Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số và các ứng dụng

VẤN ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chú ý.. Tìm m để phương trình có nghiệm.[r]

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Quy tắc: Tìm TXĐ hàm số Tính đạo hàm f’(x) Tìm các điểm xi mà đó đạo hàm không xác định Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT Nêu kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bài Xét chiều biến thiên các hàm số sau: a) y  2x + 3x + b) y = x  2x  Bài Xét tính đơn điệu các hàm số sau: x a) y  25  x b) y  16  x Bài Chứng minh rằng: 3x  c) y  x 1 c) y  x3 x2  x  2x + d) y  x 1 d) y  x x  100   a) Hàm số y  x   x đồng biến trên khoảng  1;  và nghịch biến trên khoảng     ;1    b) Hàm số y  x  x  20 nghịch biến trên khoảng  ; 4  và đồng biến trên khoảng  5;  Bài Xét đồng biến, nghịch biến các hàm số sau: a) y  x  sin x, x   0;2   5  b) y  x  2cos x, x   ;  6  Bài Chứng minh rằng: a) f  x   cos 2x  2x  nghịch biến trên R b) f  x   x  cos x đồng biến trên R Giải:  a) Ta có: f '(x)  2(sin 2x  1)  0, x  R và f '(x)   sin 2x  1  x    k, k  Z     Hàm số f liên tục trên đoạn    k;    k  1   và có đạo hàm f’(x) < với       x     k;    k  1   , k  Z   Trang Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn     Do đó, hàm số nghịch biến trên đoạn    k;    k  1   , k  Z   Vậy hàm nghịch biến trên R  b) Ta có: f’(x) = – sin2x; f '(x)   sin 2x   x   k, k  Z    NX: Hàm số f liên tục trên đoạn   k;   k  1   và có đạo hàm f’(x) > với 4     x    k;   k  1   , k  Z 4     Do đó hàm số đồng biến trên đoạn   k;   k  1   , k  Z 4  Vậy hàm đồng biến trên R VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K  Nếu f '(x)  0, x  K thì f(x) đồng biến trên K  Nếu f '(x)  0, x  K thì f(x) nghịch biến trên K Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức   b  4ac Ta có: a   f (x)  0, x  R     a   f (x)  0, x  R     Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K” Ta thực theo các bước sau:  B1 Tính đạo hàm f’(x,m)  B2 Lý luận: Hàm số đồng biến trên K  f '(x,m)  0, x  K  m  g(x), x  K  m  g(x)   B3 Lập BBT hàm số g(x) trên K Từ đó suy giá trị cần tìm tham số m Bài 1 Với giá trị nào a, hàm số f (x)   x  2x   2a  1 x  3a  nghịch biến trên R ? Giải: TXĐ: R Ta có: f '(x)   x  4x  2a  ,   2a  Trang Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn Hàm số nghịch biến trên R và f '(x)  0, x  R     a   Bài Với giá trị nào m, hàm số f (x)  mx  3x   m   x  nghịch biến trên R ? Giải: TXĐ: R Ta có: f '(x)  3mx  6x  m  Hàm số nghịch biến trên R và f '(x)  3mx  6x  m   0, x  R  m = 0, đó f’(x) = 6x    x   : không thỏa x  R m   m  , đó f '(x)  0, x  R      3m(m  2)  m  m     m  1  m   v m   3m  6m     Vậy, với m  1 thì thỏa mãn bài toán Bài 3x  mx  Với giá trị nào m, hàm số f  x   nghịch biến trên khoảng xác định 2x  nó Giải: 1  TXĐ: D  R \   2 6x  6x   m Đạo hàm: f '(x)   2x  1 Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định và f '(x)  0, x   6x  6x   m  0, x  11   '   6(4  m)   m  2 Bài Định m để hàm số y  mx  luôn đồng biến trên khoảng xác định nó xm Giải: TXĐ: D  R \ m Trang Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Đạo hàm: y'  Vũ Trường Sơn m 1 Hàm số đồng biến trên khoảng xác định x  m   y'  0, x  m  m    m  1 v m  Bài 1 Tìm m để hàm số y  mx   m  1 x   m   x  đồng biến trên  2;  3 Giải: Ta có: y'  mx   m  1 x   m   Hàm số đồng