Tìm kh ẳ ng định đúng trong các khẳng đị nh sau: A.. Kh ẳng định nào sau đây đúng.[r]
(1)§1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1 Định nghĩa tính đơn điệu:
Cho hàm số y f x= ( ) xác định tập K
Hàm số y f x= ( ) đồng biến(tăng) K ∀x x1, 2∈K, x x1< 2 ⇒ f x( )1 < f x( )2
Hàm số y f x= ( ) nghịch biến (giảm) K ∀x x1, 2∈K, x x1< ⇒ f x( )1 > f x( )2
Hàm sốđồng biến nghịch biến K gọi đơn điệu K
Nhận xét:Trong chương trình lớp 10, để xét sự đồng biến, nghịch biến hàm f x( ), ta hay dùng tỉ số :
1 2
( ) ( ) ,
f x f x
T x x
x x
−
= ∀ ≠
− x x1, 2∈K Cụ thể là:
•Nếu T >0 hàm ( )f x đồng biến K (Tức f x( )1 − f x( )2 dấu với x x1− 2)
•Nếu T <0 hàm ( )f x nghịch biến K (Tức f x( )1 − f x( )2 trái dấu với x x1− 2) 2 Định lí (tính đơn điệu dấu đạo hàm):
Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm K
Nếu ( ) 0f x′ > với x K∈ hàm ( )f x đồng biến K
Nếu ( ) 0f x′ < với x K∈ hàm ( )f x nghịch biến K Chú ý:
(2)• Nếu hàm số y f x= ( ) liên tục [ ]a b; có đạo hàm ( ) 0,f x′ > ∀ ∈x a b( ; ) hàm số
đồng biến [ ]a b; (Tương tựcho trường hợp hàm số nghịch biến [ ]a b; )
Bài tốn 1: Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên suy tính đơn điệu hàm số. Phương pháp:
o Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số
o Bước 2: Tính y′= f x′( ) ; cho y′ =0 Tìm nghiệm x x1, 2 (nếu có) o Bước 3: Lập bảng biến thiên
o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm sốđồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng tập xác định
Lưu ý:
o Khi lập bảng biến thiên, việc xét dấu cho đạo hàm bước định, nên học sinh phải tuyệt đối xác
o Ở lớp 10, em xét dấu cho tam thức bậc hai, học sinh quen với thuật ngữ
“trong trái cùng” Nghĩa là: Khu vực bên hai nghiệm biểu thức trái dấu a, khu vực ngồi hai nghiệm biểu thức dấu a Tuy nhiên đạo hàm khơng có dạng bậc hai, thuật ngữ “trong trái ngồi cùng” khơng thể áp dụng Vậy có quy tắc chung cho việc xét dấu toán?
Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm:
o Để xét dấu đạo hàm y′ một khoảng ( ; )α β đó, ta chọn giá trị x0∈( ; )α β thay vào y′, từđó suy được dấu của y′ ( ; )α β
o Với quy tắc này, hàm sốcó đạo hàm phức tạp ta có thểđược xét dấu xác
sau ta tìm nghiệm đạo hàm Dạng tốn 1
(3)Ví dụ 1. Cho hàm số y x= 3+3x2−9 15x+ Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng (−3;1) B Hàm sốđồng biến (− −9; 5) C Hàm sốđồng biến D Hàm sốđồng biến (5;+∞)
Lời giải: Tập xác định: D=
Ta có y′ =3x2+6x−9; 0 x y
x
= ′ = ⇔ = −
Bảng biến thiên:
x −∞ −3 +∞
y′ + − 0 +
y
−∞ 42
10
+∞
Kết luận: Hàm sốđồng biến khoảng: (−∞ −; , 1;) ( +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (−3;1) →Choïn C
Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến hàm số y= − +x4 2x2−4 A. ( 1;0)− (1;+∞). B. ( ;1)−∞ (1;+∞) C. ( 1;0)− (0;1) D. ( ; 1)−∞ − (0;1).
Lời giải: Tập xác định: D=
Ta có: y′ = −4x 4x3+ ; 0 x y
x
= ′ = ⇔ = ±
Bảng biến thiên:
x −∞ −1 +∞
y′ + − + −
y
−∞
3
−
4
−
3
−
−∞ Kết luận: Hàm sốđồng biến khoảng: (−∞ −; , 0;1) ( ) Hàm số nghịch biến
(4)Ví dụ 3. Chọn mệnh đềđúng hàm số
2 x y
x
− =
+
A Hàm số nghịch biến khoảng xác định B Hàm sốđồng biến tập xác định
C Hàm sốđồng biến khoảng xác định D Hàm số nghịch biến tập xác định
Lời giải: Tập xác định: D=\ 2{ }−
Ta có:
( )2
5 0, 2
2
y x
x
′ = > ∀ ≠ −
+ Nên hàm sốđồng biến khoảng xác định
Bảng biến thiên:
x −∞ −2 +∞
y′ + +
y
2
+∞ −∞
2
C
→Chọn
Ví dụ 4. Cho hàm số y= 3x x− Hàm sốđồng biến khoảng nào? A 0;3
2
B (0;3 ) C ;32
D
3 ;
2
−∞
Lời giải: Tập xác định: D=[ ]0;3
Ta có: ( )
2 2
3 3 2
2 2 3
x x x
y
x x x x
′
− −
′ = =
− − ;
3
2
y′ = ⇔ =x (nhận) Bảng biến thiên:
x
2
y′ + −
y
0
3
0 Kết luận: Hàm sốđồng biến 0;3
2
, nghịch biến ;32
→ A
(5)Ví dụ 5. Cho hàm số y x= + +3 2−x Khẳng định sau khẳng đúng?
A.Hàm sốđồng biến khoảng ( ; 2)−∞ −
nghịch biến khoảng ( 2;2).− B.Hàm sốđồng biến khoảng ( ;1)−∞ nghịch biến khoảng (1;2) C.Hàm số nghịch biến khoảng ( ; 2)−∞ − đồng biến khoảng ( 2;2).−
D.Hàm số nghịch biến khoảng ( ;1)−∞ đồng biến khoảng (1;2) Lời giải:
Tập xác định: D= −∞( ;2]
Đạo hàm: 1
2
x y
x x
− −
′ = − =
− − ; y′ = ⇔0 2− = ⇔ = ⇒ =x x y
Bảng biến thiên:
x −∞ +∞
y′ + −
y
−∞
6
5
Vậy ta hàm sốđã cho đồng biến khoảng (−∞;1) nghịch biến khoảng ( )1;2
B
→Chọn
Ví dụ 6. Cho hàm số sin ,2
x
y= + x với x∈[ ]0;π Mệnh đềnào sau đúng?
A Hàm sốđồng biến [ ]0;π B. Hàm số nghịch biến [ ]0;π C. Hàm số nghịch biến 0;7
12 π
D Hàm số nghịch biến
7 11; 12 12
π π
Lời giải: Tập xác định: D= −∞( ;2]
Đạo hàm: 2sin cos sin
2
y′ = + x x= + x ; sin 2 y′ = ⇔ x= −
2
6 12 ( )
7
2
6 12
x k x k
k
x k x k
π π π π
π π π π
= − + = − +
⇔ ⇔ ∈
= + = +
Do [ ]
11
0; 12
7 12 x x
k x
π π
π
= ∈
⇒
∈
=
(6) Bảng biến thiên:
x
12 π
11 12
π π
y′ + − +
y
Ta thấy mệnh đềđúng là: Hàm sốđã cho nghịch biến 11;
12 12
π π
→ D
Chọn
Ví dụ 7. Hàm số y= 2x2−3x−5 đồng biến khoảng ? A (−∞ −; 1) 5;
4
B
5 1; −
C ;5
−∞
D
3 1;
4
−
;2
+∞
Lời giải: Tập xác định: D= −∞( ;2]
Áp dụng công thức ( ) ( ) ( ) 2
2
2
2
u u u u u
u u
u u
u
′
′ ′ ′
′ = = = = , ta có: ( )( )
2
2
2
x x x
y
x x
− − −
′ =
− −
Xét ( )( )
2 3 1
2 5 4
0
5
2
2 x x
x x x
y x
x x x
x x
− ≤ ≤
− < ≤
− − − ≥
′ ≥ ⇔ ⇔ ≥ ⇔
− − ≠
>
≠ − ∧ ≠
Ta thấy hàm sốđồng biến khoảng: 1;3
−
;2
+∞
→ D
Chọn
Bài tốn 2: Xét dấu đạo hàm cho sẵn để kết luận tính đơn điệu hàm số MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN LƯU Ý:
Cho hàm số f x g x , có đạo hàm tập D Khi đó:
( ) ( )
k f x ′ =k f x′
với k là số f x( )±g x( )′= f x′( )±g x′( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x ′ = f x g x′ + f x g x′
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2
f x f x g x f x g x
g x g x
(7)( ) ( )
f u ′ =u f u′ ′
y f x= ( ) Thay x u y f u= ( )
Ví dụ 8. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x′( )=x x2( −1) Hàm sốđã cho đồng biến
khoảng:
A (1;+∞) B (−∞ +∞; ) C ( )0;1 D (−∞;1) Lời giải:
Cách 1:Sử dụng bảng xét dấu:
Ta có '( ) 0 2( 1 0) x
f x x x
x
=
= ⇔ − = ⇔
=
Bảng biến thiên:
x −∞ +∞
y′ − − +
y +∞ +∞
Ta thấy hàm sốđồng biến khoảng (1;+∞) →Choïn A
Cách 2: Giải bất phương trình (cách thuận lợi trắc nghiệm)
Ta có: f x'( )=x x2( − ≥ ⇔ − ≥1 0) x (do x2 ≥0, ∀ ∈x )⇔ ≥x Vậy hàm sốđồng biến khoảng (1;+∞)
Ví dụ 9. Cho hàm số y f x= ( ) liên tục có đạo hàm f x′( ) (= x+2)(x−1) (2018 x−2)2019 Khẳng định sau đúng?
A Hàm sốđạt cực đại điểm x=1 đạt cực tiểu điểm x= ±2 B Hàm sốđồng biến khoảng ( )1;2 (2;+ ∞)
C. Hàm sốcó ba điểm cực trị
D Hàm số nghịch biến khoảng (−2;2) Lời giải:
Ta có f x′( ) (= x+2)(x−1) (2018 x−2)2019 =(x+2)(x−1) (2018 x−2) (2018 x−2) ( 2 )( ) (2018 )2018
4
x x x
(8) Xét f x′( )≥ ⇔0 (x2−4)(x−1) (2018 x−2)2018 ≥ ⇔0 x2− ≥4 0 (do ( )
( )
2018 2018
1
,
2
x
x x
− ≥
∀ ∈
− ≥
)
2 x x
≤ − ⇔ ≥
Vậy hàm sốđồng biến khoảng (−∞ −; , 2;) ( +∞); hàm số nghịch biến
khoảng (−2;2 ) →Chọn D
Ví dụ 10.Cho y f x= ( ) có đạo hàm f x'( )= − +x2 5 6,x− ∀ ∈x Hàm số y= −5f x( ) nghịch biến khoảng nào?
A (−∞;2) (3;+∞) B (3;+∞)
C (2;+∞). D ( )2;3 .
Lời giải:
Đặt g x( )= −5f x( ),∀ ∈x Ta có g x′( )= −5f x′( ) mà f x'( )= − +x2 6,x− ∀ ∈x nên
( ) 5( 5 6 5) 25 30 g x′ = − − +x x− = x − x+ ;
Xét g x′( )≤ ⇔0 5x2−25x+30 0≤ ⇔ ≤ ≤2 x Do hàm số g x( ) nghịch biến ( )2;3
D
→Chọn
Ví dụ 11.Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm f x′( ) (= −3 x x)( 2− +1 ,) x x∀ ∈ Hỏi hàm số ( ) ( ) 1
g x = f x x− − đồng biến khoảng khoảng ?
