tg x
4
+ =
π π
⎛ − ⎞ ⎛ + ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
: Giải phương trình Điều kiện
sin x cos x sin 2x
4
sin⎛π π
⎪
⎜4 x cos 4 x sin 2 2x
⎧ ⎛π− ⎞ ⎛π− ⎞≠ ⎧ ⎛π− ⎞≠
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪ ⎪
⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠
⎨ ⎨
π
⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎛ ⎞
+ ⎟ ⎜ + ⎟≠ ⎜ + ⎟≠
⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠
⎩ ⎩
±
Do :
⇔
cos2x sin 2x
⇔ ≠ ⇔ ≠
1 tgx tgx
tg x tg x
4 tgx tgx
π π − +
⎛ − ⎞ ⎛ + ⎞=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =
Khi cos2x :≠
( )
( )
( )
( )
4 4
2
2
2
4
2
2
* sin 2x cos 2x cos 4x
1 2sin 2x cos 2x cos 4x
1 sin 4x cos 4x
2
1 cos 4x cos 4x
2
2 cos 4x cos 4x cos 4x
1 sin 4x 1
cos 4x voâ nghieäm
2 sin 4x
2sin 2x cos2x sin 2x cos2x
2x k ,k x k
⇔ + =
⇔ − =
⇔ − =
⇔ − − =
⇔ − − =
⎡ =
⎢
⇔ ⎢ ⇔
= − ⎢⎣
⇔ =
⇔ =
⇔ = ≠
⇔ = π ∈ ⇔ =¢
− =
, k
π ∈
¢
( )
4
1
48 cot g2x cot gx *
cos x sin x
− − + = ( )
Baøi 74 :Giải phương trình: Điều kiện :
(12)( )
2
cos2x cos x cot g2x cot gx
sin 2x sin x
sin 2xsin x cos2x cosx sin xsin 2x
cos x do cos x 0
2sin x cos x 2sin x
+ = +
+ =
= = ≠
Lúc (*) 48 14 14
cos x sin x
⇔ − − =
4
4 4
1 sin x cos
48
cos x sin x sin x cos x
+
⇔ = + = 4x
4 4
4 2
4
48sin x cos x sin x cos x 3sin 2x 2sin x cos x
1
3sin 2x sin 2x
2
⇔ = +
⇔ = −
⇔ + − =
( )
( )
2
2
2 sin x lọai
3
sin x nhận
⎡ = −
⎢ ⇔ ⎢
⎢ = ≠
⎢⎣
( )
( )
2
cos4x
k
x k Z
8
⇔ =
π
π π
⇔ = + ∈
Baøi 75
1 1 cos4x
⇔ − =
4x π k
⇔ = +
: Giải phương trình
( ) ( )
8 10 10
sin x cos x sin x cos x cos2x *
4
+ = + +
Ta coù : (*)
(sin x 2sin x8 10 ) (cos x cos x8 10 ) 5cos2x
4
⇔ − + − =
( ) ( )
( )
8
8
8
5
sin x 2sin x cos x cos x cos2x
4
sin x.cos2x cos x cos2x cos2x
4
4 cos2x sin x cos x 5cos2x
⇔ − − − + =
⇔ − =
(13)( )
( )( )
8
2
s2x hay sin x x
cos2x hay sin 2x
cos2x hay 2sin 2x 1(Vô nghiệm )
= =
= ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠
⇔ = − =
co cos
⇔ −
4 4
cos2x hay sin x cos x sin x cos x
⇔ = − + =
⎛ ⎞
⇔
2x π k ,k
⇔ = + π ∈¢
2 k
x ,k
4
π π
⇔ = + ∈¢
( 8 )
4 sin x cos x− =5
Caùch khác: Ta có vô nghiệm
Vì (sin x cos x8 − )≤ ∀1, x neân 4 sin x cos x( − )≤ < ∀4 5, x
