Bài 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC nhóm ĐHSPHN image marked

CHƯƠNG BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững công thức lượng giác gồm: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng  Kĩ + Vận dụng công thức lượng giác học vào tốn tính giá trị lượng giác góc đặc biệt; tính giá trị biểu thức lượng giác + Xác định tính chất tam giác thỏa mãn điều kiện góc, cạnh, diện tích… cho trước cách đưa biểu thức lượng giác Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức cộng  cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b  cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b Ví dụ:     cos  x    cos x.cos  sin x.sin 4 4   sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b  tan  a  b    tan  a  b   tan a  tan b  tan a tan b tan a  tan b  tan a tan b  cos x  sin x  ;   sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b     sin  x    sin x cos  cos x sin 4 4   sin x  cos x  ;     tan  x      tan x tan   tan x  tan  tan x  tan x  Công thức nhân đôi  sin 2a  2sin a cos a  cos 2a  cos a  sin a  cos a    2sin a  tan 2a  tan a  tan a Ví dụ: Cơng thức biến đổi tích thành tổng  cos a cos b   sin a sin b   sin a cos b  cos  a  b   cos  a  b   2 cos  a  b   cos  a  b   2 sin  a  b   sin  a  b   2 Công thức biến đổi tổng thành tích  cos a  cos b  cos ab a b cos 2 ab a b sin  cos a  cos b  2sin 2 ab a b cos  sin a  sin b  2sin 2  sin a  sin b  cos cos x.cos x   sin x.sin x   cos  2 x   cos x  2  cos x  cos x  ; cos  4 x   cos x  2  cos x  cos x  Ví dụ: cos x  cos x  cos x.cos x ; cos x  cos x  2sin x.sin x ; sin x  sin x  2sin x.cos x ; sin x  sin x  cos x.sin x ab a b sin 2 Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Công thức cộng Phương pháp giải  Ví dụ: Biết sin x  ,  x  Hãy tính giá trị 2 Các tốn thường gặp: - Tính giá trị lượng giác   lượng giác cos  x   4  - Tính giá trị biểu thức lượng giác - Rút gọn đơn giản đẳng thức - Chứng minh đẳng thức cách biến đổi vế Hướng dẫn giải thành vế kia, biến đổi hai vế đại Vì  x   nên điểm cung thuộc góc phần lượng biến đổi tương đương dẫn đến đẳng thức tư thứ I  cos x   cos x  - Chú ý giá trị lượng giác cung lượng giác     đặc biệt biết: 30, 45, 60,90 Ta có cos  x    cos x.cos  sin x.sin 4 4   2 cos x  sin x 2  6   2 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Biết cos x   A  12 26 B 12 3   ,  x  Giá trị lượng giác sin   x  13 3   12 26 C 5  12 26 D 5  12 26 Hướng dẫn giải Vì   x  3 nên điểm cung thuộc góc phần tư thứ III  sin x  2  12   sin x    cos x       13  13    12 5  12   Ta có sin   x   sin cos x  cos sin x    3 13 13 26 3  Chọn A Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A  sin  x  14  sin  x  74   sin  x  76  sin  x  16  ta kết A A  sin x B A   C A  D A  cos x Hướng dẫn giải Trang Ta có A  sin 14  x  cos 16  x   sin  76  x  sin 16  x   sin 14  x  cos 16  x   cos 14  x  sin 16  x   sin 14  16  x  x   sin 30  Chọn C Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A  sin  a  b  sin  b  c  sin  c  a    ta kết cos a.cos b cos b.cos c cos c.cos a A A  tan a B A  tan b C A  tan c D A  Hướng dẫn giải Ta có A  sin a.cos b  sin b.cos a sin b.cos c  sin c.cos b sin c.cos a  sin a.cos c   cos a.cos b cos b.cos c cos c.cos a sin a cos b sin b cos a sin b cos c sin c cos b sin c cos a sin a cos c      cos a cos b cos a cos b cos b cos c cos b cos c cos c cos a cos c cos a  tan a  tan b  tan b  tan c  tan c  tan a  Chọn D Ví dụ 4*: Cho góc nhọn thỏa mãn sin x  sin y  Chứng minh sin x  sin y  sin  x  y  Phân tích tốn Hướng dẫn giải Sử dụng kiện   Ta có sin x  cos x   sin