trên  2;    y'  0, x   mx   m  1 x   m    0, x   2x  m  x  2x  3  2x   0, x   m  , x  (vì x2 – 2x + > 0) x  2x  Bài toán trở thành:  2x  m, x  Tìm m để hàm số f  x   x  2x  2x  12x  Ta có f '  x   , f '  x    2x  12x    x    x  2x  3 BBT: x f’(x) f(x) 3  Ta cần có: max f (x)  m  m  Đó là các giá trị cần tìm tham số m  2;  Bài mx  6x  Tìm m để hàm số y  nghịch biến trên nửa khoảng 1;  x2 Giải: Ta có: y'  mx  4mx  14  x  2 Hàm số nghịch biến trên 1;    y'  0, x   mx  4mx  14  0, x  14  m  x  4x   14, x   m  ,  x  4x Trang Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số f  x   Ta có: f '(x)  14(2x  4)  x  4x  14  m, x  x  4x  0, x  x f’(x)  14 14 14 Ta cần có: f (x)  m  m   Vậy m   là các giá trị cần tìm m 5 1;    f(x)  Bài tập tự giải: Bài Tìm các giá trị tham số a để hàm số f  x   x  ax  4x + đồng biến trên R m Bài Với giá trị nào m, hàm số y  x   đồng biến trên khoảng xác định ? x 1 Bài Định a để hàm số y   a  1 x   a  1 x  3x  luôn đồng biến trên R ? ĐS: a  1 v a  m  1 x  2x   Bài Cho hàm số y  Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên x 1 khoảng xác định nó ĐS:  m  Bài Cho hàm số y   x   m  1 x   m   x  m Chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên R với m Bài Tìm m để hàm số y = 3x3 – 2x2 + mx – đồng biến trên khoảng  0;  ĐS: m  Bài Tìm m để hàm số y = 4mx3 – 6x2 + (2m – 1)x + tăng trên khoảng (0;2) ĐS: m  10 x  2mx  m  Bài Cho hàm số y  xm a) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng xác định b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 1;  VẤN ĐỀ 3: Trang Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:  f(x) đồng biến trên đoạn  a; b  thì f  a   f  x   f  b  , x   a; b   f(x) nghịch biến trên đoạn  a; b  thì f  a   f  x   f  b  , x   a; b  Bài Cho hàm số f  x   2sin x  tan x  3x   a) Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;   2   b) Chứng minh rằng: 2sin x  tan x  3x, x   0;   2 Giải:   a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng 0;  và có  2  cos x   2cos x  1    f '(x)  2cos x     0,   0;  Do đó, hàm số f đồng cos x cos x  2   biến trên nửa khoảng 0;  (đpcm)  2     b) Từ câu a) suy f(x) > f(0) = 0, x   0;   2sin x  tan x  3x, x   0;  (đpcm)  2  2 Bài   a) Chứng minh hàm số f  x   tan x  x đồng biến trên nửa khoảng 0;   2 x   b) Chứng minh tan x  x  , x   0;   2 Giải:     tan x  0, a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng 0;  và có f '(x)  cos x  2     x   0;  Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng 0;   2  2 Trang Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn     b) Từ câu a) suy f(x) > f(0) = 0, x   0;   tan x  x, x   0;   2  2 x   Xét hàm số g(x)  tan x  x  trên nửa khoảng 0;  Hàm số này liên tục trên nửa  2     2 khoảng 0;  và có đạo hàm g '(x)    x  tan x  x  0,  x   0;  , cos x  2  2   tan x  x, x   0;   2     Do đó, hàm số g đồng biến trên nửa khoảng 0;  nên g(x) > g(0) = x   0;   2  2 x    tan x  x  , x   0;  (đpcm)  2 Bài Chứng minh : ln x  2(x  1) , với x > x 1 Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với ln x  2(x  1)  0, x  x 1 2(x  1) , x   0;   Ta có: x 1 x  1  f '(x)     0, x   0;   x  x  12 x  x  12 Xét hàm số f (x)  ln x  Suy hàm số đồng biến trên khoảng  0;  nên đồng biến trên khoảng 1;  Vậy ta luôn có f(x) > f(1) = với x > Đó là điều phải chứng minh Bài tập tự giải: Bài Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) sin