Bài 3 hàm số bậc HAI nhóm ĐHSPHN image marked

CHƯƠNG BÀI 3: HÀM SỐ BẬC HAI Mục tiêu  Kiến thức + Nhận dạng hàm số y  ax  bx  c Nắm nội dung tập xác định, đồng biến, nghịch biến đồ thị hàm số + Phát vấn đề toán học hàm số nghiên cứu từ toán thực tế + Phát biểu vận dụng điều kiện điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số y  ax  bx  c , điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) tập X, điều kiện để hàm số hàm chẵn (hàm lẻ) D  Kĩ + Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số y  ax  bx  c lập bảng biến thiên hàm số a  0, a  + Xác định tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng parabol y  ax  bx  c , tìm giao điểm đồ thị hàm số với trục tọa độ xét tương giao hai đồ thị hàm số + Xác định hàm số y  ax  bx  c , biết đồ thị thỏa mãn số điều kiện cho trước + Vẽ đồ thị hàm số y  ax  bx  c, y  ax  bx  c , y  a x  b x  c Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hàm số y  ax  a   trường hợp đặc biệt Định nghĩa Hàm số bậc hai cho công thức y  ax  bx  c  a   hàm số bậc hai b  c  Tập xác định hàm số D   Đồ thị hàm số bậc hai Đồ thị hàm số y  ax  bx  c  a    b b  4ac  parabol có đỉnh I   ;   , nhận đường 4a   2a thẳng x   b làm trục đối xứng hướng bề lõm 2a lên a  , hướng bề lõm xuống Ví dụ: Đồ thị hàm số y  x  x  a0 Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh làm trục đối xứng có bề lõm hướng lên  b b  4ac  I  ;  4a   2a Bước 2: Vẽ trục đối xứng x   parabol có đỉnh I  1;3 , nhận đường thẳng x  1 a 0 Đồ thị hàm số y  x  x  cắt trục tung b 2a A  0;  , khơng cắt trục hồnh Bước 3: Xác định số điểm cụ thể parabol Điểm đối xứng với điểm A  0;  qua đường thẳng (chẳng hạn, giao điểm parabol với trục tọa độ điểm đối xứng chúng qua trục đối xứng) x  1 điểm A  2;  Đồ thị hàm số qua hai điểm B 1;7  B  3;7  Bước 4: Căn vào tính đối xứng, bề lõm hfinh đối xứng với qua đường thẳng x  1 Đồ thị hàm số hình vẽ dáng parabol để vẽ parabol Trang Ví dụ: Sự biến thiên hàm số bậc hai - Khi a  , hàm số nghịch biến khoảng b    b   ;   , đồng biến khoảng   ;   2a    2a  4ac  b b có giá trị nhỏ x   4a 2a Bảng biến thiên hàm số a  sau: - Hàm số y  x  x  có a    nên hàm số nghịch biến khoảng  ;  , đồng biến khoảng  2;   có giá trị nhỏ 5 x  Bảng biến thiên hàm số sau: - Hàm số y   x  x  có a  1  b  1 nên hàm số đồng biến khoảng 2a - Khi a  , hàm số đồng biến khoảng  b    b   ;   , nghịch biến khoảng   ;   2a    2a   ; 1 , nghịch biến khoảng  1;   4ac  b b có giá trị lớn x   4a 2a b 2 2a có giá trị lớn 1 x  1 Bảng biến thiên hàm số sau: Bảng biến thiên hàm số a  sau: Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Sự biến thiên b   Hàm số nghịch biến khoảng  ;   2a    b  Hàm số đồng biến khoảng   ;    2a  4ac  b b Hàm số đạt giá trị nhỏ x   4a 2a Đồ thị hàm số Bảng biến thiên Với a  Hàm số bậc hai y  ax  bx  c  a   Tập xác định D Đồ thị hàm số Bảng biến thiên Với a  Sự biến thiên b   Hàm số đồng biến khoảng  ;   2a    b  Hàm số nghịch biến khoảng   ;    2a  Hàm số đạt giá trị lớn 4ac  b b x   4a 