BÀI 5 dấu của TAM THỨC bậc HAI

BÀI 5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI MỤC TIÊU: Kiến thức: -Nắm vững định lí dấu tam thức bậc hai ý nghĩa hình học -Hiểu khái niệm bất phương trình bậc hai ẩn, cách giải bất phương trình bậc hai ẩn Kỹ năng: -Có kĩ thành thạo việc xét dấu tam thức bậc hai, lấy nghiêm bất phương trình có chứa tam thức bậc hai -Biết cách giải biện luận bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu có tam thức bậc hai -Biết cách giải biện luận bất phương trình bậc hai ẩn I.LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Dấu tam thức bậc hai - Tam thức bậc hai x biểu thức có dạng f  x   ax  bx  c, a, b, c hệ số, a  - Cho f ( x)  ax2  bx  c (a  0),   b2  4ac • Nếu   f  x  ln dấu với hệ số a với x  Minh họa hình học dấu tam thức bậc hai: - Trường hợp a > • Nếu   f  x  ln dấu với hệ số a trừ điểm x   b 2a • Nếu   f  x  dấu với hệ số a x  x1 x  x2 , trái dấu với hệ số a x1  x  x2 , x1 , x2  x1  x2  hai nghiệm f  x  Trang b  Chú ý: Có thể thay biệt thức   b2  4ac biệt thức thu gọn  '   b '  ac  b '   2  Bất phương trình bậc hai ẩn - Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình dạng ax  bx  c  (hoặc ax2  bx  c  0, ax2  bx  c  0, ax2  bx  c  ), a, b, c số thực cho, a  - Giải bất phương trình bậc hai ax  bx  c  thực chất tìm khoảng mà f ( x)  ax2  bx  c dấu với hệ số a ( trường hợp a  ) hay trái dấu với hệ số a ( trường hợp a  ) II.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xét dấu tam thức bậc hai →Phương pháp giải Dấu tam thức bậc hai thể bảng sau Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c * ax  bx  c  0, x  * ax  bx  c  0, x  * ax  bx  c  0, x  * ax  bx  c  0, x  a     a     a     a     Ví dụ: Xét dấu tam thức bậc hai sau a) 3x  x  b) 3x  x  c) 3x  x  Hướng dẫn giải  x  3 a) Ta có 3x  x      x  Bảng xét dấu Trang b) 3x  x  Ta có  '  0, a  Suy 3x2  6x   0, x  1 c) 3x  x  Ta có   72  0, a   Suy 3x2  6x   0, x   Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dấu tam thức sau a) 3x  x  Hướng dẫn giải  x2 a) Ta có 3x  x     x    Bảng xét dấu b)  x  x  4    Suy 3x2  x    x   ;     2;   3x2  x    x    ;2  3     x  1 b) Ta có  x  x     x  Bảng xét dấu Suy  x2  4x    x   1;5  x2  4x    x   ; 1  5;   Ví dụ Xét dấu tam thức sau a) 25 x  10 x  Hướng dẫn giải b) 4 x  12 x   1 \    5 3 b) Ta có  '  0, a  suy 4 x  12 x   x  \   2 Ví dụ Xét dấu tam thức sau a) 3x  x  b) 2 x  x  Hướng dẫn giải a) Ta có  '  2  0, a   suy 3x2  2x 1  0, x  a) Ta có  '  0, a  suy 25x  10 x   0x  b) Ta có  '  1  0, a  suy 2x2  6x   x  Ví dụ Giải bất phương trình sau Trang a) 3x  x   Hướng dẫn giải b) 2 x  3x   c) 3x  x  a) Tam thức f ( x)  3x2  5x  có hai nghiệm x  1, x   Bảng xét dấu   Nghiệm bất phương trình   x  hay S    ;1   b) Tam thức f ( x)  2x2  3x 1 có hai nghiệm x  1, x   Bảng xét dấu Nghiệm bất phương trình x  1 x     hay S   ; 1   ;     c) Tam thức f ( x)  3x2  4x có hai nghiệm x  0; x  Bảng xét dấu Nghiệm bất phương trình x  x  Ví dụ Giải bất phương trình sau a) x  x   b) x  x   c) 25 x  20 x   d) x  x   Hướng dẫn giải a) Tam thức bậc hai x  x  có   108  a   Suy x  x   với x  Tập nghiệm bất phương trình S  b) Tam thức bậc hai x  x  có  '  2  0, a   Suy x2  4x   0, x  với x  Tập nghiệm bất phương trình x  x   S   Ghi nhớ: b *  ax  