Bài tập Hàm số luỹ thừa - Logarit

Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a.. Đơn giản các biểu thức sau:.[r]

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit CHÖÔNG II HAØM SỐ LUỸ THỪA – HAØM SỐ MŨ – HAØM SỐ LOGARIT I LUỸ THỪA Định nghĩa luỹ thừa Soá muõ  Cô soá a   n N*  0 aR a0   n ( n  N * ) a0 m (m  Z , n  N * ) n   lim rn (rn  Q, n  N * )  Luỹ thừa a a  a n  a.a a (n thừa số a) a  a  1 a   a n  n a m a0 a   a n  n a m (n a  b  b n  a) a0 a   lim a rn Tính chất luỹ thừa  Với a > 0, b > ta có:   a a  a   ;  a  a    a  a > : a  a      ;  Với < a < b ta có:   ; (a )  a     ; (ab)  a b  a a ;     b b < a < : a  a      am  bm  m  ; am  bm  m  Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ và số mũ nguyên âm thì số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì số a phải dương Định nghĩa và tính chất thức  Caên baäc n cuûa a laø soá b cho b n  a  Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: n ab  n a n b ; Neáu n a na  (b  0) ; b nb n p q n m  thì a p  a q (a  0) ; Ñaëc bieät n m  Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì n p a p   n a  (a  0) ; n a mn mn a  mn a am anb Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø < a < b thì Chuù yù: n anb + Khi n lẻ, số thực a có bậc n Kí hiệu n a + Khi n chẵn, số thực dương a có đúng hai bậc n là hai số đối Công thức lãi kép Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất kì, N là số kì Số tiền thu (cả vốn lẫn lãi) là: C  A(1  r )N Bài Thực các phép tính sau:: Trang 51 Lop12.net Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit c) C  42  83 d) D  f) F  23.21  53.54   0,01 2 103 :102   0,25  102 4.4 64     i) I  32   32  18 24  50   e) E   25  4   27 g) G  3  15 84  b) B  92  5  6   7 7  2 a) A   1        7      8  7  14  3  0,01 253  5    h) H   .102 3 1256  16   2   253 2  10 81.5 3.5 12  53  k) K   3  18 27     Bài Viết các biểu thức sau dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a) x2 x ,  x  0 d) 23 3 b3 a ,  a, b   a b b) e) 43 a c) f) 23 2 b2 b b b Bài Đơn giản các biểu thức sau: a1,5  b1,5 a) a 0,5 b 0,5  a 0,5b 0,5  ab  a 0,5  a 0,5   a 0,5   b)   a   a 0,5  a  2a 0,5  1 1  1  2 2  x  3y  x  3y x y d)    xy  1    x2  y2      2b 0,5 a 0,5  b 0,5 1   2  x2  y2  x y x y2 2y   c)   1 1   xy xy 2y  x2y xy  x xy   e)  a  b3   a a 1   b  c   a b  b3 f)  a   b4   a  b4   a 2 b  1    a2  a   (a  1)  h)   1 a    2  a  2a   a 1  b2  c2  a2  2 g) 1    a  b  c  1   2bc a 1   b  c    Bài Đơn giản các biểu thức sau: a) a3b a6 b  a2 x  x a  c)   a2  x  2a x   a x  ax   ab  ab  b b)  ab  : ab a  ab   a x d) 3 a2  x Trang 52 Lop12.net  3 ax  a2 x a2  ax  x  x a6 x Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit  a a  2a b  a2 b2 a2 b  ab2   x x x  e)   f)  3 4      3 a3b  x 1  a  ab x 1       x   x   4   x   x 1    a2 b  ab2 1 a  b     a  b  a g)  a2  ab  b2 a2  b2  Baøi So saùnh caùc caëp soá sau: a)  0,01   vaø 10      b)   vaø   4 4 e)  0,001 d) 5300 vaø 8200 g)   k) 3 vaø   4 h)   5 5   1 vaø   1 2 4  3 l)     0,3  vaø 5 vaø   4 c) 52 100 f) vaø 53  :3 a  vaø  0,125  i) 0,0210 vaø 5011  2 vaø        m)   2   vaø   2 10 Baøi So saùnh hai soá m, n neáu: m a) 3,2  3,2 n m b) n  3  3 d)  e)        Baøi Coù theå keát luaän gì veà soá a neáu: a)  a  1  d) 1  a   3 n 3 1 b)  2a  1  1  a   2  a4 a)  1024 d)  3  m   a  1 e) 1   9 x 2  17 2 e)   9 x x   2a  1  2  a  x1       27  125 x a) 0,1  100 27  64 x x 12     x 1 b)    0,04  5 Trang 53 Lop12.net n m  1    1 1 c)   a 0,2  a2  2   f)      a a c) 