Các bài toán tổ hợp – xác suất hay và khó

Tài liệu gồm 91 trang, được biên soạn bởi nhóm tác giả Tạp Chí Và Tư Liệu Toán Học, tuyển chọn các bài toán tổ hợp – xác suất hay và khó, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 2.

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC CÁC BÀI TỐN ĐẾM – XÁC SUẤT HAY VÀ KHÓ SƯU TẦM TỪ CÁC DIỄN ĐÀN VÀ ĐỀ THI THỬ TRÊN CẢ NƯỚC CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN CÁC BÀI TOÁN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHÓ Sưu tầm LATEX Tạp chí tư liệu tốn học Cách thời gian lâu, fanpage có đăng tài liệu tổ hợp xác xuất mức giỏi nhận phản hồi từ phía bạn theo dõi Trong lần đăng cập nhật bạn nhận sản phẩm biên soạn tỉ mỉ từ fanpage kèm theo tương đối nhiều tốn khó bổ sung Hy vọng tài liệu giúp ích cho bạn Mục lục Lý thuyết cần nhớ 1.1 Xác suất có điều kiện 1.2 Bài toán chia kẹo Euler 1.3 Một số kết tốn đếm có yếu tố hình học 2 10 11 Các toán tổng hợp 13 Lý thuyết cần nhớ 1.1 Xác suất có điều kiện Định nghĩa Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện B số xác định công thức P( A| B) = P( AB) P( B) > P( B) Tính chất 1 P( A| B) P(Ω| B) = P( B| B) = 1, n n Ai | B Nếu Ai , i = 1, , n biến cố đơi xung khắc P = ∑ P ( A i | B ) i =1 i =1 (Công thức nhân xác suất) P( AB) = P( B) P( A| B) = P( A) P( B| A) Chú ý Xác suất điều kiện cho phép tính xác suất xảy biến cố biến cố khác xảy Trong trường hợp hai biến cố A B độc lập việc biến cố B xảy khơng ảnh hưởng tới việc xảy biến cố A nên P( A| B) = P( A) Ta công thức nhân xác suất thông thường n Bi = Ω Định lý (Xác suất toàn phần) Nếu Bi , i = 1, , n, hệ biến cố đôi xung khắc cho i =1 với biến cố A ta ln có n P( A) = ∑ P( Bi ) P( A| Bi ) i =1 Hệ biến cố Bi (i = 1, , n) gọi hệ đầy đủ Định lý (Công thức Bayes) Cho biến cố A hệ đầy đủ Bi (i = 1, , n) có xác suất dương Khi P( Bi | A) = P( Bi ) P( A| Bi ) = P( A) P( Bi ) P( A| Bi ) n ∑ P( Bi ) P( A| Bi ) i =1 Tài liệu sưu tầm LATEX Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Toán Định lý (Nguyên lý bù trừ - Công thức Sieve) Cho tập A n tập A1 , A2 , , An Ta có | A1 ∪ A2 ∪ ∪ A n | = ∑ (−1) j+1 Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Ai j ii 0, n n 13 Câu 12 Một hộp đựng 10 sản phẩm tốt sản phẩm xấu Lấy đồng thời sản phẩm Tính xác suất để: Cả sản phẩm lấy tốt Trong sản phẩm lấy có sản phẩm tốt Lời giải Gọi A biến cố "Cả sản phẩm lấy tốt" P( A) = C10 4.5.6 24 = = 13.7.5 91 C15 Gọi B biến cố "Trong sản phẩm lấy có sản phẩm tốt" P( B) = Tài liệu sưu tầm LATEX C10 C10 45 24 63 + = + = 105 91 91 C15 C15 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Câu 13 Gieo đồng thời hai súc sắc phân biệt Tìm xác suất để hai mặt cho tổng số chấm tổng số chấm nhỏ mặt chấm Lời giải Nhận xét = + = + = + Gọi A biến cố "Tổng số chấm hai súc sắc 7" ⇒ P( A) = = 36 Gọi B biến cố "Tổng số chấm hai súc sắc nhỏ 8" Gọi Bk biến cố "Tổng số chấm hai súc sắc k" Ta xét tình sau: 36 Tổng số chấm 9: P( B9 ) = 36 Tổng số chấm 10: P( B10 ) = 36 Tổng số chấm 11: P( B11 ) = 36 Tổng số chấm 12: P( B12 ) = 36 • Tổng số chấm 8: P( B8 ) = • • • • Vậy P( B) = − 1+2+3+4+5 = 36 12 Gọi C