A (3;+ ∞) B (−∞;1) C ( )1;2 D (−1;0) Lời giải:
Ta có:g x′( )= f x′( )−2x= −(3 x x)( 2− +1 2) x−2x= −(3 x x)( −1); ( ) 0 (3 )( 1 0)
1 x
f x x x
x
=
′ = ⇔ − − = ⇔
= ±
Bảng biến thiên:
x −∞ −1 +∞
y′ + 0 − + −
y
(9)Ví dụ 12.Cho hàm số y f x= ( ) xác định có đạo hàm y f x= '( ) thỏa mãn
( ) ( )( ) ( )
' 2021
f x = −x x+ g x + g x( )> ∀ ∈0, x Hàm số y f= (1− +x) 2021 2020x+ nghịch biến khoảng nào?
A ( )0;3 B (−∞;3) C (1;+∞) D (3;+∞) Lời giải:
Đặt h x( )= f (1− +x) 2021 2020x+ ⇒h x′( ) (= −1 x f) (′ 1′ − +x) 2021= −f′(1− +x) 2021 Theo đề f x′( ) (= −1 x x)( +2) ( )g x +2021⇒ f′(1−x) (=x 3−x g) (1− +x) 2021
Do h x′( )= −x(3−x g) (1− +x) 2021 2021+ =x x( −3) (g 1−x) Mặt khác g x( )> ∀ ∈ ⇒0, x g(1−x)> ∀ ∈0, x
Do h x′( )≤ ⇔0 x x( − ≤ ⇔ ≤ ≤3 0) x →Chọn A
Ví dụ 13.Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm liên tục f x′( ) (=x x2 + ) ( )g x +1
( ) 0,
g x > ∀ ∈x Hàm số y f= (2− +x x) đồng biến khoảng khoảng sau? A 2;
2
B (−∞; 1) C.
3 1;
2
D ( )0; Lời giải:
Đặt h x( )= f (2− +x x) , suy h x′( ) (= 2−x f) (′ ′ 2− + = −x) x′ f′(2− +x) Ta có f x′( ) (=x x2 + ) ( )g x +1
(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 2( )(5 ) (2 )
f′ x x x g x x x g x
⇒ − = − − + − + = − − − +
Do đó: h x′( )= −(2−x)(5 2− x g) (2− + + =x) 1 (x−2 2)( − x g) (2−x) Theo đề, g x( )> ∀ ∈ ⇒0, x g(2−x)> ∀ ∈0, x , đó:
( ) ( 2)( ) h x′ ≥ ⇔ x− − x ≥ ⇔ ≤ ≤x
Vậy hàm số y f= (2− +x x) đồng biến 2;
→ A
Choïn
Bài tốn 3: Dựa vào bảng biến thiên có sẵn để kết luận tính đơn điệu Phương pháp chung:
(10)o Kết hợp nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) biểu thức đểcó bảng xét dấu cho g x′( )
o Dựa vào bảng xét dấu g x′( ) để kết luận về sựđồng biến, nghịch biến của hàm số
Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng (hiệu) biểu thức: ( )
f x
( )
g x
( ) ( )
f x g x
( ) ( ):
f x g x
( ) ( )
f x +g x Chưa biết Chưa biết
Ví dụ 14.Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên hình bên Hàm số y= −2018.f x( ) đồng biến khoảng đây?
x
y
y
0
0 A.(−∞;0 ) B.(1;+∞) C.(0;+∞) D (−∞;1 )
Lời giải: Đặt g x( )= −2018.f x( ), ta có: g x′( )= −2018.f x′( ) Xét g x′( )= −2018.f x′( )≥ ⇔0 f x′( )≤ ⇔ ≥0 x
Vậy hàm số y= −2018.f x( ) đồng biến khoảng (1;+∞) →Chọn B
Ví dụ 15.Cho hàm số f( )x Hàm số y= f′( )x có bảng xét dấu sau:
x −∞ −2 +∞
( )
f x′ − + + −
Hàm số y= f(x2 +2x) nghịch biến khoảng đây?
A ( )0;1 B. (− −2; 1) C. (−2;1) D. (− −4; 3) Lời giải:
Đặt g x( )= f x( 2+2x)⇒g x′( )=(x2+2 x f x) (′ ′ 2+2x)=(2x+2 ) f x′( 2+2x)
Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
0 2 (1) (2)
2
x x
g x x f x x
f x x f x x
+ ≥ + ≤
′
≤ ⇔ + + ≤ ⇔ ∨
′ + ≤ ′ + ≥
(11) Giải (1), ta có: ( 2 ) 2
1
2
1
2
2
2 1
x x
x x
x x x
f x x x
x x x
≥ − ≥ − + ≥ ∈∅ ⇔ + ≤ − ⇔ ⇔ ≥ ′ + ≤ ≤ − + ≥ ≥ (*)
Giải (2), ta có: ( ) 2
2
1
2
2
2
3
2
x x
x
x x x x
f x x
x x x ≤ − ≤ − + ≤ ⇔ + ≥ − ⇔ ∈ ⇔ − ≤ ≤ − ′ + ≥ + ≤ − ≤ ≤ (**)
Hợp hai kết quả(*), (**), ta được: x S∈ = − − ∪ +∞[ 3; 1] [1; ) Ta thấy (− − ⊂2; 1) S, ( 2; 1)
x
∀ ∈ − − hàm số y= f(x2 +2x) nghịch biến →Chọn B Giải thích ():
o Từ bảng biến thiên, ta dễdàng có được: ( ) t f t t ≤ − ′ ≤ ⇔ ≥
o Thay t x2+2x, ta có:
2 2 2 2 t t t x x
f x x
x x + ≤ − ′ + ≤ ⇔ + ≥
Ví dụ 16.Cho hàm số ( )f x có bảng xét dấu đạo hàm sau
x 4 1 ( )
f x Hàm số (2 1) 2 8 5
3
y f x= + + x − x+ nghịch biến khoảng ?
A (−1;7) B (1;+ ∞) C 1;1
−
D (−∞ −; 2)
Lời giải:
Đặt ( ) (2 1) 2 8 5 ( ) 2 (2 1) 8 2 (2 1) 4
3 3
g x = f x+ + x − x+ ⇒g x′ = f′ x+ + x− = f′ x+ + x−
Xét
5
4 2 2 2
(2 1)
2
2 x x f x x x − ≤ ≤ − ≤ + ≤ ′ + ≤ ⇔ + ≥ ⇔ ≥
;
5 (2 1)
1 2 x f x x ≤ − ′ + ≥ ⇔ ≤ ≤
Xét 3x− = ⇔ =x
(12)x 52
3
2 (2 1)
f′ x+ 4
3x
(2 1)
3
f′ x+ + x− Chưa biết
dấu
Chưa biết
dấu
Chưa biết dấu Từ bảng trên, ta thấy hàm số g x( ) chắn nghịch biến khoảng: 1; , 3;6
2 2
−
Do có đáp án C thỏa mãn 1;1 1;
2 2
− ⊂ −
→ C
Choïn
Đúc kết: Qua trên, ta thấy việc xét dấu tổng, hiệu biểu thức vốn tốn khơng quen thuộc đa số học sinh (các em quen xét dấu tích, thương đa thức mà thơi) Vì vậy, ta cần
rút thuật toán cho loại toán
Bài toán: Xét dấu g x′( )=k f x h x ′( ) ( )+ biết bảng xét dấu f x′( ), k hằng số
o Cho h x( )=0 để tìm nghiệm x x1, 2 (nếu có)
o Lập bảng xét dấu với hàng dành cho x k f x h x kf x h x, ′( ) ( ), , ′( ) ( )+ theo quy tắc: Tổng hai số dương số dương, tổng hai số âm số âm, tổng hai số trái dấu chưa xác định dấu
Ví dụ 17.Cho hàm số y f x= ( ) có bảng xét dấu đạo hàm sau
x 1 ( )
f x
Hàm số y=3f x(− + + +2) x3 3x2−9x+2018 nghịch biến khoảng đấy? A ;
2
−∞ −
B
3 0;
2
C (2;+∞) D ;12
−
Lời giải:
Đặtg x( )=3f (− + + +x 2) x3 3x2−9x+2018; đạo hàm: g x′( )= −3f′(− + +x 3) x2+6x−9
Xét ( 0) ( 0) 3
2 3
x x x
f x f x
x x x
− ≤ − + ≤ − ≤ − ≤ − ≥ ≥
′ ′
− − + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ⇔ ⇔
− + ≥ − ≥ ≤ −
Do ( 0) 3
x f x
x
− ≤ ≤
′
− − + ≤ ⇔
≥
Xét 3 6 9 0 x x x
x
= + − = ⇔
= −
(13) Bảng xét dấu tạm thời sau:
x 3
( )
3f′ x
− − +
2
3x +6x−9 + 32 ( 2) ( )
3
f x
g x
x x
′
− − +
′
+ −
Chưa biết dấu Ta thấy hàm số g x( ) chắn nghịch biến (−3;1) mà ;1 ( 3;1)
2
− ⊂ −
nên hàm g x( ) nghịch biến ;1
2
−
→ D
Choïn
Bài tốn 1: Tìm tham số m để hàm số y ax bx cx d= 3 + 2+ + đơn điệu trên. Phương pháp:
o Bước 1: Tập xác định: D=
o Bước 2: Đạo hàm y′ =3ax2 +2bx c+ o Bước 3:Điều kiện đơn điệu (khi a≠0)
Hàm số đồng biến 0, 0
y y
a
y x ′
′ > ′
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔
∆ ≤
Giải tìm m
Hàm số nghịch biến 0, 0
y y
a
y x ′
′ < ′
⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔
∆ ≤
Giải tìm m
Lưu ý: Nếu hàm bậc ba y ax bx cx d= 3+ 2+ + có a chứa tham số ta cần xét a=0 để kiểm tra xem hàm sốcó đơn điệu hay khơng
Bài tốn 2: Tìm tham số m để hàm số y ax b cx d
+ =
+ (c≠0, ad bc− ≠0) đơn điệu
khoảng xác định Phương pháp:
o Tập xác định: D \ d
c
= −
o Đạo hàm: 2
( )
ad bc y
cx d
− ′ =
+
o Điều kiện đơn điệu:
Hàm sốđồng biến khoảng xác định⇔ > ∀ ∈ ⇔y′ 0, x D ad bc− >0 Giải tìm m
Hàm số nghịch biến khoảng xác định⇔ < ∀ ∈ ⇔y′ 0, x D ad bc− <0 Giải tìm m Dạng toán 2
(14) Lưu ý: Nếu hàm sốy ax b cx d
+ =
+ có c chứa tham số ta nên xét c=0 để kiểm tra xem hàm số có
đơn điệu khoảng xác định hay khơng Bài tốn 3: Tìm tham số m để hàm số y ax2 bx c
dx e
+ +
=
+ (ad ≠0) đơn điệu khoảng xác định
Phương pháp:
o Tập xác định: D \ e
d
= −
o Đạo hàm: 2
( )
Ax Bx C
y
dx e
+ +
′ =
+ với 0
a b A
d
= ≠ , ,
0
a c b c
B C
e d e
= =
o Điều kiện đơn điệu:
Hàm sốđồng biến khoảng xác định⇔ ≥ ∀ ∈y′ 0, x D
2 0,
0 A Ax Bx C x >
⇔ + + ≥ ∀ ∈ ⇔
∆ ≤
Giải tìm m
Hàm số nghịch biến khoảng xác định⇔ < ∀ ∈y′ 0, x D
2 0,
0 A Ax Bx C x <
⇔ + + ≤ ∀ ∈ ⇔
∆ ≤
Giải tìm m
Lưu ý:
Nếu gặp câu hỏi tương tự dành cho hàm số y ax bx c22
dx ex f
+ +
=
+ + ta làm theo phương pháp nêu
Một điều khác mà học sinh cần phân biệt toán 2, toán là: Đối với toán 2, đạo hàm y′chỉ lớn nhỏ chứkhông cho y′≥0, y′≤0 Lý ta cho y′ =0 có vơ số giá trị x thỏa mãn (mà định nghĩa nêu rõ y′ =0 sốhữu hạn điểm x mà thơi)
Ví dụ 18.Tìm giá trị lớn tham số m để hàm số (8 2 ) 3
3
y= x mx− + − m x m+ + đồng biến
trên
A m=2 B. m= −2 C. m=4 D m= −4 Lời giải:
Ta có y x′ = 2−2mx+ −(8 2m) Nhận thấy a= ≠1 0
Hàm sốđồng biến 0, 02
0
a
y x m
m m
> ≥
′
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
′
∆ ≤ − + ≤
(15)Ví dụ 19.Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y=(m−1)x3+(m−1)x2−(2m+1)x+5 nghịch biến tập xác định
A
4 m
− ≤ ≤ B
7 m
− ≤ < C
2 m
− ≤ < D
7 m
− ≤ ≤
Lời giải: Ta có: y′ =3(m−1)x2+2(m−1) (x− 2m+1)
Xét m− = ⇔1 m=1, ta có: y′ = − < ∀ ∈3 0, x nên hàm sốđã cho nghịch biến Do
1
m= thỏa mãn (*)
Xét m− ≠ ⇔1 m≠1 Hàm số nghịch biến tập xác định khi: ( )2 ( )( ) 2
1 1 2
1
7
1
m m
m
m m
m m m
− <
<
⇔ ⇔ − ≤ <
′ − − ≤
∆ = − + − + ≤
(**)
Hợp kết (*) (**), ta có
7 m
− ≤ ≤ thỏa mãn đề →Choïn D
Nhận xét: Hai ví dụ có khác lời giải trường hợp a ln khác 0; trường hợp cịn lại a chứa tham số m, khi ta phải xét thêm a=0 để kiểm tra xem đạo hàm có ln mang dấu thỏa mãn đề khơng
Ví dụ 20.Có giá trị nguyên tham số mđể hàm số
x m y
x
+ =
+ đồng biến khoảng xác định nó?
