Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
BÀI CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC MỤC TIÊU Kiến thức: - Nắm vững Công thức lượng giác gồm: Công thức cộng, Công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng Kỹ - Vận dụng công thức lượng giác học vào tốn tính giá trị lượng giác góc đặc biệt: tính giá trị biểu thức lượng giác Kĩ - Xác định tính chất tam giác thỏa mãn điều kiện góc, cạnh, diện tích cho trước cách đưa biểu thức lượng giác Ví dụ: I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức cộng • cos(a b) cos a cos b sin a sin b • cos(a b) cos a cos b sin a sin b • sin(a b) sin a cos b cos a sin b • sin(a b) sin a cos b cos a sin b tan a tan b tan a tan b tan a tan b • tan(a b) tan a tan b Ví dụ: • tan(a b) cos x cos x cos sin x sin 4 4 (cos x sin x) sin x sin x cos cos x sin 4 4 (sin x cos x) tan x tan tan x tan x tan tan x tan x Cơng thức nhân đơi • sin 2a 2sin a cos a • cos 2a cos a sin a 2cos a 2sin a tan a • tan 2a tan a Công thức biến đổi tích thành tổng Trang 1 • cos a cos b [cos(a b) cos(a b)] • sin a sin b [cos(a b) cos(a b)] • sin a cos b [sin(a b) sin(a b)] Ví dụ: cos x, cos 3x [cos(2 x) cos x] (cos x cos x) ; sin x sin x [cos(4 x) cos x] (cos x cos x) Cơng thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos • cos a cos b cos 2 ab a b sin • cos a cos b 2sin 2 ab a b cos • sin a sin b 2sin 2 ab a b sin • sin a sin b cos 2 Ví dụ: cos x cos3x 2cos x cos x ; cos5x cos3x 2sin 4x sin x ; sin 2x sin x 2sin3x cos x ; sin 3x sin x 2cos x sin x II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Công thức cộng - Phương pháp giải Các tốn thường gặp: - Tính giá trị lượng giác - Tính giá trị biểu thức lượng giác - Rút gọn đơn giản đẳng thức - Chứng minh đẳng thức cách biến đổi vế thành vế kia, biến đổi hai vế đại lượng biến đổi tương đường dẫn đến đẳng thức - Chú ý giá trị lượng giác cung lượng giác đặc biệt biết: 300 ; 450 ; 600 ; 900 Ví dụ: Biết sin x , x 2 Hãy tính giá trị lượng giác cos x 4 Hướng dẫn giải Trang Vì x nên điểm thuộc góc phần tư thứ cos x cos x Ta có cos x cos x cos sin x sin 4 4 2 cos x sin x 2 6 2 2 Ví dụ mẫu 12 3 Ví dụ cos x , x Giá trị lượng giác sin x 13 3 A 12 26 B 12 26 5 12 5 12 D 26 26 Hướng dẫn giải 3 Vì x nên điểm thuộc góc phần tư thứ III sin x C 12 sin x cos x 13 13 2 12 5 12 Ta có sin x sin cos x cos sin x 3 13 13 26 3 Chọn A Ví dụ Rút gọn biểu thức A sin x 140 sin x 740 sin x 760 sin x 160 ta kết A A sin x B A C A D A cos x Hướng dẫn giải Ta có sin a cos b sin b cos a sin b cos c sin c cos b sin c cos a sin a cos c A cos a cos b cos b cos c cos c cos a sin a cos b sin b cos a sin b cos c sin c cos b sin c cos a sin a cos c cos a cos k cos a cos b cos b cos c cos b cos c cos c cos a cos c cos a tan a tan b tan b tan tan c tan a Chọn D Ví dụ 4* Cho góc nhọn thỏa mãn sin2 x sin2 y Chứng minh sin2 x sin2 y sin2 ( x y) Hướng dẫn giải Ta có sin x cos2 x sin x sin x mà sin2 x sin2 y , 2 Trang suy sin x sin y y x (vì x, y góc nhọn) nên x y 2 2 Mà sin2 ( x y) sin2 x cos2 y sin2 y cos2 x 2sin x sin y cos x cos y Do sin2 x sin2 y sin2 ( x y) sin2 x sin2 y sin2 x cos2 y sin2 y cos2 x 2sin x sin y cos x cos