x  sin   x   mà sin x  sin y  , suy 2  toán     sin   x   sin y  y   x (vì x, y góc nhọn) nên  x  y  2 2  Mà sin  x  y   sin x cos y  sin y cos x  2sin x.sin y.cos x.cos y Do sin x  sin y  sin  x  y  2 2  sin x  sin y  sin x 1  sin y   sin y 1  sin x   2sin x.sin y.cos x.cos y 2 2 0 x y   Từ ta thấy giá trị lượng giác góc x  y dương  sin x  sin y  sin x.cos y  sin y.cos x  2sin x.sin y.cos x.cos y để 2 thức để biến đổi vế phải bất đẳng  2sin x.sin y  2sin x.sin y.cos x.cos y thức dùng biến  sin x.sin y  cos x.cos y đổi  sin x.sin y  cos x.cos y   cos  x  y   (hiển nhiên  x  y  Sử dụng đẳng  ) tương đương, dùng công thức lượng giác để dẫn tới điều Trang Suy điều phải chứng minh Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Rút gọn biểu thức A  cos 25.cos 5  cos 65.cos85 thu kết A A  cos 60 B A  cot 60 C A  tan 60 D A  sin 60 Câu 2: Rút gọn biểu thức A  sin  x  17  cos  x  13   sin  x  13  cos  x  17  thu kết A A  B A   Câu 3: Cho sin x  A 12  119 52 C A  cos x D A  sin x   với  x  ; sin y  với  y  Giá trị cos  x  y  13 B 12  119 52 C 12  119 52 D 12  119 52 Câu 4: Cho cot x  3; cot y  , biết x, y góc nhọn dương Giá trị x  y A 5 12 B 17  12 C 7 12 D 11 12 , C  góc tam giác Khẳng định sau sai? Câu 5: Cho  A, B A cos B C B C A cos  sin sin  sin 2 2 C cot A  cot B  cot C  cot A.cot B.cot C B tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C D tan A B B C C A tan  tan tan  tan tan  2 2 2 Câu 6: Cho biểu thức A  sin  x  y   sin x  sin y Khẳng định sau đúng? A A  2sin x.cos y.cos  x  y  B A  cos x.sin y.sin  x  y  C A  cos x.cos y.cos  x  y  D A  2sin x.sin y.cos  x  y  Câu 7: Cho A, B, C ba góc tam giác Khẳng định sau đúng? A cos A  cos B  cos C   cos A.cos B.cos C B cos A  cos B  cos C   cos A.cos B.cos C C cos A  cos B  cos C   cos A.cos B.cos C D cos A  cos B  cos C   cos A.cos B.cos C   Câu 8: Cho tan  x    t , t  1 Khẳng định sau đúng? 4  A tan x  1 t 1 t B tan x  t 1 1 t C tan x  1 t 1  t D tan x  2t t 1 Câu 9: Cho cos x  cos y  m Khi giá trị biể thức A  cos  x  y  cos  x  y  A A  m  B A  m  C A  m  D A  m  Bài tập nâng cao Trang Câu 10: Giá trị lớn nhỏ biểu thức A  sin x  cos x M m Giá trị biểu M thức P  m A B C Câu 11: Giá trị lớn biểu thức A  31 A D  3sin x   tan x B C 33 D 17 Câu 12: Cho A, B, C góc ABC Biết  cos B  cos C    sin B  2sin C   15 Khi ABC tam giác gì? A Tam giác cân B Tam giác vuông C Tam giác D Tam giác vuông cân Dạng 2: Công thức nhân đôi Phương pháp giải Áp dụng công thức nhân đôi để tính rút gọn giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giá trị A  cos A  B     sin 12 12 C D Hướng dẫn giải Ta có          A   cos  sin   cos  sin   cos  sin  cos  12 12   12 12  12 12  Chọn C Ví dụ 2: Giá trị biểu thức A  sin x  cos x a  b.cos x Giá trị Công thức hạ bậc: a  2b A B 11 C 13 D 15 Hướng dẫn giải cos x   cos x sin x   cos x Ta có A  sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  sin x.cos x  cos x  3  cos x   sin x  cos x   3sin x.cos x   sin 2 x   4  1 1  cos x    cos x 8 11 Vậy a  2b    8 Trang Chọn B Ví dụ 3: Khẳng định sau đúng? x  A tan   1  tan x  cos x  x  B tan   1  tan x  cos x  x x   1  tan C tan   cos x  x   1  tan x D tan   cos x  Hưỡng dẫn giải Ta có x x x x sin  cos  sin cos x x  cos x  2 2 tan   1  tan   x x  cos x  cos x cos x cos x cos cos 2 x cos x  sin x  tan x  sin cos x cos x Chọn A Ví dụ 4: Cho  x, y   ; 3sin x  2sin y  3sin x  2sin y  Tính cos  x  y  A 6sin x.cos x B 6sin y.cos y C D Hướng dẫn giải Ta có 3sin x  2sin y   3sin x   2sin y  cos y 3sin x  2sin y   2sin y  3sin x  sin y  3sin x.cos x Do đó: cos  x  y   cos x.cos