2a Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số Phương pháp giải Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số bậc hai Xét hàm số y  ax  bx  c , với a, b, c số, Ví dụ 1: Hàm số y  x  x  có a   , a  Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số, ta thường thực sau: - Xác định hệ số a, b, c - Tính  b  3, c  2,  b  2a Hàm số có bảng biến thiên sau: b 2a - Nếu a  hàm số nghịch biến khoảng b    ;   đồng biến khoảng 2a    b    ;    2a  Bảng biến thiên hàm số sau: 3  Hàm số nghịch biến khoảng  ;  đồng 2  3  biến khoảng  ;   2  - Nếu a  hàm số đồng biến khoảng Ví dụ 2: Hàm số y  2 x  x có a  2  , b    ;   nghịch biến khoảng 2a    b    ;    2a  b  4, c  0,  b  1 Hàm số có bảng biến thiên 2a sau: Bảng biến thiên hàm số sau: Hàm số đồng biến khoảng  ; 1 nghịch biến khoảng  1;   Vẽ đồ thị hàm số bậc hai Trang Để vẽ đồ thị hàm số y  ax  bx  c , với a, b, c số, a  , ta thực sau: - Xác định hệ số a, b, c - Xác định trục đối xứng x   Ví dụ 3: Cho hàm số y  2 x  x có a  2  , b  4, c  0,  b  1 có đồ thị parabol  P  2a b tọa độ đỉnh 2a - Trục đối xứng  P  x  1  b 4ac  b   ;  4a   2a - Xác định thêm số điểm - Vẽ đường cong qua điểm vừa xác định Lưu ý đến biến thiên hàm số - Đỉnh  P  I  1;  - Bảng giá trị số điểm: x 3 2 1 y 6 6 - Đồ thị  P  hình vẽ sau: Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên, xác định khoảng đồng biến, nghịch biến vẽ đồ thị hàm số bậc hai sau a) y  x b) y  x  x  c) y   x  x  Hướng dẫn giải b  a) Hàm số y  x có a  1, b  c  0,  2a Bảng biến thiên hàm số sau: Chú ý: Đường thẳng x  x0 vng góc với trục Ox điểm có hoành độ x0 Đường thẳng y  y0 vng góc Trang với trục Oy điểm có tung độ y0 Điểm M  x0 ; y0  giao điểm Hàm số nghịch biến khoảng  ;0  đồng biến khoảng hai đường thẳng vng góc x  x0 y  y0  0;   Đồ thị hàm số y  x parabol  P  có trục đối xứng đường thẳng x  (trục tung) đỉnh điểm O  0;0  (gốc tọa độ) Để vẽ đồ thị  P  ta lấy số điểm theo bảng giá trị sau: x 2 1 y 1 Đồ thị  P  hình vẽ b) Hàm số y  x  x  có a  1, b  2, c  1,  b 1 2a Bảng biến thiên hàm số sau: Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 đồng biến khoảng 1;   Đồ thị hàm số y  x  x  parabol  P  có trục đối xứng đường thẳng x  đỉnh điểm I 1; 2  Trang Để vẽ đồ thị  P  ta lấy số điểm theo bảng giá trị sau: x 1 y 1 2 1 Ta có đồ thị  P  hình vẽ c) Hàm số y   x  x  có a  1, b  3, c  3,  b  2a Bảng biến thiên hàm số sau: 3  Hàm số nghịch biến khoảng  ;   đồng biến khoảng 2  3   ;  2  Đồ thị hàm số y   x  x  parabol  P  có trục đối xứng đường thẳng x  3 3 đỉnh điểm I  ;   2 4 Để vẽ đồ thị  P  ta lấy số điểm theo bảng giá trị sau: x y 3 1  1 3 Đồ thị  P  hình vẽ Trang Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y  ax  bx  c hình vẽ A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  Hướng dẫn giải Do đồ thị quay bề lõm xuống nên a  Đồ thị cắt trục tung điểm  0;c  nằm phía gốc tọa độ nên c  Hoành độ đỉnh đồ thị nhận giá trị âm nên  b  , dẫn tới b  2a Vậy a, b, c âm Chọn D Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y  x  x Hướng dẫn giải x  Ta thấy x  x    x  x  