y sin x sin y sin x 1 sin y sin y 1 sin x 2sin x sin y cos x cos y 2sin2 x sin2 y 2sin x sin y cos x cos y sin x sin y cos x cos y sin x sin y cos x cos y cos( x y) (hiển nhiên x y ) Suy điều phải chứng minh Phân tích tốn Sử dụng kiện toán đề x y Từ ta thấy giá trị lượng giác góc x y đường Sử dụng đẳng thức để biến đổi vế phải bất đẳng thức dùng biến đổi tương đương, dùng công thức lượng giác để dẫn tới điều Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Rút gọn biểu thức A cos 250 cos 50 cos 650 cos850 thu kết A A cos 600 B A cot 600 C A tan 600 D A sin 600 Câu Rút gọn biểu thức A sin x 170 cos x 130 sin x 130 cos x 170 thu kết A A Câu Cho sin x A 12 119 52 B A C A cos x D A sin x với x ;sin y với y Giá trị cos( x y ) 13 B 12 119 52 C 12 119 52 D 12 119 52 Câu Cho cot x 3;cot y 1, biết x, y góc nhọn dương Giá trị x y A 5 12 B 17 12 C 7 12 D 11 12 Câu Cho A, B, C góc tam giác Khẳng định sau sai? A cos B C B C A cos sin sin sin 2 2 C cot A cot B cot C cot A cot B cot C B tan A tan B tan C tan A tan B tan C D tan A B B C C A tan tan tan tan tan 2 2 2 Câu Cho biểu thức A sin2 ( x y) sin2 x sin2 y Khẳng định sau đúng? A A 2sin x cos y cos( x y) B A 2cos x sin y sin( x y ) C A 2cos x cos y cos( x y) D A 2sin x,sin y cos( x y) Câu Cho A, B, C ba góc tam giác Khẳng định sau đúng? A cos A cos B cos C cos A cos B cos C Trang B cos A cos B cos C cos A cos B cos C C cos A cos B cos C 2cos A cos B cos C D cos A cos B cos C 2cos A cos B cos C Câu Cho tan x t , t 1 Khẳng định sau đúng? 4 1 t t 1 1 t 2t A tan x B tan x C tan x D tan x 1 t 1 t 1 t t 1 Câu Cho cos2 x cos2 y m Khi giá trị biểu thức A cos( x y) cos( x y) A A m 1 B A m C A m 1 D A m Bài tập nâng cao Câu 10 Giá trị lớn nhỏ biểu thức A sin x 2cos x M m Giá trị biểu M thức P m A B C D 3sin x Câu 11 Giá trị lớn biểu thức A tan x 31 33 17 A B C D 8 Câu 12 Cho A, B, C góc ABC Biết 3(cos B 2cos C ) 4(sin B 2sin C ) 15 Khi ABC tam giác gì? A Tam giác cân C Tam giác HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-D 2-B 3-B 4-A 11-C B Tam giác vuông D Tam giác vuông cân 5-C 6-D 7-C 8-B 9-A 10-B 12-A Câu 10 Chọn B Ta có A sin x cos x cos x 1 cos x 3cos x cos x 2 2 1 1 2 cos4 x 2cos2 x cos2 x 3 3 Do giá trị nhỏ biểu thức A Ta lại có A 3cos4 x 2cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 13cos x 1 Vì cos2 x nên cos x 13cos x 1 A cos x 13cos x 1 Do giá trị lớn biểu thức A 2 Vậy M 2; m P 3 Câu 11 Chọn C Trang Ta có A 3sin x tan x 3sin x cos x 3sin x 1 cos x 1 sin x 3sin x 2sin x 3sin x 3 3 2 sin x sin x 2 2 3 33 33 2 sin x 2sin x 2 sin x 4 8 33 Vậy giá trị lớn A Câu 12 Chọn A Ta có 3(cos B 2cos C ) 4(sin B 2sin C ) (3cos B 4sin B) (6cos C 8sin C ) Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski, ta có 3cos B 4sin B 32 42 cos B sin B 6cos C 8sin C 62 82 cos C sin C 10 3(cos B 2cos C ) 4(sin B 2sin C ) 15 3cos B 4sin B Mà theo giá thiết 3(cos B 2sin C ) 4(sin B 2cos C ) 15 nên 6cos C 8sin C 10 cos B sin B tan B Do dấu “=” xảy tan B tan C B C (do B, C 1800 ) sin C cos C tan C 6 Vậy tam giác ABC tam giác cân A Dạng Công thức nhân đôi Phương pháp giải Áp dụng công thức nhân đơi để tính rút gọn giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác