Phương pháp biến phân cho lớp bài toán dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu p(x) – laplacian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ HÀ VĂN SƠN PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN CHO LỚP BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KIỂU P (X)-LAPLACIAN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THÀNH CHUNG Huế, Năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, luận văn cơng trình nghiên cứu hướng dẫn trực tiếp thầy giáo TS Nguyễn Thành Chung Trong trình nghiên cứu đề tài luận văn, kế thừa thành khoa học nhà Toán học nhà Khoa học với trân trọng biết ơn Tác giả Hà Văn Sơn ii LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo TS Nguyễn Thành Chung, cảm ơn lời động viên, nhắc nhở Thầy suốt trình hướng dẫn khoa học cho tơi Thầy giúp tơi vượt qua khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo giảng dạy lớp cao học Tốn Khóa 23 trường ĐHSP Huế tồn thể thầy khoa Tốn trường ĐHSP Huế giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng Sau Đại học trường ĐHSP Huế tạo điều kiện để tơi hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hồn thiện Cuối cùng, tơi xin chia sẻ niềm vui lớn với bạn bè, người thân gia đình tơi, người ln sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn! iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Mở đầu Kiến thức bổ trợ 1,p(x) 1.1 Không gian Sobolev W0 (Ω) 1.2 Một số vấn đề phương pháp biến phân 14 Bài tốn biên Dirichlet phương trình elliptic kiểu p(x)Laplacian 20 2.1 Giới thiệu toán 20 2.2 Sự tồn tính đa nghiệm yếu 23 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 MỞ ĐẦU Như biết, tốn biên elliptic phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ mơ hình toán độc lập thời gian ngành khoa học kỹ thuật (xem [12]) Bên cạnh tốn biên elliptic mơ tả khơng gian Sobolev với số mũ thường W 1,p (Ω), bắt gặp mơ hình tốn khơng nhất, chẳng hạn số toán liên quan đến chất lỏng điện biến (hay cịn gọi chất lỏng thơng minh) thường nhà tốn học mơ tả không gian Sobolev với số mũ biến thiên W 1,p(x) (Ω), p(x) hàm số Trong năm gần đây, có nhiều phương pháp nhà toán học đưa để nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn biên elliptic khơng tuyến tính, phương pháp bậc tơ pơ, phương pháp nghiệm - nghiệm dưới, phương pháp điểm bất động, phương pháp biến phân, Mỗi phương pháp có ưu điểm hạn chế riêng áp dụng cho lớp toán cụ thể Trong số phương pháp kể trên, đặc biệt quan tâm đến phương pháp biến phân Về nguyên tắc, theo phương pháp này, để tìm nghiệm yếu tốn biên elliptic ta quy tìm điểm tới hạn phiếm hàm khơng gian hàm thích hợp Cùng với phát triển mạnh mẽ việc nghiên cứu tốn biên elliptic khơng tuyến tính, cơng cụ phương pháp biến phân ngày cải tiến Ngồi ngun lí cực tiểu thường áp dụng cho phiếm hàm bị chặn dưới, nhà toán học phát triển lý thuyết tồn điểm tới hạn thông qua định lí kiểu minimax Một định lí