A B C D
Lời giải: Tập xác định: D=\ 4{ }− Đạo hàm:
( )
2
4 .
4 m y
x
− ′ =
+
Hàm sốđồng biến khoảng xác định ⇔ > ∀ ≠ −y′ 0, x
2
4 m m m ( 2;2)
⇔ − > ⇔ < ⇔ ∈ − Vì m∈ ⇒ ∈ − m { 1;0;1 } Vậy có giá trị m thỏa mãn →Chọn C
Ví dụ 21.Có giá trị nguyên tham số m để hàm số
x m y
mx
+ =
+ nghịch biến khoảng xác định nó?
A 5 B. Vơ số C 7 D 3 Lời giải:
(16) Xét c m= ≠0, ta có
( )
2
1 m y
mx
− ′ =
+ Hàm số nghịch biến khoảng xác định
2
1
0,
3 m
y x m
m m
< − ′
⇔ < ∀ ≠ − ⇔ − < ⇔ >
Vì m ngun nên có vơ số giá trị m thỏa mãn đề
bài →Choïn B
Ví dụ 22.Hàm số ( 1)
x m x
y
x
+ + −
=
− (m tham số) nghịch biến khoảng xác định giá trị m
A m≥1 B. m= −1 C.
2
m≤ − D − < <1 m Lời giải:
Tập xác định: D=\ 2{ } Đạo hàm:
( )
( ) ( )
2
2
4
2
g x
x x m
y
x x
− + + +
′ = =
− −
Hàm số nghịch biến khoảng xác định y′ ≤0,∀ ∈x D (Dấu " "= xảy hữu hạn điểm D)⇔ g x( )= − +x2 4x+2m+ ≤1 0, ∀ ∈x D
( ) ( )
0 2
2
g m m m
′
⇔ ∆ ≤ ⇔ − − + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ − →Chọn C
Bài tốn 4: Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu . Phương pháp:
Cách giải 1: Cô lập m vế.
o Tính đạo hàm y′= f x′( ), cho y′= f x′( )≥0 đề yêu cầu hàm sốđồng biến Ngược lại: y′= f x′( )≤0 đề yêu cầu hàm số nghịch biến
o Cô lập m đểcó dạng g m( ) ( )≥h x (hoặc g m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )>h x g m; ≤h x g m; <h x ) o Tìm Max-Min cho hàm số h x( ) (Hoặc lập bảng biến thiên cho hàm h x( ))
o Dựa vào giá trị Max-Min bảng biến thiên để kết luận vềđiều kiện m Cách giải 2: Sử dụng tính chất hàm số bậc o Đặt t =sinx (hoặc t=cosx) với điều kiện t∈ −[ 1;1 ]
o Bất phương trình: [ ] ( )
sin
.1
sin 0, 0, 1;1
t x
a b
a x b x at b t
a b
=
+ ≥
+ ≥ ∀ ∈ ⇔ + ≥ ∀ ∈ − ⇔
− + ≥
o Hoàn toàn tương tự: [ ] ( ) cos
.1
cos 0, 0, 1;1
t x
a b
a x b x at b t
a b
=
+ <
+ < ∀ ∈ ⇔ + < ∀ ∈ − ⇔
− + <
(17) Nhận xét:Ý tưởng cách giải tận dụng tính chất hàm số y ax b= + Vì đạo hàm
nó khơng đổi dấu [α β; ] nên cần y( ) 0, ( ) 0α ≥ y β ≥ y≥ ∀ ∈0, x [α β; ]; tương
tựnhư thế: ( ) ( ) ( )
0
0, ;
0
y a b
y ax b x
a b
y
α α
α β
β β
<
+ <
= + < ∀ ∈ ⇔ ⇔
+ <
<
Ví dụ 23.Tìm tất giá trị m∈ để hàm số y=sinx+cosx mx+ đồng biến A − 2≤ ≤m B − 2< <m C m≥ D m≥
Lời giải: Ta có: y′ =cos sinx− x m+
Hàm đồng biến ⇔ y′ ≥ ∀ ∈0, x ⇔cos sinx− x m+ ≥ ∀ ∈0, x
sin cos , sin ,
4
m≥ x− x x∀ ∈ ⇔ ≥m x−π ∀ ∈x
(*)
Ta thấy giá trị lớn sin
x π
−
nên (*)⇔ ≥m → C Choïn
Ghi nhớ:
o Giả sử hàm g x( ) tồn Max-Min Ta có:
( ), ( )
m g x x m Max g x
≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ m g x( ), x m Max g x( )
> ∀ ∈ ⇔ >
( ), ( )
m g x x m Min g x
≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ m g x( ), x m Min g x( )
< ∀ ∈ ⇔ <
o Nếu hàm g x( ) không tồn Max-Min , nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm
được điều kiện bị chặn:M1<g x( )<M2, đó:
( ),
m g x≥ ∀ ∈ ⇔ ≥x m M m g x> ( ), ∀ ∈ ⇔ ≥x m M2
( ),
m g x≤ ∀ ∈ ⇔ ≤x m M m g x< ( ),∀ ∈ ⇔ ≤x m M1
Ví dụ 24.Tìm tất giá trị thực m để hàm số y= sin 2x+cos 2x−(2m−1)x+2021đồng biến tập xác định
A m≤ 52 B m< 52 C m≥ 52 D m≤ −3 2
Lời giải:
Ta có: y′ =2 sin 2x−2cos 2x−(2m−1) Hàm sốđồng biến ⇔ ≥ ∀ ∈y′ 0, x
( )
2 sin 2x 2cos 2x 2m 0, x
⇔ − − − ≥ ∀ ∈
3
2 sin cos , 4sin ,
2
m x x x m x π x
⇔ − ≤ − ∀ ∈ ⇔ − ≤ − ∀ ∈
(18) Ta thấy giá trị nhỏ 4sin
6
x π
−
−4 nên
3
(*)
2
m m
⇔ − ≤ − ⇔ ≤ −
D
→Chọn
Ví dụ 25.Cho hàm số y=(2m+1)sinx+ −(3 m x) Tìm tất giá trị thực m để hàm sốđã cho đồng biến
A
2
m= − B 2;
2
m∈ −
C
2 4;
3
m∈ −
D
1 4;
2
m∈ − −
Lời giải:
Đạo hàm: y′ =(2m+1)cosx+ −3 m
Hàm sốđồng biến ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔y′ 0, x (2m+1)cosx+ − ≥ ∀ ∈3 m 0, x (*) Đặt t=cos ,x t∈ −[ 1;1] (*) viết lại: [ ]
( )
(2 1) 0, 1;1
g t
m+ t+ − ≥m ∀ ∈ −t
2
( 1)
3
(1) 4
g m m m
g m m m
− ≥ − − + − ≥ ≤
⇔ ⇔ ⇔
≥ + + − ≥
≥ − Vậy
2 4;
3
m∈ −
thỏa mãn đề
C
→Choïn
Bài tốn 5: Tìm tham số m để hàm số biến y ax b (c 0,ad bc 0) cx d
+
= ≠ − ≠
+ đơn điệu
một khoảng K cho trước (với K khoảng, đoạn nửa khoảng)
Phương pháp:
o Bước 1: Tập xác định: D \ d
c
= −
oBước 2: Đạo hàm 2
( )
ad bc y
cx d
− ′ =
+
o Bước 3: Điều kiện đơn điệu:
Hàm sốđồng biến 0
,
y ad bc
K d d
x x K K
c c
′ > − >
⇔ ⇔
≠ − ∀ ∈ − ∉
Giải tìm m
Hàm số nghịch biến 0
,
y ad bc
K d d
x x K K
c c
′ < − <
⇔ ⇔
≠ − ∀ ∈ − ∉
Giải tìm m
(19)Mở rộng Bài tốn 5: Tìm tham số m để hàm số ( )
( ) ( )
. 0, 0
.
a u x b
y c ad bc
c u x d
+
= ≠ − ≠
+ đơn điệu
trên khoảng K cho trước.
Cách tính nhanh đạo hàm loại Đạvế pho hàm cải của (1) (2).ủa hàm sốđã cho tích hai
Đặt t u x= ( )⇒ =t u x′ ′( ) (1)
( ) ( )
ad bc
y u x
c u x d
−
′= ′
+
( ) ( )
( )2
at b ad bc
f t f t
ct d ct d
+ ′ −
= ⇒ =
+ + (2)
Nếu học sinh thực hiện cách tính vài lần sau em có thểnhẩm
được đạo hàm nhanh chóng xác.
Ví dụ:Tính đạo hàm hàm số ( cos) 2cos
m x m
y
x m
+ −
=
+ Ta thực bảng sau:
Đạo hàm của hàm sốđã
cho tích hai vế phải của
(1) (2).
Đặt t=cosx⇒ = −t′ sinx (1)
( ) ( )
2
2
3 sin 2cos
m m
y x
x m
+
′ = −
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
1
2 2
m t m m m m m m
f t f t
t m t m t m
+ − ′ + − − +
= ⇒ = =
+ + + (2)
Ví dụ 26.Có giá trị nguyên tham số m để hàm số
x y
x m
+ =
+ nghịch biến khoảng (10;+∞)?
