Bài 5 dấu của TAM THỨC bậc HAI nhóm ĐHSPHN image marked

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững định lý dấu tam thức bậc hai ý nghĩa hình học + Hiểu khái niệm bất phương trình bậc hai ẩn, cách giải bất phương trình bậc hai ẩn  Kĩ + Có kĩ thành thạo việc xét dấu tam thức bậc hai, lấy nghiệm bất phương trình có chứa tam thức bậc hai + Biết cách giải biện luận bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu có tam thức bậc hai + Biết cách giải biện luận bất phương trình bậc hai ẩn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Dấu tam thức bậc hai Minh họa hình học dấu tam - Tam thức bậc hai x biểu thức có dạng thức bậc hai: f  x   ax  bx  c , a, b, c hệ số, a  - Trường hợp a  - Cho f  x   ax  bx  c ( a  ),   b  4ac  Nếu   f  x  dấu với hệ số a với x    Nếu   f  x  ln dấu với hệ số a trừ điểm x b 2a  Nếu   f  x  dấu với hệ số a x  x1 x  x2 , trái dấu với hệ số a x1  x  x2 , x1 , x2 ( x1  x2 ) hai nghiệm f  x  Chú ý: Có thể thay biệt thức   b  4ac biệt thức thu b  gọn    b   ac  b   2  Bất phương trình bậc hai ẩn - Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình dạng ax  bx  c  (hoặc ax  bx  c  , ax  bx  c  , ax  bx  c  ), a, b, c số thực cho, a  - Giải bất phương trình bậc hai ax  bx  c  , thực chất tìm khoảng mà f  x   ax  bx  c dấu với hệ số a ( trường hợp a  ) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a  ) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét dấu tam thức bậc hai Trang Phương pháp giải Dấu tam thức bậc hai thể bảng Ví dụ: Xét dấu tam thức bậc hai sau sau a) x  x  f  x   ax  bx  c , ( a  ) b) x  x  a f  x   0, x   0 c) x  x   b  a f  x   0, x   \    2a  a f  x   0, x   ; x1    x2 ;   0 0 a f  x   0, x   x1 ; x2  Hướng dẫn giải  x  3 a) Ta có x  x     x  Bảng xét dấu Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c a   ax  bx  c  0, x       x 3x  x   + 3  +  b) x  x  a   ax  bx  c  0, x       Ta có   0, a  a   ax  bx  c  0, x       c) x  x  a   ax  bx  c  0, x       Suy x  x   0, x   Suy x  x   0, x  1 Ta có   72  0, a   Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Xét dấu tam thức sau a) x  x  b)  x  x  Hướng dẫn giải x  a) Ta có x  x     x    Bảng xét dấu x 3x  x    +   + 4  Suy x  x    x   ;     2;   3    3x  x    x    ;    Trang  x  1 b) Ta có  x  x     x  Bảng xét dấu  x x  4x   1 +   Suy  x  x    x   1;5   x  x    x   ; 1   5;   Ví dụ 2: Xét dấu tam thức sau a) 25 x  10 x  b) 4 x  12 x  Hướng dẫn giải  1 a) Ta có   0, a  suy 25 x  10 x   x   \    5 3 b) Ta có   0, a  suy 4 x  12 x   x   \   2 Ví dụ 3: Xét dấu tam thức sau a) x  x  b) 2 x  x  Hướng dẫn giải a) Ta có   2  0, a   suy x  x   x   b) Ta có   1  0, a  suy 2 x  x   x   Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau a) x  x   b) 2 x  x   c) x  x  Hướng dẫn giải a) Tam thức f  x   x  x  có hai nghiệm x  1; x   Bảng xét dấu x f  x   +   +   Nghiệm bất phương trình   x  hay S    ;1   b) Tam thức f  x   2 x  x  có hai nghiệm x  1; x   Trang Bảng xét dấu x f  x  1   +   Nghiệm bất phương