CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC DÙNG CHO HỌC SINH LỚP ĐẾN 12 Cơng thức Các góc đặc biệt 2 Góc đối nhau: Góc Góc phụ π   sin     sin   cos   ; sin   tan  cos  cos(   )  cos  sin(    )   sin    1  cos    sin  sin      cos cos a  cot a.sin a ; tan   sin(   )   sin  cos(    )   cos  sin   k   sin  k  Z     cos  tan( )   tan  cos   k 2   cos  ; k  tan(   )  tan  cot( )   cot    cos  cos      sin  cot(   )  cot  tan   k   tan  ; k  cot   ; tan  cot   Góc bù sin  2  sin(   )  sin  cot   k   cot  ; k    1 2 cos(   )   cos  tan   ;  cot   cos  sin    tan(   )   tan  tan      cot  Công thức cộng 2  cot(   )   cot  sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b  tan a tan b    tan b tan   b   4   tan b tan a  tan b  tan a tan b    tan b tan   b   4   tan b tan  a  b   tan  a  b   Biểu diễn theo t  Công thức biến đổi tích thành tổng sin a  cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b   2 cos a  tan a 2t 1 t2 1 t2 1 t2 2t tan a  1 t2 cos  a  b   cos  a  b   2 sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   sin a.sin b  m α R Hình tròn   cot      tan  2  R Hình quạt α R Viên phân Diện tích hình trịn: S   R Chu vi hình trịn: C  2 R   R  R2 Diện tích hình quạt: S  (  độ) ; S  (  rad) 360   R Chiều dài cung tròn: l  (  độ) 1800   sin  Diện tích hình viên phân: Svp  R ,(  rad) Góc π   sin      cos 2    cos       sin  2    tan       cot  2    cot       tan  2  Công thức nhân đôi – hạ bậc – nhân ba Hạ bậc: Nhân ba:  cos 2a sin 2a  2sin a.cos a sin 3a  3sin a  4sin a sin a  2 cos 2a  cos a  sin a cos 3a  cos3 a  3cos a 2  cos a  cos a    2sin a cos a  2 tan a  tan a cot a  tan a tan a   cos 2a cot 2a  tan 2a   tan a tan a  cot a  tan a  cos 2a Các công thức khác  cos 2a  cos a ;  cos 2a  sin a  sin 2a   sin a  cos a  Nhân đôi: sin a  cos8 a   4sin a.cos a  2sin a.cos a sin a  cos a   2sin a.cos a   sin 2a   cos 4a 4 sin n a.cosn a  n sin n 2a 6 2 sin a  cos a   3sin a.cos a   sin 2a   cos 4a 8 Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b sin  a  b  cos a  cos b  cos cos tan a  tan b  ; cot a  tan a  2 cos a.cos b sin 2a ab a b sin  a  b  cos a  cos b  2sin sin cot a  cot b  2 ; cot a  tan a  2cot 2a sin a.sin b ab a b sin a  sin b  2sin cos sin  b  a  2 cot a  cot b  sin a.sin b ab a b sin a  sin b  cos sin 2     sin a  cos a  2.sin  a    2.cos  a   sin  a  b  4 4   tan a  tan b  cos a.cos b     sin a  cos a  2.sin  a     2.cos  a   4 4    sin 2a   sin a  cos a  BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC DÙNG CHO HỌC SINH LỚP ĐẾN 12 Các cơng thức tam giác Xét tính chẵn lẻ hàm số Bước 1: Tìm TXĐ: D A B C sin  A  B   sin C sin A  sin B  sin C  cos cos cos Bước 2: Chỉ x  D   x  D 2 cos  A  B    cos C Bước 3: Tính : cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A  A B C f ( x) : Hàm số chẵn A B C sin  sin cos A  cos B  cos C   4sin sin sin 2 f ( x)    f ( x) : Hàm số lẻ 2 A B C tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C (nhọn)   f ( x);  f ( x): Không chẵn không lẻ tan cot 2 A B B C C A cos  B  C   cos  A  2C  tan tan  tan tan  tan tan  Giá trị lớn – giá trị nhỏ cos A  cos 2B  cos 2C  1  4cos sA.cos B.cos C + Đánh giá 1  sin x,cos x  cos  A  B  C    cos 2C A B C A B C + Hàm y  a.sin x  b.cos x dùng BĐT cot  cot  cot  cot cot cot 2 2 2 sin  A  2B  C    sin B Bunhia đưa : sin A  sin B  sin C   2cos A.cos B.cos C a b cot  A  B  C    cot 2B y  a  b  sin x  cos x  sin A  sin B  sin C A B C 2 2   a  b a  b  tan tan cot B  C  3A cos A  cos B  cos C  2 cos   sin A sin C  sin A.cos B  sin B.cos A y  a2  b2 sin  x    đánh giá sử sin C  tan A  tan B ( A, B  90 ) dụng đk có nghiệm a  b  y cos A.cos B Hàm y  a.sin x  b.sin x.cos x  c.cos x hạ sin A  sin B  sin 2C  4sin A.sin B.sin C bậc tính cos A  cos B  cos C   2cos A.cos B.cos C a sin x  b1.cos x 5A 5B 5C Hàm y  nhân chéo sử sin A  sin 5B  sin 5C  cos cos cos a sin x  b2 cos x 2 dụng điều kiện có nghiệm sin A  sin B  sin 6C  4sin A.sin 3B.sin 3C tan A B C A B B C A C A B C  tan  tan  tan tan  tan tan  tan tan  tan tan tan  4 4 4 4 4 4 Phương trình LG cot x  cot   x    k ; k  tan x  tan   x    k ; k  Nếu cot x  m Nếu tan x  m  C1 : m  cot   x    k  C1 : m  tan   x    k ;k  ;k   C : x  arc cot m  k  C : x  arctan m  k    cot x   x    k    Đặc biệt:  cot x   x   k     cot x  1  x    k    tan x   x  k   Đặc biệt:  tan x   x   k     tan x  1  x    k Tìm TXĐ hàm số Cho  , cho mẫu số  Từ suy điều kiện x biểu diễn điều kiện dạng TXĐ Chú ý sử dụng cơng thức phương trình lượng giác Thay dấu "  " dấu "  " Hàm tuần hồn – chu kì 2  y  A.sin(ax  b)  y  B.cos(ax  b) chu kì T  | a |    y  A.tan(ax  b)  y  B.cot(ax  b) chu kì T  | a |  y  f1 ( x) có chu kì T1 y  f ( x) có chu kì T2 Thì hàm số y  f1 ( x )  f ( x ) có chu kì T0  BCNN T1 , T2  Với hàm số có lũy thừa lớn 1, ta dùng cơng thức hạ bậc để chuyển lũy thừa bậc 1, sau tìm chu kì Phương trình lượng giác  x    k 2 sin x  sin    ;k   x    k 2 Nếu sin x  m m  : Phương trình vơ nghiệm m  : Giải hai cách:   x    k 2  C1 : m  sin    x      k 2 ; k    x  arcsin m  k 2   ;k   C2 :    x    arcsin m  k 2   sin x   x  k   Đặc biệt:  sin x   x   k 2     sin x  1  x    k 2  x    k 2 cos x  cos    ;k   x    k 2 Nếu cos x  m m  : Phương trình vơ nghiệm m  : Giải hai cách:   x    k 2  C1 : m  cos    x    k 2 ; k      x  arc cos m  k 2 ;k   C2 :    x   arc cos m  k 2  cos x   x    k   Đặc biệt:  cos x   x  k 2  cos x  1  x    k 2  BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC DÙNG CHO HỌC SINH LỚP ĐẾN 12 Phương trình a.sin x  b.sin x.cos x  c.cos2 x  d Cách 1:  Kiểm tra cos x  có thoả mãn hay không?  