môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất. Vững vàng nền tảng, Khai s[r]
(1)I LUỸ THỪA
Dạng 1: Tính giá trị rút gọn biểu thức
Phương pháp: Sử dụng tính chất lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ lũy thừa với số mũ thực
Bài 1: Tính biểu thức :
a)
3
81
A b)
3
1
109
5
B
c)
10
4
3
1
.27 0, 25 128
3
C
d)
6 12
1
5 11 25 18
3
A
ĐS: A0;B0;C8;D13 Bài : Rút gọn biểu thức :
3
1
2
2 2
0,
1
a a
A a a
a a
a
ĐS:
Bài : Cho biểu thức :
4
3
3
a b ab A
a b
Tính A a = ; b = ĐS:
Dạng 2: Tập xác định đạo hàm hàm số lũy thừa
Phương pháp:
- Hàm số yx có tập xác định dựa vào Cụ thể:
Khi *
N
hàm số xác định với x
Khi N hàm số xác định với x0
Khi Z hàm số xác định với x0
- Hàm số yx có đạo hàm với x > ' x x Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số
a)
2
y x x b)
2
y x
Giải
a) Vì 3Znên hàm số xác định 2
0 x
x x
x
Vậy tập xác định D ;0 2;
Đạo hàm 3
' '
y x x x x x x x
b) Hàm số xác định 2x 6 x Vậy tập xác định D3;
Đạo hàm
3 3
4
2 '
'
4 2
x y
x x
Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số
(2)a) yx18 b) 0
3
y x x c) y2x53
d)
2
y x x e)
2
y x x f)
1 x y
x
g) yx1 h)
2 5
y x i)
4 y
x
II LOGARIT
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức
Phương pháp: Sử dụng công thức liên quan đến logarit
log 1) log
2) log 3) log 4) a
N a
a
a b
b N a b
a
a b
5) log ( ) log log 6) log log log
7) log log 8) log log log
9) log 10) log log log log
N
a a a a a a
N
a a a a
c
a a b a
c
b
b c b c b c
c
b N b b b
N b
b b c c
a
Ví dụ mẫu: Tính giá trị biểu thức
a)
2
log A
b) Blog 72 log 36 c)
1
3
1 log 343 log 49 log
7
C
Giải
a)
2
2 2
log
3 log log 3
3
1
2
8 27
A
b)
6 6
log 72 log log 72.3 log
B
c)
2
3
1 3 3 3
3
1
log 343 log 49 log log log log 3log log log
7
C
Ví dụ mẫu:
a) Cho log 52 a Tính log 12504 theo a b) Cho log 202 b Tính log 520 theo b
Giải
a)
4
2
4
2
log 2.5
log 1250 log
log 1250
log log 2
a
b)
2
2
20
2 2
20 log
log 4 log 20 2
log
log 20 log 20 log 20
b b
(3)Bài 1: Tính lơgarít sau: a)log 273 b) 1
9
log c)
3
1
1 log
81 d)
2
log
16
e)
5
log 25
g)
4 log
a a h)
3
2 log
a
a i)ln e
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
8 8
3
7 7
) log 12 log 15 log 20
1
) log 36 log 14 3log 21
2
1
) lg lg 4 lg
8
) lg 72 log
a A b B c C d D
3
9
2 27
log log
log log 27
) log 4.log
1
) log log
25
)
) 27
e E
f F g G h H
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) 3 27
1 log log 3log
16 81
A b) 5 2008
1
log 2log 3log
B
c)
1
1
log log 3log 16
1 a a
a
C a
d) C31 log 4 42 log 3 53 2log 4
Bài 4: Tính biểu thức sau theo a b :
1) Cho alog 52 , blog 32 Tính log 452 theo a b 2) Cho alog 53 , blog 32 Tính log 1003 theo a b
3) Cho 1
2 log
a , blog 52 Tính log2 0,3 theo a b 4) Cho log 330 a; log 530 b Tính log 830 theo a b 5) Cho log 35 = a Tính 3
5 27 log
25 theo a b
Bài 5:
1) Chứng minh log log
log a
a ab
N
b
N với a, b, N > 0, ab 1
2) Chứng minh
2
2
1 1
loga loga logan loga
n n
x x x x
với a, x > 0, a, x 1
3) Cho x, y > x2 + 4y2 = 12xy Chứng minh: lg(x+2y) – lg2 = (lgx + lg y) /
Dạng 2: Tập xác định đạo hàm hàm số logarit
Phương pháp:
- Hàm số yloga x với a0,a1 xác định x0
- Hàm số yloga x với a0,a1 có đạo hàm với x > log ' ln
ax
x a
(4)Đặc biệt '
ln x
x
Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số
a)
3 log
y x x b) ln2
1
x y
x
Giải
a) Hàm số xác định
0
0 x x x
x
Vậy tập xác định D ;0 1;
Đạo hàm
2
2
' 2 1
'
ln ln
x x x
y
x x x x
b) Hàm số xác định
1
x
x x
Vậy tập xác định D 2;1
Đạo hàm
'
2
2
6
1
'
2 1 (1 )(2 4)
1 x