trình x  1 x   hay   S   ; 1    ;     c) Tam thức f  x   x  x có hai nghiệm x  0; x  Bảng xét dấu x f  x  +  Nghiệm bất phương trình x  x   + Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau a) x  x   b) x  x   c) 25 x  20 x   d) x  x   Hướng dẫn giải a) Tam thức bậc hai x  x  có   108  a   Suy x  x   với x   Tập nghiệm bất phương trình S   Ghi nhớ: b) Tam thức bậc hai x  x  có   2  0, a   b   ax  b    x   a Suy x  x   0, x     ax  b    x   Tập nghiệm bất phương trình x  x   S   c) 25 x  20 x   có   0, a  25   25 x  20 x   , x  2 Tập nghiệm bất phương trình S   \   5   ax  b    x   b a   ax  b    x  d) x  x    x  3  0, x   Do x  x    x  3 Nghiệm bất phương trình x  x   x  3 Trang Ví dụ 6: Tìm tất giá trị thực tham số m để biểu thức sau âm a) f  x    x  x  m b) g  x   4mx   m  1 x  m  với x   Hướng dẫn giải a  1  a) f  x   0, x      m      m  Vậy với m  biểu thức f  x  ln âm b) Với m  g  x   x   x  không thỏa mãn x   Do m  khơng thỏa mãn u cầu tốn Với m  g  x   4mx   m  1 x  m  tam thức bậc hai nên a  4m   g  x   0, x        m  1  4m  m  3  m  m     m  1  4m   m  1 Vậy với m  1 biểu thức g  x  ln âm Ví dụ 7: Tìm tất giá trị thực tham số m để a) x   m  1 x  2m  3m   0, x    m  1 x   m  1 x  3m  b) Hàm số y  có nghĩa với x Hướng dẫn giải a) x   m  1 x  2m  3m   0, x       m  1   2m  3m    (do a   )  7m2  7m    m  m   (vô nghiệm   3  ) Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn b) Hàm số có nghĩa với x  m  1 x   m  1 x  3m   0, x    Với m  1 biểu thức trở thành x    x  (không thỏa mãn x   )  Với m  1 ta có Trang m      m  1 2m     m  1 x   m  1 x  3m   0, x      m 1 Vậy m  hàm số y   m  1 x   m  1 x  3m  có nghĩa với x Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tập nghiệm bất phương trình x  x     x   A  ;1   4;   B 1; 4 C  ;1   4;   D 1;  C  ; 5  1;   1  D  ;    1;   5  Câu 2: Tập xác định hàm số y   x  x A  5;1   B   ;1   Câu 3: Các giá trị m làm cho biểu thức f  x   x  x  m  dương A m  B m  C m  D m  Câu 4: Cho hàm số f  x   x  2mx  3m  Tìm m để f  x   0, x   A m  1; 2 B m  1;  C m   ;1 D m   2;   Bài tập nâng cao Câu 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình sau vơ nghiệm f  x    m  3 x   m   x   A m  22 m  B 22  m  C 22  m  D 22  m  m  Câu 6: Định m để bất phương trình  m  1 x   m   x   m  có miền nghiệm  A  m  B m  m  C m  m  D  m  2 Dạng 2: Ứng dụng định lý dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích Phương pháp giải  x  3  2 x  3x   Ví dụ: Xét dấu biểu thức Bước Biến đổi bất phương trình Hướng dẫn giải dạng f  x   Ta có x    x   ; f  x  ; f  x  ;  x   2 x  x      x  f  x   , Trang f  x  tích hay thương nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước Lập bảng xét Ta có bảng xét dấu dấu f  x    x 2x   2 x  x    x  3  2 x  3x   +  + + +   +  Từ bảng xét dấu, ta có xét dấu để suy tập  x  3  2 x  3x    3     x   ;      ;  ; 2     x  3  2 x  3x     1  x    ;     2;    2 trình +  Bước Dựa vào bảng nghiệm bất phương  Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dấu biểu