Phương pháp quy nạp trong các bài toán tổ hợp

Lời cam đoanTôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của GS.TSKH Hà HuyKhoái, luận văn chuyên ngành Toán Đại số với đề tài:”Phương pháp quynạp trong các bài toán tổ hợp” được hoàn

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Hà Huy Khoái, đãđịnh hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp, trườngĐại học Thăng Long đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 4 năm 2016

Tác giả

Lê Thị Thọ

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của GS.TSKH Hà HuyKhoái, luận văn chuyên ngành Toán Đại số với đề tài:”Phương pháp quynạp trong các bài toán tổ hợp” được hoàn thành bởi sự nhận thức vàtìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 4 năm 2016

Tác giả

Lê Thị Thọ

Mục lục

1.1 Phương pháp quy nạp toán học 7

1.2 So sánh và đánh giá 12

1.3 Chứng minh các đồng nhất thức và bất đẳng thức nhờ quy nạp toán học 14

1.4 Bài toán của Fibonacci 16

1.5 Một số đồng nhất thức 19

2 QUY NẠP VÀ CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 22 2.1 Số tập con 22

2.2 Dãy số 23

2.3 Số tập con có thứ tự 25

2.4 Số tập con có kích thước cho trước 26

2.5 Bao hàm - Loại trừ 29

2.6 Một số bài toán tổ hợp 32

2.6.1 Nguyên lý chuồng chim bồ câu 32

2.6.2 Nghịch lý anh em sinh đôi và hàm Logarit 35

2.6.3 Cách chia quà 40

2.6.4 Giải một số bài toán tổ hợp 41

2.7 Hệ số nhị thức và tam giác Pascal 48

2

2.7.1 Tam giác Pascal 502.7.2 Công thức trong tam giác Pascal 51

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Học sinh ở các trường THPT hầu như chưa được học cơ bản về tổ hợp.Không chỉ quan trọng đối với kỳ thi học sinh giỏi, mà tổ hợp là một phầnkhông thể thiếu cho những ai muốn tiếp tục học tập, nghiên cứu và làmviệc có hiệu quả trong những ngành như Toán học, Tin học, Kỹ thuật, hayđơn giản chỉ là để trau dồi tư duy logic, điều mà ai cũng cần trong cuộcsống Trong những cố gắng nâng cao trình độ về tổ hợp cho học sinh, mộtviệc làm quan trọng là cung cấp cho giáo viên và học sinh những tài liệutốt về môn này Yêu cầu đặt ra là tài liệu đó phải trình bầy những kiếnthức cơ bản nhất theo cách tự nhiên, bản chất và dễ hiểu nhất, để họcsinh cảm thấy tổ hợp không quá khó Khi có những kiến thức cơ bản vàchắc chắn, học sinh sẽ tiếp cận bài toán khó một cách dễ dàng

Trong tư duy khoa học, phân tích không phải là phương pháp duy nhất.Ngay trong toán học tính toán, không phải khi nào cũng chứng minh đượcchặt chẽ quá trình tính toán hội tụ, mà việc áp dụng dựa trên sự kiện làchúng thường cho các kết quả phù hợp với thực tế Những kết quả từ quansát và kinh nghiệm còn được sử dụng rộng rãi hơn trong những ngànhkhoa học như Vật lý, Hóa học, Sinh học Trong những ngành đó, bên cạnhphân tích, người ta sử dụng một cách rộng rãi những lập luận quy nạp.Chữ quy nạp có nghĩa là những kết luận được rút ra trên cơ sở quan sát,kinh nghiệm, tức là nhận thức bằng con đường đi từ cái riêng rẽ đến cái

4

tổng quát.

Vai trò của kết luận quy nạp là rất lớn Nó cho những xuất phát điểm

để từ đó, bằng con đường phân tích người ta rút ra những lý thuyết sâuhơn

Vì những lý do trên tôi chọn đề tài: Phương pháp quy nạp trongcác bài toán tổ hợp Khi nghiên cứu và thực hiện đề tài bản thân tôi sẽhiểu rõ hơn về quy nạp toán học và các bài toán tổ hợp Từ đó có thêmkiến thức để hướng dẫn học sinh học tập tốt môn học này

Chúng tôi không có ý định sưu tầm những bài toán khó, mà gần nhưngược lại, phân tích ý tưởng quy nạp dựa trên những bài toán tương đối

dễ Mục tiêu là giúp học sinh hiểu được rằng, quy nạp là phương phápphát hiện ra các mệnh đề toán học chưa biết, chứ không đơn thuần nhưquan điểm rộng rãi hiện nay là quy nạp chỉ dùng để chứng minh mệnh đềcho trước, bằng cách chứng minh "đã đúng đến k thì đúng đến k + 1”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp chứng minh quy nạp toán học vàcác bài toán tổ hợp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán tổ hợp trong chương trình THPT và một số bàitoán nâng cao