biến cố "Có mặt chấm" ⇒ P(C ) = 11 36 Câu 14 Thang máy tòa nhà tầng xuất phát từ tầng với khách Tìm xác suất để: Tất tầng Mỗi người tầng khác Lời giải Gọi A biến cố "Tất tầng" ⇒ P( A) = = 49 Gọi B biến cố "Mỗi người tầng khác nhau" ⇒ P( B) = 7.6.5 30 = 73 49 Câu 15 Bốn nam nữ xếp ngồi vào ghế xếp thành hàng, hàng có ghế đối diện Tính xác suất: Nam, nữ ngồi đối diện Các bạn nam ngồi đối diện Lời giải Gọi A biến cố "Nam, nữ ngồi đối diện nhau" Xét hàng: • Ở vị trí thứ ta có cách xếp vị trí đối diện có cách xếp • Ở vị trí thứ hai ta có cách xếp vị trí đối diện có cách xếp • Ở vị trí thứ ba ta có cách xếp vị trí đối diện có cách xếp • Ở vị trí thứ tư ta có cách xếp vị trí đối diện có cách xếp Tài liệu sưu tầm LATEX Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn P( A) = 2.(8.4.6.3.4.2.2.1) 16 = 8! 35 Gọi B biến cố "Các bạn nam ngồi đối diện nhau" • • • • Số cách chọn hai ghế đối diện ghế C41 = cách Số cách xếp bạn nam vào hai ghế đối diện chọn A24 = 12 cách Số cách xếp bạn nam lại vào hai ghế đối diện 3.2 = cách Số cách xếp bạn nữ vào vị trí cịn lại 4! 4.12.6.4! = 8! 35 P( B) = Câu 16 Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số lập từ số 0, 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên số từ X Tính xác suất để chọn số thỏa mãn số lặp lại lần số lại xuất lần Lời giải Số phần tử X 5.67 Gọi A biến cố "Chọn số thỏa mãn số lặp lại lần số lại xuất lần" • Coi vai trị tất số – Số vị trí xếp số C83 = 56 – Cách xếp số cịn lại vào vị trí cịn lại 5! • Xét trường hợp số đứng đầu – Số vị trí xếp số C73 = 35 – Cách xếp số lại vào vị trí cịn lại 4! Số phần tử A 56.5! − 35.4! = 5880 ⇒ P( A) = 5880 = 0, 0042 5.67 Câu 17 Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập X Tính xác suất để chọn số tự nhiên thỏa mãn số đứng trước lớn số đứng đằng sau Lời giải Số phần tử tập X 9.104 Gọi A biến cố "Chọn số tự nhiên thỏa mãn số đứng trước lớn số đứng đằng sau" Vì số đứng đầu khơng thể số nên ta xét chữ số từ đến • Số cách chọn số số C95 = 126 • Vì số ta có cách xếp cho số đứng sau lớn số đứng trước nên số số tự nhiên thỏa mãn số đứng sau lớn số đứng trước 126 P( A) = 126 = 5000 9.10 Câu 18 Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt lập từ số 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên số từ X Tính xác suất để chọn số thỏa mãn chữ số phân biệt nhỏ 45000 Lời giải Số lượng phần tử X 5! = 120 Gọi A biến cố "Chọn số thỏa mãn chữ số phân biệt nhỏ 45000" Gọi số có chữ số lập từ số 1, 2, 3, 4, a1 a2 a3 a4 a5 (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ∈ {1; 2; 3; 4; 5}) Tài liệu sưu tầm LATEX Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn • a1 < 4: – Vị trí a1 có cách chọn – Số cách xếp số vào vị trí cịn lại 4! = 24 cách • a1 = 4, a2 < 5: – Vị trí a1 có cách chọn – Vị trí a2 có cách chọn – Số cách xếp số vào vị trí cịn lại 3! = cách P( A) = 90 = 120 Câu 19 Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt lập từ số 0, 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên số từ X Tính xác suất để chọn số khơng chia hết cho Lời giải Số lượng phần tử X 5.5.4 = 100 Gọi A biến cố "Chọn số không