Các bài toán Tổ hợp – Xác suất và nguyên lý Dirichlet

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUẾ CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ NGUYÊN LÝ DIRICHLET LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HUẾ CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ NGUYÊN LÝ DIRICHLET Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Vũ Đỗ Long Hà Nội – 2016 MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………….1 CHƯƠNG - TỔNG QUAN LÝ THUYẾT TỔ HỢP…………………………… 1.1 Nhắc lại tập hợp……………………………………………………………… 1.2 Các phép đếm bản…………………………………………………………… 1.2.1 Quy tắc cộng…………………………………………………………… ….4 1.2.2 Quy tắc nhân………………………………………………………… ….…5 1.2.3 Hoán vị………………………………………………………………… …5 1.2.4 Chỉnh hợp……………………………………………………………… .7 1.2.5 Tổ hợp……………………………………………………………………….9 1.3 Khái niệm xác suất……………………………………………………………10 1.3.1 Biến cố…………………………………………………………………… 10 1.3.2 Xác suất biến cố………………………………………………… … 11 1.3.3 Quy tắc cộng xác suất………………………………………………… ….12 1.3.4 Quy tắc nhân xác suất………………………………………………… ….13 1.3.5 Xác suất có điều kiện…………………………………………………… 14 1.3.6 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes………………………….… 14 1.3.7 Biến ngẫu nhiên rời rạc……………………………………………… … 15 CHƯƠNG - CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT………………… 17 2.1 Các toán tổ hợp………………………………………………………… 17 2.1.1 Phương pháp chung giải toán tổ hợp……………………………… …17 2.1.2 Các dạng toán thường gặp…………………………………………… ….18 2.1.2.1 Dạng 1: Bài toán đếm số…………………………………………….18 2.1.2.2 Dạng 2: Bài toán xếp đồ vật người……………………… 26 2.1.2.3 Dạng 3: Bài toán chọn số phương án để thỏa mãn số điều kiện cho trước…………………………………………………………….32 2.1.2.4 Dạng 4: Các toán đếm hình học………………………… 38 2.2 Các toán xác suất phân bố xác suất……………………………………44 2.2.1 Dạng 1: Tính xác suất biến cố theo định nghĩa xác suất…… 44 2.2.2 Dạng 2: Tính xác suất quy tắc cộng quy tắc nhân……………… 52 2.2.3 Dạng 3: Xác suất có điều kiện …………………… ………………….… 61 2.2.4 Dạng 4: Lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc………….…78 2.3 Các toán sử dụng nguyên lý Dirichlet tổ hợp………………………….86 CHƯƠNG - CÁC BÀI TOÁN KHÁC VỀ TỔ HỢP……………………………106 KẾT LUẬN………………………………………………………………………….119 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………….120 MỞ ĐẦU Toán học tổ hợp – xác suất lĩnh vực nghiên cứu từ sớm Hiện giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp – xác suất nội dung quan trọng, thường xuất đề thi cao đẳng đại học nước ta Mặc dù mức độ không khó học sinh gặp khó khăn giải toán Còn kỳ thi Quốc gia Quốc tế, toán tổ hợp có mặt thử thách thực với thí sinh, chí định thành tích đội tuyển dự thi Trong luận văn đề cập đến số toán tổ hợp – xác suất toán học phổ thông, cụ thể toán tổ hợp sử dụng phương pháp đếm, ứng dụng nguyên lý Đirichlê vào giải số toán tổ hợp, toán tìm xác suất biến cố ngẫu nhiên sử dụng định nghĩa xác suất phép tính lí thuyết xác suất Đây coi tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh THPT chủ đề Luận văn gồm ba chương: Chương - Tổng quan lý thuyết tổ hợp Chương - Các toán tổ hợp xác suất Chương - Các toán khác tổ hợp Luận văn hoàn thành hướng dẫn, giúp đỡ tận tình PGS.TS Vũ Đỗ Long, em xin gửi tới thầy lòng biết ơn sâu sắc Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc học trò suốt trình học tập, nghiên cứu giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa thầy cô giáo khoa Toán – Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện, dạy bảo dìu dắt em năm học vừa qua Do hạn chế trình độ kiến thức thời