Lưu ý: cos x   x   k  sin x   sin x    Khi cos x  , chia hai vế phương Các trường hợp đặc biệt phương trình lượng giác sin u   sin v  sin u  sin( v) cos u   cos v  cos u  cos(  v) tan u   tan v  tan u  tan(v)   sin u  cos v  sin u  sin   v  2    sin u   cos v  sin u  sin  v    2 sin x   cos x    cos u  sin v  cos u  cos   v  2    cos u   sin v  cos u  cos   v  2  cos x   sin x    tan u  cot v  tan u  tan   v  2     tan u   cot v  tan u  tan   v  2  cot u   cot v  cot u  cot( v) sin a  sin a  sin b    sin b  1 cos a  cos a  cos b    cos b  1 cos a  1 cos a  cos b  2   cos b  1   cot u  tan v  cot u  cot   v  2    cot u   cot v  cot u  cot   v  2  Phương trình bậc hai hàm LG a sin x  b sin x  c  đặt t  sin x sin a  1 sin a  sin b  2   sin b  1 sin a  sin b  sin a.sin b    sin a  sin b  1  sin a   sin b  1 sin a.sin b  1    sin a  1   sin b  cos a  cos b  cos a.cos b    cos a  cos b  1  cos a   cos b  1 cos a.cos b  1    cos a  1   cos b  Phương trình a.sin3 x  b.sin x cos x  c.sin x.cos x  d.cos3 x  + Xét cos x  thay vào phương trình kiểm tra + Xét cos x  Chia hai vế phương trình cho cos3 x để đưa phương trình bậc 3, ẩn tan x a.tan x  b.tan x  c  d (1  tan x)  Đặt: t  tan x , đưa phương trình bậc hai theo t: (a  d )t  b.t  c  d  Cách 2: Hạ bậc:  cos2 x sin x  cos2 x a  b  c d 2  b.sin x  (c  a).cos2 x  2d  a  c a cos x  b cos x  c  đặt t  cos x a tan x  b tan x  c  đặt t  tan x a cot x  b cot x  c  đặt t  cot x a.sin x  b.cos x  c  chuyển sin x   cos2 x a.cos2 x  b.sin x  c  chuyển cos2 x   sin x a.cos x  b.sin x  c  chuyển cos x   2sin x a.cos x  b.cos x  c  chuyển cos x  2cos2 x  1 a.tan x  b.cot x  c  đặt tan x  t  cot x  t Phương trình a.sin x  b.cos x  c Nếu a  b  c  phương trình a b c Cách 1:  Chia hai vế phương trình cho a  b2 ta được: sin x  cos x  2 2 a b a b a  b2 a b c  Đặt: sin   Phương trình trở thành: sin  sin x  cos  cos x  , cos   2 2 a b a b a  b2 c  cos( x   )   cos  (2) a  b2 Cách 2: a) Xét x    k 2 có nghiệm hay khơng? trình (1) cho cos x  ta được: Phương trình a  tan n x  cot n x)  b(tan x  cot x   tan x  cot x  t; t  Đặt :  tan x  cot x  t ;| t | Chuyển phương trình ẩn t giải Đường trịn lượng giác x x 2t 1 t2  Đặt: t  tan , thay sin x  , cos x  , 2 1 t2 1 t2 ta phương trình bậc hai theo t: (b  c)t  2at  c  b  sin π M(x;y) y = sinα π -1 b)Xét x    k 2  cos - π -1 x = cosα cos BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC DÙNG CHO HỌC SINH LỚP ĐẾN 12 Phương trình Phương trình a.sin x  b.cos x  c.sin  Phương trình a.sin x  cos x   b.sin x.cos x  c  a sin x  cos x  b.sin x.cos x  c   Đặt: t  cos x  sin x ; t   t   2sin x.cos x  sin x.cos x   (t  1)  Thay vào phương trình cho, ta phương trình bậc hai theo t Giải phương trình tìm t thỏa t  Sau sử dụng hai cơng thức sau để tìm x:     cos x  sin x  cos  x    sin  x   4 4       cos x  sin x  cos  x     sin  x   4 4   Phương trình a.sin x  b.cos x  a1 sin   b1 cos  Với a  b  a  b Chia hai vế cho 2 a a b a1 2 sin x  b a  b2 b1 cos x sin   cos  a  b2 a  b2  sin    x   sin       Học công thức cộng Công thức cộng thật phiền Không chịu khó học thuộc liền Cos tổng thật hư Bằng tích cos lại trừ sin