• Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.. • Bình phư[r]
(1)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
Cho hai hàm số y f x y g x có tập xác định Df Dg Đặt D Df Dg Mệnh đề chứa biến "f x g x " gọi phương trình ẩn ; x gọi ẩn số (hay ẩn)
D gọi tập xác định phương trình
x D gọi nghiệm phương trình f x g x "f x0 g x0 " mệnh đề Chú ý: Các nghiệm phương trình f x g x hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số
y f x y g x
2 Phương trình tương đương, phương trình hệ
a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f x1 g x1 f x2 g x2 gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu f x1 g x1 f x2 g x2
• Phép biến đổi khơng làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương
b) Phương trình hệ quả: f x2 g x2 gọi phương trình hệ phương trình f x1 g x1 tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình f x1 g x1
Kí hiệu f x1 g x1 f x2 g x2
c) Các định lý:
Định lý 1: Cho phương trình f x g x có tập xác định D; y h x hàm số xác định D Khi D, phương trình cho tương đương với phương trình sau
1) f x h x g x h x
2) f x h x g x h x h x với x D
Định lý 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho
2
f x g x f x g x
Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần ý
• Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phương trình tìm nghiệm phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định
• Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương hai vế ta thu phương trình tương đương
(2)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
➢ DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 1 Phương pháp giải
-Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f x , g x xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài)
- Điều kiện để biểu thức
• f x xác định f x
•
f x xác định f x
•
f x xác định f x
2 Các ví dụ điển hình
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau:
a) 25
4
x
x b) x x
c) 2x 3x d) 3
3
x x
x x
Lời giải
a) Điều kiện xác định phương trình x2 4 0 x2 4 x 2 b) Điều kiện xác định phương trình 3
2
x x
x
x x
c) Điều kiện xác định phương trình
3
2 2 3
3 2
3 x x
x x
x d) Điều kiện xác định phương trình
3
2
4
3x 2
x x
x x x x
2
2
2
1
1
1
2
x
x x
x
x
x x
x
(3)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
c) x x x d) x 3x 2x 3x
Lời giải
a) Điều kiện xác định phương trình
3
4x 4 3
3 4x
4 x
x x
Thử vào phương trình thấy
4
x thỏa mãn Vậy tập nghiệp phương trình S
4
b) Điều kiện xác định phương trình x2 6x 9 0 x 3 0 x 3 Thay x vào thấy thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệp phương trình S c) Điều kiện xác định phương trình
0
2
3
x x
x x
x x
Khơng có giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy tập nghiệm phương trình S
d) Điều kiện xác định phương trình
2
3
3
x x
x (*)
Dễ thấy x thỏa mãn điều kiện (*) Nếu x
5
5 3 5
(*)
3 5
3 x x
x x
x
Vậy điều kiện xác định phương trình x x
3
Thay x x
3 vào phương trình thấy có x thỏa mãn
Vậy tập nghiệm phương trình S
3 Bài tập luyện tập
(4)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
a) 2
1 x
x x b) x x
c) 2x 4x d) 2
3
x x
x x
Bài 3.1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó:
a) 4x 4x 4x 3 b) x2 x x c) 2x x 2 x d) x3 4x2 5x x x
➢ DẠNG TỐN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ
1 Phương pháp giải
Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng
• Cộng (trừ) hai vế phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho
• Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho
• Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình(hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương
với phương trình cho
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình sau
a) 1 2
3
x x x b)
2 1
2
2
x
x
x x
c) x 3(x4 3x2 2) d) x 1(x2 x 2) Lời giải
a) ĐKXĐ : 2 3
2
6
x x
x
x x
Với điều kiện phương trình tương đương với
1
1 2
3 x x x
x x x
2 9 3
x x
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x b) ĐKXĐ: x
(5)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
2 1 2 3 0 13
2
x x x x x
Đối chiếu với điều kiện ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm
c) ĐKXĐ: x
Phương trình tương đương với 4 23
3
x
x x
2
2
2
3
3
1
1
2
x x
x
x x
x x
x x
Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình
3,
x x x
d) ĐKXĐ: 0
1
x x
x x
x
Với điều kiện phương trình tương đương với
2
1
1
1
2
2
x x
x
x x
x
Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm phương trình x x
Ví dụ 2: Giải phương trình sau
a) 2x 4x2 15 b) x2 3x 3x
c) 2x x d) 2x x
Lời giải
a) ĐKXĐ: 2x2
4x 15 (*)
Với điều kiện (*) phương trình tương đương với
2
2
2
2 15 2x 4x 15
2
4x 2x 12 3
2
x x
x x
(6)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Vậy phương trình có nghiệm x
b) ĐKXĐ:
2
2 3 4 0 0
2
x x x (luôn với x)
Bình phương hai vế phương trình ta
2 3 4 8 3 3 4 9 48 64
x x x x x x x
2 45 105
8 45 60
16
x x x
Thay vào phương trình ta thấy có 45 105 16
x nghiệm phương trình c) Phương trình tương đương với 2x x 2
2
2
4 4
3
3 1
3
x x x x
x
x x
x
Vậy phương trình có hai nghiệm x
3
x
d) Ta có 2x x 2x x
2 2
4x 4x x 2x 3x 6x
0
x x
Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm
Ví dụ 3: Tìm nghiệm x y; với x số nguyên dương phương trình sau
2
20 8x 6x y y 4x Lời giải
Nếu phương trình có nghiệm x y; thìx phải thỏa mãn
20
20 8x 8 7
7 4x
4 x
x x
Vì x số nguyên dương nên x
(7)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
2
(*) y y y y
2 3
4 12
2
y y y
Thử vào phương trình (*) thấy có 3
y thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn đề 1;3 Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
a) mx2 m x m (1) m x2 3x m2 15 (2) b) 2x2 mx (3) 2x3 m x2 m x (4) Lời giải
a) Giả sử hai phương trình (1) (2) tương đương
Ta có 1
2
x
x mx m
mx m
Do hai phương trình tương đương nên x nghiệm phương trình (2) Thay x vào phương trình (2) ta
2
2 15 20
5 m
m m m m
m
• Với m : Phương trình (1) trở thành
1
5 12 7
5 x
x x
x
Phương trình (2) trở thành
1
7 10 10
7 x
x x
x
Suy hai phương trình khơng tương đương
• Với m : Phương trình (1) trở thành
1
4 2
1 x
x x
x
Phương trình (2) trở thành
1
2 1
2 x
x x
(8)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Vậy m 4thì hai phương trình tương đương
b) Giả sử hai phương trình (3) (4) tương đương
Ta có 2x3 m x2 m x x 2x2 mx
2
2
2
x
x mx
Do hai phương trình tương đương nên x nghiệm phương trình (3) Thay x vào phương trình (3) ta 2 m 2 m
• Với m phương trình (3) trở thành
2
2 1
2 x
x x
x Phương trình (4) trở thành 2x3 7x2 4x 4 0 x 2 2x 1 0
2 x
x
Suy phương trình (3) tương đương với phương trình (4) Vậy m
3 Bài tập tự luyện
Bài 3.2: Giải phương trình sau
a) 1 2
2 x x b)
2
3
3
x
x
x x
c) x 1(x2 16) d) 2
2
x
x x
Bài 3.3: Giải phương trình sau
a) x x2 b) 3x2 x x
c) 2x 2x d) 2x 3x
Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
a) x2 mx (1) m x2 m x m (2)
https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/