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Một số bài toán chứng minh bằng quy nạp toán học, các bài toán tổhợp

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức toán Đại số Tổng hợp, phân tích

6 Dự kiến đóng góp mới

Trình bầy một cách khoa học và dễ hiểu các nội dung liên quan đến đềtài để đồng nghiệp và học sinh có thể tham khảo

6

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

TOÁN HỌC

1.1 Phương pháp quy nạp toán học

Bây giờ ta tìm hiểu các công cụ quan trọng nhất trong toán rời rạc Tabắt đầu bằng câu hỏi:

Cộng n số lẻ đầu tiên lại ta thu được số bằng bao nhiêu?

Có lẽ cách tốt nhất là ta thử tìm câu trả lời bằng thực nghiệm Thử vớicác giá trị n nhỏ, thì thứ ta tìm được là:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100

Dễ dàng nhận thấy ta thu được các số chính phương; thật ra, dường như

từ các ví dụ trên ta có tổng của n số lẻ đầu tiên là n2 Ta đã thấy điềunày với 10 giá trị n đầu tiên; liệu ta có chắc chắn điều này đúng với mọigiá trị? Vâng, tôi muốn nói rằng chúng ta có thể chắc chắn, nhưng trongtoán học thì tin rằng "chắc chắn đúng" chưa đủ Làm thế nào chúng ta cóthể chứng minh khẳng định trên?

Xét tổng với số n tổng quát Số lẻ thứ n là 2n − 1, nên ta thử chứngminh rằng

1 + 3 + · · · + (2n − 3) + (2n − 1) = n2 (1.1)Nếu ta tách số hạng cuối cùng, ta còn lại tổng của (n − 1) số lẻ đầu tiên

1 + 3 + · · · + (2n − 3) + (2n − 1) = 1 + 3 + · · · + (2n − 3)
+ (2n − 1)

Bây giờ, tổng trong dấu ngặc lớn là (n − 1)2, vì nó là tổng của (n − 1) số

lẻ đầu tiên Do đó toàn bộ tổng bằng

(n − 1)2 + (2n − 1) = (n2 − 2n + 1) + (2n − 1) = n2, (1.2)chính là điều ta cần chứng mình

Điều mà ta đã dùng là khẳng định về tổng của n − 1 số lẻ đầu tiên; và

ta biện luận (trong (1.2)) rằng điều này chứng minh khẳng định về tổngcủa n số lẻ đầu tiên Nói cách khác, điều mà chúng ta thực sự làm là chỉra: nếu khẳng định đúng với một giá trị nhất định (n − 1), thì nó cũngđúng với giá trị tiếp theo (n)

8

Điều đó là đủ để kết luận rằng khẳng đúng với mọi n Ta đã thấy nóđúng với n = 1; nên theo trên, nó cũng đúng với n = 2 (ta đã thấy điềunày bằng tích toán trực tiếp, nhưng việc đó không thực sự cần thiết: nóđược suy ra trừ trường hợp n = 1) Theo cách tương tự, tính đúng đắncủa khẳng định với n = 2 kéo theo nó cũng đúng với n = 3, và đến lượt

nó lại kéo theo tính đúng đắn với n = 4, v.v Nếu ta lặp lại điều này đủnhiều, ta thu được tính đúng đắn với giá trị n bất kỳ Do đó khẳng địnhtrên là đúng với mọi giá trị n

Kỹ thuật chứng minh này được gọi là quy nạp (hoặc đôi khi gọi là quynạp toán học, để phân biệt với khái niệm trong triết học) Nó được tómtắt lại như sau

Giả sử rằng ta muốn chứng minh một tính chất của các số nguyên dương.Giả sử thêm ta có thể chứng minh hai điều:

(a) số 1 có tính chất đó, và(b) bất cứ khi nào n − 1 có tính chất đó thì n cũng có tính chất đó(n > 1)

Nguyên lý quy nạp nói rằng nếu (a) và (b) đúng, thì mọi số tự nhiên cótính chất như vậy

Điều này chính là những gì ta làm ở trên Ta đã chỉ ra “tổng” của số lẻđầu tiên là 12, và tiếp theo ta chỉ ra nếu tổng của n − 1 số lẻ đầu tiên là