x  x, x  và sin x  0, x  x2 b) cos x   , x  x3 x3 c) sin x  x  , x  và sin x  x  , x  6   d) sin x  tan x  2x, x   0;   2 2x   e) sin x  , x   0;    2 Trang Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn f) tan x  sin x với  x  Bài Cho hàm số f  x      x  tan x, x  0;    4   a) Xét chiều biến thiên hàm số trên đoạn 0;   4    b) Từ đó suy rằng: tan x  x, x  0;   4 x2 Bài Chứng minh rằng:  x    x   x với x   0;   VẤN ĐỀ 4: SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT Bài Cho hàm số f  x   2x x  a) Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng  2;  b) Chứng minh phương trình 2x x   11 có nghiệm Giải: a) TXĐ: D   2;    x  x  5x    0, x   2;   Đạo hàm: f '(x)   x    x  x    Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng  2;  b) NX: Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18 Vì < 11 < 18 nên c   2;3 cho f(c) = 11 Số thực c là nghiệm phương trình và vì f đồng biến trên  2;  nên c là nghiệm phương trình đã cho Bài Cho hàm số f(x) = sin2x + cosx     a) CMR hàm số đồng biến trên đoạn 0;  và nghịch biến trên đoạn  ;    3 3  b) Chứng minh với m   1;1 , phương trình sin x + cosx = m có nghiệm thuộc đoạn  0; Giải: Trang Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT a) Hàm số đã cho liên tục trên  0; và có đạo hàm Vũ Trường Sơn f’(x) = 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1), x   0;    vì đó sinx > nên f '(x)   cos x   x  BBT: /3 x   y’ + y 5/4 1     Vậy, hàm số đồng biến trên đoạn 0;  và nghịch biến trên đoạn  ;    3 3     b) Hàm số liên tục trên đoạn  ;   và f    ,f     1 Theo định lí giá trị trung gian 3  3 5    hàm số liên tục thì m   1;1   1;  , tồn số c   ;   cho f(c) = Số c là 4  3    nghiệm phương trình sin2x + cosx = m Vì hàm f nghịch biến trên  ;   nên phương 3  trình có nghiệm   Lại vì x  0;  ta có  f  x   nên phương trình đã nêu không có nghiệm với  3 m   1;1 Vậy phương trình có nghiệm thuộc  0; Bài Giải phương trình: x  x   3x   (3) Giải: Đặt f (x)  x  x   3x  với x  1  Ta có f(x) là hàm liên tục trên nửa khoảng  ;  và có đạo hàm 3  f '(x)  5x  3x   0, x   3x 1  Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng  ;  Mặt khác f(-1) = 0, nên x = -1 là 3  nghiệm (3) và là nghiệm phương trình này Trang Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn Bài 3 x Giải phương trình:   x  8x  14 (4) Giải: Điều kiện xác định phương trình : x  Xét hai hàm số f (x)  3 x và g(x)   x  8x  14 xác định và liên tục trên  ;3 , ta có:  1    ln  và g '(x)  2x   với x   ;3  3 x  Như f(x) là hàm số nghịch biến, còn g(x) là hàm số đồng biến trên  ;3 Mặt khác f(3) = g(3) = nên x = là nghiệm (4) và đó là nghiệm f '(x)  3 x Bài Giải phương trình: 4(x  2)  log (x  3)  log (x  2)   5(x  1) (5) Giải: Điều kiện xác định phương trình: x > Khi đó: (5)  log (x  3)  log (x  2)  Xét hai hàm số f (x)  log (x  3)  log (x  2) và g(x)  tục trên khoảng  3;  , ta có: 5(x  1) 4(x  2) 5(x  1) là hai hàm xác định và liên 4(x  2)  f(x) là tổng hai hàm số đồng biến nên là hàm số đồng biến 45  vì g '(x)    nên g(x) là hàm nghịch biến  x  2 Mặt khác ta có f(11) = g(11) = nên x = 11 là nghiệm (5) và là nghiệm Bài Giải phương trình: 3.25x 2   3x  10  5x 2   x  (6) Giải: Đặt t = 5x-2 (t > 0) Khi đó:  x 2   t  (6)  3t  (3x  10)t   x      x 2  t   x 5   x Ta có: Trang 10 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn  x   log 3  Xét