Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MỸ LỆ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MỸ LỆ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG HUY RUẬN Hà Nội - Năm 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức phương pháp quy nạp toán học 1.1 Nguồn gốc phương pháp quy nạp toán học 61.2 Quy nạp quy nạp toán học 81.3 Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học 12 1.3.1 Nguyên lí quy nạp toán học 13 1.3.2 Phương pháp quy nạp toán học 15 1.3.3 Các ví dụ 17 22 1.4.1 Hình thức quy nạp chuẩn tắc 22 1.4.2 Hình thức quy nạp nhảy bước 26 1.4.3 Hình thức quy nạp kép 31 1.4 Một số hình thức phương pháp quy nạp toán học Ứng dụng phương pháp quy nạp toán học giải toán 2.1 Phương pháp quy nạp toán học toán số học, đại số, giải tích 2.1.1 Một số toán chia hết chia có dư 2.1.2 Một số toán dãy số 2.1.3 Một số toán tính tổng chứng minh đẳng thức 2.1.4 Một số toán chứng minh bất đẳng thức 2.2 Phương pháp quy nạp toán học toán hình học 2.2.1 Tính toán quy nạp 2.2.2 Chứng minh quy nạp 35 50 353541 70 61 70 76 2.2.3 Dựng hình quy nạp 2.2.4 Quy nạp với toán quỹ tích 82 85 2.3 Phương pháp quy nạp toán học toán rời rạc khác Một số đề thi tham khảo 89 101 Đ ề t h i O l y m p i c t o n h ọ c q uốc tế 101 3.2 Đề thi vô địch nước khu vực 103 Mở đầu Nhà toán học vĩ đại Euclid viết "Trong thực tế, nhiều tính chất số biết tìm phép quy nạp tìm thấy lâu trước đắn chúng chứng minh chặt chẽ Cũng có nhiều tính chất quen thuộc với thời chưa chứng minh Chỉ có đường quan sát tư quy nạp dẫn đến chân lý." Câu nói phần lột tả tầm quan trọng phép quy nạp sống, khoa học toán học Tuy nhiên, trình quy nạp trình từ "tính chất" số cá thể suy "tính chất" tập thể nên lúc Phép suy luận thỏa mãn điều kiện định Trong toán học vậy, trình suy luận thỏa mãn nguyên lý quy nạp Trong toán học có nhiều toán giải hay chứng minh theo phương pháp thông thường khó khăn phức tạp, phương pháp quy nạp toán học lại công cụ đắc lực giúp giải toán Trong chương trình toán học phổ thông, phương pháp quy nạp đề cập đến lớp 11, phương pháp đề cập phạm vi hạn chế, chưa mô tả cách hệ thống, chưa nêu rõ ứng dụng phương pháp Số học, Đại số, Hình học, Từ niềm yêu thích môn Toán nói chung phương pháp quy nạp nói riêng, mong muốn nghiên cứu phương pháp cách sâu hệ thống, mong muốn tích lũy kiến thức toán học nhiều hơn, có chuyên môn vững vàng hơn, tác giả lựa chọn đề tài "Phương pháp quy nạp với toán phổ thông" Cuốn luận văn nhằm đưa nhìn tổng quan phương pháp quy nạp toán học, từ nguyên lý hình thức phương pháp đến tập áp dụng phân môn khác Hệ thống tập đưa phong phú Tác giả sưu tầm số đề thi Olympic toán quốc gia quốc tế giải phương pháp Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày nguồn gốc phương pháp quy nạp kiến thức phương pháp quy nạp toán học Chương 2: Trình bày ứng dụng phương pháp quy nạp giải toán, bao gồm số toán số học, đại số, giải tích, hình học số toán rời rạc khác Chương 3: Gồm số toán tham khảo trích đề thi IMO đề thi vô