x x
y
x x x x x
x
Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số sau
a) y =
log x 3x4 b) y = 1
3
2 log
1
x x
c) y =
2
2 log
4 x x
x
d) y = log2(x2 + x – 6) + ln(x + 2) e)y =
2
log x 3x 4 - logx f) y =
ln x 3x
III Hàm số mũ
Dạng : Tập xác định đạo hàm hàm số mũ
Phương pháp: - Hàm số x
ya với a0,a1 xác định với x
- Hàm số x
ya với a0,a1 có đạo hàm với x ax 'axlna
Đặc biệt x ' x e e
Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm hàm số
a)
2x x
y b) sinx
ye
Giải
a) Đạo hàm 3 1 2 3 1
' 2x x ln ' 2x x ln
y x x x
b) Đạo hàm sin sin
' x sin ' xcos
y e x e x
Bài tập luyện tập: Tính đạo hàm hàm số sau
a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)2x d) y = 5x.sin3x
e) y = etanx f) y = x2 3x 2
(5)IV PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT A Phƣơng trình mũ
Vấn đề 1: Đưa số Phương pháp:
( )
( ) ( )
( ) log , 0, 1, ( ) ( ), 0, f x
a f x g x
a b f x b a a b
a a f x g x a a
Ví dụ mẫu Giải phương trình sau
a) 1
2 3x x 5 b)
2x x 4 x
Giải
a) Ta có : 1
6
3 15 15
2 2 log
3 2
x
x x x x
x
Vậy phương trình có nghiệm log615
2
x
b) Ta có:
2
2
8 2(1 )
2
2
8 2(1 )
5
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2, x = -3
Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải phương trình sau
a) 254x = 53x – b)
3x x 9x
c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1 d) 2x + 2x - + 2x - = 3x – 3x - + 3x –
ĐS: a) x = -1/5; b) x = 1, x = -2; c) x = 0; d) x =
Bài 2: Giải phương trình sau
a) 3x.2x+1 = 72 b) 62x+4 = 3x.2x+8
c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60
ĐS a) x = 2; b) x = c) x = 1; x = d) x =
Vấn đề : Đặt ẩn phụ Phương pháp:
Phương trình
.a x ax
Đặt ta tx, 0 ta
.t t
Phương trình .ax.ax 0 Đặt t a tx, 0 ta t
t
Phương trình
x x x
a ab b
Đặt ,
x a
t t
b
ta
.t t
Phương trình .ax.bx 0 với a b 1 Đặt ta tx, 0 ta t
t
Ví dụ mẫu: Giải phương trình:
a) 9x12.3x270 b) 1
(6)Giải a) Ta có : 9x12.3x27 0 3x 212.3x270
Đặt t3x, t >
Ta phương trình:
12 27
9 t
t t
t
Với t = 3x 3 x Với t = 3x 9 x
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1;x2
b) Ta có: 1 10
10 10 99 10.10 99
10
x x x
x
Đặt t10x, t >
Ta phương trình: 10 10
10 99 10 99 10
0,1 ( ) t
t t t
t loai
t
Với t = 10 10x 10 x
Phương trình có nghiệm nhất: x1 c) Ta có
2
49 35 7
5.49 12.35 7.25 12 12
25 25 5
x x x x
x x x
Đặt ,
5 x t t
Ta phương trình:
1
5 12 7
5 t
t t
t
Với t =
5 x
x
Với t =
7
1
5
x
x
Vậy phương trình có hai nghiệm: x0;x1
Bài tập luyện tập
Bài : Giải phương trình :
a) 49x + 4.7x – = (ĐS: x = 0) b) 3x+2 + 9x+1 = (ĐS: x = -1) c) 22x + 1 +3 2x = (ĐS: x = -1) d) 92x +2 - 4.32x + 1 + = (ĐS: PTVN)
e) 52x + 4 – 110.5x + – 75 = (ĐS: x = -1) f)
2
2
x x
(ĐS: x = 0, x =1)
g)
3x2.3x 5 0 (ĐS: x = 1; x = log32) h)
3
x x
e e (ĐS: x = 0, x = ln3
2)
Bài : Giải phương trình :
a) 6.9x -13.6x + 6.4x = (ĐS: x = 1) b)27x12x 2.8x (ĐS: x = 0) c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = (ĐS: x = -2) d) 3.8x4.12x18x2.27x0 (ĐS: x = 1) Bài : Giải phương trình :
a) 2 3 x 2 3x 4 (ĐS: x = 1) b) 35 35 12
x x
(7)Vấn đề : Lơgarit hố
Phương pháp: ( ) ( ) ( ) ( )
log log ( ) ( ) log , , 0, , f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b a b a b
Ví dụ mẫu: Giải phương trình 1 3 2
2x 5x x
Giải
Vì hai vế phương trình đề dương nên lấy logarit số vế ta PT:
5
1 log
x x x x1 log 2 x1x2 x x log 25
Vậy phương trình có nghiệm x = x = + log52
Bài tập luyện tập: Giải phương trình
a) 2x x2 1 (ĐS: x = 0; x= -log23) b) 5 8 100 x
x x
(ĐS: x = 2; x= -log52-1)
c)