81  x  3 f)   2  32 x 5 x    i)    49  h) 0,2  0,008   i) a 0,25  a  Baøi Giaûi caùc baát phöông trình sau: x x l) f) a 2   5 b)  0,25  g) 322 x 8    0,125   k) 5x x  0,001 h) a m 1 1 c)      9 9 n  1    1 2x    2  g) a  a Baøi Giaûi caùc phöông trình sau: x  2 m 1 x 7 7   3 m) 71 x 41 x  c) 0,3x  100 28 x 3 n Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit d) x 49  343 27 Baøi 10 Giaûi caùc phöông trình sau: g)  3 x .3  1 e)   3 x 9 27 h) 27 x 31 x  f) 3x  x   i)     64  a) x  x2  20 b) 3x  3x1  12 c) 5x  5x1  30 d) x 1  x  x 1  84 e) 42 x  24.4 x  128  f) x 1  22 x 1  48 g) 3.9 x  2.9 x   h) 3x 5 x  1 Trang 54 Lop12.net i) x  x1  24  Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit II LOGARIT Ñònh nghóa  Với a > 0, a  1, b > ta có: loga b    a  b a  0, a  Chuù yù: loga b coù nghóa  b  lg b  log b  log10 b  Logarit thaäp phaân: n  1 ln b  loge b (với e  lim     2,718281 )  n  Logarit tự nhiên (logarit Nepe): Tính chaát  loga  ; loga a b  b ; loga a  ; a loga b  b (b  0)  Cho a > 0, a  1, b, c > Khi đó: + Neáu a > thì loga b  loga c  b  c + Neáu < a < thì loga b  loga c  b  c Caùc qui taéc tính logarit Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:  loga (bc)  loga b  loga c b  loga    loga b  loga c  loga b   loga b c Đổi số Với a, b, c > và a, b  1, ta có: loga c  logb c  hay loga b.logb c  loga c loga b  loga b  logb a  loga c   loga c (  0) Bài Thực các phép tính sau: b) log5 a) log2 4.log d) g) log2 9 log log a c) loga a f) 27 h) log3 6.log8 9.log6 i) e) log loga3 a.loga4 a1/3 log27 25 2 log9 4 log8 27 log3  log81 a log3 k) 81 n) log6  27 4 log9 36 log8 log9 3 log5 l) 25  49 1 log9 o) 4 32 log5 log7 2 log2 m) log125 27 5 q) lg(tan10 )  lg(tan 20 )   lg(tan 890 ) r) log8  log4 (log2 16) log2  log3 (log4 64) Bài Cho a > 0, a  Chứng minh: loga (a  1)  loga1 (a  2) Trang 55 Lop12.net p) log 3.log3 36 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit HD: Xeùt A = = loga1 (a  2) loga (a  1) loga1 a(a  2) Baøi So saùnh caùc caëp soá sau: a) log3 vaø log4 d) log  loga1 a.loga1 (a  2)   loga1 (a  1)2 2 g) log7 10 vaø log11 13 d) Chứng minh: log = 1 b) log0,1 vaø log0,2 0,34 c) log 1 vaø log 80 15  2 HD: loga1 a  loga1 (a  2) vaø log 5 log6 vaø log6 e) log13 150 vaø log17 290 f) h) log2 vaø log3 i) log9 10 vaø log10 11 1   log 80 15  2 e) Chứng minh: log13 150   log17 290 g) Xeùt A = log7 10  log11 13  = log7 10.log7 11  log7 13 log7 11  10.11.7 10 11   log7 log7  >  log7 log7 11  7.7.13 7 h, i) Sử dụng bài Bài Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho log2 14  a Tính log49 32 theo a b) Cho log15  a Tính log25 15 theo a c) Cho lg3  0,477 Tính lg 9000 ; lg 0,000027 ; log81 100 d) Cho log7  a Tính log 28 theo a Bài Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 49 theo a, b b) Cho log30  a ; log30  b Tính log30 1350 theo a, b a) Cho log25  a ; log2  b Tính log c) Cho log14  a ; log14  b Tính log35 28 theo a, b d) Cho log2  a ; log3  b ; log7  c Tính log140 63 theo a, b, c Bài Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa): a) b loga c c loga b b) logax (bx )  loga b  loga x  loga x c) loga c logab c ab  (logc a  logc b) , với a2  b2  7ab e) loga ( x  y )  loga  (loga x  loga y ) , với x  y  12 xy d) logc f) logbc a  logcb a  logc b a.logcb a , với a2  b2  c2 Trang 56 Lop12.net   loga b Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit g) 1 1 k (k  1)       loga x loga2 x loga3 x loga4 x logak x loga x h) loga N logb N  logb N logc N  logc N loga N  i) x  10 k) l) 1 lg