(n − 1)2, thì tổng của n số lẻ đầu tiên là n2, với mọi số nguyên n > 1

Do đó, theo Nguyên lý quy nạp ta có thể kết luận rằng với mọi số nguyêndương n, tổng của n số lẻ đầu tiên là n2

Thông thường, cách tốt nhất để thử tiến hành chứng minh bằng phươngpháp quy nạp là như sau Đầu tiên ta chứng minh phát biểu đúng vớin = 1.(Việc này đôi khi được gọi là trường hợp cơ sở.) Tiếp theo ta thử chứng

minh phát biểu cho giá trị tổng quát của n, và ta được phép giả sử rằngphát biểu là đúng nếu n được thay bằng n − 1 (Việc này được gọi là giảthiết quy nạp.) Nếu cần thiết, ta cũng có thể dùng tính đúng đắn của phátbiểu với n − 2, n − 3, v.v và một cách tổng quát, với mọi k sao cho k < n.

Đôi khi ta nói rằng nếu 1 có tính chất nào đó, và mọi số nguyên n thừahưởng tính chất đó của n − 1, thì mọi số nguyên dương có tính chất đó.(Cũng giống như nếu người bố của một gia đình có một khoản tài sản, vàmọi thế hệ sau này thừa kế tài sản đó từ thế hệ trước, thì gia đình luônluôn có tài sản này)

Thỉnh thoảng ta không bắt đầu với n = 1 mà bắt đầu với n = 0 (nếuđiều này có nghĩa) hoặc có thể với một giá trị lớn hơn (chẳng hạn, nếu

n = 1 không có ý nghĩa gì với lý do nào đó, hoặc phát biểu không dùngcho trường hợpn = 1) Ví dụ, ta muốn chứng minh rằngn! là một số chẵnnếu n > 1 Ta kiểm tra thấy điều này đúng với n = 2 (thật vậy, 2! = 2 là

số chẵn), và n được thừa kế tính chất này từ n − 1 (thật vậy, nếu (n − 1)!

là số chẵn, thì n! = n · (n − 1)! cũng là số chẵn) Điều này chứng minhrằngn! là số chẵn với mọi nbắt đầu từ trường hợp cơ sở n = 2 Tất nhiên,khẳng định là sai với n = 1

Bài toán 1.1.1 Chứng minh bằng quy nạp và không bằng quy nạp rằng

n(n + 1) luôn là số chẵn với mọi số nguyên dương n

Bài toán 1.1.2 Chứng minh bằng quy nạp rằng tổng của n số nguyêndương đầu tiên là n(n + 1)/2

Bài toán 1.1.3 Nhận xét rằng n(n + 1)/2 là số cái bắt tay giữa n + 1

người Giả sử rằng tất cả mọi người chỉ đếm số bắt tay với người nhiềutuổi hơn mình (khá là lố bịch, phải không?) Ai là người có số bắt taynhiều nhất? Có bao nhiêu người có 6 cái bắt tay? (Chúng ta giả sử rằngkhông có hai người nào bằng tuổi)

10

Dựa vào kết quả của bài tập 1.1.2 chứng minh các kết quả của bạn.

Chúng ta thường dùng chữ “v.v.”: để miêu tả một số lập luận mà phảilặp n lần mới thu được kết quả ta cần, nhưng sau khi lập luận một hoặchai lần, ta nói “v.v.” thay vì tiếp lục lặp lại Không có gì là sai ở đây, nếulập luận đủ đơn giản thì ta có một cách trực quan thấy những chỗ màphép lặp bắt đầu Nhưng sẽ tốt hơn nếu có thể dùng một số công cụ thay

vì “v.v.” trong trường hợp mà kết quả của phép lặp không quá rõ ràng.Cách chính xác để làm điều này là dùng phép quy nạp Giả sử ta chứngminh công thức tính số tập con của một tập n phần tử (đáp án là 2n)

Nguyên lý quy nạp cho ta biết ta phải kiểm tra khẳng định đúng với

n = 0 Việc này là rõ ràng Tiếp theo, ta giả sử rằng n > 0 và khẳng địnhđúng với các tập có n − 1 phần tử Xét tập S có n phần tử, và cố địnhmột phần tử bất kỳ a ∈ S Ta muốn đếm số tập con của S Ta chia chúngthành hai lớp: lớp chứa a và lớp không chứa a Ta đếm chúng một cáchtách biệt