phương trình 5x 2   x , ta dễ chứng minh x = là nghiệm nó Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x   log và x   5x   Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D-2006) e x  e y  ln(1  x)  ln(1  y) Cho hệ phương trình   a  0 y  x  a  Chứng minh hệ trên có nghiệm Giải: e x  e y  ln(1  x)  ln(1  y) (1) Xét hệ:  với điều kiện xác định x  1, y  1 y  x  a (2)  Từ (1)  y = x + a, vào (1) ta được: e x a  e x  ln(1  x)  ln(1  x  a)  (3) Bài toán trở thành chứng minh (3) có nghiệm trên khoảng  1;   Đặt f (x)  e x a  e x  ln(1  x)  ln(1  x  a) trên khoảng  1;   Ta có f(x) là hàm liên tục trên khoảng  1;   và có đạo hàm 1 f '(x)  e x a  e x   x 1 x  a 1 Do a > nên với x > -1, ta có: e x  a  e x    1  0  x 1 x  a 1 Như f’(x) > với x > -1  f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng  1;   1 x Mặt khác, ta có: f (x)  e x (ea  1)  ln 1 a  x 1 x   và lim  f (x)   Từ đó ta tính giới hạn: lim f (x)  lim e x (ea  1)  lim ln x  x  x  x ( 1) 1 a  x Vậy, phương trình (3) có nghiệm trên khoảng  1;   Từ đó suy đpcm Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: a) x  15  3x   x  b)  x   2x  1  x6 4 ĐS: x =  x   2x  1  x2 ĐS: x = Trang 11 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn VẤN ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chú ý Cho f(x) là hàm số liên tục trên T, thì: a) f  x   a với x  T  a  max f  x  b) f  x   a với x  T  a  f  x  c) f  x   a có nghiệm a  f  x  d) f  x   a có nghiệm a  max f  x  Bài Cho phương trình m   x  2x    x(2  x)  Tìm m để phương trình có nghiệm x 0,1   Giải: Xét bất phương trình : m   x  2x    x(2  x)  (1) Đặt t  x  2x   x  2x  t  Ta xác định điều kiện t : Xét hàm số t  x  2x  với x 0,1   x 1 , t'   x 1 Ta có: t '  x  2x  x  t’ t 1 + 2 Vậy với x 0,1   thì  t  Khi đó : t2  (1)  m  với t  [1;2] t 1 Xét hàm số f(t)  f’(t)  t2  với t  [1;2] Ta có: t 1 t  2t  (t  1)2  0, x  [1;2] Vậy hàm số f tăng trên [1; 2] Trang 12 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn Do đó, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để (1) có nghiệm t[1,2]  m  max f(t)  f(2)  t1;2  Đó là giá trị cần tìm tham số Bài Tìm m để phương trình x  13x  m  x   có đúng nghiệm Giải: x  13x  m  x    x  13x  m   x  x  x      x  13x  m  1  x  4x  6x  9x   m Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng y = -m cắt phần đồ thị f(x) = 4x3–6x2–9x–1 ứng với x  điểm Xét hàm số f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – trên nửa khoảng  ;1 Ta có: Ta có: f'(x) = 12x2 – 12x – = 3(4x2 – 4x – 3) Cho f'(x) =  4x2 – 4x – =  x    x  2  – x f’(x) + f(x)  12  Từ bảng biến thiên ta thấy: 3    m  m   Yêu cầu bài toán xảy      m  12  m  12 Đó là các giá trị cần tìm tham số m Bài Trang 13 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn 2x  y  m  Tìm m để hệ phương trình   I  có nghiệm x  xy   Giải: Ta có: 2x  y  m  2x  y  m  (I)     x  xy   xy   x  xy  Với điều kiện:  ta có: x    y  2x  m  y  2x  m  (I)   (Do x = không là nghiệm hệ)   1 x  xy   x   y  x      x 1  x   2x  x  2x  m  m () x x x  2x  1 Xét hàm số f (x)   x   trên tập D   ;1 \ 0 x x Ta có hàm số f(x) liên tục trên D và có đạo hàm f '(x)    0, x   ;0    0;1 x Giới hạn : lim f (x)  ; lim  ; lim   và f(1) = x  x 0 x 0 BBT : x f’(x) – + +  f(x) – – Từ BBT ta thấy : Yêu cầu bài toán xảy m > Đó là các giá trị cần tìm tham số Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004) Tìm