đề cập luận văn có tên định lí Qua núi đề xuất chứng minh Ambrosetti Rabinowitz [3] vào năm 1973 Định lí nhà toán học áp dụng rộng rãi nghiên cứu tồn nghiệm tốn biên elliptic khơng tuyến tính mà phiếm hàm liên kết với khơng bị chặn Bên cạnh quan tâm đến số công cụ khác định lí Minty-Browder hay định lí tồn vô hạn nghiệm phiếm hàm chẵn Nội dung luận văn dựa việc tham khảo kết nghiên cứu báo [10] Ngoài lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức bổ trợ Chương dành để trình bày kiến thức liên quan dùng luận văn không gian Sobolev với số mũ biến thiên số nguyên lí biến phân Chương Bài tốn biên Dirichlet phương trình elliptic kiểu p(x)Laplacian Trong chương này, giới thiệu lớp tốn biên Dirichlet kiểu p(x)-Laplacian có dạng sau   −∆p(x) u := −div(|∇u|p(x)−2 ∇u) = f (x, u),  u = 0, x ∈ Ω, (1) x ∈ ∂Ω, đây, Ω miền bị chặn không gian Rd , d ≥ 2, p : Ω → R hàm liên tục, p(x) > với x ∈ Ω f : Ω×R → R hàm cho trước Với giả thiết khác ấn định lên hàm f , chúng tơi nghiên cứu tồn tính đa nghiệm yếu toán (1) cách sử dụng ngun lí biến phân trình bày Chương Chương Kiến thức bổ trợ 1.1 1,p(x) Không gian Sobolev W0 (Ω) Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất 1,p(x) không gian Lebesgue Lp(x) (Ω) không gian Sobolev W0 (Ω) với số mũ biến thiên sử dụng luận văn Đây không gian hàm mở rộng cách tự nhiên từ không gian hàm biết với số mũ số Lp (Ω) W01,p (Ω) Những kết tham khảo từ tài liệu [2], [3], [4], [5], [6], [7], [9], [10], [11], [13], [15], [16] Giả sử d ∈ N∗ Kí hiệu Rd := {x = (x1 , x2 , , xd ) : xj ∈ R, j = 1, 2, , d}, Ω miền (mở liên thông) Rd Định nghĩa 1.1.1 Với hàm u xác định miền Ω ⊂ Rd , kí hiệu supp (u) := {x ∈ Ω : u(x) = 0} gọi giá hàm u Ω Không gian C0∞ (Ω) bao gồm hàm khả vi vô hạn có giá tập compact chứa Ω Khơng gian thường gọi không gian hàm thử Với p ∈ [1, +∞), kí hiệu Lp (Ω) không gian hàm đo Lebesgue u : Ω → R thỏa mãn điều kiện p |u| dx < +∞ Ω Khi đó, Lp (Ω) khơng gian Banach với chuẩn xác định  1/p u Lp (Ω) p = |u|p =  |u| dx Ω Không gian L∞ (Ω) gồm hàm đo Lebesgue u : Ω → R bị chặn Ω không gian Banach với chuẩn u Không gian Lploc (Ω), L∞ (Ω) = |u|∞ = ess sup |u (x)| x∈Ω p ∈ [1, +∞] bao gồm hàm u ∈ Lp (Ω ) với tập compact Ω ⊂⊂ Ω Như ta ln có Lp (Ω) ⊂ L1loc (Ω) với ≤ p ≤ +∞ Hơn nữa, Ω miền bị chặn ≤ p1 < p2 < +∞ Lp2 (Ω) ⊂ Lp1 (Ω) Nếu ≤ p < +∞ khơng gian Lp (Ω) khơng gian Banach tách Không gian C0∞ (Ω) trù mật khắp nơi không gian Lp (Ω) với ≤ p < +∞ Ngoài ra, với < p < +∞, không gian Lp (Ω) không gian Banach phản xạ Liên quan đến không gian Lp (Ω) cịn có số kết sau (xem [7, Chương 4]) Mệnh đề 1.1.2 Giả sử Ω miền Rd u ∈ L1loc (Ω) thỏa mãn ∀v ∈ C0∞ (Ω) uv dx = 0, Ω Khi ta có u = hầu khắp nơi Mnh 1.1.3 (Bt ng thc Hă older) Gi sử u ∈ Lp (Ω) , v ∈ Lp (Ω) với 1 ≤ p, p ≤ +∞ cặp số mũ liên hợp, tức + = Khi đó, uv ∈ L1 (Ω) p p uvdx ≤ |u|p |v|p Ω Mệnh đề 1.1.4 Giả sử ≤ p < +∞ {un } dãy hàm Lp (Ω) hội tụ theo chuẩn hàm u ∈ Lp (Ω) Khi đó, tồn dãy {unk } hàm g ∈ Lp (Ω) cho (i) unk (x) → u (x) hầu khắp nơi Ω (ii) |unk (x)| ≤ g (x), hầu khắp nơi Ω với k ∈ N∗ Mệnh đề 1.1.5 (Bổ đề Fatou) Giả sử {un } dãy hàm đo không âm tập đo Ω ⊂ Rd Khi ta có lim un dx ≤ lim n→∞ un dx n→∞ Ω Ω Mệnh đề 1.1.6 (Định lí Lebesgue hội tụ bị chặn) Giả sử {un } dãy hàm đo hội tụ hầu khắp nơi đến hàm đo u tập đo Ω ⊂ Rd thỏa mãn |un (x)| ≤ g (x) hầu khắp nơi Ω, g hàm khả tích Khi ta có lim un dx = n→∞ Ω u (x) dx Ω Ngoài Mệnh đề 1.1.6, trường hợp Ω có độ đo hữu hạn (µ(Ω) < +∞), để chuyển giới hạn qua dấu tích phân cịn dùng đến định lí Vitali liên quan đến họ hàm đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân (hay cịn gọi khả tích đều), xem [15, tr.151-159] Định nghĩa 1.1.7 Giả sử {un } dãy hàm xác định khả tích tập đo Ω ⊂ Rd , µ(Ω) < +∞ Ta nói dãy {un } đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω với > 0, tồn δ = δ( ) > cho với tập E ⊂ Ω có độ đo µ(E) < δ ta có un dx < , ∀n ∈ N∗ E Nhận xét 1.1.8 Giả sử Ω ⊂ Rd tập đo với độ đo µ (Ω) < +∞ Từ Định nghĩa 1.1.7, ta có khẳng định sau đây: (i) Nếu {un } {vn } hai dãy hàm khả tích đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω dãy hàm {un + } khả tích đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω Đặc biệt, u hàm khả tích Ω {un + u} dãy hàm khả tích đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω (ii) Giả sử {un } {vn } hai dãy hàm không âm, khả tích Ω, đồng thời thỏa mãn điều kiện un ≤ Cvn , ∀n ∈ N, C > Khi đó, dãy hàm {vn } đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω dãy hàm {un } đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω Mệnh đề 1.1.9 (Định lí Vitali) Giả sử {un } dãy hàm khả tích hội tụ hầu khắp nơi tập đo Ω ⊂ Rd (µ(Ω) < +∞) đến hàm đo u Nếu dãy {un } đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω u hàm khả tích ta có lim un dx = n→∞ Ω u dx (1.1) Ω Kết sau cho ta điều kiện đủ để dãy hàm đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Mệnh đề 1.1.10 Giả sử {un } dãy hàm khả tích u hàm khả tích tập đo Ω ⊂ Rd , µ(Ω) < +∞ Nếu với tập E ⊂ Ω ta có đẳng thức tích phân un dx = lim n→∞ E u dx (1.2) E dãy hàm {un } đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω Từ Mệnh đề 1.1.9 Mệnh đề 1.1.10 ta có biến dạng Định lí Vitali phát biểu sau Mệnh đề 1.1.11 Giả sử {un } dãy hàm khả tích hội tụ hầu khắp nơi tập đo Ω ⊂ Rd (µ(Ω) < +∞) đến hàm khả tích u Khi đó, đẳng thức tích phân (1.2) xảy với tập E ⊂ Ω dãy hàm {un } đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω Trong trường hợp đặc biệt, {un } dãy hàm khơng âm ta có kết sau nhờ Bổ đề Fatou (xem Mệnh đề 1.1.5) Mệnh đề 1.1.12 Giả sử {un } dãy hàm khơng âm, khả tích hội tụ hầu khắp nơi tập đo Ω ⊂ Rd (µ(Ω) < +∞) đến hàm đo u Khi đó, đẳng thức tích phân (1.1) xảy dãy hàm {un } đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω Tiếp theo nói đạo hàm yếu không gian Sobolev với số mũ Đây khái niệm quan