Đầu tiên, ta giải quyết với các tập con mà không chứa a Nếu ta xóa a

khỏi S, ta còn lại tập con S0 có n − 1phần tử, và các tập con ta quan tâmchính là các tập con của S0 Theo giả thiết quy nạp, số tập con như vậy

là 2n−1

Thứ hai, ta xét các tập con chứa a Nhận xét mấu chốt là mỗi tập connhư vậy chứa a và một tập con của S0 Ngược lại, nếu ta lấy bất kỳ tậpcon của S0, ta có thể thêm a vào nó để thu được một tập con của S chứa

a Do đó số tập con của S chứa a bằng số tập con của S0, mà theo giảthiết quy nạp bằng 2n−1

Kết luận: Tổng số tập con của S là 2n−1 + 2n−1 = 2 · 2n−1 = 2n Đ p

c m

1.2 So sánh và đánh giá

Thật tốt nếu có công thức tính các số nhất định (ví dụ, có n! hoán vịcủa n phần tử), nhưng quan trọng hơn là phải có một ý tưởng sơ bộ về độlớn những con số này Ví dụ, số 100! có bao nhiêu chữ số?

Ta bắt đầu với các câu hỏi đơn giản hơn Số nào lớn hơn, n hay n2
?Với n = 2, 3, 4 giá trị n2
là 1, 3, 6, nên nó nhỏ hơn n với n = 2, bằngnhau với n = 3 và lớn hơn với n = 4 Thật ra, n = n1
< n2
nếu n ≥ 4

Còn nhiều điều để nói hơn: Thương

n 2

n − 12

trở lên lớn tùy ý khin đủ lớn; ví dụ nếu ta muốn thương này lớn hơn 1000,

ta có thể chọn n > 2001 Theo ngôn ngữ của giải tích, ta có

n 2

Dưới đây là một câu hỏi đơn giản khác: Số nào lớn hơn, n2 hay 2n? Vớigiá trị n nhỏ, có thể có các kiểu khác nhau: 12 < 21, 22 = 22, 32 > 23,

42 = 24, 52 < 25 Nhưng từ đây trở đi, 2n cất cánh và tăng nhanh hơn n2

Ví dụ 210 = 1024 lớn hơn nhiều so với 102 = 100 Thật ra 2n/n2 lớn tùy

ý với n đủ lớn

Bài toán 1.2.1

(a) Chứng minh rằng 2n > n3
nếu n ≥ 3

(b) Dùng (a) để chứng minh 2n/n2 lớn tùy ý khi n đủ lớn

Bây giờ ta giải quyết vấn đề ước lượng số 100!, hay tổng quát hơn,

n! = 1 · 2 · · · n Nhân tử 1 đầu tiên không ảnh hưởng gì, nhưng tất cả cácnhân tử khác đều ít nhất là 2, nên n! ≥ 2n−1 Tương tự n! ≤ nn−1, vì (bỏqua nhân tử 1) n! là tích của n − 1 nhân tử, mỗi trong số đó đều nhỏ hơn

12

n (Vì tất cả trừ một trong số chúng nhỏ hơn n, nên tích nhỏ hơn nhiều.)

Dễ thấy rằng khi n tăng, n! tăng nhanh hơn 2n: Nếu ta đi từ n tới n + 1,thì 2n tăng với hệ số 2, trong khi n! tăng với hệ số n + 1

Bài toán 1.2.2 Dùng phép quy nạp để chính xác hoá phát biểu trên vàchứng minh rằng n! > 2n nếu n ≥ 4

Dưới đây là công thức đưa ra phép xấp xỉ rất tốt cho n! Ta phát biểu

nó mà không chứng minh, vì chứng minh (mặc dù không hoàn toàn khó)cần đến giải tích

Định lý 1.2.1 [Công thức Stirling]

n! ∼ n

e

n√2πn

Ở đây π = 3.14 là diện tích của hình tròn có bán kính bằng 1, e =2.718 là cơ sở của hàm logarit tự nhiên, và ∼ có nghĩa là phép xấp xỉtheo nghĩa

n!

n e

n√2πn → 1 (n → ∞)

Cả hai số vô tỉ siêu việt e và π xuất hiện trong cùng một công thức!

Ta quay trở lại câu hỏi: Số 100! có bao nhiêu chữ số? Theo công thứcStirling ta biết rằng

và n = k rồi trừ từng vế hai đồng nhất thức nhận được Nếu làm như vậy

mà thấy hiệu các vế trái của các đồng nhất thức bằng hiệu các vế phải,thì do đồng nhất thức đúng với n = k, ta suy ra đồng nhất thức đúng với

n = k + 1, và như vậy do quy nạp toán học, đồng nhất thức đúng với mọigiá trị n

Chẳng hạn, ta sẽ chứng minh rằng, với mọi n đồng nhất thức sau đâynghiệm đúng:

Chứng minh

14

2+ −

12k+

12k + 1− 1

2(k + 1) =

1

k + 2+ +

12k+

12k + 1+

12k + 2 , (1.3.1.2)

Trừ từng vế các đồng nhất thức này cho nhau ta được

12k + 1 − 1

2(k + 1) =

12k + 1 +

12k + 2 − 1

k + 1,

hay là

22(k + 1) =

hay (1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x + kx2.