thức sau a)   x  x  1 x  x  1 b)  x  x    x  x  c) x3  x  Hướng dẫn giải 1 a) Ta có  x  x   vô nghiệm; x  x    x  ; x  Bảng xét dấu x x   x2  x 1  x2  5x  +  +  +   x  1 x  x  1    Từ bảng xét dấu ta có x x 1 1  x  1 x  x  1   x   ;  3 2 1 1    x  1 x  x  1   x   ;    ;   3    b) Ta có x  x    x  1; x  ;  x  x   x  2; x  Trang Bảng xét dấu  x x2  5x  +  5x  x2 +  f  x +  +  0    + +  + + + Từ bảng xét dấu, ta có x x 1   x    x  x    x   ;   1;    4;   ; 2  1   x    x  x    x   ;1   2;  2  c) Ta có x3  x    x    x  x  1 Ta có x    x  ; x  x    x  1  Bảng xét dấu x  1  1   x2  x2  2x 1 +  + x3  x   +    + + + Từ bảng xét dấu, ta có    x    x   ; 1     1  x3  x    x  1  2; 1    2;   ; x3  2; Ví dụ Xét dấu biểu thức sau a) f  x    x    x   b) f  x   x   x  x  x   Hướng dẫn giải a) f  x    x    x   Ta có x    x  1 ; x    x  2 Bảng xét dấu x 2x2  2  + 1 +   + Trang 3x   + f  x  + +  + + Từ bảng xét dấu, ta có f  x    x   2; 1  1;   ; f  x    x   ; 2    1;1 b) f  x   x   x  x  x   x  Ta có x   x  ;  x   x  3 ; x  x      x  8 Bảng xét dấu x 8  3 x2 + +  x2   x2  x  +  f  x  + + 0 + + + + +   +  +   +  +  Từ bảng xét dấu, ta có f  x    x   8; 3  1;3 ; f  x    x   ; 8    3;0    0;1   3;   Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Với x thuộc tập hợp f  x   x  x  1 không âm? A  ; 1  1;   B  1;0  1;   C  ; 1   0;1 D  1;1 Câu 2: Tập nghiệm bất phương trình 1  x  x   x  1  1  A S   1;  2  5  B S   1;  2  1 5   C S   1;    ;   D S   1;   2 2   Câu 3: Hàm số có bảng xét dấu x  f  x  +   + hàm số A f  x    x  3  x  x   B f  x   1  x   x  x   C f  x    x     x  x  3 D f  x   1  x   x   x  Trang 10 Câu 4: Tập nghiệm phương trình x  x   x  x  A 2;3 B  2;3 D  ; 2  3;   C  ;    3;   Bài tập nâng cao Câu 5: Tập nghiệm bất phương trình  x  3  x  x     x    x  x   có dạng  a; b  với a, b   Giá trị a  b A B  C D  Câu 6: Có giá trị m để x  thỏa bất phương trình  x  x  m    x  x  m  ? A B C 2 D Dạng 3: Ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn mẫu Phương pháp giải Ví dụ: Xét dấu biểu thức 2 x  x  2x  Hướng dẫn giải Bước Biến đổi bất phương trình dạng f  x  ; f  x   ; f  x   ; f  x   , f  x  tích hay thương Ta có x    x   ;  x  2 x  x     x  2 nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước Lập bảng xét dấu f  x  Lưu ý giá trị x làm f  x  không xác định Bảng xét dấu x 2x   2 x  x   f  x Bước Dựa vào bảng xét dấu để suy tập nghiệm bất phương trình   + Dựa vào bảng xét dấu ta có  +  + +  +   +   x  5  2 x  3x     x   ;   5       ;  2    x  5  2 x  3x     x    1 ;     2;    2 Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dấu biểu thức sau Trang 11 a) x2 1  x  3 3x  x  8 b) x2  x   x  3x  Hướng dẫn giải a) Đặt f  x   x2 1  x  3 3x  x  8 x  Ta có x    x  1 ; x    x   ; 3 x  x     x    Bảng xét dấu x    x2 1 + x2  + 3 x  x    Dựa vào bảng xét dấu ta có 1  +     + + + +  + 0  + 0 + 4 x2 1    x    3;     1;1  2 3   x  3 3x  x  8  + 0  +  f  x + + + +    3; ; x2 1     x  ;     ; 1  1;   2;   2    x  3 3x  x  8  b) Đặt g  x      