m để phương trình log 32 x  log 32 x   2m   có ít nghiệm thuộc 1;3    Giải: Đặt t  log 32 x  Với x 1;3  thì t  [1;2]   Trang 14 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn Khi đó phương trình đã cho tương đương với : t  t   2m Bài toán trở thành tìm m để phương trình t  t   2m có nghiệm t  [1;2] Xét hàm số f(t) = t2 + t – với t  [1;2] Ta có : f’(x) = 2t + > 0, với t  [1;2] Vậy yêu cầu bài toán xảy : f (x)  2m  max f (x)  f (1)  2m  f (2)   2m    m  x[1;2] x[1;2] Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004) Tìm m để phương trình m    x   x    x   x   x có nghiệm Giải: Điều kiện xác định phương trình : x  [1;1] Đặt t   x   x Với x  [1;1] , ta xác định điều kiện t sau : Xét hàm số t   x   x với x  [1;1] Ta có : t'  x  x2  x  x2 x t’ t  x   x2   x2  x4 1   , cho t '   x  0 + 2 Vậy với x  [1;1] thì t  0;  Từ t   x   x   x   t Khi đó, phương trình đã cho tương đương với : t  t  m  t  2  t  t   m t2 t  t   m có nghiệm t  0;  Bài toán trở thành tìm m để phương trình t2 t  t   t  4t   Xét hàm số f (t)  với t  0;  Ta có : f '(t)   0, t  0;  t2  t  2 Suy : max f (t)  f (0)  1, f (t)  f t0;  t0;   2  1 Trang 15 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn Bây giờ, yêu cầu bài toán xảy f (t)  m  max f (t)    m  Đây là các t0;  t0;  giá trị cần tìm tham số Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2006) Tìm m để phương trình x  mx   2x  có nghiệm thực phân biệt Giải: Ta có:  x   x  mx   2x  1   (*) 3x  4x   mx    NX : x = không phải là nghiệm (2) Do vậy, ta tiếp tục biến đổi :   x   (*)    3x  4x   m  3  x   Bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm thực phân biệt x    ;   \ 0   3x  4x    Xét hàm số f (x)  với x    ;   \ 0 Ta có : x   3x    f '(x)   0,  x   ;   \ 0  x   BBT : x – f’(x) + +  f(x)  – Từ BBT, ta thấy : Yêu cầu bài toán xảy m  Vậy với m  thì phương trình đã cho có nghiệm thực phân biệt Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2007) Tìm m để phương trình x   m x   x  1 có nghiệm Giải: Trang 16 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn Điều kiện xác định phương trình : x  Khi đó : 1  x 1 x2 1 x 1 x 1  m  24 3  m  24  2 x 1 x  x  x    x 1 x 1 ( t  ) Vì  1  nên t < Vậy với x  thì  t  x 1 x 1 x 1 Khi đó, (2)  3t  m  2t  3t  2t  m (3) Bây bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm t   0;1 Đặt t  Xét hàm số f(t) = 3t  2t trên nửa khoảng  0;1 Ta có : f’(t) = -6t + 2, cho f’(t) =  6t    t  t f’(t) + f(t) 3  1 Từ BBT, ta thấy yêu cầu bài toán xảy 1  m  Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2007) Chứng minh với m > 0, phương trình x  2x   m(x  2) luôn có hai nghiệm thực Giải: Trang 17 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn Bài (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2007) Giải: Trang 18 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn Bài 10 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2008) Giải: Trang 19 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn Bài tập tự giải Bài Tìm m để bất phương trình  x    x   x  2x  m đúng với x  [4;6] ĐS : m  Bài Tìm m để bất phương trình x    x  m có nghiệm ĐS : m  Bài Tìm m để phương trình  x   x   x  m có nghiệm ĐS : 2   m   x  y  Bài Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm  x x  y y   3m ĐS:  m  Trang 20 Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Lop12.net