A B Vô số C D
Lời giải: Tập xác định : D=\ 5{− m}
Ta có
( )2
5
5 m y
x m
− ′ =
+ Hàm số nghịch biến khoảng (10;+∞)⇔ y′< ∀ ∈0, x (10;+∞)
( )
6
5 6
2
5
5 10; 5 10
m m
m
m m
− <
<
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
− ∉ +∞
− ≤
(20)Ví dụ 27.Có giá trị ngun tham số m để hàm số y mx m x
− =
− nghịch biến khoảng (−3;1)?
A 2 B 3 C 1 D 4
Lời giải: Tập xác định: D=\{ }m ;
( ) 2 m y m x − ′ = −
Hàm số nghịch biến khoảng (−3;1) ⇔ y′ < ∀ ∈ −0, x ( 3;1)
( )
2 4 0
3;1
m m
− <
⇔ ∉ − ⇔ 2 m m m
− < < ≤ − ≥
⇔1≤ <m Do m∈ nên m=1 Vậy có giá trị m thỏa mãn đề →Choïn C
Ví dụ 28.(Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD) Tìm tất giá trị m để hàm số tan tan x y x m − = −
đồng biến 0; π
A m<2 B m≤0 1≤m<2 C 1≤m<2 D m≤0
Lời giải:
Điều kiện: tan 0, 0; tan , 0;
4
x m− ≠ ∀ ∈x π ⇔ ≠m x x∀ ∈ π
( ) ( )
tan , tan 0;1 0;1
1 m
m x x m
m ≤ ⇔ ≠ ∀ ∈ ⇔ ∉ ⇔ ≥ (*)
Tính đạo hàm nhanh phương pháp sau:
Đạo hàm của hàm sốđã cho
tích hai vế phải của (1) (2).
Đặt tan 12 cos
t x t
x
′
= ⇒ = (1)
( )2 2
2 . cos tan m y x x m + + − + ′ = − ( ) ( )
( )2
2
t m
f t f t
t m t m
− ′ − +
= ⇒ =
− − (2)
Ta có 0, 0; 2
4
y′ > ∀ ∈x π ⇒ − + > ⇒ <m m
(**)
Từ (*) (**) suy
1
m m
≤
≤ <
→ B
(21)Ví dụ 29.Tìm giá trị tham số m để hàm số sin sin
x y
x m
− =
+ đồng biến 12 4; π π
−
A m≥ −1 B m> −1 C
2
m≥ D m>1
Lời giải: Ta có:
12 x
π π
− < <
2
6 x
π π
−
⇒ < < sin2
2 x
−
⇒ < < Học sinh
dùng đường tròn lượng giác để kiểm chứng Điều kiện: sin 0, ;
12
x m+ ≠ ∀ ∈x −π π
1
1
sin , sin 2;1 2
1
m m
m x x
m m
− ≤ − ≥
⇔ − ≠ ∀ ∈ − ⇔ ⇔
− ≥ ≤ −
(*) Đạo hàm:
Đạo hàm của hàm sốđã cho
tích hai vế phải của (1) (2).
Đặt t =sin 2x⇒ =t′ 2cos 2x (1)
( )2
1 .2cos 2 sin
m
y x
x m +
+ + ′ =
+
( ) ( )
( )2
1
t m
f t f t
t m t m
− ′ +
= ⇒ =
+ + (2)
Ta có: m+ > ⇒1 m> −1 (**) Từ (*) (**) ta có
2
m≥ thỏa mãn đề
C
→Choïn
Bài tốn 6: Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu tập K cho trước (với
K khoảng, đoạn nửa khoảng)
Phương pháp:
Bước 1: Tìm đạo hàm hàm y f x( ) Bước 2: Điều kiện đơn điệu:
Hàm sốđồng biến K y0, x K
Hàm số nghịch biến K y0, x K Bước 3:
Cách 1: Biến đổi theo dạng m g x( ), x K (hoặc m g x( ), x K)
Lập bảng biến thiên hàm số g x( ) với x K
Dựa vào bảng biến thiên kết luận điều kiện cho tham số m Cách 2: Tìm nghiệm (đẹp) phương trình y 0 (x phụ thuộc m)
Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo hàm)
Bài tốn mở rộng: Tìm tham số m để hàm số y ax3 bx2 cxd đơn điệu
(22) Phương pháp:
o Bước 1: Đạo hàm y 3ax22bx c
o Bước 2:
Hàm số đồng biến khoảng có độ dài p y có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn
0 y y a x x p
p a
x x1 x2
y +
Hàm số nghịch biến khoảng có độ dài p y có hai nghiệm phân biệt x x1, thỏa mãn
0 y y a x x p
p a
x x1 x2
y + + Lưu ý:
o Dạng khơng cần điều kiện a0, 0 điều kiện p a
đã bao hàm hai ý trên. o Điều kiện x1x2 p có thểđược xử lý theo hai cách chính:
Một sử dụng định lí Vi-ét: 2
1 2 2
x x p x x x x p
2
1 2
(x x ) 4x x p
2
2
4
b c p
a a
(23) Hai tự chế công thức: 1 , 2
2
b b
x x
a a
1
2
b b
x x
a a a
(công thức tiện lợi cho trắc nghiệm)
o Các câu hỏi: “đồng biến (nghịch biến) khoảng có độ dài > p,≥ p,< p,≤ p”ta làm tương tự
Ví dụ 30.Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x= 3−6x mx2+ +3đồng biến khoảng
(0;+∞)
A m≤12 B m≥0 C m≤0 D m≥12 Lời giải:
Ta có: y′ =3x2−12x m+
Hàm sốđã cho đồng biến khoảng (0;+∞) y′ ≥0,∀ ∈x (0;+∞)
( )
2
3x 12x m 0, x 0; m 3x 12x
⇔ − + ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥ − + ,∀ ∈x (0;+∞) Xét f x( )= −3x2+12x với x>0
Ta có f x′( )= − +6 12x ; f x′( ) 0= ⇔ =x Bảng biến thiên:
x −∞ +∞
( )
f x′ + −
( ) f x
−∞
12
−∞
Dựa vào bảng biến thiên, ta giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán m≥12
D
→Chọn
Ví dụ 31.Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x= 4−2(m−1)x m2+ −2 đồng biến khoảng ( )1;5 là:
A m<2 B 1< <m C m≤2 D 1≤ ≤m Lời giải:
(24) Hàm sốđã cho đồng biến khoảng ( )1;5 y′ ≥0, ∀ ∈x ( )1;5
( ) 2
4x x m 0, x (1;5) x m 0, x (1;5) m x 1, x (1;5)
+
⇔ − + ≥ ∀ ∈ ⇔ − + ≥ ∀ ∈ ⇔ ≤ + ∀ ∈
Xét f x( )=x2+1 với 1< <x 5 Ta có: f x′( ) 2= x= ⇒ =0 x 0 (loại) Bảng biến thiên:
x −∞ +∞
( )
f x′ +
( ) f x
2
26
Do giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán m≤2 →Chọn C
Ví dụ 32.Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số 7 14 2
mx
y mx x m nghịch biến nửa khoảng 1;?
A ; 14 15
− ∞ −
B. 14 ;15
−
+ ∞
C.
14 2;
15
D
14 ;
15
Lời giải:
Ta có y mx′ = 2+14mx+14 Điều kiện đềbài tương đương với tìm m để:
[ ) [ )
2 14 14 0, 1; 14 14, 1;
y mx mx x m x x x
+
′ = + + ≤ ∀ ∈ + ∞ ⇔ + ≤ − ∀ ∈ + ∞
[ )
2
14 , 1;
14
m x
x x
+
⇔ ≤ − ∀ ∈ + ∞
+
Đến đây, ta có hai cách đánh giá hàm số vế phải
Cách 1:
Ta có: [ ) [ )
2
2
1 , 1; 14 15, 1;
14 14 x
x x x x
x
≥
∀ ∈ + ∞ ⇒ + ≥ ∀ ∈ + ∞
≥
[ ) [ )
2
14 14, 1; 14 14, 1;
14 15 x 14 15 x
x x x x
⇒ ≤ ∀ ∈ + ∞ ⇒ − ≥ − ∀ ∈ + ∞
+ +
Khi đó: 214 , [1; ) 14
14 15
m x m
x x
≤ − ∀ ∈ + ∞ ⇔ ≤ −
+ → D
Choïn
Cách 2:
Xét hàm ( ) 214
14
g x
x x
= −
+ có ( )
( ) ( )2
28
0,
14
x
g x x
x x
+
′ = > ∀ ≥
(25) Vậy ( ) ( )1 14, [1; ) 15
g x ≥g = − ∀ ∈ +∞x Vậy 214 , [1; ) 14
14 15
m x m
x x
≤ − ∀ ∈ + ∞ ⇔ ≤ −
+ Ví dụ 33.Hàm số sin 2cos 23 3 sin 2 1
3
y x x m m x nghịch biến khoảng 0; π
khi:
A
2
m
2
m B m3 m0
C 3 m D 5
2 m
Lời giải:
Ta có : sin 2 sin 23 3 sin 2 1
3
y x x m m x
Đặt t=sin 2x, ta có 2 ( 3 ) 1
3
y= t − t − m + m t+ Với 0;
4
x∈ π
t∈( )0;1 Hàm số nghịch biến 0;
4 π
hàm số ( )
3 2
4 2 3 1
3
y= t − t − m + m t+
nghịch biến khoảng ( )0;1 ⇔ y′=4t2− −4t m( 2+3m)≤ ∀ ∈0, t ( )0;1 ( )
2
4t 4t m ,m t 0;1
⇔ − ≤ + ∀ ∈
Xét hàm g t( )=4t2−4 ,t t∈( )0;1 Ta có: ( )
g t′ = − = ⇒ =t t (nhận)
Bảng biến thiên:
x −∞
2 +∞
( )
g t′ − +
( ) g t
1
−
0
Dựa vào bảng trên, ta có: 3 m
m m
m
→ B Choïn
Nhận xét: Trong ba ví dụ trên, ta lập m vế xét dấu đạo hàm Vì mà việc cịn lại khảo sát hàm số thuộc vế lại đểđưa kết luận vềđiều kiện m Tuy nhiên, trình giải toán hàm số, em học sinh gặp nhiều toán mà xét dấu
(26)Ví dụ 34.Có giá trị ngun tham số thực m thuộc khoảng (−1000;1000) để hàm số
( ) ( )
3
2 1
y= x − m+ x + m m+ x+ đồng biến khoảng (2;+∞)?