1 500
x x x
(ĐS: x = 5; x= -log52) d) 3 8 36
x x x
(ĐS: x = 2; x= -log32 +1) Vấn đề : Dùng tính đơn điệu
Phương pháp:
- Phương trình f x( )a với f(x) tăng giảm tập D có khơng q nghiệm D - Nếu với f(x) tăng giảm tập D f(u) = f(v) u = v với u, v D
Ví dụ mẫu: Giải phương trình 2x 11 x
Giải Ta có: 2x 11 x 2x x 11
Vì 2xx'2 ln 0,x xnên hàm số f x( )2xx tăng R Mặt khác x = nghiệm phương trình
Vậy phương trình có nghiệm x =
Bài tập luyện tập Giải phương trình :
a) 3x + 4x = 5x b)5x = – 3x
c) 2 32 1 x x
d)32-x = x +
B Phƣơng trình lơgarit :
Vấn đề : Đưa số
Phương pháp: với a > 0, a 1 ta ln có log ( ) ( )
log ( ) log ( ) ( ) ( ) b
a
a a
f x b f x a
f x g x f x g x
Ví dụ mẫu: Giải phương trình
a) log2xlog4xlog8x11 b) log5xlog25xlog 5
Giải a) Điều kiện: x >
(8)2
2
2 2
2 2
2
6
log log log 11
log log log 11
1
log log log 11
2
11
log 11
log
2 64
x x x
x x x
x x x
x x x
Vậy phương trình có nghiệm x = 64 b) Điều kiện: x >
Khi đó:
2
2
1
5 25 5 5
5
5 5
5
5
2
5
2
log log log log log log
1
log log .log
2
3
log log
2 log log
3 log log
3
x x x x
x x
x x x x
Vậy phương trình có nghiệm
9
x
Bài tập luyện tập: Giải phương trình :
a)
33
log log log
6
x x x b)log4log2xlog2log4x2
c) log (2 x 3) log (2 x 1) log 52 d)
2 1
2
log (x 3) log 52 log (x 1) log (x1)
e) 2
3
log (x2) log x 4x 4 f) 2
2
log (x1) log x 2x 1
ĐS: a) x = 8; b) x = 16; c) x = 2; d) x = e) x = -29; x = 25; f) 3; x = -5
Vấn đề : Đặt ẩn phụ
1) Giải phương trình : a)
3
log x4log x 3 b) log52 x4log25x 3
c) log5xlog 5x 2 d)log log4
6
x x
e)
2
2
log (4 ) log 8 x
x f)
3
3
log x log x x
Hướng dẫn
a) Điều kiện: x > Khi đặt t = log3x ta phương trình t2 – 4t + =
b) Điều kiện: x > Khi đặt t = log5x ta phương trình t2 – 2t – = c) Điều kiện: x > 0, x Chú ý
5
1 log
log
x
x
(9)e) Điều kiện: x > Chú ý 2 2
2
log (4 )x log x ;
f) Điều kiện: x > 0, x 1/3 Chú ý
3
3
3
3 log
1 log
log
log log
x
x x
x x x
2) Giải phương trình :
a)
5 lg x1 lg x b)
1
1 ln x2 ln x
c)
5 25
log (5x1) log (5x 5) d)
3
log (3x1) log (3x 3) Hướng dẫn
a) Điều kiện: x > 0, x 105, x 10-1 Khi đặt t = logx ta phương trình 5t1t
d) Điều kiện: x > Khi
3 3
log (3x1) log (3x 3) log (3x1) log (3 x1)6
Vấn đề : Mũ hoá
Giải phương trình :
a) log5x (x + 4) = b)
5
2 x 3log 2log (3x5 x) Hướng dẫn
IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ
Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số mũ y = ax
tăng a > giảm < a < Hơn nữa, hàm số mũ nhận giá trị dương với x
Bài 1: Giải bất phương trình (Đưa số)
a) 16x – 4 ≥ b)
9
x
c)
6 9x3x
d) 6
4x x 1 e)
2
4 15
3
2
2 x x
x
f)
2x + > 5x Bài 2: Giải bất phương trình (Đặt ẩn phụ)
a) 22x + + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ c) 1 4x 2x 3
d) 5.4x+2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log
48
g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit
Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số logarit y = loga x với x > tăng a > giảm < a <
Baøi 1: Giải bất phương trình (Đưa số)
a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) –
c) log2( x2 – 4x – 5) < d) log1/2(log3x) ≥
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < Bài 2: Giải bất phương trình (Đặt ẩn phụ)
a) log2
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học
trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS
lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho
học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất
môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
Khoá Học Nâng Cao HSG