gian nên toán tổ hợp, xác suất luận văn ít, chưa có nhiều toán khó Ngoài luận văn tránh khỏi sai sót nhiều góc độ Kính mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Huế CHƯƠNG - TỔNG QUAN LÝ THUYẾT TỔ HỢP 1.1 Nhắc lại tập hợp Tập hợp Định nghĩa: Cho tập hợp A Tập hợp B gọi tập tập A phần tử tập B thuộc A B ⊂ A ⟺ ( ∀ x ∈ B ⟹ x ∈ A) Tính chất: - Mọi tập hợp A có tập tập rỗng A - Tập A có n phần tử số tập A 2𝑛 Tập hợp thứ tự Một tập hợp hữu hạn có m phần tử gọi thứ tự với phần tử tập hợp ta cho tương ứng số tự nhiên từ đến m, cho với phần tử khác ứng với số khác Khi thứ tự m phần tử dãy hữu hạn m phần tử hai thứ tự ( a1 , a2 , … , am ) (b1 , b2 , … , bm ) phần tử tương ứng ( a1 , a2 , … , am ) = (b1 , b2 , … , bm ) ⟺ = bi , i = 1, 2, … , m Số phần tử số tập hợp Tập hợp A có hữu hạn phần tử số phần tử A kí hiệu là: |A| n(A) A, B, C tập hợp hữu hạn, đó: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| Tổng quát: Cho A1 , A2 , … , An n tập hợp hữu hạn (𝑛 > 1) Khi đó: n |A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = ∑|Ai | − i=1 n ∑ |Ai ∩ Ak | + 1≤i với i = 1, 2, …,n Khi với biến cố A, ta có: P(A) = P(B1 )P(A/B1 ) + P(B2 )P(A/B2 ) + ⋯ + P(Bn )P(A/Bn ) b, Công thức Bayes Giả sử P(A) > { B1 , B2 , … , Bn } hệ đầy đủ biến cố với P(Bk ) > với k = 1, 2, …, n Khi với k = 1, 2, …., n, ta có: P(Bk /A) = P(Bk )P(A/Bk ) P(B1 )P(A/B1 ) + P(B2 )P(A/B2 ) + ⋯ + P(Bn )P(A/Bn ) 1.3.7 Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa : Đại lượng X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị số thuộc tập hữu hạn giá trị ngẫu nhiên không đoán trước Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị { x1 , x2 , … , xn } Để hiểu rõ X, ta thường quan tâm đến xác suất để X nhận giá trị xk tức số P(X = xk ) = pk với k = 1,2, …,n Các thông tin X trình bày bảng sau: X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn Bảng Bảng gọi bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X Và p1 + p2 + ⋯ + pn = Kì vọng Định nghĩa: Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị { x1 , x2 , … , xn } Kì vọng X, kí hiệu E(X), số tính theo công thức: 15 n E(X) = x1 p1 + x2 p2 + ⋯ + xn pn = ∑ xi pi i=1 Trong đó: pi = P(X = xi ), (i = 1, 2,…, n) Ý nghĩa: E(X) số cho ta ý niệm độ lớn trung bình X Vì kì vọng E(X) gọi giá trị trung bình X Nhận xét: Kì vọng X không thiết thuộc tập giá trị X Phương sai Định nghĩa: Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1 , x2 , … , xn } Phương sai X, kí hiệu V(X), số tính theo công thức: V(X) = (x1 − µ)2 p1 + (x2 − µ) p2 + ⋯ + (xn − µ)2 pn n n = ∑(xi − µ)2 pi = ∑ xi pi − µ2 i=1 i=1 Trong đó: pi = P(X = xi )(i = 1, 2, … , n) µ = E(X) Ý nghĩa: Phương sai số không âm Nó cho ta ý niệm mức độ phân tán giá trị X xung quanh giá trị trung bình Phương sai lớn độ phân tán lớn Độ lệch chuẩn Định nghĩa: Căn bậc hai phương sai, kí hiệu σ(X), gọi độ lệch chuẩn X, nghĩa σ(X) = √V(X) 16 ... … 15 CHƯƠNG - CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT………………… 17 2.1 Các toán tổ hợp ……………………………………………………… 17 2.1.1 Phương pháp chung giải toán tổ hợp …………………………… …17 2.1.2 Các dạng toán thường gặp……………………………………………... cụ thể toán tổ hợp sử dụng phương pháp đếm, ứng dụng nguyên lý Đirichlê vào giải số toán tổ hợp, toán tìm xác suất biến cố ngẫu nhiên sử dụng định nghĩa xác suất phép tính lí thuyết xác suất Đây... Dạng 4: Các toán đếm hình học………………………… 38 2.2 Các toán xác suất phân bố xác suất …………………………………44 2.2.1 Dạng 1: Tính xác suất biến cố theo định nghĩa xác suất … 44 2.2.2 Dạng 2: Tính xác suất quy