z , neáu y  10 1 lg x vaø z  10 1 lg y loga N logb N logc N logabc N 1 1     log2 N log3 N log2009 N log2009! N loga N  logb N logb N  logc N  loga N logc N , với các số a, b, c lập thành cấp số nhân Trang 57 Lop12.net Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit III HAØM SỐ LUỸ THỪA HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT Khaùi nieäm a) Hàm số luỹ thừa y  x ( là số) Soá muõ  Haøm soá y  x Taäp xaùc ñònh D  = n (n nguyeân döông) y  xn D=R  = n (n nguyên âm n = 0) y  xn D = R \ {0}  là số thực không nguyên y  x D = (0; +) Chuù yù: Haøm soá y  xn không đồng với hàm số y  n x (n  N *) b) Haøm soá muõ y  a x (a > 0, a  1)  Taäp xaùc ñònh: D = R  Taäp giaù trò: T = (0; +)  Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến  Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang  Đồ thị: y y=ax y y=ax 1 x x a>1 0<a<1 c) Haøm soá logarit y  loga x (a > 0, a  1)  Taäp xaùc ñònh: D = (0; +)  Taäp giaù trò: T = R  Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến  Nhận trục tung làm tiệm cận đứng  Đồ thị: y y y=logax O x O x 0<a<1 a>1 Trang 58 Lop12.net y=logax Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Giới hạn đặc biệt  x) x lim (1  x 0 x  1  lim     e x   x ex 1 1  lim x 0 x ln(1  x ) 1  lim x 0 x Đạo hàm   x    x 1 ( x  0) ;  n x   Chuù yù:   n n x n1  u    u 1.u  với x  n chẵn   với x  n lẻ     a x   a x ln a ;  au   au ln a.u  e x   e x ;  eu   eu u  loga x   x ln1 a ;  loga u   u lnu a  ln x    ln u   u x (x > 0);  n u   u n n u n1 u Bài Tính các giới hạn sau:  x  a) lim   x    x  x x 1  3x   x 1 1 x  b) lim    x   x d) lim   x   x    x 1  e) lim   x   x   ln x  g) lim x e x  e e2 x  h) lim x 0 x x e x  e x esin x  esin x k) lim l) lim x 0 sin x x 0 x Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: x 1 x 1 a) y  x  x  b) y  d) y  sin(2 x  1) e) y  cot  x g) y  sin x 3 4 11  x9 x 1  2x   f) lim   x   x   m) lim x  e  1 x x  f) y  x2  x  x2  1 2x 1 2x i) y  x2  x  x2  x  Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y  ( x  x  2)e x d) y  e 2x  x g) y  x ecos x b) y  ( x  x )e x x x e) y  x.e h) y  3x x  x 1 Trang 59 Lop12.net x ex  e i) lim x 1 x  c) y  h) y   x 1  c) lim   x   x   c) y  e2 x sin x f) y  e2 x  e x e2 x  e x i) y  cos x.ecot x Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y  ln(2 x  x  3) b) y  log2 (cos x ) c) y  e x ln(cos x ) d) y  (2 x  1) ln(3 x  x ) e) y  log ( x  cos x ) f) y  log3 (cos x ) g) y  ln(2 x  1) h) y  x 1 ln(2 x  1) 2x  Bài Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức ra: a) y  x.e  x2 ; xy  (1  x ) y  i) y  ln x   x  b) y  ( x  1)e x ; y  y  e x c) y  e4 x  2e x ; y  13y  12 y  d) y  a.e x  b.e2 x ; y  3y  y  g) y  e x sin x; y  y  y  h) y  e x cos x; y    y  i) y  esin x ; l) y  x x e ; y cos x  y sin x  y   k) y  e2 x sin x; y  y  29 y  y  y  y  e x m) y  e4 x  2e x ; y  13y  12 y  n) y  ( x  1)(e x  2010); y  xy x 1  e x ( x  1) Bài Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức ra:   a) y  ln  ;  1 x  xy   e y c) y  sin(ln x )  cos(ln x ); y  xy  x y  b) y  ; xy  y  y ln x  1  x  ln x d) y   ln x ; x y  ( x y  1) x (1  ln x ) x2  x x   ln x  x  1; y  xy  ln y e) y  2 Bài Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số ra: a) f '( x )  f ( x ); f ( x )  e x ( x  x  1) b) f '( x )  f ( x )  0; x f ( x )  x ln x c) f '( x )  0; f ( x )  e2 x 1  2.e12 x  x  d) f '( x )  g '( x ); f ( x )  x  ln( x  5); g( x )  ln( x  1) e) f '( x )  g '( x ); f ( x )  52 x 1; g( x )  5x  x ln Trang 60 Lop12.net