Do kx2 ≥ 0 nên từ đó suy ra

(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x

Theo quy nạp toán học ta kết luận được rằng bất đẳng thức (1.3.2) đúng

1.4 Bài toán của Fibonacci

Vào thế kỉ XIII, nhà toán học người Italia Leonardo Fibonacci nghiêncứu câu hỏi sau:

Một người nông dân nuôi các con thỏ Sau hai tháng tuổi, mỗicon thỏ sinh ra một thỏ con, và sau đó cứ mỗi tháng lại sinh mộtcon Giả sử các con thỏ không bao giờ chết, và ta xem là không

có thỏ đực Hỏi người nông dân có bao nhiêu con thỏ sau nthángnếu ông ta bắt đầu bằng một con thỏ mới sinh?

Ta dễ dàng hình dung ra đáp án với các giá trị n nhỏ Người nông dân

có một con thỏ trong tháng đầu tiên và một con thỏ trong tháng thứ hai,

vì con thỏ cần đủ hai tháng tuổi trước khi nó biết đẻ Người nông dân có

2 thỏ trong thang thứ ba, và ba con thỏ trong tháng thứ tư, vì con thỏđầu tiên sinh ra một con sau tháng thứ hai Sau 4 tháng, con thỏ thứ haicũng sinh một con thỏ mới, nên hai con thỏ con được thêm vào Điều này

có nghĩa người nông dân có 5 con thỏ sau tháng thứ 5

Dễ dàng suy ra quy tắc tăng trưởng đàn thỏ với số tháng bất kỳ, nếu tachú ý rằng số thỏ mới sinh trong mỗi tháng chính bằng số thỏ ít nhất haitháng tuổi, tức là, những con đã có ở tháng trước Nói cách khác, để tính

số thỏ trong tháng tiếp theo, ta phải cộng thêm số thỏ trong tháng trước

16

đó vào số thỏ trong tháng hiện tại Việc này giúp ta dễ dàng tính lần lượt

số thỏ:

1, 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, 5 + 3 = 8, 8 + 5 = 13,

(Có vẻ Fibonacci không thực sự coi câu hỏi của ông như bài toán ápdụng thực tế; ông làm việc với các con số, chú ý rằng việc này sinh ra cáccon số mới đối với ông, nhưng lại có các tính chất thú vị, như ta sẽ thấy

về sau)

Để viết điều này thành công thức, ta ký hiệu Fn là số thỏ trong thángthứ n Khi đó ta có, với n = 2, 3, 4, ,

ta cũng biết rằng F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5 Để cho tiện, ta

ký hiệu F0 = 0; khi đó phương trình (1.4) vẫn đúng với n = 1, giống nhưđịnh nghĩa của các số này Điều này có gì đó có vẻ không bình thường:thay vì nói cho ta biết Fn là cái gì (theo công thức), ta chỉ đưa ra quy tắctính mỗi số Fibonacci từ hai số liền trước, và chỉ rõ hai giá trị đầu tiên.Định nghĩa như thế này được gọi là phép truy hồi Nó khá giống phép quynạp (ngoại trừ đây không phải là một kỹ thuật chứng minh, mà là mộtphương pháp định nghĩa), và đôi khi được gọi là định nghĩa bằng quy nạp.Bài toán 1.4.1 Tại sao ta phải chỉ rõ hai giá trị đầu tiên? Tại sao khôngphải là một hoặc ba?

Trước khi thảo luận thêm về các số này, ta xét một bài toán đếm khác:Một cầu thang có n bậc Bạn đi lên theo từng bậc một hoặc 2bậc Hỏi có bao nhiêu cách để bạn đi lên?

Với n = 1, chỉ có một cách Với n = 2, bạn có 2 lựa chọn: đi hai lầnbước đơn hoặc đi một lần bước kép Với n = 3, ta có ba cách: ba lần bước

đơn, hoặc một bước đơn rồi một bước kép, hoặc một bước kép rồi mộtbước đơn.