Ghi : Khi gặp phương trình lượng giác dạng R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) với R hàm hữu tỷ đặt t = tgx
Lúc tg2x 2t 2,sin 2x 2t 2,cos 2x t2
1 t t t2
−
= = =
− + +
Bài 76 : (Để thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003) Giải phương trình
( )
− = + −
+
2
cos 2x
cot gx sin x sin 2x *
1 tgx
Điều kiện : −
Đặt t = tgx (*) thành :
sin 2x vaø tgx≠ ≠
2
2
2
1 t
1 1 1 t 1 t 1. 2t
t t t t
−
⎡ − ⎤
+
− = + ⎢ − ⎥−
+ ⎣ + ⎦ +
( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( ( ) )
2
2 2
2
2
2
2
2t t do t 1
t t t
t
t t t
1 t t t t
t nhaän t
1 t
1 t t t 2t t vô nghiệm
− ≠ −
+ +
⇔ − + = −
= ≠ −
⎡ − =
⎡
⇔⎢ + = − ⇔ ⎢
− + = ⎢
⎣ ⎣
Vaäy (*)
1 t− t− 1
⇔ = +
t 1+ 1+
2 1
1 t− t −2t 1+ −
⇔ = =
+
⇔ tgx x k nhaän sin 2x 0( )
4
π
= ⇔ = + π = ≠
Baøi 77 : Giải phương trình: sin 2x 2tgx *+ = ( )
Điều kiện :
ặt t = tgx (*) thành : cos x
≠
(14)2
2t 2t 3
+ =
1 t+
)( )
( )
( )( )
(
( )
⇔ + − + =
+ − =
− − + =
− + = ⎣
π
⇔ = ⇔ = + π ∈
2
2
2t 2t t
4t
1 2t t
2t t vô nghiệm
⇔2t3 −3t2 0
⇔ t
= ⎡
⇔ ⎢
t
Vaäy (*) tgx x k k Z
4
Bài 78 : Giải phương trình
( )
2
cot gx tgx 4sin 2x *
sin 2x
− + =
sin 2x 0≠
Điều kiện :
Đặt t tgx : sin 2x 2t 2 sin 2x neân t t
= = ≠
+ ≠
(*) thaønh : t 8t 2 t2 t
t t t t
+
− + = = +
+
( )
( )
⇔ =
+
⇔ = ≠
+
⇔ = ⇔ = ± ≠
π
⎛ ⎞
⇔ = ⎜± ⎟
⎝ ⎠
π
⇔ = ± + π ∈
2
4 1 t 0
1 t
t t nhaän t
Vaäy (*) tgx tg
3
x k , k
3
Baøi 79
2
8t 2t
1 t
: Giải phương trình
(1 tgx sin 2x− )( + ) = +1 tgx *( )
Điều kiện :
Đặt = tgx (*) thành :
cos x 0≠
( )⎜ 1 t+ 2⎟
⎝ ⎠
2t
⎛
1 t 1− + ⎞= +1 t
(1 t− ) (1 t+ )22 = +1 t
( )( ) 2
2
t
t t 1
1 t 1 t 1 t
1 t
t t
+ ⇔
= −
⎡ ⎡ = −
+ ⎢
⎢ t ⎢
⇔ − ⇔
− = +
= ⎣
⎢ +
⎣
(15)= −
⎡ π
⇔
Do (*) ⎢ ⇔ = − + π = π ∈
=
⎣
tgx
x k hay x k , k
tgx
Baøi 80 : Cho phương trình cos 2x −(2m cos x m+ ) + + =1 *( )
3 m
2
=
a/ Giải phương trình
3 , 2
π π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b/ Tìm m để (*) có nghiệm
( )
2
2 cos x− 2m cos x m 0+ + =
Ta coù (*)
[ ]
( )
( )
⎧ = ≤
⎪ ⇔ ⎨
− + + =
⎪⎩
t cos x t
2t 2m t m
[ ]
( )
⎧ = ≤
⎪ ⇔ ⎨
= ∨ = ⎪
⎩
t cos x t
1
t t m
2
a/ Khi m = , phö
3 ơng trình thành
b/
( )
( )
)
[ ]
( ) )