địch nước khu vực LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Đặng Huy Ruận, Thầy quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả tận tình suốt thời gian thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Cô khoa Toán - Cơ - Tin học, người tham gia giảng dạy, truyền thụ cho tác giả kiến thức vô quý báu Tác giả xin cảm ơn Thầy Cô phòng Đào Tạo sau Đại học trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên Đại học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện tốt cho tác giả bạn suốt thời gian học tập Mặc dù tác giả cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận dạy Quý Thầy Cô ý kiến đóng góp quý độc giả Tác giả xin chân thành cảm ơn Chương Kiến thức phương pháp quy nạp toán học 1.1 Nguồn gốc phương pháp quy nạp toán học (Trích tài liệu tham khảo [11]) Khi ta tính số tam giác Pascal cách áp dụng công thức truy toán, ta phải dựa vào hai số tìm trước cạnh đáy Phép tính độc lập dựa vào công thức quen thuộc Cr = n(n − 1)(n1− 2) r(n − r + 1) n mà ta gọi công thức tường minh để tính hệ số nhị thức Cr n Công thức tường minh có công trình Pascal (trong diễn đạt lời kí hiệu đại) Pascal không cho biết ông làm để công thức (có thể lúc đầu đoán- ta thường phát quy luật tương tự nhờ quan sát lúc đầu, sau thử khái quát kết có được) Tuy vậy, Pascal đưa cách chứng minh xuất sắc cho công thức tường minh Công thức tường minh dạng viết không áp dụng trường hợp r = Tuy vậy, ta quy ước r = 0, theo định nghĩa C0 = n Còn trường hợp, r = n công thức không ý nghĩa ta có Cn = n(n.−.3 nn− 2) 2.1 = 1)( n 12 ( − 1)n Ta chứng minh n-giác chia theo cách n a) Điều kiện cần Giả sử n-giác chia thành tam giác thỏa mãn ba điều kiện Ta chứng minh n Gọi tổng số cạnh tất tam giác đen x; tổng số cạnh tất tam giác trắng y 98 Vì hai tam giác chung cạnh có màu khác cạnh đa giác cạnh tam giác đen nên x = y + n, mà x 3, y 3, nên n b) Điều kiện đủ Giả sử n-giác T có n Ta cần chia T thành tam giác thỏa mãn ba điều kiện Vì n 3, nên tồn số nguyên dương k, cho n = 3k Ta chứng minh quy nạp theo k (1)Cơ sở quy nạp Với k = 1, ta có tam giác, chia hình 2.14 Hình 2.14 (2)Bước quy nạp Giả sử đa giác có n = 3k cạnh, ta chia thành tam giác thỏa mãn ba điều kiện Ta cần chứng minh đa giác có n = 3(k + 1) cạnh chia Xét đa giác có n = 3(k + 1) cạnh A1A2 A3k+2A3k+3 Hình 2.15 Theo giả thiết quy nạp, đa giác có 3k cạnh A1A2 A3k chia thành tam giác thỏa ba điều kiện 99 Còn lại ngũ giác A1A3kA3k+1A3k+2A3k+3, A1A3k cạnh tam giác đen, ta chia tiếp ngũ giác Có nhiều cách, chẳng hạn lấy M thuộc miền ngũ giác, tô tam giác A1M A3k màu trắng; lúc lục giác A1M A3kA3k+1A3k+2A3k+3 dễ dàng chia thành tam giác thỏa mãn ba điều kiện Như vậy, đa giác có n = 3(k + 1) cạnh ta chia theo cách Bài toán chứng minh 100 Chương Một số đề thi tham khảo 3.1 Đề thi Olympic toán học quốc tế Bài toán 50 (IMO 1977) Cho hàm f xác định tập hợp số nguyên dương nhận giá trị nguyên dương Giả sử với n ta có: n + > f (f (n)) Chứng minh f (n) = n với n Hướng dẫn Chứng tỏ f (1) < f (2) < f (3) quy nạp Gọi S(n) phát biểu: Nếu r ≤ n m > r f (r) < f (m) Chứng minh f (m) ≤ m f (m) ≥ m với giá trị m, nên f (m) = m, với m Bài toán 51 (IMO 1979) Một ếch nhảy từ đỉnh A đến đỉnh đối tâm E hình bát giác Tại đỉnh bát giác trừ đỉnh E, ếch nhảy bước tới hai đỉnh kề Đến E ếch dừng lại Gọi an số đường phân biệt ếch từ A đến E n bước √ √ nhảy Chứng minh a2n−1 = 0, a2n = √ [(2 + 2)n−1 − (2 − 2)n−1] Hướng dẫn Mỗi bước ếch nhảy thuận chiều kim đồng hồ ta biểu thị dấu cộng bước ếch nhảy ngược chiều kim đồng hồ ta biểu thị dấu trừ Lúc đường phân biệt ếch có n bước nhảy biểu thị dãy n dấu cộng trừ Dễ thấy dãy có hai tính chất 101 (i) Số dấu cộng trừ chênh (ii) Một dãy gồm dấu thứ đến dấu thứ m, với m < n tùy ý có dấu cộng trừ chênh không Ta thấy a2n−1 = dãy gồm 2n − dấu số dấu cộng số dấu trừ phải có số lẻ số chẵn nên chênh 4, thỏa mãn tính chất (i) Xét dãy 2n dấu có số dấu cộng nhiều số dấu trừ (ứng với đường đến E qua D, gọi tắt dãy dãy cộng 2n Số dãy cộng 2n b2n = a2n Chứng minh quy nạp công thức b2n = 4b2n−2 − 2b2n−4 Bài toán 52 (IMO 1997) Với số nguyên dương n, ta kí hiệu f (n) số tất cách biểu diễn n tổng lũy thừa với số mũ nguyên không âm Các biểu diễn khác thứ tự xếp số hạng tổng xem giống Ví dụ, f (4) = 4, = 2 = + = 21 + + = + + + Chứng minh với n ≥ 3, ta có: n2 n2 < f (2n) < 2 Hướng dẫn Nếu n số lẻ, biểu diễn n tổng lũy thừa với số mũ nguyên không âm, tổng phải xuất 20 Nhận xét giúp ta thiết lập tương ứng 1-1 tổng n tổng n − Nói cách khác: f (2n + 1) = f (2n) Nếu n chẵn Ta thiết lập tương ứng 1-1 tổng n mà có chứa 20 với tổng n − Các tổng n mà không chứa tương ứng 1-1 với tổng n Như vậy, ta có: f (2n) = f (2n − 1) + f (n) = f (2n − 2) + f (n) Các đẳng thức chứng tỏ f hàm đơn điệu tăng 102 Áp dụng hệ thức nhiều lần để tính f (2n+1), ta có: f (2n+1) = f (2n+1 − 2n) + f (2n − 2n−1 + 1) + + f (2n − 1) + f (2n) = f (2n)+f (2n−1)+ +f (2n−1+1)+f (2n), n2 (*) suy f (2 n+1) ≥ (2n−1 + 1)f (2n) Ta chứng minh f (2n) < 2 quy nạp Áp dụng (*) nhiều lần ta có: f (2n+1) = f (2n) + f (2n − 1) + + f (3) + f (2) + f (1) + n2 Để chứng minh < f (2n), ta sử dụng bổ đề sau (**) Bổ đề: Ta có f (1) + f (2) + + f (2r) ≥ 2rf (r) Áp dụng bổ đề cho (**) ta được: (***) f (2n+1) > 2n+1f (2n−1) n2 Từ (***), quy nạp chứng minh < f (2n) 3.2 Đề thi vô địch nước khu vực Bài toán 53 (Putnam, 1997) Cho dãy số an xác định a1 = 2, an+1 = 2an Chứng minh an ≡ an−1(modn) với n ≥ Hướng dẫn Chứng minh: an ≡ an−1(modm) với m ≤ n quy nạp Kết hiển nhiên với n = Giả sử kết với k < n Ta phải chứng minh an ≡ an−1(modm) với m ≤ n, nghĩa 2an−1 ≡ 2an−2(modm) với m ≤ n Đặt m = 2r(2s + 1), theo định lý Euler: 2ϕ(2r+1) ≡ 1(mod2r + 1), ϕ(2r + 1) ≤ 2r + ≤ m ≤ n, theo giả thiết quy nạp ta có: an−1 ≡ an−2(modϕ(2r + 1)), suy 2an−1 ≡ 2an−2(mod2r + 1) Hiển nhiên ta có 2s| 2an−1 2s| 2an−2 nên 2an−1 ≡ 2an−2(mod2s) 103 Nhưng (2r + 1) 2s nguyên tố nhau, đó: 2an−1 ≡ 2an−2(modm) với m ≤ n Suy điều phải chứng minh Bài toán 54 (Putnam, 1999) Cho u1 = 1, u2 = 2, u3 = 24 với n ≥ u n = n 6u2−1un−3 − 8un−1u2−2 n un−2un−3 Chứng minh un bội n Hướng dẫn Đặt = uun n− K (*) = 6vn−1 − 8vn−2 Chứng minh quy nạp = A2n + B4n Nhưng ta có: v2 = u2 = 2, v3 = u3 = 12, u1 u2 nên ta vn+1 = 4n − 2n( ( ) ) Suy un = 4n−1 − 2n−1 4n−2 − 2n−2 (4 − 2) Với số p nguyên tố, 4p−1 ≡ 2p−1(modp), p chia hết 4p−1 − 2p−1, p chia hết 4s − 2s, với s bội p − Nếu pr chia hết n, tồn r bội số p − nhỏ n Do đó, pr chia hết un Từ suy n chia hết un Bài toán 55 ([2]) Cho trước số tạ mà trọng lượng số tự nhiên Biết phân chúng thành k nhóm có trọng lượng k ≥ Chứng minh có không k cách chọn tạ cho tạ lại chia thành k nhóm có trọng lượng Hướng dẫn Ta gọi tạ chọn lại chia thành k nhóm có trọng lượng Các tạ tính chất gọi tạ không 104 Giả sử kết luận toán sai, nghĩa số tạ nhỏ k Khi ta có mệnh đề sau: Với số tự nhiên n, trọng lượng tạ không bội kn Chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp Một tạ trọng lượng số tự nhiên a Rõ ràng a < 2a+1, theo mệnh đề a chia hết cho 2a+1, nên a ≥ 2a+1, mâu thuẫn suy ta có điều phải chứng minh Bài toán 56 ([2]) Trong bảng kích thước m ⋅ n, người ta viết số cho lấy hai dòng hai cột bảng tạo thành hình chữ nhật tổng số hai đỉnh đối diện tổng số hai đỉnh đối diện khác Người ta xóa số cho từ số lại xác định số xóa Chứng minh số lại không nhỏ (n + m − 1) số Hướng dẫn Ta chứng minh khẳng định toán phương pháp quy nạp theo m + n Không tính tổng quát, ta coi n ≥ m Ta chứng tỏ số số lại bé (n + m − 1) bảng không xác định Bài toán 57 ([2]) Ta gọi tam giác Pascal tam giác số số biên 1, số tổng hai số hàng gần Có số không chia hết cho p p hàng đầu? (p số nguyên tố cho trước, n số tùy ý.) Hướng dẫn Kí hiệu số hàng thứ n, chỗ thứ k tính từ bên trái (số biên coi thứ 0) bảng tam giác Ck Bằng quy nạp ta chứng minh n Ck = k!(nn− k)! ! n 105 Ck = Ck−1 + Ck−1 n n n− Do p số nguyên tố nên Ck p, k = 1, 2, , p − 1, tức trừ hai số biên, p dòng thứ p bảng gồm toàn số bội p Từ quy nạp ta hứng minhnsố số không chia hết [ c ] cho p p n dòng đầu bảng p (p + 1) Kỳ thi Olympic truyền thống 30/4 lần thứ XIII thành phố Huế Bài toán 58 ([1]) Cho dãy số (xn) xác định x1 = 2, xn+1 = 12− 2xxn + n với n = 1, 2, Chứng minh xn ̸= với n Chứng minh dãy số không tuần hoàn Hướng dẫn Bằng quy nạp chứng minh xn = tan (nα), tan α = Từ x2m = tan (2mα) = tan (2mα) ) = 2xm2 Giả sử xn = với n = 2m − tan (mα −x m Khi ta có xm = Xét n = 2k(2s + 1) với k, s số nguyên không âm Lập luận tương tự, ta suy x2s+1 = Do + x2s = ⇒ x = −2 ⇒ 2xs = −2 2s − 2x2s − x2 s Giải phương trình ta hai nghiệm vô tỷ Vô lý Từ ta thấy với n lẻ, xn ̸= Vậy xn ̸= với n Giả sử có m, n cho xm+n = xn Khi tan(m + n)α − tanmα = cos(msinn)αcosnα = mα + Như xm = tan mα = Điều mâu thuẫn với (1) 106 Kết luận Phương pháp quy nạp phương pháp chứng minh cổ điển, công cụ sử dụng đắc lực giải toán học, không dừng lại toán mà vận dụng nhiều toán thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán học quốc tế Luận văn hoàn thành đạt kết sau: • Trình bày nguồn gốc phương pháp quy nạp, làm