chia hết cho 3" Dấu hiệu chia hết cho tổng chữ số số chia hết ta xét trường hợp sau • Tổng chữ số 12 ⇒ xét tập chữ số {3; 4; 5}: có 3! = số • Tổng chữ số 9: – Xét tập chữ số {0; 4; 5}: có số – Xét tập chữ số {1; 3; 5}: có số – Xét tập chữ số {2; 3; 4}: có số • Tổng chữ số 6: – Xét tập chữ số {0; 1; 5}: có số – Xét tập chữ số {0; 2; 4}: có số – Xét tập chữ số {1; 2; 3}: có số • Tổng chữ số ⇒ xét tập chữ số {0; 1; 2}: có số P( A) = − 40 = 0, 100 Câu 20 Trong kì thi học sinh làm thi trắc nghiệm gồm 50 câu (trong có câu câu sai ) chấm theo thang điểm sau: câu 0, điểm câu sai bị trừ 0, 05 điểm Một học sinh khơng học nên chọn đáp án ngẫu nhiên Tính xác xuất để học sinh 4, điểm, biết cậu học sinh không bỏ khoanh câu Lời giải Gọi a, b số câu số câu sai chọn ⇒ a + b = 50 ⇒ a = 28 b = 22 0, 2a − 0, 05b = 4, Vì xác suất để chọn câu 0, 25 xác suất chọn câu sai 0, 75 nên xác suất để học sinh 4, điểm 2, 197.10−6 Tài liệu sưu tầm LATEX Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ 1.2 Chinh Phục Olympic Tốn Bài toán chia kẹo Euler Bài toán chia kẹo Euler toán tiếng Lý thuyết tổ hợp Với học sinh chuyên Toán cấp tốn quen thuộc có nhiều ứng dụng Dưới cách tiếp cận toán chia kẹo Euler cho học sinh lớp & để thấy tốn đếm nói riêng tốn tổ hợp nói chung ln tốn mà lời giải chứa đựng hồn nhiên ngây thơ Trước hết, xin phát biểu lại toán chia kẹo Euler Bài tốn Có n kẹo (giống nhau) chia cho k em bé, hỏi có cách chia cho em có kẹo Một cách hợp lí, ta xét toán trường hợp cụ thể, đơn giản để từ định hướng đưa lời giải cho tốn tổng qt Bài tốn Có 20 kẹo (giống nhau) chia cho em bé, hỏi có cách chia cho Mỗi em có kẹo Mỗi em có kẹo Em thứ có kẹo, em thứ hai có kẹo em thứ ba có nhiều kẹo Lời giải Nhận thấy rằng, em có kẹo nên số kẹo em thứ nhận nhiều 18 Xét trường hợp • Trường hợp Em thứ nhận kẹo, số kẹo em thứ hai 1, 2, 3, , 18 em thứ ba nhận số kẹo lại sau chia cho em thứ em thứ hai xong, nghĩa trường hợp có 18 cách chia kẹo • Trường hợp Em thứ nhận kẹo, số kẹo em thứ hai 1, 2, 3, , 17 em thứ ba nhận số kẹo lại, nghĩa trường hợp có 17 cách chia kẹo Hồn tồn tương tự cho trường hợp lại, ta nhận thấy số cách chia 20 kẹo cho em bé cho em có kẹo 18 + 17 + + + = 171 Phát biểu tổng qt Nếu k = có cách chia kẹo Nếu k ta trải n kẹo thành dàn hàng ngang, ta dùng (k − 1) thước đặt vào (n − 1) khe viên kẹo để chia thành k phần Như có tất Cnk− −1 cách Cả trường hợp ta có Cnk− −1 cách chia kẹo Trên lời giải toán chia kẹo Euler – toán đếm tiếng với nhiều ứng dụng toán đếm khác Bài tác giả trình bày tốn gốc số toán đếm dạng ứng dụng mà đếm theo cách thông thường khó khăn, hiểu theo đếm tốn Euler tốn lại trở thành đơn giản Sau ta tìm hiểu ứng dụng lớn việc đếm số nghiệm nguyên phương trình k Bài tốn Phương trình ∑ xi = n ( n k ) có nghiệm nguyên dương? i =1 Lời giải Coi xi phần kẹo em nhỏ thứ i toán chia kẹo số nghiệm phương trình số cách chia n kẹo cho k em nhỏ Vậy phương trình có Cnk− −1 nghiệm ngun dương k Bài tốn Phương trình ∑ xi = n ( n k ) có nghiệm ngun khơng âm? i =1 Lời giải Ta có x1 + x2 + + xk = n ⇔ ( x1 + 1) + ( x2 + 1) + + ( xk + 1) = n + k Đặt xi = xi + xi số