π π
⎛ ⎞
∈⎜ ⎟ = ∈ −
⎝ ⎠
= ∉ −
⎞ ⇔ ∈ −⎡⎣
⎝ ⎠
1 3 loại
3
Khi x , cos x t [ 1,
2
Do t 1, neân
2
m 1,
2 Baøi 81
= ∨ =
cos x cos x
2
π
⇔ = ± +x k2 k Zπ ∈
3
π π
⎛
⎜ ⎟
* có nghiệm , : Cho phương trình
(cos x cos 2x m cos x+ )( − ) =m sin2x *( )
a/ Giaûi (*) m= -2
2 0, π
⎡
b/ Tìm m cho (*) có hai nghiệm
3
⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) (
( ) )
( ) ( )
)(
2
2
2
Ta coù (*) cos x 2cos x m cos x m cos x
cos x 2cos x m cos x m cos x
1 2cos x
⇔ + − − = −
⎡ ⎤
⇔
(cos x m)
+ ⎣ − − − − ⎦ =
+ −
i m = -2 (*) thành :
⇔ − =
(16)( )( )
( )
+ + =
⇔
⇔ = π + π ∈
π
⎡ ⎤ ⎡
∈⎢ ⎥ = ∈⎢
⎣ ⎦ ⎣
2
cos x cos x
cosx = -1
x k2 k Z
2
b / Khi x 0, cos x t ,1
3
⎤
− ⎥⎦
Nhận xét với t ,1
⎡− ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ta tìm x
2 0, π
⎡ ⎤
⎢ 3 ⎥
⎣ ⎦
ùng hai ghiệm ,1
2
⎡− ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Yêu cầu toán ⇔2t2 − −1 m 0= có đu n
Xét y 2t= −1 P vaø y m d( ) = ( )
Ta coù y’ = 4t
2 0,
3
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Vậy (*) có hai nghiệm
1 ,1
⎡− ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⇔ (d) caét (P) hai điểm phân biệt
1 m
− < ≤ ⇔
Baøi 82 : Cho phương trình (1 a tg− ) 2x 1 3a 1( )
cos x
− + + =
1 a
2
=
a/ Giaûi (1)
0,
π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b/ Tìm a để (1) có nhiều nghiệm
Điều kiện : cos x x k
2
π
(17)( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
4a cos x 2cos x a
⇔ − + − =
2
1 a sin x 2cos x 3a cos x
1 a cos x 2cos x 3a cos x
a cos x 2cos x
2cos x a 2cos x 1
⇔ − − + + =
⇔ − − − + + =
⇔ − − − =
⇔ − ⎡⎣ + − ⎤⎦ =
a/ Khi a
= (1) thành : (2cos x cos x)
⎛ ⎞
− ⎜ − ⎟ =
⎝ ⎠
( )
( )
1
cos x cos nhaän cos x
2
x k2 k Z
3
π
⇔ = = ≠
π
⇔ = ± + π ∈
b/ Khi x∈⎛0,π⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ cos x = ∈t ( )0,1
( ) ( )
1
cos x t 0,1
2 2a cos x a
⎡ = = ∈
⎢ ⇔ ⎢
= −
Ta coù : (1)
⎢⎣
Yêu cầu tốn ⇔ (2) có nghiệm ( )
a
1 a
0,1 \⎧ ⎫
2 2a
1 a
2a
⎧ ⎪ ≠
⎪ −
⎪
⇔ ⎨ < <
⎩ ⎭ ⎪
−
⎪ ≠
⎪⎩ ⎨ ⎬
a 0≠ ⎧
( )
0
1 a− 0 ⎪ <
⎪ > a 1 a
1
2a a a
1 3a 0 a
1
2a a
2 a 2a
⎧
⎪ <
⎧ < < ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⇔ ⎨ ⇔ ⎨ < ∨ > ⇔ ⎨
−
⎪ < ⎪ ⎪ ≠
⎪
⎪ ⎪ ≠ ⎩
⎪ − ≠ ⎪⎩