Ví dụ mẫu Ví dụ Giá trị A cos sin 12 12 Hướng dẫn giải Ta có A B C D A cos sin cos sin cos sin cos 12 12 12 12 12 12 Chọn C Ví dụ Giá trị biểu thức A sin x cos6 x a b cos x Giá trị a 2b 11 13 15 A B C D 8 8 Hướng dẫn giải Trang Ta có A sin x cos6 x sin x cos x sin x sin x cos x cos x 3 cos x sin x cos x 3sin x cos x sin 2 x 4 (1 cos x) cos x 8 11 Vậy a 2b 8 Chú ý: Công thức hạ bậc: cos x cos x cos x sin x Chọn B Ví dụ Khẳng định sau đúng? x x A tan B tan 1 tan x 1 tan x cos x cos x x x C tan 1 tan cos x Hướng dẫn giải Ta có x D tan 1 tan x cos x x x x x cos sin cos x x cos x 2 2 tan 1 tan x x cos x cos x cos x cos x cos cos 2 x cos x sin x tan x sin cos x cos x Chọn A Ví dụ Cho x, y ;3sin x 2sin y 3sin x 2sin y Tính cos( x y ) sin A 6.sin x.cos x B 6.sin2 y.cos y C D Hướng dẫn giải Ta có 3sin2 x 2sin2 y 3sin2 x 1 2sin2 y cos2 y 3sin x 2sin y 2sin y 3sin x sin y 3sin x cos x Do đó: cos( x y) cos x cos2 y sin x sin y cos x 3sin2 x sin x 3sin x cos x cos( x y) Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang Câu Cho cos x cos 2x có giá trị B 5 Câu Cho cot x 15 sin2 x có giá trị 13 11 A B 113 113 A C D 2 15 17 D 113 113 1 Câu Cho x, y góc nhọn dương sin x ,sin y giá trị sin2 x y 7 18 2sin x Câu Cho tan x giá trị biểu thức A 2 3cos x A A B B C A A 34 18 C B 34 18 C D 7 18 D A giá trị biểu thức P 3sin2x 2cos2x 3 A B C D A C 2 Câu Cho biểu thức sau A cot x tan x tan 2x tan 4x Khẳng định sau đúng? A A 2cot x B A 4cot x C A 6cot x D A 8cot 8x sin x sin x Câu Cho biểu thức sau A Khẳng định sau đúng? cos x cos x A A tan x B A sin x C A cot x D A tan x Câu Nếu sin x cos x 2sin 2 x sin x Câu Cho biểu thức A Khẳng định sau đúng? 2cos 2 x sin x A A C A sin x 300 sin x 300 cos x 300 cos x 300 B A D A sin x 300 sin x 300 cos x 300 cos x 300 Bài tập nâng cao Câu Giá trị lớn biểu thức A cos 2x 4sin x A B C D 6 Câu 10 Giá trị nhỏ biểu thức A sin x cos x 1 1 A B C D Câu 11 Cho P (2cos x 3sin x)(3cos x 2sin x) Gọi A B giá trị lớn nhỏ A B 12 13 A B 11 11 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-C 2-C 3-A 4-D biểu thức P Giá trị C 5-D 14 11 6-D D 7-A 8-A 15 11 9-D 10-B Trang 11-D Câu Chọn D Ta có A cos x 4sin x 2sin x 4sin x 2sin x 4sin x 2 sin x 2sin x 2 sin x 2sin x 3 2(sin x 1) Vậy giá trị lớn A sin x Câu 10 Chọn B Sử dụng đẳng thức: a3 b3 (a b) a ab b2 A sin x cos5 x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x cos x 3sin x cos x 3(sin x cos x) sin 2 x 3 3 3 3 A sin 2 x Vì sin 2 x sin 2 x 4 4 1 Vậy A Amin 4 Câu 11 Chọn D Ta có P 6cos2 x sin x cos x 9sin x cos x 6sin x cos x sin x 5sin x cos x cos x sin x 12 13 đặt sin ;cos ;0 13 13 2 2 Tới ta rút 13 13 13 12 cos x sin x (sin cos x cos sin x) sin( x) 13 13 13 11 13 15 Vì 1 sin( x) nên Min P Max P 2 2 15 11 A 15 Do A ; B 2 B 11 P Dạng Cơng thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích Phương pháp giải Áp dụng cơng thức biến tổng thành tích tích thành tổng để biến đổi, tính giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác, rút gọn chứng minh Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau A 2sin x (cos x cos3x cos5x) Hướng dẫn giải Ta có A 2sin x cos x 2sin x cos3x 2sin