x    x  x  Viết lại hàm số y  x  x dạng  x  x x   ;0   2;   y  x  x x   0;  Chú ý: Ta vẽ đồ thị hàm số y  x2  2x y   x  x hệ trục tọa độ xóa tồn phần đồ thị nằm phía bên trục hồnh, thu đồ thị hàm số y  x2  2x Trang Để vẽ đồ thị hàm số ta thực bước sau: - Bước 1: Ta vẽ đồ thị hàm số y  x  x (hình 1), cách vẽ tương tự ví dụ - Bước 2: Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y  x  x nằm phía trục hồnh (hình 2) - Bước 3: Xóa tồn phần đồ thị y  x  x nằm phía trục hoành thu đồ thị hàm số y  x  x hình Ví dụ 4: Cho hàm số y   x   3m  1 x  m (với m tham số) có đồ thị  P  a) Tìm m để  P  qua điểm A 1;0  b) Tìm điểm cố định mà  P  qua với m c) Tìm quỹ tích đỉnh  P  m thay đổi d) Tìm m để hàm số hàm chẵn  Hướng dẫn giải a) Thay x  1, y  vào y   x   3m  1 x  m ta  12   3m  1  m  2m    m  Vậy với m  parabol  P  : y   x   3m  1 x  m qua điểm A 1;0  b) Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định mà  P  : y   x   3m  1 x  m qua với m Khi đó: y0   x02   3m  1 x0  m, m     x0  1 m    x02  x0  y0   0, m   3 x0     x0  x0  y0  Trang 10 C D Bài tập nâng cao Câu 11: Đồ thị hàm số y  mx    3m  x  2m  qua hai điểm cố định A, B với m Độ dài đoạn thẳng AB A 13 B C D Câu 12: Cho họ parabol  P  : y  x   2m  1 x  với m tham số Khi m thay đổi, quỹ tích đỉnh  P đường có phương trình sau đây? A y   x  B y  x  C y  x  x  D y   x Câu 13: Cho điểm F 1; 4  đường thẳng  : y  Tập hợp tất điểm M mặt phẳng cho M cách điểm F đường thẳng  A  P  : y   x  x 10 5 B  P  : y   x  x 5 C  P  : y   x  x 10 5 1 D  P  : y   x  x  5 Câu 14: Gọi m0 giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y  x  2mx  đoạn  1;3 đạt nhỏ Khẳng định sau đúng? A m0   1;  B m0  1;5  C m0   3;1 D m0   ;0  Câu 15: Cho số thực x, y, z thỏa mãn  x  y  z  12 x  20 y  28 z  39 Giá trị lớn biểu thức S  2 x  y  z A 12 B 87 C 23 D 76 Dạng 2: Bài toán tương giao đồ thị hàm số Phương pháp giải +) Xét hàm số y  a1 x  b1 x  c1 , y  a2 x  b2 ( Ví dụ 1: Xét hàm số y  x  có đồ thị a1 , a2 , b1 , b2 , c1 số, a1  ) có đồ thị d   P  ,  d  Phương trình hồnh độ điểm chung  P   P d  a1 x  b1 x  c1  a2 x  b2  a1 x   b1  a2  x   c1  b2   (1) và hàm số y  x  x  có đồ thị Phương trình hồnh độ điểm chung x  x   3x   x  x   Trang 14 - Nếu (1) vơ nghiệm  P  ,  d  khơng có điểm chung  P,d  - Nếu (1) có nghiệm kép x  x0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt có điểm chung M  x0 ; a2 x0  b2  Lúc  P   d  tiếp xúc với M Ta gọi đường thẳng  d  tiếp tuyến parabol  P  , điểm M gọi tiếp điểm - Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt x  x1 , x  x2  P,d  x  , x  Thay giá trị x vào phương trình  d  (cũng thay vào phương trình  P  ), ta giá trị tương ứng y  2, y  Vậy  d  cắt  P  hai điểm phân biệt M 1;  , M  3;8  cắt hai điểm phân biệt M  x1 ; a2 x1  b2  , M  x2 ; a2 x2  b2  Ví dụ 2: Xét hàm số y  x  x  có đồ +) Xét hàm số y  a1 x  b1 x  c , y  a2 x  b2 x  c2 ( a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 số, thị  P1  hàm số y  x  x  có đồ thị a1  0, a2  ) có đồ thị  P1  ,  P2  Phương  P2  Phương