⎩
Caùch khaùc
⎪
cosx
1 , điều kiện ; pt thành
u≥1
: dặt u =
(1 a− )( u2 −1 ) 2u 3a 0− + + = ⇔(1 a u− ) −2u 4a 0+ =
Baøi 83
⇔ ( u 2) [ (1 a)u 2a ] 0− − − =
( )
cos 4x 6sin x cos x m 1+ =
: Cho phương trình : a/ Giaûi (1) m =
0,
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(1) có hai nghiệ phân biệt
b/ Tìm m để m
⇔ −1 2sin 2x 3sin 2x m2 +
(18)( )
( )
t sin 2x t
2t 3t m
⎧ = ≤
⎪ ⇔ ⎨
− + − =
⎪⎩
a/ Khi m = (1) thành
( ) ( )
( )
2
t sin 2x t t sin 2x t
3
t t loại
2t 3t
2
= ∨ =
− =
⎪ ⎪
⎩ ⎩
k
sin 2x x
2
⎧ = ≤
⎧ = ≤
⎪ ⇔ ⎪
⎨ ⎨
π
⇔ = ⇔ =
[
b/ Khi ∈ ]
⎣ 4⎦ hì sin 2x t 0,1
Nhận thấy t tìm
π
⎡ ⎤
∈⎢ ⎥ =
x 0, t
[ ]0,1 ta tìm
x 0,
4
π
⎡ ⎤
∈⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ta có : (2) ⇔
Xét
2
2t 3t m
− + + =
[ ]
2
y = −2t +3t treân 0,1+
Thì y '= −4t 3+
[ ]0,1
Yêu cầu toán ⇔ (d) y = m cắt hai điểm phân biệt 17
2 m
⇔ ≤ <
Cách khác :đặt Vì a = > 0, nên ta có
u cầu tốn ⇔
= − + −
f (x) 2t 3t m
( )
f
Δ = ⎧ ⎪
( )
m m
f m
S
− > = − ≥ ⎪⎪
⎨ = − ≥
⎪
⎪ ≤ = ≤ ⎪⎩
17 1
3
2 0
0 ⇔ ≤2 m < 178
Baøi 84 : Cho phương trình
( )
5
4 cos x.sin x sin x cos x sin 4x m 1− = +
a/ Biết x = π nghiệm (1) Hãy giải (1) trường hợp x
8
π = −
b/ Cho biết nghiệm (1) Hãy tìm tất nghiệm (1) thỏa
4
(19)( )
( )( )
( )
4
2 2 2
2
(1) sin x cos x cos x sin x sin 4x m
2sin 2x cos x sin x cos x sin x sin 4x m 2sin 2x.cos 2x sin 4x m
sin 4x sin 4x m
⇔ − = +
⇔ − + = +
⇔ = +
⇔ − + =
a/ nghiệm (1) =
Lúc (1)
x = π ⇒sin 42 π −sin 4π +m
m
⇒ =
( )
sin 4x sin 4x
⇔ − =
( )
⇔ = ∨ =
π
⇔ = π ∨ = + π
π π π
⇔ = ∨ = + ∈
sin 4x sin 4x
4x k 4x k2
2
k k
x x k Z
4
b/
2
4
2
t x t x
x 3x
1 t
t 3t
⎧ = ≥ ⎧ = ≥
⎪
− + < ⇔ ⎨ ⇔ ⎨
< <
− + < ⎩
⎪⎩
( )
1 x x
2 x 1 x *
< ⇔ − < < − ∨ < < ⇔ < < ⇔ <
π ⎛ π⎞
= − = ⎜− ⎟ = −
⎝ ⎠
x sin 4x sin
8
( )
x nghiệm 1 m
8
m
π
= − ⇒ + + =
⇒ = −
2
sin 4x sin 4x 0− − =
Lúc (1) thành :
( )
( )
( )
2
t sin 4x với t
t t
t sin 4x với t
t t loại
⎧ = ≤
⎪ ⇔ ⎨
− − = ⎪⎩
⎧ = ≤
⎪ ⇔ ⎨
= − ∨ = ⎪⎩
sin 4x
4x k2
2 k x
8
Kết hợp với
⇔ = −
π
⇔ = − + π
π π
⇔ = − +
ều kiện (*) suy k =
ghieäm x
8
π π π
= − + = thỏa x4 −3x2 + <2 Vậy (1) có n
Bài 85 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương
( )
( )( ) (