trọng lí thuyết phương trình đạo hàm riêng, xem [2] [7, Chương 9] Vì lim (J (un ) − J (u)) (un − u) = n→∞ nên suy lim µ (x ∈ Ω : |∇un − ∇u| ≥ ) = n→∞ Tức {∇un } hội tụ theo độ đo đến ∇u Ω Trường hợp 2: Nếu < p(x) < 2, với x ∈ Ω ta có p(x) (J (un ) − J (u)) (un − u) ≥ |∇un − ∇u| (p(x) − 1) p(x) |∇un | Ω p(x) (2−p(x))/p(x) dx + |∇u| Ta chứng minh {|∇un |} bị chặn Ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử dãy {|∇un |} khơng bị chặn, đó, tồn dãy 1,p(x) {unk } cho |∇unk | → +∞ k → +∞ Từ đó, với unk ∈ W0 (Ω), ρ xác định Mệnh đề 1.1.22, ta có p(x) |∇unk | ρ (∇unk ) = dx → +∞, (k → +∞) Ω Lại theo Mệnh đề 1.1.22, ta suy |∇unk |p(x) → +∞ Mâu thuẫn với (2.24) Điều có nghĩa {|∇un |} bị chặn hay tồn C16 > cho |∇un | ≤ C16 Do đó, chứng minh tương tự trường hợp 1, ta có p(x) |∇un − ∇u| − (J (un ) − J (u)) (un − u) ≥ p −1 p+ C16 Ω p+ p(x) C16 + |∇u| ≥ C17 |∇un − ∇u| q+ p+ p+ dx + |∇u| (p− − 1) ≥ q+ dx Ω p+ , Ω1,n p− dx + C17 p(x) |∇un − ∇u| Ω2,n p ≥ C17 39 + , p − µ {x ∈ Ω : |∇un − ∇u| ≥ } , dx Ω1,n := {x ∈ Ω : |∇un − ∇u| ≥ } , − p (x) q (x) = , p (x) Ω2,n := Ω\Ω1,n (p− − 1) C17 = p+ C16 p+ q+ + |∇u| Vì lim (J (un ) − J (u)) (un − u) = n→∞ nên suy lim µ (x ∈ Ω : |∇un − ∇u| ≥ ) = n→∞ Tức {∇un } hội tụ theo độ đo đến ∇u Ω Do {∇un } hội tụ theo độ đo đến ∇u Ω nên ta có dãy (vẫn kí hiệu {∇un }) mà thỏa mãn ∇un (x) → ∇u (x) hầu khắp nơi với x ∈ Ω p(x) Do |∇un | ≥ nên theo Bổ đề Fatou ta có p(x) p(x) |∇un | dx ≥ p(x) lim n→∞ Ω p(x) |∇un | dx = n→∞ p(x) p(x) |∇u| dx p(x) lim Ω Ω (2.25) 1,p(x) Với u ∈ W0 1,p(x) (Ω), J (u) ∈ W0 ∗ (Ω) nên từ giả thiết un u, ta có J (u) (un − u) = J (u) (un ) − J (u) (u) → n → ∞ Vậy nên lim J (un )(un − u) = lim (J (un ) − J (u)) (un − u) = n→∞ n→∞ (2.26) Mặt khác, theo bất đẳng thức Young ta lại có J (un ) (un − u) = J (un )(un ) − J (un )(u) p(x) |∇un | = dx − Ω |∇un | dx − Ω |∇un | Ω p(x)−1 ∇udx |∇un | Ω p(x) ≥ ∇un ∇udx Ω p(x) ≥ p(x)−2 |∇un | p(x) − p(x) p(x) |∇un | + |∇u| dx p(x) p(x) dx − Ω 40 p(x) |∇un | dx − p(x) ≥ Ω p(x) |∇u| dx p(x) Ω Từ suy p(x) |∇un | dx ≤ p(x) lim n→∞ p(x) |∇u| dx p(x) (2.27) p(x) |∇u| dx p(x) (2.28) Ω Ω Từ (2.25) - (2.27) ta p(x) |∇un | dx = p(x) lim n→∞ Ω Ω Do (2.28) Mệnh đề 1.1.10 nên ta có, họ hàm p(x) |∇un | p(x) đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω p(x) Ta thấy rằng, |∇un | khả tích đồng liên tục tuyệt đối theo p(x) p(x) |∇u(x)| khả tích Ω Khi đó, theo Nhận tích phân Ω, hàm p(x) 1 p(x) p(x) xét 1.1.8, ta có |∇un (x)| + |∇u(x)| dãy hàm p(x) p(x) khả tích đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân Ω Vậy nên, từ đánh giá sau 0≤ p(x) |∇un (x) − ∇u (x)| ≤ C18 p(x) 1 p(x) p(x) |∇un (x)| + |∇u(x)| p(x) p(x) p(x) |∇un (x) − ∇u(x)| đồng liên p(x) tục tuyệt đối theo tích phân Ω, lại theo Mệnh đề 1.1.11, ta suy theo Nhận xét 1.1.8, ta suy p(x) |∇un (x) − ∇u(x)| dx = p(x) lim n→∞ (2.29) Ω Khi đó, 0≤ 1 p(x) p(x) |∇u (x) − ∇u(x)| ≤ |∇un (x) − ∇u(x)| , n + p p (x) nên