b    x   a *  ax  b    x  Trang b *  ax  b    x   a *  ax  b    x  2 c) 25 x  20 x   có  '  0, a  25   25 x  20 x   0, x  2 Tập nghiệm bất phương trình S  \   5  d) x  x    x  3 , x  Do x  x    x  3 Nghiệm bất phương trình x  x   x  3 Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để biểu thức sau âm a) f ( x)  x2  2x  m Hướng dẫn giải a  1  a) f  x   0, x     m   '   m  b) g( x)  4mx2  4(m 1) x  m  với x  Vậy với m  biểu thức f  x  ln âm b) Với m  g  x   4x   x  không thỏa mãn x  Do m  khơng thỏa mãn u cầu tốn Với m  g  x   4mx2   m 1 x  m  tam thức bậc hai nên a  4m       '   m  1  4m  m  3  g  x   0, x   m0 m     m  1 m  1  4m   Vậy với m  1 biểu thức g  x  ln âm Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để a) 3x2   m  1 x  2m2  3m   x   m  1 x   m  1 x  3m  có nghĩa với x b) Hàm số y  Hướng dẫn giải a) 3x2   m  1 x  2m2  3m   x    '   m  1   2m2  3m    (do a   )  7m2  7m    m2  m   (vô nghiệm   3  ) Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán b) Hàm số có nghĩa với x  m  1 x2   m 1 x  3m   0, x  (không thỏa mãn x  ) m   0 -Với m  1 ta có  m  1 x   m  1 x  3m   0, x     '   m  1 2m   -Với m  1 biểu thức trở thành x    x  Trang  m   m  1 x   m  1 x  3m  Vậy m  hàm số y  có nghĩa với x Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Tập nghiệm bất phương trình x  x  5   x   A  ,1   4;   B 1 ; 4 C  ,1   4;   D 1 ;  Câu Tập xác định hàm số y   x  x   B   ;1   A  5;1 C  ; 5  t;   D (-:-]4[++o) Câu Các giá trị m làm cho biểu thức f(x)= x + 4x + m – dương A m  B m  C m  D m Câu Cho hàm số f  x   x  2mx  3m  Tìm m để f ( x)  0, x  A m1;2 B m 1,  C m  ;1 D m 2;   Bài tập nâng cao Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình sau vơ nghiệm f ( x)   m  3 x2   m  3 x   A m  22 m  C 22  m  B 22  m  D 22  m  m  Câu Định m để bất phương trình  m 1 x2   m  2 x   m  có miền nghiệm A  m  C m  m  2 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-A 2-A 3-C 4-A B m  m  D  m  2 5-B 6-D Câu Chọn B (loại) Với m  3, f ( x) tam thức bậc hai ẩn x Khi Với m   f ( x)  x    x  f ( x)  (m  3) x  (m  2) x   0, x  m     22  m  2   m  20m  44  Câu Chọn D (loại) Với m  1, bất phương trình cho bất phương trình bậc hai ẩn Khi m   (m  1) x  2(m  2) x   m  0, x      m  2  '  (m  2)(2m  3)  Với m  1, bất phương trình cho trở thành x    x   Trang Dạng Ứng dụng định lí dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích  Phương pháp giải Bước Biến đổi bất phương trình dạng f  x   0; f  x   0; f  x   0; f  x   f  x  tích hay thương nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước Lập bảng xét dấu f  x  Bước Dựa vào bảng xét dấu để suy tập nghiệm bất phương trình Ví dụ: Xét dấu biểu thức  x  3  2 x  3x   Hướng dẫn giải Ta có x    x   ;  x   2 x  3x      x  Ta có bảng xét dấu Từ bảng xét dấu, ta có  x  3  2 x2  3x  2  3     x   ;      ;  ; 2     x  3  2 x  3x     1  x    ;     2;    2  Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dấu biểu thức sau a)   x  x  1 x  5x  1 b)  x2  5x    5x  x2  c) x3  x  Hướng dẫn giải 1 a) Ta có  x  x   vô nghiệm; x  x    x  ; x  Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu, ta có Trang 1 1  x  1 x2  5x  1   x   ;  3 2   x2  x 1 6x2  5x  1   x   ; 13    12 ;    x b) Ta có x  x    x  1; x  4;  x  x   x  2; x  Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu, ta có 1   5x    5x  x    x   ;   1;2    4;   ; 2   x2  5x  4  5x  2x2    x   12 ;1   2;4 x c) Ta có x3  x    x    x  x  1 Ta có x    x  2; x2  2x 1   x  1 Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu, ta có    x    x   ; 1     1  x3  x    x  1  2; 1    2;   ; x3 Ví dụ Xét dấu biểu thức sau a) f  x    x    3x    2; b) f  x   x   x  x  x  8 Hướng dẫn giải a) f  x    x    3x   Ta có 2x2    x  1;3x    x  2 Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu ta có f  x    x   2; 1  t;   ; f  x    x   , 2   1;1 b) f  x   x   x  x  x  8 Trang x  Ta có x   x  0;9  x   x   3; x  x      x  8 Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu, ta có f  x    x   8; 3  1;3 ; f  x    x   ; 8   3;0   0;1  3;   Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Với x thuộc tập hợp f  x   x  x  1 không âm? A  ; 1  1;   B  1,0  1;   C  ; 1  0;1 D  1;1 Câu Tập nghiệm bất phương trình 1  x  x  5 x  1   1 5  C S   1;    ;   D S   1,   2    1 5   A S   1;  B S   1;  2 2   Câu Hàm số có bảng xét dấu hàm số A f  x    x  3  x  3x   B f  x   1  x   x  5x   C f  x    x     x  x  3 D f  x   1  x   x   x  Câu Tập nghiệm phương trình x  x   x  x  A 2;3 B  2,3 C  ;2   3;   Bài tập nâng cao Câu Tập nghiệm bất phương trình D  ;2  3;   x  3  x  x     x    x  x    a; b  có dạng với a, b  Giá trị a  b A B  C D  Câu Có giá trị m để x  thoả bất phương trình  x  x  m    x  3x  m  ? A B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-B 2-C 3-A 4-D C 5-D D 6-B Câu Chọn D Trang Ta có ( x  3)  x  x    ( x  2)  x  x    x  3x  26    Suy a  b   13  x  13 2 5 Câu Chọn B Ta có  x  x  m    x  3x  m   (4 x  2m)  x  x    (2 x  m) x( x  1)  2 Mặt khác x   (2 x  m)( x  1)  0, x   m  2 Dạng Ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn mẫu  Phương pháp giải Bước Biến đổi bất phương trình dạng f  x   0; f  x   0; f  x   0; f  x   0, , f  x  tích hay thương nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước Lập bảng xét dấu f  x  Lưu ý giá trị x làm f  x  không xác định Bước Dựa vào bảng xét dấu để suy tập nghiệm bất phương trình Ví dụ: Xét dấu biểu thức 2 x2  3x  2x  Hướng dẫn giải Ta có x    x   ;  x  2 x  3x     x  Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu, ta có  x  5  2 x2  3x  2   x   ;   5       ;2  2    1 Và  x  5 2 x2  3x    x    ;     2;    2  Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dấu biểu thức sau  a)  x2 1  x2  3 3x2  x  8 b) x2  x   x  3x  Hướng dẫn giải a) Đặt f  x   x2 1  x  3 3x  x  8 Trang 10 x  Ta có x    x  1; x    x   3; 3x  x     x    Bảng xét dấu 2 Dựa vào bảng xét dấu, ta có x2 1 4    x    3;     1;1  2 3   x  3 3x  x  8   3; ; x2 1     x  ;     ; 1  1;   2;   2    x  3 3x  x  8     x2  x   x  3x   x  1  x  1 ;  x  3x     Ta có x  x     x  x  b) Đặt g  x   Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu, ta có x2  x    x   2;4 ;  x  3x  x2  x    x   ; 1   1,    4;    x  3x  Ví dụ Giải bất phương trình sau x2  1  b) x  10  x  3x   x x2  Hướng dẫn giải a) Ta có 1 1    0 x  3x   x  x x  3x  a)  x2  3x   1  x  x  3x   1  x  0 c) x  x2  x    x  3x  x2  x    x2  3x  4 1  x  Bảng xét dấu Trang 11 Dựa vào bảng xét dấu, ta có x2  2x    x  1  6; 1  1,1     4;    x2  3x   1  x    x2  x2     x2  10  2 x 8 x 8 