Ta dừng lại và thử đoán đáp án tổng quát! Nếu bạn dự đoán số cách đilên với n bậc là n cách, bạn đã sai Trường hợp tiếp theo,n = 4, có 5 cách(1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2)

Nên thay vì dự đoán, ta thử cách sau Ký hiệu Jn là đáp án Ta thử hìnhdung Jn+1 bằng bao nhiêu, giả sử ta biết giá trị của Jk với 1 ≤ k ≤ n.Nếu ta bắt đầu bằng một bước đơn, ta có Jn cách để đi tiếp n bước cònlại Nếu bắt đầu bằng một bước kép, ta có Jn−1 cách đi lên n − 1bước cònlại Nên tất cả có

Jn+1 = Jn+ Jn−1

Câu hỏi này cũng tương tự như câu hỏi ta đã dùng để tính dãy số Fibonacci

Fn Điều này có phải có nghĩa là Fn = Jn? Tất nhiên là không rồi, như tathấy ở các giá trị ban đầu: Ví dụ, F3 = 2 nhưng J3 = 3 Tuy nhiên, dễthấy rằng tất cả những gì xảy ra là Jn bị di chuyển thành

Fn+1

Điều này đúng với n = 1, 2, và nên tất nhiên đúng với mọi n, vì các dãy

F2, F3, F4, và J1, J2, J3, được tính toán bằng quy tắc giống nhau từgiá trị của hai phần tử ban đầu

Bài toán 1.4.2 Bạn có n đô la để tiêu Mỗi ngày bạn mua một viên kẹovới giá 1 đô la hoặc một cây kem với giá 2 đô la Hỏi bạn có bao nhiêucách tiêu chỗ tiền này?

18

Bắt đầu bằng các số này, không khó để nhận ra rằng bằng cách cộng thêm

1 vào vế phải ta thu được dãy số Fibonacci, thật ra, ta được số Fibonaccisau hai bước của số hạng cuối cùng Ta có

Ta đã kiểm tra công thức đúng với n = 0 và 1 Giả sử rằng công thứcđúng với n − 1 số Fibonacci đầu tiên Xét tổng của n số Fibonacci đầutiên:

F0 + F1 + + Fn = (F0 + F1 + + Fn−1) + Fn = (Fn+1 − 1) + Fn,

theo giả thiết quy nạp Nhưng bây giờ ta có thể dùng phương trình truyhồi của dãy Fibonacci để thu được

(Fn+1 − 1) + Fn = Fn+2 − 1

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 1.5.1 Chứng minh rằng F3n là số chẵn

Bài toán 1.5.2 Chứng minh rằng F5n chia hết cho 5

Bài toán 1.5.3 Chứng minh các công thức sau

(a) F1 + F3 + F5 + + F2n−1 = F2n.(b) F0 − F1 + F2 − F3 + · · · − F2n−1+ F2n = F2n−1− 1

Bây giờ ta muốn phát biểu một công thức khó hơn:

Fn2 + Fn−12 = F2n−1 (1.5)

Dễ dàng kiểm tra được công thức này đúng với nhiều giá trị n, và ta cóthể thuyết phục rằng nó đúng, nhưng để chứng minh nó thì hơi khó hơnmột ít Tại sao công thức này lại khó hơn các công thức trước Bởi vì nếu

ta muốn chứng minh nó bằng quy nạp (ta không thực sự có cách nào kháctại thời điểm này), thì ở vế phải ta chỉ có một số Fibonacci khác, và dovậy ta không biết cách để áp dụng phép truy hồi ở đây

Một cách để khắc phục điều này là tìm công thức tương tự cho F2n, vàchứng minh cả hai công thức bằng quy nạp Với một chút may mắn (haytrực quan sâu sắc?) bạn có thể giả thiết

Fn+1Fn + FnFn−1 = F2n (1.6)Một lần nữa dễ dàng thấy công thức này đúng với nhiều giá trị n, để

20

chứng minh (1.6), ta dùng công thức truy hồi cơ bản (1.4) hai lần:

n, sau đó ta chứng minh (1.5) cho các giá trị tiếp theo (nếu bạn nhìn vàochứng minh, bạn có thể thấy nó chỉ sử dụng các giá trị n nhỏ hơn), và sau

đó sử dụng điều này và các giả thiết quy nạp một lần nữa để chứng minh(1.6)

Thủ thuật này được gọi là quy nạp đồng thời, và nó là một phương pháphữu ích để làm cho phép quy nạp mạnh hơn

tử {a, b, c} ta phải tính nhiều hơn:

Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c} (2.1)

Ta có thể lập thành bảng

Số phần tử trong tập 0 1 2 3

Dựa vào các giá trị trong bảng, ta thấy rằng số tập con là lũy thừa của

2: Nếu tập có n phần tử, thì kết quả là 2n, ít nhất là đúng với các ví dụnhỏ này

22

Không khó để thấy rằng điều này luôn đúng Giả sử bạn phải chọn mộttập con của một tậpAcónphần tử; ta gọi các phần tử này làa1, a2, , an.