trình hồnh độ giao điểm trình hồnh độ điểm chung  P1   P2  Phương trình có nghiệm kép x  2 a1 x  b1 x  c1  a2 x  b2 x  c2 Thay giá trị x vào phương trình   a1  a2  x   b1  b2  x   c1  c2   (2) - Nếu (2) vô nghiệm  P1  ,  P2  khơng có điểm chung - Nếu (2) phương trình bậc có nghiệm x  x0  P1  ,  P2  x  3x   x  x   x  x   cắt điểm M  x0 ; a1 x02  b1 x0  c1  (cắt không tiếp xúc)  P1  (cũng thay vào phương trình  P2  ), ta y 8 Vậy  P1   P2  tiếp xúc với điểm M  2;8  - Nếu (2) phương trình bậc hai có nghiệm kép x  x0  P1  ,  P2  tiếp xúc với M  x0 ; a1 x02  b1 x0  c1  Điểm M gọi tiếp điểm - Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt x  x1 , x  x2  P1  ,  P2  cắt hai điểm phân biệt M  x1 ; a1 x12  b1 x1  c1  , M  x2 ; a1 x22  b1 x2  c1  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Đường thẳng sau cắt parabol y  x hai điểm phân biệt? A y  3 x  B y  1  x C y  2 x  D y  x  Trang 15 Hướng dẫn giải Phương trình x  3 x   x  x   (có hai nghiệm phân biệt) Vậy đường thẳng y  3 x  cắt parabol y  x hai điểm phân biệt Phương trình x   x   x  x   (vô nghiệm) Vậy đường thẳng y  1  x parabol y  x khơng có điểm chung Phương trình x  2 x   x  x   (có nghiệm kép) Vậy đường thẳng y  2 x  tiếp xúc với parabol Phương trình x  x   x  x   (vô nghiệm) Vậy đường thẳng y  x  parabol y  x khơng có điểm chung Chọn A Ví dụ 2: Cho hai parabol có phương trình y  x  x  2, y  4 x Khẳng định sau đúng? A Hai parabol điểm chung B Hai parabol cắt điểm (không tiếp xúc) C Hai parabol tiếp xúc với điểm D Hai parabol cắt hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai parabol x  x   4 x  x  x   (vơ nghiệm) Vậy hai parabol khơng có điểm chung Chọn A Ví dụ 3: Cho hai parabol có phương trình y  x  x, y  x  x  Khẳng định sau đúng? A Hai parabol khơng có điểm chung B Hai parabol cắt điểm (không tiếp xúc) C Hai parabol tiếp xúc với điểm D Hai parabol cắt hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai parabol x  x  x  x   3 x   (là phương trình bậc có nghiệm) Vậy hai parabol cắt điểm (khơng tiếp xúc) Chọn B Ví dụ 4: Cho parabol  P  : y  x   m   x  đường thẳng Trang 16  d  : y   m  1 x  2m  Để  d  A m  B m  4 tiếp tuyến  P  C m   D m  Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  x   m   x    m  1 x  2m   x  x  2m   (1) Đường thẳng  d  tiếp tuyến  P  phương trình (1) có nghiệm kép    8m    m   Chọn C Ví dụ 5: Biện luận theo m số nghiệm phân biệt phương trình sau: a) x  x   m b) x  x    m c) x  x  2m Hướng dẫn giải a) Hàm số y  x  x  có đồ thị đường parabol  P  hình vẽ Hàm y  m có đồ thị đường thẳng d vng góc với trục Oy điểm có tung độ m (d phương với Ox) Số nghiệm phân biệt phương trình x  x   m số điểm chung phân biệt  P  d Từ đồ thị ta nhận thấy: - Nếu m  2  P  d khơng có điểm chung, nên phương trình cho vơ nghiệm - Nếu m  2  P  d có điểm chung, nên phương trình cho có nghiệm - Nếu m  2  P  d có hai điểm chung phân biệt, nên phương Trang 17 trình cho có hai nghiệm phân biệt b) Từ đồ thị hàm số y  x  x  ta suy đồ thị hàm số y  x  x  đường cong  P1  hình vẽ Hàm