nguyên dương Áp dụng tốn gốc ta có tất Cnk− +k−1 nghiệm ngun khơng âm phương trình Tài liệu sưu tầm LATEX 10 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Toán Xét số nhận đứng đầu A có cách xếp vào vị trí, số cịn lại có A35 cách chọn Số cách chọn 4A35 Xét số có dạng 0b2 b3 b4 Số cách chọn 3A24 2A23 (4A35 − 3A24 ) 37 Các số cần lập 2A23 (4A35 − 3A24 ) Vậy P = = 945 A10 − A9 Câu 163 Cho S tập số tự nhiên có chữ số Lấy ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số lấy có chữ số tận chia hết cho (kết làm tròn đến hàng phần nghìn)? Lời giải Số số tự nhiên có chữ số 9.106 = 9000000 (số) Gọi số tự nhiên có chữ số chia hết cho có chữ số tận abcde f Ta có: abcde f = 10abcde f + = 3abcde f + 7abcde f + ⇔ 3abcde f + k Đặt 3abcde f + = 7k (k ∈ Z) ⇒ abcde f = 2k − + số nguyên k = 3l (l ∈ Z) 100001 1000000 Khi abcde f = 7l − ⇒ 100000 7l − 999999 ⇔ l 7 Suy l ∈ {14286; ; 142857}, nên có 128572 giá trị l, tức có 128572 số tự nhiên có chữ số chia hết cho có chữ số tận 128572 Vậy xác suất cần tìm ≈ 0, 014 9000000 Câu 164 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M (0; 10), N (100; 10) P(100; 0) Gọi S tập hợp tất điểm A( x; y), ( x, y ∈ R) nằm bên (kể cạnh) OMNP Lấy ngẫu nhiên điểm A( x; y) ∈ S Tính xác suất để x + y 90 Lời giải Điểm A( x; y), ( x, y ∈ R) nằm bên (kể cạnh) OMNP Có 101 cách chọn x, 11 cách chọn y Không gian mẫu tập hợp điểm có tọa độ nguyên nằm hình chữ nhật OMNP Vậy số phần tử khơng gian mẫu n(Ω) = 101 · 11 Gọi X biến cố: “Các điểm A( x; y) thỏa mãn  x + y 90 y = ⇒ x = {0; 1; 2; ; 90}  Vì x ∈ [0; 100], y ∈ [0; 10] x + y 90 ⇒  y = ⇒ x = {0; 1; 2; ; 89} (81 + 91)11 = 946 cặp ( x; y) thỏa mãn n( X ) 946 86 = = Vậy xác suất cần tính P = n(Ω) 101 · 11 101 Khi 91 + 90 + + 81 = 2, n ∈ N) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh số 2n đỉnh đa giác, xác suất ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vng Tìm n Câu 165 Cho đa giác gồm 2n đỉnh (n Lời giải • Để ba đỉnh tạo thành tam giác vng hai đỉnh phải tạo thành đường chéo qua tâm, đỉnh lại • Khơng gian mẫu: n(Ω) = C2n • Xét A: “Ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vuông” Ta đếm n( A) sau: – Chọn đường chéo: n (cách) – Chon đỉnh đỉnh lại: 2n − (cách) Tài liệu sưu tầm LATEX 77 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHÓ ⇒ n( A) = n(2n − 2) ⇒ P( A) = • Theo đề P( A) = Chinh Phục Olympic Toán n(2n − 2) C2n n(2n − 2) 1 ⇒ = ⇔ n = = ⇔ 5 2n − C2n Câu 166 Xếp bạn học sinh lớp A, bạn học sinh lớp B, bạn học sinh lớp C thành hàng dọc Có cách xếp cho hai bạn học sinh lớp không đứng liền Lời giải • Trường hợp 1 A A A Xếp bạn học sinh lớp A vào đánh dấu A, có 3! = cách xếp Xếp học sinh cịn lại vào {1; 2; 3}, vào ô {2; 3; 4}, có · 3! = 12 cách xếp Trường hợp có · 12 = 72 cách xếp • Trường hợp A A A Xếp bạn học sinh lớp A vào ô đánh dấu A, có 3! = cách xếp Chọn học sinh lớp B học sinh lớp C xếp vào hai {1; 2}, có · · 2! = cách xếp Xếp học sinh cịn lại vào cịn lại Trường hợp có · = 48 cách xếp Vậy có 72 + 48 = 120 cách xếp cho hai bạn học sinh lớp không đứng liền Câu 167 Cho đa giác 48 đỉnh Lấy ngẫu nhiên ba đỉnh đa giác Tìm xác suất