từ (2.29), ta có p(x) |∇un (x) − ∇u(x)| lim n→∞ dx = (2.30) Ω Vậy từ (2.30) Mệnh đề 1.1.23, ta suy un → u, tức J thỏa mãn điều kiện S+ 41 Bổ đề 2.2.7 Nếu f thỏa mãn điều kiện (f1 ) I thỏa mãn điều kiện PalaisSmale 1,p(x) Chứng minh Giả sử (un )n ⊂ W0 (Ω), {I (un )} bị chặn I (un ) → n → ∞ Ta chứng minh {un } bị chặn Trường hợp 1: Nếu |∇un |p(x) > ta có p(x) |∇un | dx − p(x) C19 ≥ I (un ) = F (x, un ) dx Ω Ω p(x) |∇un | dx − p(x) ≥ Ω un f (x, un )dx − C20 θ Ω 1 p(x) − |∇un | dx + p(x) θ ≥ Ω ≥ ≥ p(x) |∇un | − un f (x, un ) dx − C20 θ Ω 1 p− − |∇u | n p(x) + p+ θ 1 p− − u − n p+ θ θ I (un ) (un ) − C20 θ I (un ) un − C20 Do đó, theo bất đẳng thức trên, {un } bị chặn Trường hợp 2: Nếu |∇un |p(x) ≤ 1, theo (1.10) ta có {un } bị chặn 1,p(x) Vì {un } bị chặn W0 (Ω) không gian Banach phản xạ nên không tính tổng quát, ta giả sử un u, mà theo chứng minh Bổ đề 2.2.6, ta có lim J (u) (un − u) = n→∞ Mặt khác, ta lại có J (un ) (un − u) = p(x)−2 ∇un ∇ (un − u) dx p(x)−2 |∇un | |∇ (un − u)| dx p(x)−1 |∇ (un − u)| dx |∇un | Ω ≤ |∇un | Ω ≤ |∇un | Ω p(x)−1 ≤ |∇un | p (x) p(x)−1 ≤ |∇un | 42 p (x) |∇ (un − u)|p(x) un − u → n → ∞, p (x) = p (x) Vậy ta có p (x) − lim (J (un ) − J (u)) (un − u) ≤ n→∞ Do đó, theo Bổ đề 2.2.6, J ánh xạ thuộc kiểu S+ Vậy suy un → u 1,p(x) W0 (Ω) hay I thỏa điều kiện Palais-Smale Chứng minh Định lí 2.2.5 Ta kiểm tra định lí Qua núi Do f thỏa mãn điều kiện (f1 ) nên theo Bổ đề 2.2.7, I thỏa mãn điều kiện Palais-Smale 1,p(x) W0 (Ω) Từ giả thiết cho ta có p+ < α− ≤ α (x) < p∗ (x) , 1,p(x) nên theo Mệnh đề 1.1.26, hai phép nhúng: W0 + 1,p(x) (Ω) vào Lp (Ω) W0 1,p(x) vào Lα(x) (Ω) liên tục compact Do đó, với u ∈ W0 (Ω) (Ω), tồn C21 , C22 > cho |u|p+ ≤ C21 u , Ta chọn |u|α(x) ≤ C22 u (2.31) đủ nhỏ cho thỏa p+ C21 ≤ 2p+ Từ giả thiết (f0 ) (f2 ) ta có p+ F (x, t) ≤ |t| α(x) + C ( ) |t| ∀ (x, t) ∈ Ω × R , Ta chứng minh (2.32) Thật vậy, giả thiết (f2 ), ta suy lim f (x, t) p+ −1 t→0 tức là, với |t| = 0, > 0, ∃δ = δ ( ) > 0, |t| < δ cho f (x, t) p+ −1 |t| < Từ đó, ta suy |f (x, t)| < 43 p+ −1 |t| (2.32) Đặt = + p nên lấy tích phân hai vế ta có F (x, t) ≤ p+ |t| p+ p+ = |t| , ∀ |t| < δ, x ∈ Ω (2.33) Trường hợp |t| ≥ δ, áp dụng giả thiết (f0 ) ta có α(x)−1 α(x)−1 |f (x, t)| ≤ C1 + C2 |t| ≤ 2C ( ) |t| α(x)−1 Sở dĩ có (2.34) ta chọn C1 ≤ C ( ) |t| ∀ |t| ≥ δ , (2.34) , x ∈ Ω Điều tương đương với 1/(α(x)−1) C1 C () |t| ≥ Tiếp tục ta chọn C2 ≤ C ( ) Vậy ta có (2.34) Do |t| ≥ δ nên ta có α(x)−1 ≥ (δ) α(x)−1 ≥ C ( ) (δ) |t| α(x)−1 Suy C ( ) |t| Chọn C ( ) ≥ max C2 , C1 (α(x)−1) δ α(x)−1 Khi α(x)−1 |f (x, t)| ≤ 2C ( ) |t| Ta lại đặt C ( ) = ∀ |t| ≥ δ , 2C ( ) nên lấy tích phân hai vế ta có α (x) α(x) F (x, t) ≤ C ( ) |t| , |t| ≥ δ , ∀ (x, t) ∈ Ω × R (2.35) Kết hợp (2.33) (2.35) ta suy p+ F (x, t) ≤ |t| α(x) + C ( ) |t| Khi đó, từ (2.31) với u ≤ 1, ta có p(x) |∇u| dx − p+ I (u) ≥ Ω ≥ + u p ≥ + u p p+ Ω p + p+ p α(x) |u| dx − C ( ) + |u| Ω α − − |u|p+ − C ( ) |u|α(x) − C0p + u p+ 44 − C ( ) C1 α − u α− dx ≥ u 2p+ ≥ u p+ p+ − C ( ) C1 α − u α− α− − C ( ) C u 2p+ , α− −p+ p+ < α− nên với C ( ) đủ bé, ta xét ánh xạ h : [0, 1] → R xác định bởi: − − + − C ( ) C1 α tα −p + 2p h(t) = xác định dương lân cận Suy ra, ∃r > δ1 > 1,p(x) cho I (u) ≥ δ1 > với u ∈ W0 (Ω), u = r Từ giả thiết (f1 ) ta có θ F (x, t) ≥ C23 |t| , ∀x ∈ Ω, |t| ≥ M Ta chứng minh (2.36) Thật vậy, từ giả thiết (f1 ) θF (x, t) ≤ tf (x, t) , ∀x ∈ Ω, |t| ≥ M, xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu t ≥ M > 0, ta suy f (x, t) θ ≤ t F (x, t) Lấy tích phân hai vế, ta có t t θ ds ≤ s M f (x, s) ds F (x, s) M Suy θ (ln t − ln M ) ≤ ln F (x, t) − ln F (x, M ) hay ln tθ + C24 ≤ ln F (x, t) với C24 = ln F (x, M ) − ln M θ Khi eln t θ +C24 ≤ eln F (x,t) , 45 (2.36) nên, ta ln tìm C23 > cho thỏa mãn F (x, t) ≥ C23 tθ , ∀x ∈ Ω, t ≥ M (2.37) Trường hợp 2: Nếu −t ≥ M > 0, tương tự trường hợp 1, ta suy −f (x, t) θ ≤ −t F (x, t) Lấy tích phân hai vế, ta có −M −M θ ds ≤ −s t −f (x, s) ds F (x, s) t Suy −θ (ln (M ) − ln(−t)) ≤ − ln F (x, −M ) + ln F (x, t) hay θ ln (−t) + C25 ≤ ln F (x, t) C25 = ln F (x, −M ) − ln M θ với Khi θ eln (−t) +C25 ≤ eln F (x,t) , nên, ta tìm C23 > cho thỏa mãn θ F (x, t) ≥ C23 (−t) , ∀x ∈ Ω, −t ≥ M (2.38) Từ (2.37) (2.38), ta suy (2.36) thỏa mãn 1,p(x) Mặt khác, với w ∈ (W0 (Ω))\ {0}, t > từ (2.10) (2.36), ta có p(x) |t.∇w| dx − p(x) I (tw) = Ω Ω p(x) |t.∇w| dx − p(x) = F (x, tw) dx Ω F (x, tw) dx − Ω≥ F (x, tw) dx Ω< + ≤ − p p(x) |∇w| Ω θ dx − C23 |tw| dx + Ω≥ α(x) C3 + |tw| dx Ω< + ≤ p− p(x) |∇w| Ω θ dx − C23 |tw| dx + Ω Ω< 46 θ α(x) C23 |tw| + C3 + |tw| dx + ≤ − p p(x) |∇w| θ dx − C23 tθ Ω |w| dx + C26 (2.39) Ω Ω< := {x ∈ Ω : |tw| < M } , Ω≥ := Ω\Ω< = {x ∈ Ω : |tw| ≥ M } , Ω< , ta có θ α(x) < C23 |tw| + C3 + |tw| < C23 M θ + C3 + M α(x) nên đây, C26 số thực dương Vì p+ < θ nên ta suy I (tw) → −∞, (t → +∞) Do đó, tồn t∗ > cho I (t∗ w) < = I (0) Đặt e = t∗ w, ta có e = t∗ w = |t∗ | w > w = r Dễ thấy I thỏa điều kiện định lí Qua núi Mệnh đề 1.2.16, nên I tồn điểm tới hạn không tầm thường Suy (2.1) có nghiệm yếu khơng tầm thường Định lí 2.2.8 Nếu f thỏa điều kiện (f0 ), (f1 ) (f3 ) I có dãy tới hạn {un } mà I(un ) → ∞ (2.1) có vơ hạn nghiệm yếu 1,p(x) Vì W0 (Ω) khơng gian Banach phản xạ, tách nên tồn 1,p(x) {ej } ⊂ W0 1,p(x) W0 1,p(x) (Ω) e∗j ⊂ (W0 (Ω) = span {ej : j = 1, }, e∗i , ej = (Ω))∗ cho 1,p(x) (W0 (Ω))∗ = span e∗j : j = 1,   1, i = j  0, i = j Đặt Xj = span {ej } , k Yk = ⊕ Xj , j=1 ∞ Zk = ⊕ Xj j=k Khi đó, ta có bổ đề quan trọng dùng để chứng minh Định lí 2.2.8 47 Bổ đề 2.2.9 Nếu α ∈ C+ Ω , α (x) < p∗ (x), với x ∈ Ω, đặt βk := sup |u|α(x) : u = 1, u ∈ Zk lim βk = k→∞ Chứng minh Từ định nghĩa Zk , βk ta có Zk+1 ⊂ Zk < βk+1 ≤ βk với k ∈ N Do βk → β ≥ k → ∞ Mặt khác, định nghĩa βk , nên với k ∈ N, tồn uk ∈ Zk cho ≤ βk − |uk |α(x) < k uk = 1, 1,p(x) Hơn nữa, W0 (2.40) (Ω) không gian Banach phản