A 998 B 999 C 998 D 1001
Lời giải: Ta có y′ =6x2−6 2( m+1)x+6 (m m+1)∀ ∈x (2;+∞)
Xét y′ =6x2−6 2( m+1)x+6 (m m+ = ⇔1) 0 x2−(2m+1)x m m+ ( + =1 0)
2
4m 4m 4m 4m
∆ = + + − − = > ; ta tìm hai nghiệm x m x m1= , 2 = +1 Bảng biến thiên:
x m m1
y
y
Để hàm sốđồng biến khoảng (2;+∞) m+ ≤ ⇔ ≤1 m
Mặt khác m nguyên thuộc(−1000;1000) nên m∈ −{ 999; 998; 0; ;999− }⇒Số giá trị m là: 999− −( 999 1 999)+ = →Choïn B
Mẹo nhỏ:Để tìm nghiệm đẹp phương trình bậc hai, bậc ba có chứa tham số, ta nhập vào máy tính chức giải phương trình bậc hai, bậc ba với việc thay m=100 Nghiệm tìm ta liên hệ với 100 đểđưa dạng x phụ thuộc m
Chẳng hạn, này, ta giải: x2−(2m+1)x m m+ ( + =1 0)
Nhập vào máy chức giải phương trình bậc hai với 1, 2.100 , 100 100 1
m m m
a= b= − + c= +
Máy tính hiển thị kết quả: X1=100=m X; 2 =101 100 1= + = +m Lưu ý:
• Nếu phương trình bậc hai, ba không cho nghiệm đẹp theo m, mà có dạng 1,2 2 ( )
b m
x
a
− ± ∆ =
thì phương pháp tính nhanh ởtrên khơng sử dụng, thay vào ta sẽnghĩ đến cách giải
khác (đó quy tắc dấu bậc hai có sử dụng Định lí Vi-ét, sử dụng phương pháp đồ thị v.v…)
(27)Ví dụ 35.Tập hợp S tất giá trị tham số m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1 2 3
3
y= x − m+ x + m + m x− nghịch biến khoảng (−1;1) là: A S = ∅ B S =[ ]0;1 C S = −[ 1;0 ] D S = −{ }1
Lời giải: Ta có: y x′ = 2−2(m+ +1) m2+2m
( )
2 2
' 2 x m
y x m x m m
x m
= +
= ⇔ − + + + = ⇔
=
(xem mục Mẹo nhỏ ở phần trên)
Vì m+ >2 m, ∀ ∈m nên ta có bảng biến thiên hàm sốđã cho sau:
x m m2 y
y
Qua bảng biến thiên ta nhận thấy hàm sốđã cho nghịch biến khoảng (−1;1)
chỉ ta có: 1 1
2 1
m m
m m m
m m
≤ − ≤ −
≤ − < ≤ + ⇔ ⇔ ⇔ = −
+ ≥ ≥ −
Vậy: S = −{ }1 →Chọn D
Ví dụ 36.Cho hàm số y (x m) 7(3 x m ) 52 (với mlà tham số) Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng ( 2;1)
A 2 B 5 C 4 D 3
Lời giải:
Ta có: y' 3( x m ) 14(2 x m ) ( x m x)(3 3m14) Khi phương trình y'0có hai nghiệm phân biệt
1
x m 2 14
3
m
x
Ta thấy: 2 14 14 1
3
m
x = − = − +m > − =m x Ta có bảng biến thiên sau:
x −∞ −m −2 14
3
m
−
+∞ y′ + − +
y
−∞
(28) Hàm số nghịch biến khoảng ( 2;1)− ⇔ ≤ ∀ ∈ −y′ 0, x ( 2;1)
2 11
2
14 11 3
1
3
m m
m
m m
− ≤ − ≥
⇔ − ⇔ ⇔ ≤ ≤
≤ ≤
Do m nguyên nên m∈{ }2;3 Vậy có giá trị m thỏa mãn đề →Chọn A
Ví dụ 37.Cho hàm số 1 3 1
3
y x m x m m x m Hỏi có giá trị nguyên
âm m để hàm sốđã cho đồng biến (2;+∞)?
A 2 B 3 C 4 D Vơ số
Bình luận:
• Hàm sốcó đạo hàm y x2 2m1x m 23m Ta có:y 0, x 2;
2 2 1 3 0 (*), 2;
g x
x m x m m x
• Với bất phương trình (*), ta khơng thể lập m vế, khơng thểtìm nghiệm đẹp
trong phương trình g x 0 Thật may mắn hệ số a không phụ thuộc m , ta sử
dụng bảng xét dấu tạm thời, kết hợp định lí Vi-ét để xử lý dạng toán Lời giải:
Ta có: y x2 2m1x m 23m Nhận thấy a 1
Trường hợp 1:Đạo hàm không đổi dấu (tức y 0, x ), hàm sốđã cho đồng biến , suy đồng biến 2;
Ta có: 12 3 0 5 1 0 1.
5
y m m m m m
Trường hợp 2:Đạo hàm đổi dấu hai lần tập xác định, tức (1)
y m
Ta có bảng xét dấu tạm thời sau (giả sử x1x2 hai nghiệm phân biệt y 0)
x −∞ x1 x2 +∞
y′ + − +
y
−∞
+∞
Từ bảng trên, ta có:
( )
( ) ( )
1
2
2
2 1 2
2
2 2.1 8 0 (2)
2 2
m
x x b m
m
a m m
y m m m +
− +
+ −
< = < − − <
⇔ ⇔ ⇔ > −
+ + >
′ > + + + − >
(29) Từ (1) (2) suy
5
m
Kết hợp cảhai trường hợp ta có m Mặt khác m ngun âm nên có vơ số
giá trị m thỏa mãn đề →Chọn D
Ví dụ 38.Tìm tất giá trị thực m để hàm số y x= 3+(m+1)x2+4 7x+ có độ dài khoảng nghịch biến
3
A m m = − = B m m = = C m m = − = D m m = = −
Lời giải: Đạo hàm y′ =3x2+2(m+1)x+4
Hàm sốcó độ dài khoảng nghịch biến ⇔ =y′ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 2
3
2 11
2 2 4
3 3 a m m x x a = > + − − = ⇔ ∆′ = ⇔ =
2 2 11 2 2 15 0
5 m
m m m m
m
=
⇔ + − = ⇔ + − = ⇔
= −
→ A
Choïn
Ví dụ 39.Cho hàm số y= − +x3 3x2+(m−1)x+2m−3 Với mthuộc khoảng sau hàm sốđã cho đồng biến khoảng có độ dài lớn 1?
A m∈ − +∞( 2; ). B m∈ −∞ −( ; 2) C ;
4
m∈ − +∞
D
5
;
4
m∈ −∞ −
Lời giải: Đạo hàm: y′ = −3x2+6x m+ −1
Hàm sốđồng biến khoảng có độ dài lớn 1⇔ =y′ có hai nghiệm phân biệt thỏa x x1− >1
3
2 3( 1) 3 a m m a
= − <
+ −
⇔ ∆′ ⇔ > ⇔ + >
− > 4(3 6)
4
m m
⇔ + > ⇔ > − Vậy
4
m> − thỏa mãn đề →Choïn C
Bài toán 7: Bài toán tham số dạng hàm số khác Phương pháp:
(30) Hàm sốđồng biến K y0, x K
Hàm số nghịch biến K y0, x K Bước 3:
Biến đổi theo dạng m g x( ), x K (hoặc m g x( ), x K) Lập bảng biến thiên hàm số g x( ) với x K
Dựa vào bảng biến thiên kết luận điều kiện cho tham số m
Ví dụ 40.Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số
4
y x mx
x
= + − đồng biến khoảng (0;+∞)
A B C D
Lời giải: Ta có:
2
3
y x m x
′ = + +
Hàm sốđã chođồng biến (0;+∞)⇔ y′≥0, 0;∀ ∈x ( +∞)
( )
3
2
3 0, 0;
2
x m x
x
⇔ + + ≥ ∀ ∈ +∞ ( )
2
3 , 0;
2
x m x
x
⇔ + ≥ − ∀ ∈ +∞ (*) Xét hàm số ( )
2
3
f x x
x
= + (0;+∞)
Ta có: ( ) ( )
5
3
3
3
3 x
f x x
x x
−
′ = − = ; f x′( )= ⇔ =0 x (nhận) Bảng biến thiên:
x −∞ +∞
( )
f x′ − +
( ) f x
+∞
5
+∞
Dựa vào bảng biến thiên, ta có ( )* 5
2
m m −
⇔ − ≤ ⇔ ≥ ; ta lại có m số nguyên âm
{ 2; 1}
m
⇒ ∈ − − Vậy có giá trị m thỏa mãn →Choïn A
Ví dụ 41.Tìm giá trị tham số m để hàm số (5 2 ) 3
1
y x m x
x
= + − − −
+ đồng biến
(− + ∞1; )
(31) Tập xác định: D=\ 1{ }− Ta có:
( )2
2
1
y x m
x
′ = + − +
+
Hàm sốđã cho đồng biến khoảng (− + ∞1; ) y′ ≥0, ∀ ∈ − +∞x ( 1; ) ( )2
1
2
1
x m
x
⇔ + − + ≥
+ , ∀ ∈ − + ∞x ( 1; ) ( )2
1
2
1
x m
x
⇔ + + ≥
+ , ∀ ∈ − + ∞x ( 1; ) Ta xét hàm số ( )
( )2
1 g x x
x
= + +
+ khoảng (− + ∞1; )
Đạo hàm: ( )
( ) ( )
3
3
2 6
2
1
x x x
g x
x x
+ +
′ = − =
+ + ; ( )
3
0 6 0
g x′ = ⇒ x + x + x= ⇔ =x Bảng biến thiên:
x −∞ −1 +∞
( )
g x′ − + ( )
g x
+∞
6
+∞
Ta có 2m g x≤ ( ),∀ ∈ − + ∞ ⇔x ( 1; ) 2m≤6 ⇔ ≤m →Chọn A
Ví dụ 42.Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số sau đồng biến : ( ) 10 ( 20)
5
f x = m x − mx + x − m m− − x Tổng giá trị của tất cả phần tử thuộc S
A 5
2 B −2 C
2 D Lời giải:
Ta có f x′( )=m x mx2 4− 2+20x m m−( 2− −20)=m x2( 4− −1) (m x2− +1 20) (x+1)
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1 1 20
g x
x m x x m x
= + − + − − +
(x ) ( )g x
= +
Hàm sốđồng biến ⇔ f x′( )≥ ∀ ∈0, x suy g x( )=0 có nghiệm x= −1
Do đó: ( )1 0 4 2 20 0 m
g m m
m
= −
− = ⇔ − + + = ⇔
=
Với m= −2 f x′( ) (= x+1 4) ( x−1)(x2+ +1 2) (x− +1 20)
(x 1 4)( x3 4x2 6 14x ) (x 1 4)2( x2 8 14x )
(32)Nhận thấy: ( ) ( )
2
1 , 0
4 80 14
x
x f x x
x x
+ ≥
∀ ∈ ⇒ ′ ≥ ∀ ∈
− + >
⇒m= −2 thỏa mãn Với
2
m= ( ) ( 1) 25( 1)( 1) 5( 1 20)
4
f x′ = x+ x− x + − x− +
( ) 25 3 25 2 15 65 5( )2( 2 )
1 10 13
4 4 4
x x x x x x x
= + − + + = + − +
Nhận thấy: ( ) ( )
2
1
, 0,
5 10 13
x
x f x x
x x
+ ≥
∀ ∈ ⇒ ′ ≥ ∀ ∈
− + >
5
m
⇒ = thỏa mãn
Vậy tổng phần tử thuộc S 2
− + = →Chọn C
Ví dụ 43.Có giá trị nguyên tham số m∈ −[ 2018;2018] để hàm số y= x2+ −1 mx−1
đồng biến (−∞ +∞; )
A 2018 B 2019 C 2020 D 2017 Lời giải:
Tập xác định: D=; đạo hàm:
2 1
x
y m
x
′ = −
+
Ta có:
2 1 0,
x
y m x
x
′ = − ≥ ∀ ∈
+ 1,
x
m x
x
⇔ ≤ ∀ ∈
+ (*) Xét hàm ( ) 2 ;
1
x g x
x
=
+ ( ) ( )
1 0,
1
g x x
x x
′ = > ∀ ∈
+ + Mặt khác:
( ) ( )
lim
lim
x x
g x g x →+∞ →−∞
=
= −
Bảng biến thiên:
x −∞ +∞
( )
g x′ + ( )
g x
1
Vậy ( )* ⇔ ≤ −m 1, mà m nguyên thuộc [−2018;2018] suy m∈ −{ 2018; 2017; ; 1− − }
(33)Ví dụ 44.Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y m=( 2−3)sinx−tanx nghịch biến ;
2 π π
−
A 5 B C D
Lời giải: Ta có:
2
1
( 3)cos
cos
y m x
x
′ = − −
Hàm sốđã cho nghịch biến khoảng ; 2 π π − 2
( 3)cos 0, ;
cos 2
m x x
x π π ⇔ − − ≤ ∀ ∈ −
3 , ;
cos 2
m x x π π ⇔ − ≤ ∀ ∈ −
Ta biết cos 1, ; 13 1, ;
2 cos 2
x x x
x
π π π π
< ≤ ∀ ∈ − ⇒ ≥ ∀ ∈ −
Do yêu cầu đề bài⇔m2− ≤ ⇔ − ≤ ≤3 1 2 m 2. Vì m nguyên nên m∈ − −{ 2; 1;0;1;2}
A
→Chọn
Ví dụ 45.Có giá trị nguyên tham số m để hàm số sin2 cos
m x
y
x
−
= nghịch biến khoảng 0;
6 π
?