Khi đó chúng ta có thể muốn hoặc không muốn bao gồma1, nói cách khác,

ta có thể đưa ra hai lựa chọn ở đây Không quan trọng ta đã quyết địnhnhư thế nào về a1, ta có thể muốn hoặc không muốn bao gồm a2 trongtập con này; điều này có nghĩa có hai lựa chọn, và do vậy tổng số cách ta

có thể chọn về a1 và a2 là 2 · 2 = 4 Bây giờ không quan trọng ta đã chọn

a1 và a2, ta phải quyết định chọn a3, và một lần nữa ta có hai cách Mỗimột trong hai cách này có thể kết hợp với 4 lựa chọn ta có thể đưa ra về

a1 và a2, tạo ra 4 · 2 = 8 khả năng để quyết định về a1, a2 và a3

Ta có thể tiếp tục như vậy: Không quan trọng về k phần tử đầu tiên,

ta có hai lựa chọn về số tiếp theo, và do vậy số khả năng nhân đôi mỗi lần

ta lấy một phần tử mới Để quyết định về tất cả n phần tử của tập hợp,

có bất kỳ sự thay đổi bản chất Chúng ta có thể thấy rằng với phần tửđầu tiên của chuỗi, chúng ta có thể chọn bất kỳ phần tử từ a, b và c, tức

là, chúng ta có 3 lựa chọn Không quan trọng chúng ta chọn cái gì, có 3lựa chọn cho phần tử thứ hai của chuỗi, do đó, số cách để chọn hai phần

tử đầu tiên là 32 = 9 Tiến hành theo cách thức tương tự, chúng tôi nhận

thấy số cách để chọn toàn bộ chuỗi là 3n.

Trong thực tế, số 3 không có vai trò đặc biệt gì ở đây; lập luận tương

tự ta chứng minh định lý sau:

Định lý 2.2.1 Số chuỗi có độ dài n gồm k phần tử là kn

Bài toán sau đây dẫn tới tổng quát hóa của câu hỏi này Giả sử rằng một

cơ sở dữ liệu có 4 trường: trường đầu tiên chứa tên viết tắt của người laođộng gồm 8 ký tự, trường thứ hai là M hoặc F cho giới tính, trường thứ 3

là ngày sinh của người lao động dưới dạng tháng-ngày-năm (bất chấp vấn

đề không thể phân biệt được các nhân viên sinh năm 1880 với các nhânviên sinh năm 1980); và trường thứ 4 là mã nghề trong số 13 mã Hỏi cótất cả bao nhiêu dữ liệu khác nhau?

Số dữ liệu tất nhiên sẽ rất lớn Trường thứ nhất có thể chứa 268 >200.000.000.000 tên (phần lớn trong số chúng sẽ rất khó để phát âm vàkhó có thể xảy ra, nhưng ta phải đếm tất cả số trường hợp) Trường thứhai có hai khả năng Trường thứ 3 có thể được coi là 3 trường riêng biệt,

có tương ứng 12, 31, và 100 khả năng (một số tổ hợp của chúng sẽ khôngbao giờ xảy ra, ví dụ 04-31-76 hay 02-29-13, nhưng ta bỏ qua điều này).Trường cuối cùng có 13 khả năng

Bây giờ ta xác định cách các trường này được kết hợp với nhau Ta cólặp lại lập luận như trên, theo thứ tự “3 cách chọn” được thay bằng “268

Định lý 2.2.2 Giả sử ta muốn lập một chuỗi có độ dài nbằng một tập bất

kỳ có k1 ký hiệu làm phần tử đầu của chuỗi, một tập bất kỳ có k2 ký hiệu

24

làm phần tử thứ hai của chuỗi, v.v., một tập bất kỳ có kn ký hiệu làm phần

tử cuối của chuỗi Khi đó tổng số chuỗi được lập thành là k1 · k2· · · kn

Một trường hợp đặc biệt khác, xét bài toán sau: có bao nhiêu số nguyênkhông âm có đúng n chữ số (theo hệ số thập phân)? Rõ ràng chữ số đầutiên có thể là số bất kì trong 9 số (1, 2, , 9), trong khi chữ số thứ hai,thứ ba, v.v., có thể là số bất kì trong 10 số Do đó ta thu được một trườnghợp đặc biệt của câu hỏi trước với k1 = 9 và k2 = k3 = · · · = kn = 10 Do