x cos5x sin x (sin x sin x) (sin x sin x) sin 6x Ví dụ mẫu Ví dụ Tính giá trị biểu thức A cos750 ,sin150 Trang 2 Hướng dẫn giải A Ta có A cos 750 sin150 B 2 C 2 D 2 sin 750 150 sin 750 150 2 2 sin 900 sin 600 Chọn A Ví dụ Rút gọn biểu thức A sin a sin(b c) sin b sin(c a) sin c sin(a b) kết A B C sin a.sin b.sin c D cos a cos b cos c Hướng dẫn giải Ta có A sin a (sin b cos c sin c cos b) sin b (sin c cos a sin a cos c) sin c (sin a cos b sin b cos a) sin a sin b cos c sin a sin c cos b sin b sin c cos a sin b sin a cos c sin c sin a cos b sin c sin b cos a Chọn B Ví dụ Rút gọn biểu thức A 4cos x cos x cos x kết 3 3 A cos x B cos 2x C cos3x D cos 4x Hướng dẫn giải 2 A 4cos x cos x cos x 2cos x cos cos x 3 3 cos x 2cos x cos 2x cos x cos3x cos x cos3x Chọn C Ví dụ Chứng minh đẳng thức: sin x 2sin x sin x 2cos x cos3x cos5x Hướng dẫn giải sin x sin x VT 2cos x cos3x cos5 x (cos x cos3x) (cos x cos5 x) 4.sin 2 x cos2 x 2sin 2 x cos x 2cos x cos x 2cos x cos3x cos x cos3x 2 2sin x cos x 4sin x cos x cos x cos x cos x 4sin x cos x 2sin x sin x VP Suy điều phải chứng minh Bài tập tự luyện dạng Bài tập cos( x y) cos y Câu Cho x y Rút gọn biểu thức A ta kết cos( x y) cos y A tan x B cot x C cot y 4 D cot y 4 Trang 10 Câu Giá trị biểu thức A cos x 450 cos x 450 A sin x B sin x sin x B C Câu Giá trị biểu thức A sin x 300 cos x 300 A sin x cos x C D cos x sin x D sin x x x Câu Rút gọn biểu thức A sin sin ta 2 2 2 B A C A sin x sin x cos x 2 Câu Đẳng thức sau sai? A cos x cos y sin x sin y cos( x y 13 ) D A A A sin x B 4sin x cos x cos 2x sin x C 4sin x cos x cos 2x sin x D 2sin( x y) sin( x y) cos x cos y Bài tập nâng cao Câu Cho A, B, C góc tam giác ABC ; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khẳng định số khẳng định sau đúng? A B C A B C A r R sin sin sin B r 3R sin sin sin 2 2 2 A B C A B C C r R sin sin sin D r R sin sin sin 2 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-C 2-C 3-A 4-A 5D- 6-A Câu Chọn A a b c 2R sin A sin B sin C a b c R sin A R sin B R sin C p R(sin A sin B sin C ) 2 R[sin A sin B sin( A B)] R(sin A sin B sin A cos B sin B, cos A) Gọi p nửa chu vi tam giác Ta có A A B B B A R[sin A(1 cos B) sin B(1 cos A)] R 2sin cos 2cos2 2sin cos cos2 2 2 2 A B A B B A A B A B 4R cos cos sin cos sin cos 4R cos cos sin 2 2 2 2 R cos A B C cos cos 2 Ta lại có S p r 8R3 sin A sin B sin C a.b c a.b c sin A.2R sin B.2R sin C 2R r 4R p 4R R cos A cos B cos C R 16 R cos A cos B cos C 2 2 2 Trang 11 A A B B C C cos sin cos sin cos 2 2 2 R sin A sin B sin C r A B C 2 2 cos cos cos 2 A B C Vậy r R.sin sin sin 2 R.2sin Trang 12 ... thấy giá trị lượng giác góc x y đường Sử dụng đẳng thức để biến đổi vế phải bất đẳng thức dùng biến đổi tương đương, dùng công thức lượng giác để dẫn tới điều Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu... 6 Vậy tam giác ABC tam giác cân A Dạng Công thức nhân đôi Phương pháp giải Áp dụng cơng thức nhân đơi để tính rút gọn giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác Ví dụ mẫu Ví dụ... sin x 30 0 sin x 30 0 cos x 30 0 cos x 30 0 B A D A sin x 30 0 sin x 30 0 cos x 30 0 cos x 30 0 Bài tập nâng cao Câu Giá trị lớn biểu thức A cos