y  sin x.sin y  cos x.3sin x  sin x.3sin x.cos x   cos  x  y   Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho cos x  A cos 2x có giá trị B C D 2 C 15 113 D 17 113 Câu 2: Cho cot x  15 sin 2x có giá trị A 13 113 B 11 113 Trang 1 Câu 3: Cho x, y góc nhọn dương sin x  , sin y  giá trị sin  x  y  A 34 18 Câu 4: Cho tan x  B C 7  18 D 7  18 2sin x giá trị biểu thức A  2  3cos x A A  B A  Câu 5: Nếu sin x  cos x  A 34 18  C A  D A  giá trị biểu thức P  3sin x  cos x B   C  D A C Câu 6: Cho biểu thức sau A  cot x  tan x  tan x  tan x Khẳng định sau đúng? A A  cot x B A  cot x Câu 7: Cho biểu thức sau A  A A  tan x C A  cot x D A  8cot x sin x  sin x Khẳng định sau đúng?  cos x  cos x B A  sin x C A  cot x D A  tan x 2sin 2 x  sin x  Câu 8: Cho biểu thức A  Khẳng định sau đúng? cos 2 x  sin x  A A  sin  x  30  sin  x  30  B A  sin  x  30  sin  x  30  C A  cos  x  30  cos  x  30  D A  cos  x  30  cos  x  30  Bài tập nâng cao Câu 9: Giá trị lớn biểu thức A  cos x  4sin x  A B C D Câu 10: Giá trị nhỏ biểu thức A  sin x  cos x A B C D Câu 11: Cho P   cos x  3sin x  3cos x  2sin x   Gọi A B giá trị lớn nhỏ biểu thức P Giá trị A 12 11 A B B 13 11 C 14 11 D 15 11 Dạng 3: Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích Phương pháp giải Áp dụng cơng thức biến tổng thành tích tích Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau thành tổng để biến đổi, tính giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác, rút gọn chứng minh A  2sin x  cos x  cos x  cos x  Hướng dẫn giải Ta có Trang A  2sin x.cos x  2sin x.cos x  2sin x.cos x  sin x   sin x  sin x    sin x  sin x   sin 6x Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A  cos 75.sin15 A 2 B 2 C 2  D 2  Hướng dẫn giải Ta có A  cos 75.sin15   sin  75  15   sin  75  15   2 2  sin 90  sin 60   Chọn A Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A  sin a.sin  b  c   sin b.sin  c  a   sin c.sin  a  b  kết A B C sin a.sin b.sin c D cos a.cos b.cos c Hướng dẫn giải Ta có A  sin a  sin b.cos x  sin c.cos b   sin b  sin c.cos a  sin a.cos c   sin c  sin a.cos b  sin b.cos a   sin a.sin b.cos c  sin a.sin c.cos b  sin b.sin c.cos a  sin b.sin a.cos c  sin c.sin a.cos b  sin c.sin b.cos a  Chọn B     Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A  cos x.cos   x  cos   x  kết 3  3  A cos x B cos 2x C cos 3x D cos 4x Hướng dẫn giải 2       A  cos x.cos   x  cos   x   cos x  cos  cos x  3  3      cos x  cos x.cos x   cos x  cos x  cos x  cos 3x Chọn C Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức: sin x  2sin x.sin x cos x  cos x  cos x Hướng dẫn giải Trang VT  sin x sin x  cos x  cos x  cos x  cos  cos x    cos x  cos x   4sin 2 x.cos 2 x 2sin 2 x.cos x  cos x.cos x  cos x.cos x cos x  cos x  2sin 2 x.cos x 4sin x.cos x  cos x.cos x cos x  4sin x.cos x  2sin x.sin x  VP Suy điều phải chứng minh Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho x  y  A tan x cos  x  y   cos y  Rút gọn biểu thức A  ta kết cos  x  y   cos y B cot   C  cot  y   4  x   D cot  y   4  Câu 2: Giá trị biểu thức A  cos  x  45  cos  x  45  A sin x B  sin x C cos x D  cos x Câu 3: Giá trị biểu thức A  sin  x  30  cos  x  30  A sin x  B sin x  C  sin x  D  sin x   x  x Câu 4: Rút gọn biểu thức A  sin     sin    ta 8 2 8 2 A A  sin x B A  cos x C A  sin x D A  sin x Câu 5: Đẳng thức sau sai? A  cos x.cos y  sin x.sin y  cos  x  y  13  B 4sin x.cos x.cos x  sin x C cos 2 x  sin x  cos x.cos x D 2sin  x  y  sin  x  y   cos x  cos y Bài tập nâng cao Câu 6: Cho A, B, C góc tam giác ABC; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khẳng