x2  x   x  3x   x  1  x  1 Ta có x  x     ;  x  3x     x  x  Bảng xét dấu x 1  x2  x  +   x  3x   + g  x  Dựa vào bảng xét dấu ta có  + +  +  +  x2  x    x   2;  ;  x  3x  x2  x    x   ; 1   1;    4;    x  3x  Ví dụ Giải bất phương trình sau Trang 12 a) 1  x  3x   x c) x  b) x  10  2x2  x2  x2  x    x  3x  Hướng dẫn giải a) Ta có 1 1    0 x  3x   x  x x  3x   x  x   1  x  x  x   1  x  0 x2  2x  0  x  3x   1  x  Bảng xét dấu  x 1 1         +  + x  3x  + + 1 x + + + VT +  + 0   x2  2x  1  0 + + + Dựa vào bảng xét dấu, ta có x2  2x    x  1  6; 1  1;1     4;   x  x   x      b) Ta có x  10   2x2  2x2     x  10   2 x 8 x 8 x    x   x  10  x2  0  x   x   81  x  x2  0    (do  x  , x ) 2 x 8 x 8 x 8 Bảng xét dấu x 3   x2  x2  + VT  2 + + + +   +  2 + +  +    Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho S   3; 2  2;3 x2  x   x3  x  x   x  1   x  x   c) Ta có x     x  3x   x  3x   x  3x  Trang 13  x  2  x  1 Ta có  x  x     ;  x  3x     x  x  Bảng xét dấu x 2  x 1   x2  x    x  3x   x x x6  x  3x   1 Dựa vào bảng xét dấu, ta có x    + + + + +  0  + + +  + +   +  0  + x2  x   x   2; 1  1;3   4;    x  3x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tập xác định hàm số y  x  5x  A  ; 6  1;   B  6;1 Câu 2: Tập nghiệm bất phương trình A  ;1 C  ; 6   1;   x 1  x  4x  B  3; 1  1;   C  ; 3   1;1 Câu 3: Với x thuộc tập hợp f  x   A S   ;1 D  ; 1   6;   D  3;1 x 1 không âm? x  4x  B S   3; 1  1;   C S   ; 3   1;1 D S   3;1 x  x  21 Câu 4: Khi xét dấu biểu thức f  x   , ta có x2 1 A f  x   7  x  1  x  B f  x   x  7 1  x  x  C f  x   1  x  x  D f  x   x  1 Bài tập nâng cao Câu 5: Số nghiệm nguyên thuộc khoảng  0; 2017  bất phương trình A 2014 B 2015 Câu 6: Số giá trị nguyên m để hàm số y  C 2016 x  3x  x   3m   x  4x2   x  2x  D 2017 xác định với giá trị x Trang 14 A B C D Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai vơ nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm Phương pháp giải Phương trình bậc hai ax  bx  c   a   Ví dụ: Tìm tất giá trị thực tham số m để có biệt thức   b  4ac (hoặc   b2  ac ) phương trình sau có hai nghiệm phân biệt  x2   m  2 x    Có hai nghiệm phân biệt    Có nghiệm kép   Hướng dẫn giải  Vô nghiệm   Ta có    m    16  m  4m  12  Có nghiệm   Để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  m  6    m  4m  12    m  Vậy với m   ; 6    2;   phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh với giá trị thực tham số m a) phương trình x   m   x   m  3  có nghiệm b) phương trình  m  1 x    3m  x   vô nghiệm Hướng dẫn giải a) Ta có    m    m   m  5m  Vì tam thức m  5m  có  m  3 nên   m  5m   với m Do phương trình cho có nghiệm với m b) Ta có     3m    m  1  5m  3m  Vì tam thức 5m  3m  có am  5  m  nên   5m  3m   với m Do phương trình cho vơ nghiệm với m Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) x  mx  m   b) 1  m  x  2mx  2m  Hướng dẫn giải a) Phương trình có nghiệm   m   m   m  3   m  4m  12     m  2 Trang 15 Vậy với m   ; 2   6;   phương trình x  mx  m   có nghiệm b) Với m  1 phương