Bai 4 Ham so mu Ham so Logarit

Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lôgarit. A.[r]

GIÁO VIÊN: DƯƠNG BẢO QUỐC

GIẢI TÍCH 12

GIẢI TÍCH 12

BÀI GIẢNG

● Tính giá trị 2x ứng với giá trị x

cho bảng sau:

x -2

2x 1

4 1 2 4 2

Với giá trị thực x, ta xác định giá trị 2x (duy nhất)

Quy tắc cho tương ứng giá trị x giá trị 2x cho ta hàm số y = 2x, hàm số được gọi hàm số mũ số 2.

1

§4.HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LƠGARIT

§4.HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LƠGARIT

I Hàm số mũ:

1 Định nghĩa:

Cho số thực a dương khác 1

Hàm số y = ax gọi hàm số mũ số a

? Trong hàm số sau đây, hàm số hàm số mũ? Cơ

số bao nhiêu?

) ( 3)x

a y  ) 53

x

b y  c y x)   d y) 4 x

TRẢ LỜI:

b) Hàm số hàm số mũ, số a = 53 5

x

y 

a) Hàm số hàm số mũ, số a = y ( 3)x

c) Hàm số y = x - 4 hàm số mũ d) Hàm số y = 4-x hàm số mũ, số a =

2 Đạo hàm hàm số mũ Ta thừa nhận công thức:

0

1

lim 1

t t

e t







§4.HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LƠGARIT

I Hàm số mũ:

Định lý 1: Hàm số y = ex có đạo hàm x

(ex)’ = ex

Chứng minh: (SGK) Chú ý:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm hàm số y e x23x

Giải

2 3 2 3 3

' ( )' ( 3 )'. (2 3).

Ta coù: y ex  x x x ex  x x ex  x

    

HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LÔGARIT

I Hàm số mũ:

Định lý 2: Hàm số y = ax ( a > 0, a  1) ln có đạo hàm

tại x

Chứng minh: (SGK)

Chú ý: Đối với hàm hợp y = au với u = u(x), ta có (au)’ = u’.au.lna

Ví dụ 2: Tính đạo hàm hàm số y 2x23x 

Giải

2

2

3 2

3

' (2 )' ( 3 2)'.2 .ln 2 (2 3). .ln 2

Ta coù

2

x x x x

x x

y x x

x

   

 

   

 

(ax)’ = ax.lna

a > 1 < a < 1 TXĐ: D = R

2 Sự biến thiên: y’ = ax.lna > 0, x

+ Giới hạn:

+ Tiệm cận: TCN trục Ox,

+BBT:

3 Đồ thị:

1 TXĐ: D = R ,

2 Sự biến thiên: y’ = ax.lna < 0, x

+ Giới hạn:

+ Tiệm cận: TCN trục Ox,

+BBT:

3 Đồ thị: lim x 0; lim x

x  a  x a   lim ; lim

x x

x  a   x a 

a 1 1 y x O x

y a

1 a 1 x y O x

y a

3 Khảo sát hàm số mũ y = ax, (a > 0, a 1)

+ + + a 1 + 0 1

0 +

- y y' x -a 1 + 0 1

0 +

-

y y'

HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LƠGARIT

I Hàm số mũ:

Bảng tóm tắt tính chất hàm số mũ y = ax, ( a>0, a 

1)Tập xác định

(-; +)

Đạo hàm y’ = ax.lna

Chiều biến thiên + a > 1: Hàm số đồng biến

+ 0< a < 1: Hàm số nghịch biến

Tiệm cận Trục Ox tiệm cận ngang

Đồ thị Đồ thị qua điểm (0; 1), (1; a) nằm phía trục Ox (Hay y = ax > 0,

x 

HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LƠGARIT

II Hàm số lơgarit

1 Định nghĩa:

Cho số thực dương a khác

Hàm số y = logax gọi hàm số lôgarit số a

? Trong hàm số sau đây, hàm số hàm số lôgarit?

Cơ số bao nhiêu?

TRẢ LỜI:

2

) log

a y  x 1

2

) log

b y  x c y) log x d y) log 3x

Các hàm số cho câu a, b, c hàm số lôgarit với số là: 2, , hàm số cho câu d) hàm số logarit

1 ; 

HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LÔGARIT

II Hàm số lôgarit

2 Đạo hàm hàm số lôgarit

Định lý : Hàm số y = logax (a > 0, a  1) có đạo hàm

mọi x > (log )'

.ln

a x

x a



Đặc biệt: (ln ) 'x

x



Chú ý: Đối với hàm hợp y = logau, y = lnu với u = u(x) > 0,

ta có (log )' '

.ln

a

u u

u a

 (ln ) 'u u '

u



Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số y =log2(2x+1)

(2 1)'

'

(2 1).ln (2 1).ln

x y

x x



 

 

§4.HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LÔGARIT

3 Khảo sát hàm số lôgarit y = logax, (a > 0, a 1)

a > 1 0 < a < 1

1 TXĐ: D = (0; +∞) , SBT:

+ Giới hạn:

+ Tiệm cận: Trục Oy TCĐ +BBT:

3 Đồ thị:

1 TXĐ: D = (0; +∞) ,

2 SBT: + Giới hạn:

+ Tiệm cận: Trục Oy TCĐ

+BBT:

3 Đồ thị:

0

lim loga ; lim loga

x

x  x     x  xlim log0 a x  ; lim logx  a x  

y

O 1 x

1 a O x y 1 1 a

' 0,

ln

y x

x a

   

1

' 0,

ln y x x a     - -a 1 + 1 0 + 0 y y' x + + - + a

1 +

HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LÔGARIT

II Hàm số lơgarit:

Bảng tóm tắt tính chất hàm lôgarit y = logax, ( a>0, a  1)Tập xác định (0; +

)

Đạo hàm

Chiều biến thiên + a > 1: Hàm số đồng biến

+ 0< a < 1: Hàm số nghịch biến

Tiệm cận Trục Oy tiệm cận đứng

Đồ thị Đồ thị qua điểm (1; 0), (a; 1) nằm bên phải trục Oy

1 '

ln

y

x a



Hình vẽ:

Hàm số y = ax gọi hàm số mũ số a

Hàm số y = logax gọi hàm số lôgarit số số a

Định nghĩa

CỦNG CỐ:

Tính chất

1 Hàm số mũ

2 Hàm số lôgarit

CỦNG CỐ:

Chọn phương án phương án sau

1 Tập xác định hàm số y = log2(2x+1) :

2

A x  

2

B x  

2

C x   D Tất sai

2 Trong hàm số sau, hàm số hàm số lôgarit ?

A y = logx B y = lnx C y = logx x

0,5

log

1

D y x

x





3 Cho hàm số y1 = log0,4x; y2 = = x; y3 = (0,3)x; y4 = log3x

Hàm số đồng biến ?

A y1 y2 B y2 y3 C y1 y3 D y2 y4

4 Đạo hàm hàm số y = ln(1+x), (với x > -1)

1

A

x B

x

e C 1

1

D

Bảng đạo hàm hàm số luỹ thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit

Hàm sơ cấp Hàm hợp ( u = u(x)) (x)’ = .x - (u)’ = .u - 1.u’

(ex)’ = ex (ax)’ = ax.lna

(eu)’ = u’.eu (au)’ = u’.au.lna   1 ' ' x x x x        

 ln  '

1

x

x

  ln  ' '

DẶN DỊ:

• Nắm vững định nghĩa hàm số mũ, hàm số lôgarit tính chất, đặc biệt chiều biến thiên chúng