A.1 B.0 C.3 D.Vô số
Lời giải: Hàm số sin2 sin2 sin2
cos sin sin
m x m x x m
y
x x x
− − −
= = =
− −
Đạo hàm của hàm sốđã
cho tích hai vế phải của
(1) (2).
Đặt t=sinx⇒ =t′ cosx (1)
( ) 2 2 1.cos t mt y x t + − + − ′ = − ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1
t m t mt
f t f t
t t
− ′ − + −
= ⇒ =
− − (2)
Hàm số nghịch biến 0; 0, 0;
6 y x
π π
⇔ ′≤ ∀ ∈ ⇔
2 2 1 0, 0; 1
2
t mt t
− + − ≤ ∀ ∈ 0 1
0
a m m − < < ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ ′ ∆ ≤ − ≤
Vì m nguyên nên m∈ −{ 1;0;1}
A
(34)Ví dụ 46.Tìm tất giá trị tham sốm để hàm số f x( )= x mx3− 2+2m+1 đồng biến khoảng ( )1;2
A.
2
m
− ≤ ≤ B.0
2
m
≤ ≤ C.0≤ ≤m 1 D.0
2
m
≤ < Lời giải:
Tập xác định: D= Áp dụng công thức ( ) ( ) ( ) 2
2
u u u
u u u u ′ ′ ′ ′ = = = .
Ta có: ( ) ( )( ) ( )
3 2
3
2
0, 1;2
2
x mx m x mx
f x x
x mx m
− + + −
′ = ≥ ∀ ∈
− + +
Trường hợp 1: ( )
( ) ( )
3
2
2
, 1;2 (*)
3
g x x mx m
x
g x x mx
= − + + ≥
∀ ∈
′ = − ≥
Do g x′( )≥0 nên hàm số
( )
g x đồng biến ( )1;2 , g x( )≥ ⇔0 g( )1 0≥ Từ lý luận trên, ta có:
( )1 13 .1 22 1 0 ( ) ( )
(*) , 1;2 3 , 1;2 3
3
2
m m
g m m
x x
m x m
x m ≥ − ≥ − = − + + ≥ ⇔ ∀ ∈ ⇔ ∀ ∈ ⇔ ≤ ≤ − ≥
Trường hợp 2: ( )
( ) ( )
3
2
2
, 1;2 (**)
3
g x x mx m
x
g x x mx
= − + + ≤
∀ ∈
′ = − ≤
Xét giá trị x0 = 1;2∈( )
với g( )2 =2 2− m+2m+ ≤ ⇔1 2 0+ ≤ (vơ lý), trường hợp khơng thể xảy
Vậy hàm sốđã cho đồng biến khoảng ( )1;2
m
⇔ − ≤ ≤ →Chọn A
Ví dụ 47.(Chuyên Đại học Vinh – Lần năm 2020) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho hàm số y= − +x mx4 3+2m x m2 2+ −1 đồng biến (1;+∞).Tính tổng tất cả phần tử S
A.−2 B.−1 C.0 D.2 Lời giải:
Tập xác định: D=
Ta có: ( )( ) ( )
4 2 2
4 2
2 4
0, 1;
2
x mx m x m x mx m x
y x
x mx m x m
− + + + − − + +
′ = ≥ ∀ ∈ +∞
− + + + −
Trường hợp 1: ( )
( ) ( )
4 2
3 2
2
, 1;
4
g x x mx m x m
x
g x x mx m x
= − + + + − ≥
∀ ∈ +∞
′ = − + + ≥
(35)Vì lim ( )
x→+∞g x = −∞ nên tồn x0∈ +∞(1; ) để g x( )0 <0, khơng thể có ( ) 0, (1; )
g x ≥ ∀ ∈ +∞x Vậy trường hợp xảy Trường hợp 2: ( )
( ) ( )
4 2
3 2
2
, 1;
4
g x x mx m x m
x
g x x mx m x
= − + + + − ≤
∀ ∈ +∞
′ = − + + ≤
Ta thấy g x′( )≤0 nên hàm g x( ) nghịch biến ∀ ∈ +∞x (1; ), g x( )≤ ∀ ∈ +∞0, x (1; )
( ) 2
1,62 0,62
1 5
1 1 1 2
2
g m m m m m m
≈− ≈
− − − +
≤ ⇔ − + + + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤
Vì m nguyên nên m= − ∨ =1 m
• Thay m= −1 vào g x′( )≤ ∀ ∈ +∞0, x (1; ), ta được:−4x3−3x2+4x≤ ∀ ∈ +∞0, x (1; ) ( )
2
4x 3x 0, x 1;
⇔ − − + ≤ ∀ ∈ +∞ Điều hoàn toàn ta lập bảng xét dấu cho biểu thức −4x2−3 4x+ Do m= −1 thỏa mãn.
• Thay m=0 vào g x′( )≤ ∀ ∈ +∞0, x (1; ), ta được:
( ) ( )
3
4x 0, x 1; x 0, x 1;
− ≤ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ (đúng) Do m=0 thỏa mãn
Vậy S= −{ 1;0 } Tổng phần tử: − + = −1 →Chọn B
Ví dụ 48.Cho hàm số y f x= ( ) liên tục có đạo hàm f x′( )=x x2( −2)(x2−6x m+ ) với
mọi x∈ Có số nguyên m thuộc đoạn [−2019;2019] để hàm số g x( )= f (1−x)
nghịch biến khoảng (−∞ −; 1)?
A 2012 B 2009 C 2011 D 2010 Lời giải:
g x′( )= −f′(1−x)= − −(1 x) (2 − −x 1) ( −x)2−6 1( − +x m)
( ) (2 )( 2 )
1
= x− x+ x + x m+ − Hàm số g x( ) nghịch biến khoảng (−∞ −; 1)⇔g x′( )≤ ∀ < −0, x ( )∗ , (dấu " "= xảy
ra hữu hạn điểm)
Với x< −1 (x−1)2 >0 x+ <1 nên ( )∗ ⇔ x2+4x m+ − ≥ ∀ < −5 0, x 1
2 4 5, 1
⇔ ≥ − −m x x+ ∀ < −x Xét hàm số h x( )= − −x2 4x+5
khoảng (−∞ −; 1), h x′( )= − − = ⇒ = −2x x Ta có bảng biến thiên:
x 2 1
(36) h x
8 [
Do đó: ⇔ ≥m h x( ),∀ < − ⇔ ≥x m
Kết hợp với m thuộc đoạn [−2019;2019] m nguyên nên m∈{9;10;11; ;2019} Vậy có 2019 2011− + = số nguyên m thỏa mãn đề →Choïn C
Ví dụ 49.Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x′( ) (= −x 1)(x+3) Có giá trị
nguyên tham số m thuộc đoạn [−10;20] để hàm số y f x= ( 2+3x m− ) đồng biến khoảng ( )0;2 ?
A.18 B.17 C.16 D.20
Lời giải: Bảng biến thiên hàm số f x( ):
x −∞ −3 +∞
( )
f x′ + 0 − +
Đặt g x( )= f x( 2+3x m− ) Theo đề: g x′( ) (= 2x+3)f x′( 2+3x m− )≥ ∀ ∈0, x ( )0;2 ( 3 ) 0, ( )0;2
f x′ x m x
⇔ + − ≥ ∀ ∈ (do 2x+ > ∀ ∈3 0, x ( )0;2 )
( ) ( )
( )
( )
2
2
3 (1)
3
, 0;2 , 0;2
3 (2)
h x
u x
m x x
x x m
x x
x x m m x x
≥ + +
+ − ≤ −
⇔ ∀ ∈ ⇔ ∀ ∈
+ − ≥ ≤ + −
Xét hàm h x( )=x2 +3 3x+ ,x∈( )0;2 Ta có: h x′( )=2x+ > ∀ ∈3 0, x ( )0;2 Suy h x( ) ( )<h 13= Do ( )1 ⇔ ≥m 13
Xét hàm u x( )=x2+3 1,x− ∀ ∈x ( )0;2 Ta có: u x′( )=2x+ > ∀ ∈3 0, x ( )0;2 Suy u x( ) ( )>u = −1 Do ( )2 ⇔ ≤ −m
Hợp nghiệm vừa tìm được, ta có: 13 m m
≤ − ≥
Vì m nguyên thuộc đoạn [−10;20] nên
{ 10; 9; 1;13;14; ;20 }
(37) Bài toán 1: Đánh giá bất đẳng thức f x( ) 0, x a b; hoặc f x( )g x , x a b; . Phương pháp:
Bước 0: Chuyển vếđểđưa bất đẳng thức dạng f x( ) 0,≥ ∀ ∈x a b[ ];
Bước 1: Tính đạo hàm f x′( ) chứng minh đạo hàm mang dấu (âm dương) Bước 2: Vận dụng tính chất đơn điệu:
Nếu hàm f x( ) đồng biến [ ]a b; ∀ ∈x a b[ ]; , 0≤ f a( )≤ f x( )≤ f b( )
Ngược lại hàm f x( ) nghịch biến [ ]a b; ∀ ∈x a b[ ]; , f a( )≥ f x( )≥ f b( ) 0.≥ Bài tốn 2: Giải phương trình dạng f u( ) f v( ) với u v, D .