Sin tổng nhớ in Bằng sin nhân cos cộng liền cos sin Tan tổng tổng tan Chia trừ tích tan oai hùng Hoặc Cos cos cos sin sin Sin sin cos cos sin rõ ràng Cos đổi dấu nàng Sin giữ dấu xin chàng nhớ cho ! Tích thành tổng Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ a b 2   Đặt: t  cos x  sin x  cos  x   4 với  t   sin x.cos x   (t  1) Sau sử dụng hai cơng thức sau để tìm x:     cos x  sin x  cos  x    sin  x   4 4   Chia hai vế cho c :  a  cos  c a b sin x  cos x  sin  Đặt  c c  b  sin  c  sin x.cos   cos x.sin   sin   sin  x     sin  Từ tìm x     cos x  sin x  cos  x     sin  x   4 4   Phương trình a.sin x  b.cos x  c.cos  Chia hai vế cho c :  a  sin  c a b sin x  cos x  cos  Đặt  c c  b  cos  c  sin x.sin   cos x.cos   cos   cos  x     cos  Từ tìm x Cơng thức tổng thành tích Hàm số lượng giác Cos + cos = cos cos Bắt tang cos trừ cos = trừ sin sin sin x Sin nằm cos tan x  Sin + sin = sin cos cos x sin trừ sin = cos sin Cotang dại dột Giá trị LG đặc biệt Bị cos đè cho Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi Cách 2: tan Bắt tang Công thức nhân ba Sin nằm cos Nhân ba góc bất kỳ, Cơtang cãi lại sin ba bốn, cos bốn ba, Cos nằm sin! dấu trừ đặt ta, lập phương chỗ bốn … ok Hệ thức lượng tam giác vuông Sao Đi Học (Sin = Đối / Huyền) Cứ Khóc Hồi ( Cos = Kề / Huyền) Thơi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề) Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối) Hoặc: Sin : học (cạnh đối – cạnh huyền) Cos: khơng hư (cạnh đối – cạnh huyền) Tang: đồn kết (cạnh đối – cạnh kề) Cotang: kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối) Cách thuộc công thức thơ Tiện Mận hỏi Đào Lượng giác thuộc cơng thức chưa? Mận hỏi Đào xin thưa Tớ thuộc hết lúc vừa bình minh Sin bình cộng với cos bình Nhất định vui sin x  cos2 x  Tan bình thêm bạn ơi, chia cos thời bình phương  tan x  cos2 x Cotan dễ thường, bình phương cộng thương Tử số cịn chi, mẫu bình phương sin chẳng sai 1  cot x  sin x Tan với cotan sánh vai, tích chúng nhớ hồi chẳng qn tan x.cot x  Cơng thức nhân đôi +Sin gấp đôi = sin cos +Cos gấp đơi = bình cos trừ bình sin +Tang gấp đôi Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang) Chia trừ lại bình tang, liền tanx + tany: tình + lại tình ta, sinh đứa ta tanx – tan y: tình hiệu với tình ta sinh hiệu chúng, ta CHÚC CÁC EM HỌC TỐT ...BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC DÙNG CHO HỌC SINH LỚP ĐẾN 12 Các công thức tam giác Xét tính chẵn lẻ hàm số Bước 1: Tìm TXĐ: D A B C sin  A... 2: tan Bắt tang Công thức nhân ba Sin nằm cos Nhân ba góc bất kỳ, Cơtang cãi lại sin ba bốn, cos bốn ba, Cos nằm sin! dấu trừ đặt ta, lập phương chỗ bốn … ok Hệ thức lượng tam giác vuông Sao Đi... (cạnh đối – cạnh kề) Cotang: kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối) Cách thuộc công thức thơ Tiện Mận hỏi Đào Lượng giác thuộc cơng thức chưa? Mận hỏi Đào xin thưa Tớ thuộc hết lúc vừa bình minh Sin bình