2 2 x    x  8 x  10   0 x2  b) Ta có x2  10  9  x 9  x 81  x 0 x 8 x2  Bảng xét dấu     9 x x 8  (do  x2  0, x ) Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho   S   3; 2  2;3 x2  x   x3  x  x   x  1   x  x      x  3x   x  3x   x  3x   x  2  x  1 ,  x  3x     Ta có  x  x     x  x    c) Ta có x  Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu, ta có x x2  x    x  [2; 1)  [1;3]  (4; )  x  3x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Tập xác định hàm số y  x  5x  Trang 12 A (; 6]  [1; ) B (-6; 1) C (; 6)  (1; ) D (; 1)  (6; ) Câu Tập nghiệm bất phương trình A (,1) x 1  0? x  4x  B (3; 1)  [(; ) C (; 3)  (1;1] D (-3; 1) Câu Với x thuộc tập hợp f ( x )  A S  (;1) x 1 không âm? x  4x  B S  (3; 1)  [t  ) C S  (; 3)  (1;1] D S=(-3; 1) Câu Khi xét dấu biểu thức f ( x )  x  x  21 , ta có x2 1 A f  x    x  1  x  B f  x   x  7 1  x  x  C f  x     x   x  D f  x    x  1 Bài tập nâng cao Câu Số nghiệm nguyên thuộc khoảng  0;2017 bất phương trình A 2014 B 2015 C 2016 Câu Số giá trị nguyên m để hàm số y  x  3x  x  (3m  2) x  A B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-C 2-C 3-B 4-B 4x2   x  2x  D 2017 xác định với giá trị x C 5-C D 6-C Câu Chọn C  x  4x  3  6x  2x   0 Ta có 2x  2x  x    2 Khi số nghiệm nguyên thuộc  0;2017  2016 nghiệm Câu Chọn C Hàm số y  x  3x  x  (3m  2) x  xác định với giá trị x  x2  (3m  2) x   0, x  a  1     9m2  12m  12   2  m     (3m  2)  4.4  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Trang 13 Dạng Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai vơ nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm Phương pháp giải Phương trình bậc hai ax  bx  c  0(a  0) có biệt thức   b2  4ac   b2  ac  • Có hai nghiệm phân biệt   • Có nghiệm kép   • Vơ nghiệm   • Có nghiệm   Ví dụ: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt  x2  (m  2)x   Hướng dẫn giải Ta có   (m  2)2  16  m2  4m  12  m  6 Để phương trình cho hai nghiệm phân biệt    m  4m  12    m  Vậy với m  (; 6)  (2; ) phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh với giá trị thực tham số m a) Phương trình x2  2(m  2)x  (m  3)  có nghiệm   b) Phương trình m  x  ( 3m  2) x   vô nghiệm Hướng dẫn giải a) Ta có   (m  2)2  m   m2  5m  Vì tam thức m2  5m  coù m  3 nên   m2  5m   với m Do phương trình cho có nghiệm với m   b) Ta có   ( 3m  2)2   m2    5m2  3m  Vì tam thức 5m2  3m  có am  5  0, m  nên   5m2  3m   với m Do phương trình cho vơ nghiệm với m Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) x  mx  m   b) (1  m)x2  2mx  2m  Hướng dẫn giải a) Phương trình có nghiệm   m   m2  4(m  3)   m  4m  12     m  2 Vậy với m  (; 2]  [6; ) phương trình x  mx  m   có nghiệm b) Với m  1 phương trình trở thành x    x  Suy m  1 thỏa mãn yêu cầu tốn Với m  1 phương trình có nghiệm  '   m2  2m(1  m)   m2  2m   2  m  Kết hợp hai trường hợp, ta thấy 2  m  phương trình có nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm a) x  2mx  m   b) (m  1)x2  (2m  2)x  2m  Hướng dẫn giải Trang 14 a) Phương trình vô nghiệm  '   13  13 x 2   13  13  Vậy với m  ;  phương trình vơ nghiệm     b) Với m  phương trình cho trở thành  (phương trình vơ nghiệm) m  thỏa mãn yêu cầu toán Với m  phương trình vơ nghiệm  '   m2  m     m 1  (m  1)2  2m(m  1)   (m  1)(m  1)     m  1 Vậy với m  m