số y   m có đồ thị đường thẳng d1 vng góc với trục Oy điểm có tung độ  m ( d1 phương với Ox) Số nghiệm phân biệt phương trình x  x    m số điểm chung phân biệt  P1  d1 Từ đồ thị ta nhận thấy: - Nếu  m   m   P1  d1 khơng có điểm chung, nên phương trình cho vô nghiệm - Nếu  m   m   P1  d1 có hai điểm chung phân biệt, nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt - Nếu   m   1  m   P1  d1 có bốn điểm chung phân biệt, nên phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt - Nếu  m   m  1  P1  d1 có ba điểm chung phân biệt, nên phương trình cho có ba nghiệm phân biệt - Nếu  m   m  1  P1  d1 có hai điểm chung phân biệt, nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt c) Biến đổi x  x  2m  x  x   2m  Đồ thị hàm số y  x  x  đường cong  P2  hình vẽ Hàm số y  2m  có đồ thị đường thẳng d vng góc với trục Oy điểm có tung độ  m ( d phương với Ox) Số nghiệm phân biệt phương trình x  x  2m số điểm chung phân biệt  P2  d2 Để vẽ đồ thị  P2  ta thực sau: Trang 18 - Vẽ phần parabol y  x  x  ứng với x  - Lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua trục Oy - Hợp hai phần đồ thị  P2  hàm số y  x  x  Dễ thấy y  x  x  hàm chẵn   P2  nhận Oy làm trục đối xứng Từ đồ thị ta nhận thấy: - Nếu 2m    m   P2  d khơng có điểm chung, phương trình cho vơ nghiệm - Nếu 2m    m   P2  d có điểm chung, phương trình cho có nghiệm - Nếu 2m    m   P2  d có hai điểm chung, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Chú ý: 1) Cách vẽ đồ thị hàm số y  f  x  Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị y  f  x  nằm phía trục Sau xóa phần đồ thị nằm phía Ox Tồn phần cịn lại đồ thị hàm số y  f  x  Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y   f  x  hệ trục tọa độ Xóa tồn phần đồ thị nằm phía trục hồnh hai hàm số nói Phần cịn lại thu đồ thị hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f  x  khơng có điểm nằm phía trục hồnh 2) Cách vẽ đồ thị hàm số y  f  x  Vẽ phần đồ thị hàm số y  f  x  ứng với x  Lấy đối xứng phần Trang 19 đồ thị vừa vẽ qua trục tung Tồn phần thu đồ thị hàm số y  f  x  Hàm số y  f  x  hàm chẵn đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng 3) Gọi  C1  ,  C2  đồ thị hai hàm số y  f  x  , y  g  x  Ta gọi phương trình f  x   g  x  phương trình hồnh độ điểm chung  C1  ,  C2  Phương trình có k nghiệm phân biệt  C1  ,  C2  có k điểm chung phân biệt Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Đường thẳng y   x cắt parabol y  x hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  , biết y1  y2 Giá trị 2x1  x2 A 6 B 17 C D 7 Câu 2: Parabol y  x đường thẳng sau khơng có điểm chung? A y   x  3 B y  x  C y  3 x  D y  x  Câu 3: Parabol y   x  4mx  tiếp xúc với trục hoành A m   B m  1 C m  2 D m   Câu 4: Gọi d tiếp tuyến chung hai parabol  P  : y  x  x,  P  : y  x  x Điểm sau thuộc đường thẳng d?  41  A M  2;   16   17  B M  1;   16  33   C M 1;    16  7  D M  4;   16   Câu 5: Đường thẳng y  x  parabol sau khơng có điểm chung? A y  x  x  B y   x  x  C y  x  x  D y   x  x  Câu 6: Hai parabol sau cắt hai