Chuyên đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Chuyên đề 2: Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số logarit CHỦ ĐỀ LŨY THỪA HÀM SỐ LŨY THỪA A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I LŨY THỪA Lũy thừa với số mũ nguyên a) Định nghĩa * Cho n Lũy thừa bậc n a tích n thừa số a: an  a.a a n soˆ ' a a    +) am n n an a +)    n b b +)  a.b   an bn n  a m n https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Trong đó: a gọi số n số mũ a0   Với a    n (Chú ý 0  n nghĩa) a  n a  b) Tính chất lũy thừa với số mũ nguyên Định lí 1: Cho a  , b  m, n , ta có: am +) am an  amn +) n  amn a Định lí [Tính chất bất đẳng thức]: Cho m, n Khi đó:  Với a  am  an  m  n  Với  a  am  an  m  n Hệ 1: Với  a  b , n thì:  an  bn  n   an  bn  n  Hệ 2: Với n số tự nhiên lẻ a  b  an  bn Căn bậc n lũy thừa với số mũ hữu tỉ a) Căn bậc n Định nghĩa: Cho a  n * , ta có: b bậc n a  bn  a Nhận xét:  Nếu a  a có bậc n lẻ  Nếu a  a có bậc n chẵn  a  ) Tính chất: Cho a, b  , m, n n a n a  n a (trong n n  n ab  n a n b  n ap   Nếu  a , n p * p, q  Khi đó: n  a  0 p q  n m n a na  , b nb m n b  0 a  mn a a p  m aq ,  a   Đặc biệt n a  mn am a  Cao Tuấn – 0975306275 Số 135A/ Ngõ 189/ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN Chú ý:  Nếu n số nguyên dương lẻ a  b n a  n b  Nếu n số nguyên dương chẵn  a  b b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ n a  n b Định nghĩa: Cho a số thực dương, r số hữu tỉ có dạng r  m , n * m , n m n Lũy thừa a với số mũ r số xác định bởi: a  a  n am r https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ tính chất lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ thực a) Khái niệm luỹ thừa với số mũ thực Cho a  số thực dương  số vô tỉ Xét dãy số hữu tỉ r1 , r2 , rn , mà lim rn   Khi người ta chứng minh dãy số thực ar1 , ar2 , arn , có giới hạn xác định Ta gọi giới hạn lũy thừa a với số mũ  , kí hiệu a Vậy a  lim arn x  b) Công thức lãi kép Định nghĩa: Lãi kép phần lãi kì sau tính số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi kì trước Công thức: Giả sử số tiền gốc A ; lãi suất r% /kì hạn gửi (có thể tháng, quý hay năm)  Số tiền nhận gốc lãi sau n kì hạn gửi A   r  n n n  Số tiền lãi nhận sau n kì hạn gửi A   r   A  A 1  r   1   Ví dụ: Ông Tuấn gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất 8%/năm Tính số tiền lãi thu sau 10 năm Lời giải: Số tiền lãi ông Tuấn thu sau 10 năm là: n 10 A 1  r   A  100tr  1  0,08   1  115,892 tr   GHI NHỚ (về số luỹ thừa 0)  Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số phải khác  Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên số phải dương II HÀM SỐ LŨY THỪA Khái niệm hàm số lũy thừa Định nghĩa: Hàm số luỹ thừa hàm số có dạng y  x ,  số tuỳ ý Từ định nghĩa luỹ thừa, ta có: Hàm số yx Số mũ lũy thừa  nguyên dương y  x  nguyên âm n  y  x  không nguyên  Tập xác định D D \0 D   0;   Người ta chứng minh hàm số lũy thừa liên tục tập xác định Chuyên đề 2: Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số logarit Chú ý: Theo định nghĩa, đẳng thức không đồng với hàm số y  n x ba, xác định với x  n xx n xảy x  Do đó, hàm số y  x  n  Chẳng hạn, hàm số y  * n x hàm số bậc ; hàm số luỹ thừa y  x xác định với x  Đạo hàm hàm số lũy thừa Định lí:  Hàm số luỹ thừa y  x ,    có đạo hàm điểm x   x    x 1  Nếu hàm số u  u  x  nhận giá trị dương có đạo hàm J hàm số y  u  x   có đạo hàm J u  x    u 1  x  u  x    x   n n n x n 1 (với x  n chẵn, với x  n lẻ)  Nếu u  u  x  hàm số có đạo hàm J thoả mãn điều kiện u  x   với x  J n chẵn, u  x   với x  J n lẻ thì:  n   u x  u  x  n n un   x  Sự biến thiên hàm số lũy thừa Xét hàm số lũy thừa y  x có tập xác định chứa khoảng  0;   với   Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y  x khoảng (gọi tập khảo sát) y  x với   y  x với   Tập khảo sát:  0;   Tập khảo sát:  0;   Sự biến thiên y   x 1  với x  Sự biến thiên y   x 1  với x  Hàm số đồng biến Giới hạn: lim y  lim y   x  x 0 Bảng biến thiên x y  + Hàm số nghịch biến Giới hạn: lim y   lim y  Bảng biến thiên x y  y x  x 0    y Đồ thị: Nhận xét: Do 1  với  nên đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I  1;1 Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm toàn tập xác định y α>1 α=1 0