Chuyên đề Hàm số lũy thừa Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất. Vững vàng nền tảng, Khai s[r]

I LUỸ THỪA

Dạng 1: Tính giá trị rút gọn biểu thức

Phương pháp: Sử dụng tính chất lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ lũy thừa với số mũ thực

Bài 1: Tính biểu thức :

a)

3

81

A     b)

3

1

109

5

B

 

        

   

c)    

10

4

3

1

.27 0, 25 128

3

C

 

 

 

   

     

    d)

6 12

1

5 11 25 18

3

A    

ĐS: A0;B0;C8;D13 Bài : Rút gọn biểu thức :

   

3

1

2

2 2

0,

1

a a

A a a

a a

a



  

 

 

    

   

 

ĐS:

Bài : Cho biểu thức :

4

3

3

a b ab A

a b

 

 Tính A a = ; b = ĐS:

Dạng 2: Tập xác định đạo hàm hàm số lũy thừa

Phương pháp:

- Hàm số yx có tập xác định dựa vào  Cụ thể:

 Khi *

N

 hàm số xác định với x

 Khi   N hàm số xác định với x0

 Khi Z hàm số xác định với x0

- Hàm số yx có đạo hàm với x >  ' x x Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số

a)  

2

y x  x b)

2

y x

Giải

a) Vì 3Znên hàm số xác định 2

0 x

x x

x  

   

 

Vậy tập xác định D  ;0  2;

Đạo hàm   3    

' '

y  x  x  x  x  x x  x 

b) Hàm số xác định 2x   6 x Vậy tập xác định D3;

Đạo hàm  

 3  3

4

2 '

'

4 2

x y

x x



 

 

Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số

a) yx18 b)  0

3

y x  x c) y2x53

d)

2

y x  x e)

2

y x  x f)

1 x y

x  

 

   

g) yx1 h)  

2 5

y x i)

4 y

x 

 II LOGARIT

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức

Phương pháp: Sử dụng công thức liên quan đến logarit

log 1) log

2) log 3) log 4) a

N a

a

a b

b N a b

a

a b

  

  

5) log ( ) log log 6) log log log

7) log log 8) log log log

9) log 10) log log log log

N

a a a a a a

N

a a a a

c

a a b a

c

b

b c b c b c

c

b N b b b

N b

b b c c

a

 

    

 

 

 

Ví dụ mẫu: Tính giá trị biểu thức

a)

2

log A   

  b) Blog 72 log 36  c)

1

3

1 log 343 log 49 log

7

C  

Giải

a)    

2

2 2

log

3 log log 3

3

1

2

8 27

A           

b)  

6 6

log 72 log log 72.3 log

B    

c)

2

3

1 3 3 3

3

1

log 343 log 49 log log log log 3log log log

7

C 



          

Ví dụ mẫu:

a) Cho log 52 a Tính log 12504 theo a b) Cho log 202  b Tính log 520 theo b

Giải

a)  

4

2

4

2

log 2.5

log 1250 log

log 1250

log log 2

a

 

   

b)

2

2

20

2 2

20 log

log 4 log 20 2

log

log 20 log 20 log 20

b b

 

   

Bài 1: Tính lơgarít sau: a)log 273 b) 1

9

log c)

3

1

1 log

81 d)

2

log

16

e)

5

log 25    

  g)

4 log

a a h)

3

2 log

a

a i)ln e

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

8 8

3

7 7

) log 12 log 15 log 20

1

) log 36 log 14 3log 21

2

1

) lg lg 4 lg

8

) lg 72 log

a A b B c C d D

  

  

  

 

3

9

2 27

log log

log log 27

) log 4.log

1

) log log

25

)

) 27

e E

f F g G h H

 

 

 

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) 3 27

1 log log 3log

16 81

A   b) 5 2008

1

log 2log 3log

B  

c)

1

1

log log 3log 16

1 a a

a

C a

  

 

    d) C31 log 4 42 log 3 53 2log 4

Bài 4: Tính biểu thức sau theo a b :