điểm phân biệt? A y  x , y  x  x  B y   x , y  3 x  x C y  x  x  3, y  x  x  D y  x  x  2, y  x  x  Câu 7: Để phương trình x  x   m có bốn nghiệm phân biệt điều kiện m A  m  B  m  C  m  D  m  Câu 8: Cho  P  : y   x  mx,  d  : y  x  m Trong trường hợp  P  cắt  d  hai điểm phân biệt A, B trung điểm đoạn thẳng AB chạy đường thẳng sau đây? Trang 20 A y  4 x  B y  x  C y  2 x  D y  x  Câu 9: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c (với a, b, c số, a  ) có đồ thị  P  tiếp xúc với đường thẳng d : y  x  điểm có hồnh độ Giá trị f 1  f  3 B 2 A C D 1 Bài tập nâng cao Câu 10: Cho hai phương trình x  x  2m   (1),  x  x  m  (2) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm (1) nằm xen kẽ với nghiệm (2) điều kiện m A 2   m  2  B 2   m  2  C   m   D   m   Câu 11: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c (với a, b, c số, a  ) Khẳng định sau sai? u  v A Với u , v   ta có f  u   f  v    u   b  v a  b  b   B Với u , v   thỏa mãn  u    v    f  u   f  v   u  v 2a   2a   C Nếu a  u , v   f u   f v  uv  f    D Nếu d : y  kx  m tiếp tuyến đồ thị hàm số cho f  x   kx  m, x   Câu 12: Cho hàm số y  ax  bx  c (với a, b, c số, a  ) có đồ thị  P  tiếp xúc với  P1  : y  x  điểm có hồnh độ 2 , tiếp xúc với  P2  : y   x  x  17 điểm có hồnh độ Giá trị a  b  c B 4 A C 2 D Dạng 3: Sự xác định hàm số bậc hai Phương pháp giải Hàm số bậc hai có dạng y  ax  bx  c với a, b, c Ví dụ: Xác định hàm số y  x  x  c biết số, a  Hàm số bậc hai xác định đồ thị parabol cắt trục tung điểm có tung độ biết hệ số a, b, c Thay x  0, y  vào hàm số, ta c  Vậy hàm số cho y  x  x  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số a, b, c (với a  ) thỏa mãn parabol  P1  : y   x  x  c qua điểm M 1;1 , parabol  P2  : y  2 x  bx  qua điểm M  1;  , parabol Trang 21  P3  : y  ax  x  A abc  10 qua điểm M  2; 8  Giá trị abc B abc  5 C abc  36 D abc  Hướng dẫn giải Ta có M 1;1   P1    12   c  c  , M  1;    P2    2  1  b  1   b  5 , M  2; 8    P3   8  a.22    a  2 Vậy abc  10 Chọn A Ví dụ 2: Xác định hệ số b, c để đồ thị hàm số y  x  bx  c qua điểm A  2; 3 , B 1;1 A b  7; c  7 B b  7; c  C b  7; c  7 D b  7; c  Hướng dẫn giải Parabol y  x  bx  c qua điểm A  2; 3 nên 2b  c  7 Parabol y  x  bx  c qua điểm B 1;1 nên b  c  2b  c  7 b  7 Ta có hệ phương trình   b  c  c  Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số bậc hai y   x   m  1 x  2m  với m tham số, có đồ thị  P  Hãy xác định hàm số bậc hai cho, biết  P  tiếp xúc với trục hoành Hướng dẫn giải  m  m  10m   Parabol  P  : y   x   m  1 x  2m  có đỉnh I  ;     m  m  10m   Ta thấy  P  tiếp xúc với trục hoành điểm I  ;  thuộc   trục hoành, tức m  10m    m  5  Ví dụ 4: Xác định hệ số a, b, c để đồ thị hàm số y  ax  bx  c parabol  P  có đỉnh I  3; 8  cắt đường thẳng  d  : y  3 x  hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB  10 Hướng dẫn giải Vì parabol  P  : y  ax  bx  c có đỉnh I  3; 8  nên Trang 22  b 3 b  6a, a     2a c  a   8  9a  3b  c Ta viết lại phương trình  P  sau y  ax  6ax  9a  Lúc này, phương trình hồnh độ điểm chung  P   d  ax  6ax  9a   3 x   ax    6a  x  9a   Với a  , phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    8a   a  Với điều kiện a  , a   P  cắt  d  hai điểm phân biệt A  x1 ; 3 x1  1 , B  x2 ; 3 x2  1 , x1  x2   8x a Do AB  10   x1  x2    3 x1  x2   10   x1  x2    2  8a   a  a  9 a2 Cả hai giá trị a thỏa mãn điều kiện a  , a  Với a  b  6, c  Với a  9 b  54, c  89 Vậy a  1, b  6, c  a  9, b  54, c  89 Bài tập tự luyện dạng Bài tập nâng cao Câu 1: Để đồ thị hàm số y  ax  bx  c parabol có đỉnh I  3;8  qua điểm M 1;  13 A a  , b  , c  5 13 B a   , b   , c   5 C a  1, b  6, c  1 D a  1, b  6, c  Câu 2: Biết parabol  P  : y  ax  bx  c qua ba điểm A 1;1 , B  2;16  , C  3;11 Khẳng định sau đúng? A a  1, b  16, c  11 B a  2, b  2, c  3 C a  2, b  3, c  D a  1, b  2, c  Câu 3: Tìm b,c để parabol y   x  bx  c qua hai điểm A 1;  , B  2;1 A b  c  B b  1, c  C b  2, c  D b  c  Câu 4: Hàm số y  x  ax  b có đồ thị qua hai điểm A 1;  , B  1;1 Khẳng định sau đúng? Trang 23 A a  b  B a  b  C a  b  D a  b  Câu 5: Cho hàm số y  ax  bx  c (với a, b, c số, a  ) Biết hàm số nhận giá trị 1 x  0, x  nhận giá trị x  1 Giá trị abc A B 1 C D 2 Câu 6: Cho  P  : y  ax  bx  c với a, b, c số, a  Biết  P  có đỉnh điểm I 1;8  cắt trục hoành hai điểm M, N thỏa mãn MN  Giá trị a  b3  c3 A B 56 C 512 D 272 Câu 7: Cho  P  : y  ax  bx  c với a, b, c số, a  Biết  P  có trục đối xứng đường thẳng x  đồng thời tiếp xúc với hai đồ thị  P1  : y  x ,  P2  : y  x  x Giá trị 1   a b c A 1 B  C D Bài tập nâng cao Câu 8: Khi bóng đá lên, bay theo quỹ đạo cung parabol mặt phẳng tọa độ Oth, t thời gian kể từ bóng đá lên (tính giây), h độ cao (tính mét) bóng Giả sử bóng đá lên từ độ cao 1,1m Sau giây đạt độ cao 8,6m Sau giây, đạt độ cao 6m Hỏi độ cao lớn mà bóng đạt dược gần với giá trị sau nhất? A 8,888m B 8,897m C 9,1m D 9,291m Trang 24 ĐÁP ÁN Dạng 1: Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1-D 2-D 3-A 4-A 5-A 11 - B 12 - A 13 - C 14 - A 15 - B 6-C 7-D 8-D 9-C 10 - D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 11 Chọn B Gọi  x0 ; y0  điểm cố định mà đồ thị hàm số qua Khi phương trình y0  mx02    3m  x0  2m  nghiệm với m   x02  x0   m  x0   y0  nghiệm với m  x0  1, y0   x0  x0      x0  2, y0  2 x0   y0  Suy A 1;1 , B  2;3 Suy AB  Câu 12 Chọn A  2m   2m    Đỉnh  P  điểm I  ;   1  2     Từ suy y1   x12  Khi m thay đổi, quỹ tích điểm I parabol  P  : y   x  Câu 13 Chọn C Gọi M  x; y  Khi đó: MF  d  M ,     x  1   y    x  x  10 y  16   y    y   x  x   y  y  16  y  y  1 x  x 10 5 Vậy tập hợp (quỹ tích) tất điểm M mặt phẳng cho M cách điểm F 1; 4  đường thẳng  : y  parabol  P  : y   x  x 10 5 Nhận xét: Parabol  P  : y  ax  bx  c (với a, b, c số, a  ) tập hợp tất điểm  b 4ac  b   4ac  b   : y  mặt phẳng cách điểm F   ; đường thẳng  4a 4a  2a   b 4ac  b   4ac  b   : y   Điểm F   ; gọi tiêu điểm gọi đường thẳng  4a 4a  2a  b chuẩn parabol  P  : y  ax  bx  c Trục đối xứng d : x    P  qua tiêu điểm F, qua 2a Trang 25  b 4ac  b   b 4ac  b   đỉnh I   ;  , vng góc cắt đường thẳng