2 )
1 cos 2x cos 3x
4 cos x cos 3x a cos x a cos2x
+ +
− = + − +
(20)( )
( )
2
Ta coù : (1) cos 3x cos x cos 2x cos 3x
cos x 2cos x
cos x 2cos x
1 cos x cos x
2
⇔ + = + +
⇔ = + −
⇔ − =
⇔ = ∨ =
( )
⇔ − − =
Ta coù : (2) cos x cos x cos x a co ( )
( ) ( )
( )
+ −
+ − − =
⇔ ⎢
+ − + − =
⎢⎣
2
2
s x a cos x 2a cos x a cos x
0
4 cos x 2 a cos x a
⇔4 cos x3
= ⎡cos x
[ ]
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ − ⎟ + − =
⎝ ⎠
1
cos x hay cos x cos x a
2
− ⇔cos x cos x= ∨ = ∨cos x = a
2
Vậy yêu cầu toán
a
2 a 3
a a 4
2
a a
a 1 a 1
−
⎡ =
⎢
= ⎡ ⎢
− ⎢
⎢
⇔ ⎢ = ⇔ ⎢ =
⎢ <
2
∨ >
⎢ − − ⎣
⎢ < − ∨ >
Bài 86
⎢⎣
: Cho phương trình : cos4x = cos23x + asin2x (*)
a/ Giải phương trì nh a =
0, 12
π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b/ Tìm a để (*) có nghiệm
( )* cos 4x 1(1 cos 6x) a(1 cos 2x)
2
⇔ = + + −
Ta coù :
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2cos
⇔ 2x 1 cos 2x 3cos 2x a cos 2x
t cos 2x t
2 2t 1 4t 3t a t
− = + − + −
⎧ = ≤
⎪ ⇔ ⎨
− = + − + −
⎪⎩
( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
3
2
t cos 2x t
4t 4t 3t a t
1 cos 2x t
t 4t a t * *
⎧ = ≤
⎪ ⇔ ⎨
− + + − = −
⎪⎩
⎧ = ≤
⎪ ⇔ ⎨
− − + = −
⎪⎩
(21)( )
( )( ) ( )
t cos2x t
t 4t t
t cos 2x t
⎧ = ≤ ⎧ = ≤
− − + = ⎪ = ±
⎪ ⎩
⎩
⎪ ⇔ ⎪
⎨ ⎨
( )
⇔ = ± ⇔ =
π
⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈
2
cos 2x cos 2x
k
sin 2x 2x k x , k Z
2
3
x 0, 2x 0, Vaäy c
6
⎛ ⎞
∈ ⎜⎝ ⎟⎠ os 2x t ,1
12
⎛ ⎞
π π
⎛ ⎞
∈⎜ ⎟⇔ = ∈ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ⎠
− + = −
⇔ − = ≠
b/ Ta coù :
⎝ ⎠
2 (
⇔ )( ) ( )
( )
Vaäy (**) t-1 4t a t
4t a t
ét y 4t2 3 ( )P trên 3,1
2
⎛ ⎞
= − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ⎠
X
3
y ' 8t t ,1
2
⎛ ⎞
⇒ = > ∀ ∈ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ⎠
ñ ù (*) có nghiệm trê ⎛⎜ π⎞ ⇔⎟ ( ) = ( ) ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
0, d : y a caét P treân ,1
2
Do o n
( )
3
y a y
2 a
1
<
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
< <
BÀI TẬP
⎛ ⎞
⇔ <
⇔
ûi ùc phương trình sau : Gia ca
a/ sin4x = tgx
b/ sin4x sin x x4 π sin x4 π
4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⎜ + ⎟+ ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c/ tgx cot gx 4+ =