Phương pháp:
Bước 1: Nhận diện hàm đặc trưng đểđưa phương trình dạng f u( )= f v( ) với u v D, ∈ . Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng f t( )đơn điệu D ( f t′( ) âm hoặc dương
trên D)
Bước 3: Giải phương trình: ( ) ( )
( )
f u f v u v f t đơn điệu
Bài toán 3: Giải phương trình dạng f x( )g x( ) với có nghiệm x x0 . Phương pháp:
Bước 1: Tìm một nghiệm x x= 0 phương trình (bằng tính nhẩm nhân lượng liên hợp v.v…)
Bước 2: Tính đạo hàm f x′( ) chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (tức hàm f x( )
đơn điệu miền xác định)
Bước 3: Chứng minh hàm số g x( ) hàm đơn điệu (ngược lại hàm f x( )) Từđó
khẳng định phương trình cho có nghiệm x x= 0 Dạng toán 3
(38)Lời giải:
Ta có: f x′( )< ∀ ∈0, x nên hàm số y f x= ( ) nghịch biến Do đó: ( )2 2 ( ;0) 1;
2
x
f f x
x x x
−
> ⇔ < ⇔ < ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
→ D
Chọn
Ví dụ 51.Cho 0;
x∈ π
Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau:
A tanx x> B tanx x> +1 C tanx x≤ D tanx x< +1
Lời giải: Xét hàm số ( ) tan , 0;
2
f x = x x x− ∀ ∈ π
Ta cần chứng minh f x( ) 0, x 0;2
π
> ∀ ∈
Ta có: 2
2
1
( ) 1 tan tan ( ) 0, 0;
cos
f x x x f x x
x
π
′ = − = + − = ⇒ ′ > ∀ ∈
, hàm số ( )
f x đồng biến khoảng π
Hơn nữa, f(0) 0= Vậy 0;
x π
∀ ∈
f x( )> f(0) 0= Vậy tanx x 0, x 0;2
π
− > ∀ ∈
A
→Chọn
Ví dụ 52.Tìm tập nghiệm bất phương trình 3
x x
x
− + − ≤
− là:
A ∅. B 1;
C
3 1;
2
D
1 3; 2
Lời giải: Xét hàm số ( ) 3
2
f x x x
x
= − + −
− với
1 3; 2
x∈
Ví dụ 50.Cho hàm y f x= ( ) số có f x′( )<0, ∀ ∈x Tìm tất giá trị thực x để
( )
1 2
f f
x
>
A 0;1
B ( )
1 ;0 ; −∞ ∪ +∞
C ;1
−∞
D ( )
(39) Ta có: ( )
( )
3 2 0, 3;
2
3 2
f x x x
x x x
′ = − − − < ∀ ∈ ∈
− − − Do hàm f x( )
nghịch biến 3; 2
x∈
Ta lại có f ( )1 6= Do đó: 3 1( ) 3( )1
2
2
f x f
x x
x x
≤
− + − ≤ ⇔
− < ≤
1
3
1
1 2
2 x x x ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤ < ≤
Vậy 1; S =
→ C
Chọn
Ví dụ 53.Biết tập nghiệm bất phương trình
2
6
2 2
5 x x x x − + − − ≥
+ [ ]a b; Khi giá trị biểu thức P=3a−2b bằng:
A 2 B 4 C −2 D
Lời giải: Điều kiện: − ≤ ≤2 x
Ta có:
2
6 4 4(2 )
2 2
2 2
5
x x x x
x x x x x x − + − − − + − − ≥ ⇔ − ≥ + + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1
6
2 2
6 2
x
x x x
x x x x
⇔ − − ≥ + + − + ⇔ − + − + + − ≥
Xét hàm số f x( )= 2x+ +4 2−x với − ≤ ≤2 x
Ta có ( ) 1
3
2
f x x
x x
′ = − = ⇔ = −
+ − Do ( ) ( )
2 2 6; 2 4; 2 2 2
3
f − = f − = f =
Suy 2≤ f x( )≤2 5< mà 5 x2+ ≥1 5 nên 5 x2+ −1 ( 2 2x+ + −x)>0 Vậy ( )1
3
x x
⇔ − ≥ ⇔ ≥ Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm ;2
3
S =
Do đó: ,
a= b= suy P=3a−2b= −2 →Chọn C
Ví dụ 54.Khi giải phương trình: 4x3 x (x1) 2x 1 0, ta tìm được nghiệm có dạng a b,
b a
+ − với a, b sốnguyên Hãy tính a b2 + 2
(40) Sau chuyển vế: 4x3+ =x ( 1) 1x+ x+ Ta thửđặt 2 1 2 t
t= x+ ⇒ − =x
Vế phải: 1
2 2
t t t t
VP= − + t= + t= +
Với mối liên hệ 4 3 8 2 (2 ) (2 )3
t t
x x+ = + ⇔ x + x t t= + ⇔ x + x t t= + Vậy hàm đặc
trưng xuất hiện: f t t t( )= +3 . Thêm vào f t′ =( ) 3t2+ > ∀ ∈1 0, t nên việc chọn
hàm đặc trưng thếlà phù hợp
Lời giải: Điều kiện:
2
x≥ −
Phương trình 4x3+ =x ( 1) 1x+ x+ ⇔8x3+2x=(2x+2) 1x+
( )2 ( )3
3
(2 ) (2 )x x 2x 1 2 x (2 ) (2 )x x 2x 2x
⇔ + = + + + ⇔ + = + + +
(*)
Chọn f t t t( )= +3 với t≥0 Ta có f t′ =( ) 3t2+ > ∀ ≥1 0, t 0 Vậy hàm số f t( ) đồng biến [0;+∞)
Phương trình (*) viết:
(2 )
2
( ) 0;
f x f x
x x
f x đồng biến trên
2
2 1 5
4
x
x
x x
≥
+
⇔ ⇔ =
+ =
Với định dạng 5
a a b x
b b a
=
+ +
= = ⇒
=
− Do đó:
2 26. a b+ =
D
→Chọn
Ví dụ 55.Cho phương trình: 2x x3− 2+3 2x3−3 1x+ = x+ +3 x2+2 Biết rằng phương trình có tập nghiệm S Tính tổng phần tử S
A 1
4 B 5. C 1. D 1
Lời giải:
Phương trình ⇔2x3−3x+32x3−3 1x+ =x2+ +1 x2+2
3
3 2
(2x 1)x 2x (x x 2) x
⇔ − + + − + = + + + (*)
Cần nhớ:Phương trình A B= giải: A B B 02
A B
≥ = ⇔
=
(41) Xét hàm đặc trưng: f t( )= +t 3t,∀ ≥t 2 Ta có 23
3
1
( ) 1 0,
3 3
f t t t
t −
′ = + = + > ∀ ≥ Vậy phương trình (*) viết:
3
3
(2 1) ( 2)
2
( ) 2;
f x x f x
x x x
f t đồng biến trên
1
1
2
x x
= − ⇔
± =
Vậy tập nghiệm phương trình 1;
2
S = − ±
Tổng nghiệm phương trình: 1 5
2 2
+ −
− + + = →Chọn D
Ví dụ 56.Cho phương trình: x x+ x+12 12( 5= − +x 4−x) Hỏi phương trình cho có bao
nhiêu nghiệm thực?
A 0. B 1. C 2. D 4. Lời giải:
Điều kiện: 0, 12 5,
x x
x
x x
≥ ≥ −
⇔ ≤ ≤
≤ ≤
Ta nhận thấy x=4 nghiệm phương trình (1)
Xét vế trái: Hàm f x( )=x x+ x+12; ( ) 1 0, [ ]0;4
2 12
f x x x x
x x
′ = + + > ∀ ∈
+ Dó hàm f x( ) đồng biến [ ]0;4 (2)
Xét vế phải: Hàm g x( ) 12 5= ( − +x 4−x)
[ ]
1 1
( ) 12 0, 0;4
2 5
g x x
x x x x
− −
′ = + = − + < ∀ ∈
− − − −
Do hàm số
( )
g x nghịch biến [ ]0;4 (3)
Từ (1), (2), (3) suy tập nghiệm phương trình S ={ }4 →Choïn D
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. Cho hàm số y x= 3−3 x Mệnh đềnào đúng?
(42)C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞ −; 1) đồng biến khoảng (1;+∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−1;1)
Câu 2. Trong hàm số sau, hàm sốnào đồng biến ?
A
3
x y
x
− =
+ B
4 2
y x= − x C y=3x+2 D y x= 2+2 1x−
Câu 3. Hàm sốnào sau nghịch biến tập số thực
A y=sinx B y= 1−x C y x
= D y= −1 x3
Câu 4. Hàm số y=2x4 +1 đồng biến khoảng ?
A (0;+∞) B ;
−∞ −
C ;2
− +∞
D (−∞;0)
Câu 5. Các khoảng nghịch biến hàm số y= − +x4 2x 42−
A ( 1;0)− (1;+∞). B (−∞;1)và (1;+∞).
C ( 1;0)− (0;1). D ( ; 1)−∞ − (0;1)
Câu 6. Cho hàm số
2
x y
x
− =
+ Mệnh đềnào sau mệnh đềđúng? A Hàm sốđồng biến
B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm sốđồng biến \{ 2}−
D Hàm sốđồng biến khoảng miền xác định
Câu 7. Cho hàm số
1
x y
x
+ =
− Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến
B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;1) (1;+∞)
C Hàm số nghịch biến \ 1{ }
D Hàm sốđồng biến khoảng (−∞;1) nghịch biến khoảng (1;+∞)
(43)A Hàm số nghịch biến khoảng (1;+∞) B Hàm sốđồng biến khoảng ;1
3
C Hàm số nghịch biến khoảng ;1
3
D Hàm số nghịch biến khoảng
1 ;
3
−∞
Câu 9. Cho hàm số y= 3x x− Hàm sốđồng biến khoảng nào?
A 0;3
B (0;3 ) C ;32
D
3 ;
2
−∞
Câu 10. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x′( )=x x2( −1) Hàm số đã cho đồng biến
khoảng
A (1;+∞). B (−∞ +∞; ). C ( )0;1 . D (−∞;1).
Câu 11. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x′( ) (= x+1) (2 x−1 2) (3 −x) Hàm số f x( ) đồng biến
khoảng nào, khoảng đây?
A (−1;1) B. ( )1;2 C (−∞ −; 1) D (2;+∞)
Câu 12. Cho hàm số y f x= ( ) xác định khoảng ( )0; có tính chất f x′( )≥ ∀ ∈0, 0;3x ( )
( ) 0, 1;2( )
f x′ = ∀ ∈x Tìm khẳng định khẳng định sau: A Hàm số f x( ) đồng biến khoảng ( )0;2
B Hàm số f x( ) có giá trịkhông đổi khoảng ( )1;2 C Hàm số f x( )đồng biến khoảng ( )1;3
D Hàm số f x( ) đồng biến khoảng ( )0;3
Câu 13. Cho hàm số y f x= ( ) liên tục có đạo hàm f x′( ) (= x+2)(x−1) (2018 x−2)2019
Khẳng định sau đúng?
A Hàm sốđạt cực đại điểm x=1 đạt cực tiểu điểm x= ±2 B Hàm sốđồng biến khoảng ( )1;2 (2;+ ∞)
C. Hàm sốcó ba điểm cực trị
D Hàm số nghịch biến khoảng (−2;2)
Câu 14. Hàm số 2
1
x y
x
=
(44)A (−∞ −; 1) B (−1;1) C (−∞ +∞; ) D (0;+∞)
Câu 15. Hàm số (2 15) 7
3
y= x mx− + m+ x+ đồng biến A − ≤3 m≤5 B
3 m m
≥ ≤ −
C − <3 m<5 D
5 m m
> < −
Câu 16. Cho hàm số y= x2−1 Mệnh đềnào đúng?
A Hàm sốđồng biến khoảng (0;+∞) B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;0) C Hàm sốđồng biến khoảng (1;+∞) D Hàm sốđồng biến khoảng (−∞ +∞; )
Câu 17. Hàm số y= x2−x nghịch biến khoảng
A ;1
−∞
B. ( )0;1 C. (−∞;0) D (1;+∞)
Câu 18. Cho hàm số f x( ) (1= −x2 2019) Khẳng định sau ?
A Hàm sốđồng biến R B Hàm sốđồng biến ( ;0)−∞ C Hàm số nghịch biến ( ;0)−∞ D Hàm số nghịch biến R
Câu 19. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số
1
x m
y x
+ − =
+ nghịch biến khoảng mà
xác định?
A m≤1 B. m≤ −3 C. m< −3 D m<1
Câu 20. Có giá trị nguyên tham số m để hàm số
1
x m y
mx
+ =
+ đồng biến khoảng
xác định nó?
A 5 B Vơ số C 7 D 3
Câu 21. Tìm giá trị tham số m để hàm số
1
x m y
x
− =
+ đồng biến khoảng xác định A m∈ − +∞[ 1; ) B m∈ −∞ −( ; 1) C m∈ − +∞( 1; ) D m∈ −∞ −( ; 1]
Câu 22. Biết hàm số y ax bx c a= 4+ 2+ 0( ≠ ) đồng biến (0;+∞), mệnh đềnào đúng?