chuẩn  H   ;  Khi I 4a  4a  2a  2a  trung điểm đoạn thẳng HF Câu 14 Chọn A Từ tính chất đồ thị hàm số bậc hai ta suy 2m  m  max y  max  y  1 ; y  3  max 2m  2;10  6m   x 1;3 10  6m m  Dễ thấy 2m   4, m  10  6m  4, m  Do max y đạt nhỏ m  m0  x 1;3 Câu 15 Chọn B Vì  x  y  z  12 x  20 y  28 z  39 nên S  2 x  y  z  2 x  y  z  2 x  x  39  f  x Ta có Như S  f  x   Vậy max S  87 87 Đẳng thức S  xảy x  , y  z  8 87 Dạng 2: Bài toán tương giao đồ thị hàm số 1-D 2-C 11 - D 12 - C 3-B 4-C 5-C 6-D 7-C 8-D 9-B 10 - A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 10 Chọn A Ta có (2)  x  x  m  xét hai parabol  P1  : y  x  x  2m  1,  P2  : y  x  x  m Phương trình hồnh độ điểm chung  P1  ,  P2  x  x  2m   x  x  m  m   x  x  m 1  m  m  4m   Hai đồ thị  P1  ,  P2  cắt điểm M  ;    Trang 26 Hai phương trình (1) (2) phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm phương trình nằm xen kẽ với nghiệm phương trình điểm M nằm phía trục hoành, tức m  4m    2   m  2  Câu 11 Chọn D Xét đáp án: Đáp án A Ta có f  u   au  bu  c; f  v   av  bv  c u  v Khi au  bu  c  av  bv  c  au  av  bu  bv    u  v   a  u  v   b     u   b  v a  2 2 u  v Đáp án B Theo chứng minh f  u   f  v    u   b  v a  b b b   b  b  b    Khi u    v u     v     u    v      v    (mâu thuẫn) a 2a 2a   2a   2a  2a    b  b   Vậy với u , v   thỏa mãn  u    v    f  u   f  v   u  v 2a   2a   1 uv uv uv 2 Đáp án C Ta có f    a   b   c  a  u  v  2uv   b  u  v   c       2 f u   f v   u  v  au  bu  c  av  bv  c   f   a  u  v  2uv   b  u  v   c  Xét  2   4   f u   f v  1 uv au  auv  av  a  u  v   0, a    f  4   Đáp án D Khẳng định D sai Nếu có thêm giả thiết a  khẳng định Câu 12 Chọn C Phương trình ax  bx  c  x    a   x  bx   c    có nghiệm kép 2 nên Trang 27  a   a     (1) b   a   c     b   a     b c   a      2   a   Phương trình ax  bx  c   x  x  17   a  1 x   b   x   c  17   có nghiệm kép nên  a   a  1     b     a  1 c  17    b  6  a  1  (2)  b 8  c   a  1  17  3   a  1 4  a    6  a  1  Từ (1) (2) suy   a   b  4; c  4  a      a  1  17 Vậy a  b  c  2 Dạng 3: Sự xác định hàm số bậc hai 1-C 2-C 3-C 4-D 5-A 6-D 7-A 8-B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn B Ta có h  at  bt  c a, b, c số , a  - Nếu t  h  1,1 nên c  1,1 - Khi t  h  8, nên a  b  c  8, - Khi t  h  nên 4a  2b  c  c  1,1 a  5, 05   - Xét hệ a  b  c  8,  b  12,55 Do h  5, 05t  12,55t  1,1 4a  2b  c  c  1,1   Theo tính chất hàm số bậc hai, h đạt giá trị lớn t   b 251   1, Suy max  h   8,897 2a 202 Trang 28 ... TÂM Hàm số y  ax  a   trường hợp đặc biệt Định nghĩa Hàm số bậc hai cho công thức y  ax  bx  c  a   hàm số bậc hai b  c  Tập xác định hàm số D   Đồ thị hàm số bậc hai Đồ thị hàm. .. 4 A C 2 D Dạng 3: Sự xác định hàm số bậc hai Phương pháp giải Hàm số bậc hai có dạng y  ax  bx  c với a, b, c Ví dụ: Xác định hàm số y  x  x  c biết số, a  Hàm số bậc hai xác định đồ... hình vẽ c) Hàm số y   x  x  có a  1, b  3, c  ? ?3,  b  2a Bảng biến thiên hàm số sau: ? ?3  Hàm số nghịch biến khoảng  ;   đồng biến khoảng 2  3? ??   ;  2  Đồ thị hàm số y 