d/ ( )
2
sin x 2cos x 2sin x
1 sin 2x
− − −
= −
e/ 4 cos x sin 2x 8cos x4 + =
f/ 1
cosx + sin 2x = sin 4x
g/ sin 2x sin x
4
π
⎛ ⎞
+ ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ =
h/ 2sin x 1( ) sin x 1( ) cos 2x sin 2x
4
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = − − ⎜ + ⎟− ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k/ cos4x cos x2
3 =
l/ tg cos x sin 2x 0x
(22)m/ 3tgx 2sin 2x+ =
n/ cot gx tgx 2tg2x= +
p/ cos2 3x + =1 3cos4x
5
q/ 3cos 4x 2cos 3x 1− =
r/ 2cos2 3x + =1 3cos 2x
2 x
s/ cos x tg
2
+ =
t/ u/
2
3tg2x 4tg3x tg 3x.tg2x− =
2
cos x.cos 4x cos2x.cos 3x cos 4x
+ + =
v/ cos x cos 2x cos 3x cos 4x2 2
2
+ + + =
w/ x/
sin 4x tgx=
6 13
cos x sin x cos 2x
8
+ =
y/ sin 3π− x⎞ = 1sin⎛ π + 3x⎞
2
⎛
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠
( ) a/ Giaûi phương trình a =
10 2 10
⎝ ⎠ ⎝
sin x cos x a sin 2x6 + =
2
1 a
4
≥ ) b/ Tìm a để (1) có nghiệm (ĐS :
3 Cho phương trình
( )
6
2
cos x sin x 2mtg2x cos x sin x
+
= −
a/ Giải phương trình m =
8
1 m
8
≥
b/ Tìm m cho (1) có nghiệm (ĐS : )
Tìm m để phương trình
x kπ
sin 4x mtgx có nghiệm= ≠
1
ĐS : m
2
⎛ − < < ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
5 Tìm m để phương trình : có nghiệm
cos3x cos2x m cos x 1− + − =0
,2
π
⎛− π⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ (ÑS :1 m 3< < )
6 Tìm m để phương trình :
( 4 ) ( )
4 sin x cos+ x −4 sin x c6 + os x6 −sin24x m= có nghiệm
1
ĐS : m
8
⎛ − ≤ ≤ ⎞
⎜
(23)7 Cho phương trình :
2 2
6sin x sin x m cos 2x− = (1) a/ Giaûi phương trình m =
b/ Tìm m để (1) có nghiệm (ĐS :m 0≥ )
8 Tìm m để phương trình :
( )
4 m 2m
sin x cos 4x sin 4x sin x
4
+
+ + − =
coù hai nghiệm phân biệt ,
π π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 ÑS :2 m
2
⎛ − < < ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Tìm m để phương trình :
có nghiệm
( )
6 4
sin x cos x m sin x cos x+ = +
1
ÑS : m
2
⎛ ≤ ≤ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
10 Cho phương trình :
Tìm a để phương trình có nghiệm
2
cos 4x cos 3x a sin x= +
x 0,
2
π
⎛ ⎞
∈ ⎜⎝ ⎟⎠
(ÑS :0 a 1< < )