trình trở thành x    x  Suy m  1 thỏa mãn yêu cầu toán Với m  1 phương trình có nghiệm    m  2m 1  m    m  2m   2  m  Kết hợp hai trường hợp, ta thấy 2  m  phương trình có nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm b)  m  1 x   2m   x  2m  a) x  2mx  m   Hướng dẫn giải a) Phương trình vơ nghiệm    m2  m     13  13 m 2   13  13  Vậy với m   ;  phương trình vơ nghiệm   b) Với m  phương trình cho trở thành  (phương trình vơ nghiệm) m  thỏa mãn u cầu tốn Với m  phương trình vô nghiệm   m    m  1  2m  m  1    m  1 m  1     m  1 Vậy với m  m  1 phương trình vơ nghiệm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Phương trình x  4mx  m   vô nghiệm A m  B   m  C m   m  D   m  Câu 2: Phương trình x  x  m  vô nghiệm A m   B m   C m  D m   Câu 3: Tập giá trị m để  m   x   m  1 x   2m  vô nghiệm A  B  C  4;   D  ; 4  Câu 4: Phương trình x  mx  m  vô nghiệm A 1  m  B 4  m  C 4  m  D m  4 m  Bài tập nâng cao Trang 16 Câu 5: Với giá trị m phương trình  m  1 x   m   x  m   có hai nghiệm x1 , x2 x1  x2  x1 x2  ? A  m  B  m  C m  D m  ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1: Xét dấu tam thức bậc hai 1-A 2-A 3-C 4-A 5-B 6-D Câu Chọn B Với m   f  x   x    x  (loại) Với m  , f  x  tam thức bậc hai ẩn x Khi m   f  x    m  3 x   m   x   0, x      22  m    m  20 m  44   Câu Chọn D Với m  bất phương trình cho trở thành x    x   (loại) Với m  bất phương trình cho bất phương trình bậc hai ẩn Khi m     m 2    m   2m  3   m  1 x   m   x   m  0, x     Dạng 2: Ứng dụng định lý dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích 1-B 2-C 3-A 4-D 5-D 6-B Câu Chọn D Ta có  x  3  x  x     x    x  x    x  3x  26    Suy a  b   13  x  13 2 5 Câu Chọn B Ta có  x  x  m    x  x  m    x  2m   x  x     x  m  x  x  1  2 Mặt khác x    x  m  x  1  0, x   m  2 Dạng 3: Ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn mẫu 1-C 2-C 3-B 4-B 5-C 6-C Trang 17 Câu Chọn C  x  4x  3  6x  2x   0 Ta có 2x  2x  x    2 Khi số nghiệm nguyên thuộc  0; 2017  2016 nghiệm Câu Chọn C Hàm số y  x  3x  x   3m   x  xác định với giá trị x  x   3m   x   0, x   1  a     9m  12m  12   2  m        3m     4.4  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai vơ nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm 1-B 2-C 3-B 4-C 5-B Câu Chọn B m  m   Phương trình có hai nghiệm    m 1 m   m  m            Khi x1  x2  x1 x2    m  2 m  2m   1    m  m 1 m 1 m 1 Trang 18 ...I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Dấu tam thức bậc hai Minh họa hình học dấu tam - Tam thức bậc hai x biểu thức có dạng thức bậc hai: f  x   ax  bx  c , a, b, c hệ số, a ... a  ) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét dấu tam thức bậc hai Trang Phương pháp giải Dấu tam thức bậc hai thể bảng Ví dụ: Xét dấu tam thức bậc hai sau sau a) x  x  f  x   ax  bx  c , ( a... thương nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước Lập bảng xét Ta có bảng xét dấu dấu f  x    x 2x   2 x  x    x  3  2 x  3x   +  + + +   +  Từ bảng xét dấu, ta có xét dấu để suy