A a<0;b≤0 B ab<0 C a>0;b≥0 D ab≥0
(45)Mệnh đềnào đúng?
A Hàm sốđồng biến khoảng (−1;3) B Hàm sốđồng biến khoảng (−∞;2) C Hàm số nghịch biến khoảng (−2;1) D Hàm số nghịch biến khoảng ( )1;2
Câu 24. Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên sau:
x −∞ − 2 +∞
( )
f x′ − + − + ( )
f x +∞
2
−
2
2
−
+∞ Hàm số y f x= ( ) đồng biến khoảng đây?
A (− +∞2; ) B (−∞ −; 2) C (−1;0) D (−2;2)
Câu 25. Bảng biến thiên hàm số nào?
x
y
y
1
A
2
x y
x
+ =
− B
3
x y
x
+ =
+ C
2
x y
x
+ =
− D
1
2
x y
x
− =
+
Câu 26. Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên hình bên.Hàm số y= −2018.f x( ) đồng biến
khoảng đây?
x
y
y
0
0
(46)Câu 27. Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên sau
Hàm số y f x= ( ) đồng biến khoảng
A ( ;0)−∞ . B (0;2). C ( 2;0)− . D (2; )+∞
Câu 28. Tìm m để hàm số y= −(1 m x) 8+ nghịch biến
A m≥1 B m>1 C m<1 D m≠1
Câu 29. Tìm m để hàm số y= − +x mx3 nghịch biến
A m≤0 B m>0 C m<0 D m≥0
Câu 30. Cho hàm số y= − −x mx3 2+(4m+9)x+5 (với m tham số) Có giá trị nguyên của
m để hàm số nghịch biến ?
A 0 B 6 C 5 D 7
Câu 31. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số 2 4 5
3
y= x − mx + x− đồng biến
A − ≤ ≤1 m B − < <1 m C 0≤ ≤m D 0< <m
Câu 32. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số 2 4 5
3
y= x − mx + x− đồng biến A − < <1 m B. − ≤ ≤1 m C. 0≤ ≤m D 0< <m
Câu 33. Có số nguyên m để hàm số y=(m2−1)x3+(m−1)x2− +x 4 nghịch biến ?
A B 2 C 3 D 0
Câu 34. Gọi S tập hợp giá trị tham số m để hàm số 2 3 4
3
y= x − mx + mx− m+ nghịch
biến đoạn có độ dài Tính tổng tất phần tử S
A 9 B. −1 C. −8 D 8
Câu 35. Biết hàm số ( 2) (3 2) 2019
3
(47)A 13
2
T = B T=6 C T=7 D T=9
Câu 36. Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y mx
x m
+ =
+ nghịch biến khoảng (1;+∞)?
A 5 B 3 C 2 D 4
Câu 37. Có tất giá trị nguyên m để hàm số
4
x y
x m
+ =
+ nghịch biến khoảng (2;+∞)
A B 3 C vô số D 2
Câu 38. Tìm m để hàm số y x
x m
− =
+ đồng biến khoảng (2;+∞)
A m∈ − +∞[ 1; ) B m∈(2;+∞) C m∈ −∞ −( ; 2) D m∈ − +∞( 1; )
Câu 39. Cho hàm số
2 mx y
x m
, m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số nghịch biến khoảng 0;1 Tìm số phần tử S
A 1 B 5 C 2 D 3
Câu 40. Có tất giá trị nguyên m để hàm số
1
x m y
x m
+ + =
+ − nghịch biến khoảng
(−∞ −; 4) (11;+∞) ?
A 13 B 12 C Vô số D 14
Câu 41. Tập hợp giá trị thực m để hàm số
2
mx y
x m
− =
− ( )1 đồng biến khoảng (3;+∞)là A [−2;2] B (−2;2) C 2;3
2
−
D
3 2;
2
−
Câu 42. Tìm tât giá trị tham sốm để hàm số y mx
x m
+ =
+ đồng biến khoảng (2;+∞) A − ≤ < −2 m m>1 B m< −1 m>1.
C − < <1 m D m< −1 m>1
Câu 43. Có giá trị nguyên tham số m để hàm số
5
x y
x m
+ =
(48)A B Vô số C D
Câu 44. Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y=cos 2x mx+ đồng biến
A m≥ −2 B m≥2 C.− ≤ ≤2 m 2 D.m≤ −2
Câu 45. Tìm tất giá trị m∈ để hàm số y=sinx+cosx mx+ đồng biến
A − 2≤ ≤m B − 2< <m C m≥ D m≥
Câu 46. Tìm m để hàm số cos
cos
x y
x m
− =
− nghịch biến khoảng (0; )2 π
A
2 m m
> < −
B m>2 C
0
1
m m
≤
≤ <
D − < <1 m
Câu 47. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số 2cos
2cos
x y
x m
+ =
− nghịch biến khoảng
0; π
A m∈ −( 3;1] [∪ 2;+∞) B m∈ − +∞( 3; )
C m∈ −∞ −( ; 3) D m∈ −∞ − ∪( ; 3] [2;+∞)
Câu 48. Tìm tất giá trị m để hàm số tan
tan
x y
x m
− =
− đồng biến 0;4 π
A m<2 B m≤0 1≤ <m
C 1≤ <m D m≤0
Câu 49. Có giá trị nguyên tham số m∈ −( 10;10) để hàm số 2sin
2sin x
y
x m
− =
+ đồng biến khoảng ;
2 π π
A 11 B 9 C 10 D 18
Câu 50. Tìm giá trị tham số m để hàm số sin
sin
x y
x m
− =
+ đồng biến 12 4; π π
−
A m≥ −1 B m> −1 C
2
m≥ D m>1
Câu 51. Giá trị m để hàm số cot
cot x
y
x m
− =
− nghịch biến 2; π π
(49)A ≤ <1m≤m0 2
B 1≤ <m C m≤0 D m>2
Câu 52. Tìm m để hàm số cos
cos
− =
−
x y
x m đồng biến khoảng 0;2
π
A
2
≥ ≤ −
m
m B m>2 C
0
1
≤
≤ <
m
m D − <1 m<1
Câu 53. Tìm m để hàm số 2cot
cot
x y
x m
+ =
+ đồng biến khoảng 2; π π
?
A m∈ −∞ −( ; 2) B. ( ; 1] 0;1
2
m∈ −∞ − ∪
C. m∈ − +∞( 2; ) D ;
2
m∈ +∞
Câu 54. Tìm tất giá trị tham sốm để hàm số y=sin3x−3cos2x m− sinx−1 đồng biến
3 ;
2 π π
A.m≥3 B.m≥0 C.m≤3 D.m≤0
Câu 55. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số
( )
3 2
4 2 2 2 3 2 1
3sin cos sin
y = x + x − m + m x − nghịch biến khoảng
;π
A
2
m ≤ − −
2
m ≥ − + B m ≤ −3 m ≥
C − ≤3 m ≤ D 5
2 m
− − − +
≤ ≤
Câu 56. Tìm tất giá trị tham số mđể hàm số ( 1) ( 3)
3
y= − x + m− x + m+ x− đồng biến khoảng ( )0;3
A
7
m≥ B
7
m≥ C
7
m≥ D 12
7
m≥
Câu 57. Tìm giá trị thực tham số m để hàm sô f x( )=x3+3x2−(m2−3m+2)x+5 đồng biến
(50)A m<1,m>2 B 1< <m C m≤1,m≥2 D 1≤ ≤m
Câu 58. Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x= 3−6x mx2+ +3 đồng biến khoảng
(0;+∞)
A m≤12 B m≥0 C m≤0 D m≥12
Câu 59. Tập hợp S tất giá trị tham số m để hàm số ( 1) ( 2 ) 3
3
y= x − m+ x + m + m x−
nghịch biến khoảng (−1;1) là:
A S = ∅ B S =[ ]0;1 C S= −[ 1;0 ] D S = −{ }1
Câu 60. Cho hàm số y=2x3−3(3m+1)x2+6(2m m x2+ ) 12− m2+3m+1 Tính tổng tất cả giá trị nguyên
dương m để hàm số nghịch biến khoảng (1;3)
A 0 B 3 C D 2
Câu 61. Cho y f x= ( ) có đạo hàm f x'( )= − +x2 5 6,x− ∀ ∈x Hàm số y= −5f x( ) nghịch biến
khoảng nào?
A (−∞;2) (3;+∞) B (3;+∞) C (2;+∞) D ( )2;3
Câu 62.Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm f x'( ) (= −3 x x)( 2− +1 ,) x x∀ ∈ Hỏi hàm số
( ) ( ) 1
g x = f x x− − đồng biến khoảng khoảng ?
A (3;+ ∞) B (−∞;1) C ( )1;2 D (−1;0)
Câu 63. Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm liên tục f x′( ) (=x x2 + ) ( )g x +1
( )
g x > ∀ ∈x Hàm số y f= (2− +x x) đồng biến khoảng khoảng sau? A 2;
2
B (−∞; 1) C.
3 1;
2
D ( )0;
Câu 64. Cho hàm số y f x= ( ) xác định có đạo hàm y f x= '( ) thỏa mãn
( ) ( )( ) ( )
' 2019
f x = −x x+ g x + g x( )> ∀ ∈0, x Hàm số y f= (1− +x) 2019x+2018 nghịch biến khoảng nào?
A ( )0;3 B (−∞;3) C (1;+∞) D (3;+∞)
(51)Hàm số y f x= ( 2+2x) nghịch biến khoảng đây?
A ( )0;1 B. (− −2; 1) C. (−2;1) D. (− −4; 3)
Câu 66. Cho hàm số y f x= '( )có đồ thịnhư hình vẽ
x −∞ +∞
( )
f x′ + − + Hàm số y f= (2−x2) đồng biến khoảng đây
A (−∞;0) B ( )0;1 C ( )1;2 D (0;+∞)
Câu 67. Cho hàm số y f x Biết đồ thị hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Hàm số
3 2 2018
y f x đồng biến khoảng đây?
x −∞ −6 −1 +∞ ( )
f x′ − + − +
A 1; 0 B 2; 3 C 2; 1 D 0;
Câu 68. Cho hàm số y f x= ( ) Đồ thị hàm số y f x= '( ) như hình bên dưới Hàm số g x( )= f (3−x)
đồng biến khoảng khoảng sau?
x −∞ −1 +∞ ( )
f x′ − + − +
A ( )4;7 B ( )2;3 C (−∞ −; 1) D (−1;2)
Câu 69. Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm liên tục Biết hàm số y f x= ′( ) có đồ thị hình
vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên m∈ −[ 5;5] để hàm số g x( )= f x m( + ) nghịch biến khoảng ( )1;2 Hỏi Scó phần tử?
x −∞ −1 +∞ ( )
f x′ − + − +
A 4 B 3 C 6 D 5
(52)x −∞ +∞
( )
f x′ − + + − +
Hàm số y=3f x( +2)−x3+3x đồng biến khoảng đây? A (1;+∞) B (−∞ −; ) C (−1;0 ) D ( )0;2
ĐÁP ÁN BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1D 2C 3D 4A 5A 6D 7B 8C 9A 10A
11B 12B 13D 14B 15A 16C 17C 18B 19D 20A
21C 22C 23D 24C 25A 26B 27B 28B 29A 30D
31A 32B 33B 34D 35C 36D 37A 38D 39C 40A
41C 42A 43C 44B 45C 46C 47A 48B 49C 50C
51A 52C 53B 54B 55B 56D 57D 58D 59D 60C