xạ, tách nên tồn dãy uk (ta kí hiệu uk ) cho uk e∗j , u = lim e∗j , uk = 0, 1,p(x) W0 (Ω) j = 1, 2, k→∞ nên suy u ≡ hay uk 1,p(x) u W0 (Ω) 1,p(x) Lại α (x) < p∗ (x) nên theo Mệnh đề 1.1.26, phép nhúng từ W0 (Ω) vào Lα(x) (Ω) liên tục compact Vậy nên ta có uk → Lα(x) (Ω) Từ (2.40), ta suy βk → 0, (k → ∞) Chứng minh Định lí 2.2.8 Do f thỏa giả thiết (f1 ) nên theo Bổ đề 2.2.7, ta suy I thỏa điều kiện Palais-Smale Từ giả thiết (f3 ), ta chứng minh I phiếm hàm chẵn Thật vậy, ta có −u F (x, −u) = −u −f (x, −s)ds f (x, s)ds = 0 Đặt −s = t ⇒ −ds = dt Khi u F (x, −u) = − u −f (x, t)dt = f (x, t) = F (x, u) 48 Mặt khác, p(x) |∇u| dx − p (x) I (u) = Ω F (x, u) dx Ω nên ta có p(x) |∇ (−u)| p (x) I (−u) = dx − Ω F (x, −u) dx Ω p(x) |∇ (u)| p (x) = dx − Ω F (x, −u) dx Ω p(x) |∇u| dx − p (x) = F (x, u) dx Ω Ω = I (u) Suy I phiếm hàm chẵn Ta chứng minh với k đủ lớn, tồn ρk > γk > cho (A1 ) bk := inf {I (u) : u ∈ Zk , u = γk } → ∞, (A2 ) ak := max {I (u) : u ∈ Yk , u = ρk } ≤ k → ∞, Ta chứng minh (A1 ): Do f thỏa mãn giả thiết (f0 ) nên theo bất đẳng thức (2.10), ta có α(x) |F (x, t)| ≤ C3 + |t| (x, t) ∈ Ω × R , Để ý rằng, với α ∈ C+ (Ω) , u ∈ Lα(x) (Ω) , tồn ζ ∈ Ω cho α(x) |u| α(ζ) dx = |u|α(x) Ω Khi đó, với u ∈ Zk , u = γk ≥ 1, (γk chọn sau), βk xác định Bổ đề 2.2.9, ta có p(x) |∇u| dx − p(x) I (u) = Ω F (x, u)dx Ω ≥ + p p(x) |∇u| α(x) dx − C3 Ω |u| Ω 49 dx − C27 α(ζ) p− u − C3 |u|α(x) − C28 , ζ ∈ Ω + p  −   + u p − C3 − C28 , |u|α(x) ≤ p ≥ p− α+  α+  u − C β u − C28 , |u|α(x) > k p+ + p− α+ ≥ + u − C3 βkα u − C29 p α+ −p− p− α+ − C29 − C β u = u k p+ ≥ + = u C3 βkα − p− −α+ p+ u p− Chọn γk = + C3 α+ βkα − C29 1/(p− −α+ ) I (u) ≥ γkp 1 − + + p α − − C29 Theo Bổ đề 2.2.9 với p+ < α− < α+ , ta có γk → +∞, k → ∞ Do I (u) → +∞, u → ∞ với u ∈ Zk Vậy suy bk → ∞, k → ∞ Ta chứng minh (A2 ): Do f thỏa mãn giả thiết (f0 ), (f1 ) nên từ bất đẳng thức (2.10) (2.36), chứng minh tương tự (2.39) ta có p(x) |∇u| dx − p (x) I (u) = Ω ≤ F (x, u) dx Ω p− p(x) |∇u| θ dx − C23 |u| dx + C30 Ω Ω Lại dimYk = k < +∞, nên suy chuẩn Yk tương đương Do vậy, với u ∈ Yk cho u = ρk > γk ta có I (u) ≤ u p− p+ − C23 u θ + C30 Vậy nên, với θ > p+ , ta chọn ρk đủ lớn ak ≤ Áp dụng Mệnh đề 1.2.17, ta suy I có dãy {un } điểm tới hạn mà I (un ) → ∞, từ suy tốn (2.1) có vơ hạn nghiệm yếu 50 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu phương pháp biến phân cho lớp tốn Dirichlet phương trình elliptic kiểu p(x)Laplacian, luận văn hoàn thành đạt kết cụ thể sau: Tổng quan hệ thống khái niệm tính chất khơng gian Sobolev với số mũ thường số mũ biến thiên Trình bày cách chi tiết khái niệm kết liên quan đến phương pháp biến phân sử dụng luận văn Bước đầu tìm hiểu lớp tốn biên Dirichlet phương trình elliptic kiểu p(x)-Laplacian áp dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu tồn tính đa nghiệm yếu Từ vấn đề đạt luận văn, dự định tiếp tục nghiên cứu tồn tính đa nghiệm yếu tốn