rõ quy nạp quy nạp toán học • Nêu nguyên lý quy nạp toán học, phương pháp quy nạp toán học, khắc sâu hai bước: Bước sở bước quy nạp tầm quan trọng phải thực đầy đủ hai bước này, thông qua ví dụ phản ví dụ • Nêu số hình thức phương pháp quy nạp ví dụ minh họa • Sưu tầm hệ thống toán phong phú ứng dụng phương pháp quy nạp phân môn khác Toán học: số học, đại số, giải tích, hình học Đặc biệt, luận văn sưu tầm số đề thi Olympic toán quốc gia quốc tế giải phương pháp Luận văn kết trình tích luỹ, học hỏi nội dung phương pháp quy nạp toán học Hy vọng luận văn tài liệu có ích với độc giả quan tâm đến phương pháp Tuy cố gắng, điều kiện thời gian, lực thân hạn chế, luận văn không 107 tránh khỏi thiếu sót Trong thời gian tới, tác giả dành nhiều thời gian để nghiên cứu, tìm hiểu sâu đề tài Tác giả kính mong nhận dạy Quý Thầy Cô ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn 108 Tài liệu tham khảo [1] Ban tổ chức kì thi (2007), Tuyển tập đề thi Olympic, 30 tháng 4, lần thứ XIII-2007, Toán học, NXB đại học sư phạm [2] Lê Trần Chính, Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Lộc, Vũ Văn Thỏa (2000), Tuyển tập 200 thi vô địch toán (Số học đại số), NXB Giáo dục [3] Doãn Minh Cường (chủ biên), Phạm Minh Phương, Trần Văn Tấn, Nguyễn Thị Thanh Thủy (2004), Toán bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông THCS, tập 1- Số học, NXB đại học sư phạm [4] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp quy nạp toán học, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Hữu Điển (2010), Olympic toán năm 2000, 33 đề thi lời giải, NXB Giáo dục [6] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2006), Đại số Giải tích nâng cao 11, NXB Giáo dục [7] Trần Hữu Nam (2015), Toán học tuổi trẻ, (453), tr.23 [8] Đặng Huy Ruận (2002), Sáu phương pháp giải toán không mẫu mực, NXB Khoa học Kỹ thuật [9] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2002), 40 năm Olympic Toán học Quốc tế, NXB Giáo dục 109 [10] G.Polya (2009), người dịch: Hồ Thuần, Bùi Tường, Giải toán nào, NXB Giáo dục [11] G.Polya (2010), người dịch: Hà Sĩ Hồ, Hoàng Chúng, Lê Đình Phi, Nguyễn Hữu Chương, Hồ Thuần, Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục [12] G.Polya (2010), người dịch: Nguyễn Sỹ Tuyển, Phan Tất Đắc, Hồ Thuần, Nguyễn Giản, Toán học suy luận có lí, NXB Giáo dục [13] L.I.Golovina, I.M.Yaglom (1987), người dịch: Khống Xuân Hiền, Phép quy nạp hình học, Sở Giáo Dục Nghĩa Bình 110 ... Mở đầu Kiến thức phương pháp quy nạp toán học 1.1 Nguồn gốc phương pháp quy nạp toán học 61.2 Quy nạp quy nạp toán học 81.3 Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học ... quy nạp nhảy bước 26 1.4.3 Hình thức quy nạp kép 31 1.4 Một số hình thức phương pháp quy nạp toán học Ứng dụng phương pháp quy nạp toán học giải toán 2.1 Phương pháp quy. .. vận dụng lần phương pháp suy luận mẻ, thường gọi phương pháp quy nạp toán học 1.2 Quy nạp quy nạp toán học (Trích tài liệu tham khảo [10]) Quy nạp trình nhận thức quy luật chung cách quan sát