định số khẳng định sau đúng? A r  R.sin A B C sin sin 2 B r  3R.sin C r  R.sin A B C sin sin 2 D r  R.sin A B C sin sin 2 A B C sin sin 2 Trang 10 ĐÁP ÁN Dạng Công thức cộng 1-D 2-B 11 - C 12 - A 3-B 4-A 5-C 6-D 7-C 8-B 9-A 10 - B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 10 Chọn B Ta có A  sin x  cos x  cos x  1  cos x   3cos x  cos x  2 2      1 1 2  2  cos x  cos x           cos x          3 3   Do giá trị nhỏ biểu thức A Ta lại có A  3cos x  cos x    3cos x  cos x  1    cos x  1 3cos x  1  Vì  cos x  nên  cos x  1 3cos x  1   A   cos x  1 3cos x  1   Do giá trị lớn biểu thức A Vậy M  2; m  2  P   3 Câu 11 Chọn C Ta có A   3sin x    tan x  3sin x   cos x  3sin x  1 cos x  1  sin x   3sin x   2sin x  3sin x  3 3   2  sin x  sin x   2  2      3  33 33   2 sin x  2sin x          2  sin x          4 8   Vậy giá trị lớn A 33 Câu 12 Chọn A Ta có  cos B  cos C    sin B  2sin C    3cos B  4sin B    cos C  8sin C  3cos B  4sin B   Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski, ta có:  6 cos C  8sin C   3 6  42  cos B  sin B    82  cos C  sin C   10   cos B  cos C    sin B  2sin C   15 Trang 11 3cos B  4sin B  Mà theo giả thiết  cos B  2sin C    sin B  cos C   15 nên  6 cos C  8sin C  10  cos B sin B     tan B  , C   180 )   tan B  tan C  B  C (do B Do dấu “=” xảy  sin C cos C   tan C     6  Vậy tam giác ABC tam giác cân A Dạng Công thức nhân đôi 1-C 2-C 3-A 4-D 5-D 6-D 7-A 8-A 9-D 10 - B 11 - D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn D Ta có A  cos x  4sin x    2sin x  4sin x   2sin x  4sin x   2  sin x  2sin x    2  sin x  2sin x   3  2  sin x  1   Vậy giá trị lớn A sin x  Câu 10 Chọn B Sử dụng đẳng thức: a  b3   a  b   a  ab  b  A  sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  sin x.cos x  cos x    sin x  cos x   3sin x.cos x    sin x.cos x    sin 2 x Vì sin 2 x   Vậy A  3 3 3 3 sin x   A   sin 2 x    4 4 1  Amin  4 Câu 11 Chọn D Ta có P  cos x  4sin x.cos x  9sin x.cos x  6sin x    cos x  sin x   5sin x.cos x   cos x  sin x  2 Tới ta rút P 12    13    đặt sin   ; cos   ;    13 13 2 2 13  12 13 13   cos x  sin x     sin .cos x  cos .sin x    sin    x    13 13 2  Vì 1  sin    x   nên P   13 11 13 15 1   max P    2 2 Trang 12 Do A  15 11 A 15 ;B    2 B 11 Dạng Cơng thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích 1-C 2-C 3-A 4-A 5-D 6-A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn A Gọi p nửa chu vi tam giác Ta có  p a b c    2R sin A sin B sin C a  b  c R sin A  R sin B  R sin C   R  sin A  sin B  sin C  2  R sin A  sin B  sin  A  B    R  sin A  sin B  sin A.cos B  sin B.cos A  A A B B B A   R sin A 1  cos B   sin B 1  cos A    R  2sin cos cos  2sin cos cos  2 2 2   R cos A B A B B A A B  A B  cos  sin cos  sin cos   R cos cos sin   2 2 2 2    R cos A B C cos cos 2 Ta lại có S  p.r  r R.2sin abc abc sin A.2 R.sin B.2 R.sin C.2 R R sin A.sin B.sin C r   4R p.4 R R.cos A cos B cos C R 16 R cos A cos B cos C 2 2 2 A B B C C 2sin cos 2.sin cos 2 2  R.sin A sin B sin C A B C 2 2 cos cos cos 2 Vậy r  R.sin A B C sin sin 2 Trang 13 ... giác vuông C Tam giác D Tam giác vuông cân Dạng 2: Công thức nhân đôi Phương pháp giải Áp dụng công thức nhân đôi để tính rút gọn giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giá... sin  x  30   sin  x  30   B A  sin  x  30   sin  x  30   C A  cos  x  30   cos  x  30   D A  cos  x  30   cos  x  30   Bài tập nâng cao Câu 9: Giá trị lớn biểu thức A... 2sin x  3sin x  3 3   2  sin x  sin x   2  2      3? ??  33 33   2 sin x  2sin x          2  sin x          4 8   Vậy giá trị lớn A 33 Câu 12 Chọn