đó đáp án là 9 · 10n−1

Bài toán 2.2.1 Vẽ một cây minh họa cách ta đếm số chuỗi có độ dài 2

từ các ký tự a, b và c và giải thích Làm tương tự với bài toán tổng quáthơn khi n = 3, k1 = 2, k2 = 3, k3 = 2

Bài toán 2.2.2 Trong cửa hàng thể thao có các áo cộc tay có 5 kiểu màukhác nhau, quần có 4 kiểu màu khác nhau và tất có 3 kiểu màu khác nhau

Có tất cả bao nhiêu kiểu đồng phục mà bạn có thể chọn từ các bộ này?

2.3 Số tập con có thứ tự

Trong cuộc thi có 100 vận động viên điền kinh, chỉ có thứ tự của 10người đầu tiên được ghi lại Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể của cuộc thi?Câu hỏi này có thể được trả lời theo các lập luận ta đã thấy Vị trí đầutiên có thể là vận động viên bất kì; không quan trọng ai thắng, có 99 khảnăng người thắng thứ 2, nên hai giải thưởng đầu tiên có thể có 100 · 99

cách khác nhau Lấy ra 2 vận động viên đầu tiên, còn 98 vận động viên cóthể lấy vị tr thứ 3, v.v Nên đáp án là 100 · 99 · 91

Bài toán 2.3.1 Minh họa lập luận trên bằng một cây

Bài toán 2.3.2 Giả sử rằng ta ghi lại thứ tự của tất cả 100 vận độngviên

(a) Có bao nhiêu kết quả khác nhau có thể?

(b) Có bao nhiêu trong số các kết quả có 10 vị trí đầu tiên giống nhau?(c) Chứng minh rằng kết quả về mười vị trị đầu tiên bên trên có thểthu được từ các kết quả (a) và (b)

Không có gì đặc biệt liên quan đến số 10 hay 100 ở bài toán trên; ta cóthể tiến hành cho n vận động viên với k vị trí đầu tiên được ghi lại

Để đưa ra dạng toán học, ta thay các vận động viên bằng tập bất kỳ

có kích thước n Danh sách k vị trí đầu tiên được thay bằng một dãy k

phần tử được chọn trong số n phần tử, mà tất cả đều phải khác nhau Tacũng có thể coi việc này như chọn một tập con từ các vận động viên chứa

Kiểm tra lại rằng kết quả này giống như trong Định lý 2.3.1

Bài toán 2.3.4 Giải thích sự giống và khác nhau giữa lời giải của bàitoán đếm trong Định lý 2.3.1 và Định lý 2.1.1

2.4 Số tập con có kích thước cho trước

Từ đây, ta dễ dàng suy ra được một trong các kết quả đếm quan trọngnhất

Chứng minh Nhắc lại rằng nếu ta đếm tập con có thứ tự, theo Định lý2.3.1 ta được n(n − 1) (n − k + 1) = n!/(n − k)! Tất nhiên, nếu ta muốnbiết số tập con không phân biệt thứ tự, thì ta đã tính được, mọi tập conđược đếm đúng k! lần (với mọi thứ tự đều có thể) Nên ta phải chia số nàycho k! để thu được số tập con với k phần tử (mà không có thứ tự) 

Số tập con có k phần tử của tập n phần tử là một đại lượng quan trọng

mà ta có một ký hiệu đặc biệt cho nó: nk
(đọc là “chập k của n”) Do đó

nk

Giá trị của nn
là 1, vì một tập có n phần tử có đúng một tập con có n

phần tử, chính là nó Có thể hơi lừa gạt khi thấy rằng n0
= 1, cụ thể làtập rỗng Điều này thậm chí còn đúng với tập rỗng, nên 00
= 1

Bài toán 2.4.1 Lập bảng giá trị của nk
với 0 ≤ k ≤ n ≤ 5

Bài toán 2.4.2 Tìm các giá trị của nk
với k = 0, 1, n − 1, n bằng (2.2),

và giải thích kết quả theo ý nghĩa tổ hợp của nk

Hệ số nhị thức thỏa mãn nhiều đẳng thức quan trọng Trong định lýtiếp theo chúng ta liệt kê ra một vài trong số chúng; một số đẳng thứckhác sẽ xuất hiện trong bài tập tiếp theo

Định lý 2.4.2 Hệ số nhị thức thỏa mãn các đẳng thức sau:

nk