biên elliptic khơng tuyến tính kiểu p(x)-Laplacian, đặc biệt trường hợp điều kiện kiểu Ambrosetti Rabinowitz không thỏa mãn tốn miền khơng bị chặn 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E Acerbi and G Mingione (2001), Regularity results for a class of functionals with nonstandard growth, Arch Rational Mech Anal 156, 121140 [2] R Adams (1975), Sobolev spaces, Academic Press, New York [3] A Ambrosetti and P.H Rabinowitz (1973), Dual variational methods in critical points theory and applications, J Funct Anal 04, 349-381 [4] T Bartsch (1993), Infinitely many solutions of a symmetric Dirichlet problem, Nonlinear Anal 20, 1205-1216 [5] B.E Breckner, D Repovˇs and C Varga (2010), On the existence of three solutions for the Dirichlet problem on the Sierpinski gasket, Nonlinear Anal 73, 2980-2990 [6] H Brezis (1992), Analyse fonctionnelle: théorie et applications, Masson, Paris [7] H Brezis (2010), Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer Science Media, LLC, New York, NY 10013, USA [8] N.T Chung (2013), Multiple solutions for a class of p(x)-Laplacian problems involving concave-convex nonlinearities, Electron J Qual Theory Differ Equ 2013, 1-17 [9] L Diening, P Harjulehto, P Hăastăo and M Ruzicka (2011), Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents, Springer-Verlag Berlin Heidelber [10] X.L Fan and Q.H Zhang (2003), Existence of solutions for p(x)Laplacian Dirichlet problem, Nonlinear Anal 52, 1843-1852 52 [11] X.L Fan and D Zhao (2001), On the space Lp(x) (Ω) and W m,p(x) (Ω), J Math Anal 263, 424-446 [12] D Gilbarg and N.S Trudinger (1983), Elliptic partial differential equations of second order, 2nd ed., Springer-Verlag Berlin [13] J Jost (2002), Partial differential equations, Springer-Verlag New York, Inc [14] J Mawhin, G Dinca and P Jebelean (1995), A result of AmbrosettiRabinowitz type for p-Laplacian, in C Corduneanu (Ed.): Qualitative problems for diIerential equations and control theory, World Scientic, Singapore, 231-242 [15] I.P Natanson (1950), Theory of functions of a real variable, Nauka, Moscow [16] C.P Niculescu and L.E Persson (2006), Convex functions and their applications, Springer Science+Business Media [17] L Véron(1996), Singularities of solutions of second order quasilinear equations, Chapman and Hall/CRC 53 ... 1 ,p(x) 1.1 Không gian Sobolev W0 (Ω) 1.2 Một số vấn đề phương pháp biến phân 14 Bài toán biên Dirichlet phương trình elliptic kiểu p(x )Laplacian 20 2.1 Giới thiệu toán. .. pháp biến phân, Mỗi phương pháp có ưu điểm hạn chế riêng áp dụng cho lớp toán cụ thể Trong số phương pháp kể trên, đặc biệt quan tâm đến phương pháp biến phân Về nguyên tắc, theo phương pháp này,... Chương Bài toán biên Dirichlet phương trình elliptic kiểu p(x)- Laplacian 2.1 Giới thiệu tốn Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tồn tính đa nghiệm yếu toán biên Dirichlet kiểu p(x)- Laplacian