1) Cho alog 52 , blog 32 Tính log 452 theo a b 2) Cho alog 53 , blog 32 Tính log 1003 theo a b

3) Cho 1

2 log

a , blog 52 Tính log2 0,3 theo a b 4) Cho log 330 a; log 530 b Tính log 830 theo a b 5) Cho log 35 = a Tính 3

5 27 log

25 theo a b

Bài 5:

1) Chứng minh log log

log a

a ab

N

b

N   với a, b, N > 0, ab 1

2) Chứng minh

2

2

1 1

loga loga logan loga

n n

x x x x



    với a, x > 0, a, x 1

3) Cho x, y > x2 + 4y2 = 12xy Chứng minh: lg(x+2y) – lg2 = (lgx + lg y) /

Dạng 2: Tập xác định đạo hàm hàm số logarit

Phương pháp:

- Hàm số yloga x với a0,a1 xác định x0

- Hàm số yloga x với a0,a1 có đạo hàm với x > log ' ln

ax

x a

Đặc biệt  '

ln x

x



Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số

a)  

3 log

y x x b) ln2

1

x y

x

 

 Giải

a) Hàm số xác định

0

0 x x x

x       



Vậy tập xác định D  ;0  1; 

Đạo hàm  

   

2

2

' 2 1

'

ln ln

x x x

y

x x x x

 

 

 

b) Hàm số xác định

1

x

x x

     

 Vậy tập xác định D  2;1

Đạo hàm

 

'

2

2

6

1

'

2 1 (1 )(2 4)

1 x

x x

y

x x x x x

x 

 

   

 

  

    



Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số sau

a) y =  

log x 3x4 b) y = 1

3

2 log

1

x x



 c) y =

2

2 log

4 x x

x  



d) y = log2(x2 + x – 6) + ln(x + 2) e)y =  

2

log x 3x 4 - logx f) y =  

ln x 3x

III Hàm số mũ

Dạng : Tập xác định đạo hàm hàm số mũ

Phương pháp: - Hàm số x

ya với a0,a1 xác định với x

- Hàm số x

ya với a0,a1 có đạo hàm với x  ax 'axlna

Đặc biệt  x ' x e e

Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm hàm số

a)

2x x

y   b) sinx

ye

Giải

a) Đạo hàm 3 1  2    3 1

' 2x x ln ' 2x x ln

y    x  x  x  

b) Đạo hàm sin   sin

' x sin ' xcos

y e x e x

Bài tập luyện tập: Tính đạo hàm hàm số sau

a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)2x d) y = 5x.sin3x

e) y = etanx f) y = x2 3x 2

IV PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT A Phƣơng trình mũ

Vấn đề 1: Đưa số Phương pháp:

( )

( ) ( )

( ) log , 0, 1, ( ) ( ), 0, f x

a f x g x

a b f x b a a b

a a f x g x a a

     

    

Ví dụ mẫu Giải phương trình sau

a) 1

2 3x x 5 b)

2x  x 4 x

Giải

a) Ta có : 1

6

3 15 15

2 2 log

3 2

x

x x x x

x

        

Vậy phương trình có nghiệm log615

2

x

b) Ta có:

2

2

8 2(1 )

2

2

8 2(1 )

5

2

x x x

x x x

x x x

x x

x x

  

  



 

    

   

     

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2, x = -3

Bài tập luyện tập

Bài 1: Giải phương trình sau

a) 254x = 53x – b)

3x  x 9x

c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1 d) 2x + 2x - + 2x - = 3x – 3x - + 3x –

ĐS: a) x = -1/5; b) x = 1, x = -2; c) x = 0; d) x =

Bài 2: Giải phương trình sau

a) 3x.2x+1 = 72 b) 62x+4 = 3x.2x+8

c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60

ĐS a) x = 2; b) x = c) x = 1; x = d) x =

Vấn đề : Đặt ẩn phụ Phương pháp:

Phương trình

.a x ax

    Đặt ta tx, 0 ta

.t t

    Phương trình .ax.ax  0 Đặt t a tx, 0 ta t

t



   

Phương trình  

x x x

a ab b

    Đặt ,

x a

t t

b     

  ta

.t t

   

Phương trình .ax.bx  0 với a b 1 Đặt ta tx, 0 ta t

t



   

Ví dụ mẫu: Giải phương trình:

a) 9x12.3x270 b) 1

Giải a) Ta có : 9x12.3x27 0  3x 212.3x270

Đặt t3x, t >

Ta phương trình:

12 27

9 t

t t

t  

    

 

Với t = 3x   3 x Với t = 3x   9 x

Vậy phương trình có hai nghiệm: x1;x2

b) Ta có: 1 10

10 10 99 10.10 99

10

x x x

x

      

Đặt t10x, t >

Ta phương trình: 10 10

10 99 10 99 10

0,1 ( ) t

t t t

t loai

t

 

       

  

Với t = 10 10x 10 x

Phương trình có nghiệm nhất: x1 c) Ta có

2

49 35 7

5.49 12.35 7.25 12 12

25 25 5

x x x x

x x x                 

       

       

Đặt ,

5 x t   t

 

Ta phương trình:

1

5 12 7

5 t

t t

t   

   

  

Với t =

5 x

x       

 

Với t =

7

1

5

x

x       

 

Vậy phương trình có hai nghiệm: x0;x1

Bài tập luyện tập

Bài : Giải phương trình :

a) 49x + 4.7x – = (ĐS: x = 0) b) 3x+2 + 9x+1 = (ĐS: x = -1) c) 22x + 1 +3 2x = (ĐS: x = -1) d) 92x +2 - 4.32x + 1 + = (ĐS: PTVN)

e) 52x + 4 – 110.5x + – 75 = (ĐS: x = -1) f)

2

2

x x

      

   

    (ĐS: x = 0, x =1)

g)

3x2.3x 5 0 (ĐS: x = 1; x = log32) h)

3

x x

e  e   (ĐS: x = 0, x = ln3

2)

Bài : Giải phương trình :

a) 6.9x -13.6x + 6.4x = (ĐS: x = 1) b)27x12x 2.8x (ĐS: x = 0) c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = (ĐS: x = -2) d) 3.8x4.12x18x2.27x0 (ĐS: x = 1) Bài : Giải phương trình :

a) 2 3 x 2 3x 4 (ĐS: x = 1) b) 35  35 12

x x

Vấn đề : Lơgarit hố

Phương pháp: ( ) ( )  ( ) ( )

log log ( ) ( ) log , , 0, , f x g x f x g x

a a a

a b  a  b  f x g x b a b a b

Ví dụ mẫu: Giải phương trình 1 3 2

2x 5x x

Giải

Vì hai vế phương trình đề dương nên lấy logarit số vế ta PT:

 

5

1 log

x x  x x1 log 2 x1x2    x x log 25

Vậy phương trình có nghiệm x = x = + log52

Bài tập luyện tập: Giải phương trình

a) 2x x2 1 (ĐS: x = 0; x= -log23) b) 5 8 100 x

x x 

(ĐS: x = 2; x= -log52-1)

c)

1 500

x x x



 (ĐS: x = 5; x= -log52) d) 3 8 36

x x x 

(ĐS: x = 2; x= -log32 +1) Vấn đề : Dùng tính đơn điệu

Phương pháp:

- Phương trình f x( )a với f(x) tăng giảm tập D có khơng q nghiệm D - Nếu với f(x) tăng giảm tập D f(u) = f(v)  u = v với u, v  D

Ví dụ mẫu: Giải phương trình 2x  11 x

Giải Ta có: 2x   11 x 2x x 11

Vì 2xx'2 ln 0,x   xnên hàm số f x( )2xx tăng R Mặt khác x = nghiệm phương trình

Vậy phương trình có nghiệm x =

Bài tập luyện tập Giải phương trình :

a) 3x + 4x = 5x b)5x = – 3x

c) 2 32 1 x x  

d)32-x = x +

B Phƣơng trình lơgarit :

Vấn đề : Đưa số

Phương pháp: với a > 0, a 1 ta ln có log ( ) ( )

log ( ) log ( ) ( ) ( ) b

a

a a

f x b f x a

f x g x f x g x

  

   

Ví dụ mẫu: Giải phương trình

a) log2xlog4xlog8x11 b) log5xlog25xlog 5

Giải a) Điều kiện: x >

2

2

2 2

2 2

2

6

log log log 11

log log log 11

1

log log log 11

2

11

log 11

log

2 64

x x x

x x x

x x x

x x x

  

   

   

 

 

  

Vậy phương trình có nghiệm x = 64 b) Điều kiện: x >

Khi đó:

2

2

1

5 25 5 5

5

5 5

5

5

2

5

2

log log log log log log

1

log log .log

2

3

log log

2 log log

3 log log

3

x x x x

x x

x x x x

    

  

 

 

 

 

Vậy phương trình có nghiệm

9

x

Bài tập luyện tập: Giải phương trình :

a)

33

log log log

6

x x x b)log4log2xlog2log4x2

c) log (2 x 3) log (2 x 1) log 52 d)

2 1

2

log (x  3) log 52 log (x 1) log (x1)

e) 2

3

log (x2) log x 4x 4 f) 2

2

log (x1) log x 2x 1

ĐS: a) x = 8; b) x = 16; c) x = 2; d) x = e) x = -29; x = 25; f) 3; x = -5

Vấn đề : Đặt ẩn phụ

1) Giải phương trình : a)

3

log x4log x 3 b) log52 x4log25x 3

c) log5xlog 5x 2 d)log log4

6

x  x 

e)

2

2

log (4 ) log 8 x

x   f)

3

3

log x log x x

   

   

Hướng dẫn

a) Điều kiện: x > Khi đặt t = log3x ta phương trình t2 – 4t + =

b) Điều kiện: x > Khi đặt t = log5x ta phương trình t2 – 2t – = c) Điều kiện: x > 0, x  Chú ý

5

1 log

log

x

x

e) Điều kiện: x > Chú ý 2  2

2

log (4 )x  log x ;

f) Điều kiện: x > 0, x  1/3 Chú ý

3

3

3

3 log

1 log

log

log log

x

x x

x x x



 

 2) Giải phương trình :

a)

5 lg x1 lg x  b)

1

1 ln x2 ln x 

c)

5 25

log (5x1) log (5x  5) d)

3

log (3x1) log (3x  3) Hướng dẫn

a) Điều kiện: x > 0, x  105, x  10-1 Khi đặt t = logx ta phương trình 5t1t 

d) Điều kiện: x > Khi

3 3

log (3x1) log (3x   3) log (3x1) log (3  x1)6

Vấn đề : Mũ hoá

Giải phương trình :

a) log5x (x + 4) = b)

5

2 x 3log 2log (3x5 x) Hướng dẫn

IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ

Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số mũ y = ax

tăng a > giảm < a < Hơn nữa, hàm số mũ nhận giá trị dương với x

Bài 1: Giải bất phương trình (Đưa số)

a) 16x – 4 ≥ b)

9

x

  

 

  c)

6 9x3x

d) 6

4x x 1 e)

2

4 15

3

2

2 x x

x

 



  

 

  f)

2x + > 5x Bài 2: Giải bất phương trình (Đặt ẩn phụ)

a) 22x + + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ c) 1 4x 2x 3

d) 5.4x+2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log

48

g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x

Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit

Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số logarit y = loga x với x > tăng a > giảm < a <

Baøi 1: Giải bất phương trình (Đưa số)

a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) –

c) log2( x2 – 4x – 5) < d) log1/2(log3x) ≥

e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < Bài 2: Giải bất phương trình (Đặt ẩn phụ)

a) log2

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS

lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho

học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn

phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Khoá Học Nâng Cao HSG