để tam giác tạo thành từ ba đỉnh tam giác nhọn Lời giải Gọi (O ) đường trịn ngoại Gọi Ω khơng gian mẫu Ta có nΩ = C48 M tiếp đa giác Giả sử A đỉnh đa giác, kẻ đường kính AA A đỉnh đa giác Đường kính AA chia (O) thành hai nửa đường tròn A A Gọi T: "là biến cố lấy ba đỉnh tạo thành tam giác nhọn" Suy T O “là biến cố lấy ba đỉnh tạo thành tam giác vuông tam giác tù ” Chọn đỉnh A có 48 cách Chọn đỉnh cịn lại, thoả mãn ba đỉnh tạo thành tam giác vng tam giác tù Ta có hai đỉnh lại thuộc hai nửa đường tròn bao gồm A Suy tất có 24 điểm cách ⇒ P ( T ) = 48 · C Vậy P ( T ) = − P ( T ) = 11 Chọn điểm từ 24 điểm có C24 24 47 Câu 168 Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số Lấy ngẫu nhiên hai số từ tập X Tìm xác suất để nhận số chia hết cho Lời giải Có tất · 104 số có chữ số Vì số phần tử tập X 90000 Do số phần tử phép thử chọn 2số ngẫu nhiên từ X n(Ω) = (90000)2 Gọi A biến cố chọn từ X số mà có số chia Tài liệu sưu tầm LATEX 78 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn hết cho Khi A biến cố chọn từ X số mà khơng có số chia hết cho Với lưu ý rằng: số chia hết cho số mà chữ số tận chia hết cho Số chia hết cho mà bé 100 có dạng thoả mãn 4k 99 Do từ đến 99 có tất 25 số chia hết cho Xét số có chữ số abcde chia hết cho Chọn trước de có 25 cách chọn Cịn lại chọn số abc có · 102 = 900 Như có: 900 · 25 = 22500 số có chữ số chia hết cho Suy có 90000 − 22500 = 67500 số có chữ số không chia hết cho Bây ta tính số phần tử biến cố A: n A = (67500)2 Và xác suất biến cố chọn số mà có số chia hết cho P( A) = − P A = − n A (67500)2 = ≈ 0,4375 = 1− n (Ω) (90000)2 16 Câu 169 Từ chữ số 1, 2, 3, 5, 6, 8, lập số tự nhiên có chữ số phân biệt chia hết cho 3? Lời giải Tổng chữ số 34 Để chữ số có tổng chia hết cho ta bỏ hai chữ số mà có tổng chia dư Có vậy: (1; 3), (2; 5), (1; 6), (2; 8), (1; 9), (5; 8) Vậy có tất · 5! = 720 số Câu 170 Trước kì thi học kì hai lớp 11 trường FIVE, giáo viên Toán lớp FIVE A giao cho học sinh đề cương ơn tập gồm có 2n tốn, n số nguyên dương lớn Đề thi học kì lớp FIVE A gồm toán chọn ngẫu nhiên số 2n toán Một học sinh muốn khơng phải thi lại, phải làm số tốn Học sinh TWO giải xác nửa số đề cương trước thi, nửa cịn lại học sinh khơng thể giải Tính xác suất để TWO khơng phải thi lại Lời giải Gọi B biến cố “Học sinh TWO làm toán thi" Gọi C biến cố “Học sinh TWO làm toán thi" Gọi A biến cố “ Học sinh TWO khơng phải thi lại" Ta có A = B ∪ C B, C hai biến cố xung khắc Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = C2n • Xét biến cố B – Chọn n học sinh TWO làm Cn2 – Chọn n học sinh TWO làm Cn1 Từ suy P( B) = Cn2 · Cn1 C2n • Tương tự với biến cố C ta P(C ) = Vậy P( A) = P( B) + P(C ) = Cn3 C2n Câu 171 Cho đa giác 2018 đỉnh Gọi S tập hợp tam giác có đỉnh đỉnh đa giác Chọn ngẫu nhiên tam giác tập S Tính xác suất để chọn tam giác có góc lớn 140 độ Lời giải Tài liệu sưu tầm LATEX 79 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác C2018 Hai đỉnh liên tiếp đa giác 2018 đỉnh chắn cung trịn (nhỏ) có số 360◦ 180◦ đo = 2018 1009 Xét tam giác ABC có đỉnh đỉnh đa diện A > 140◦ Khi 90◦ ta có số đo góc A, B, C bội 1009 A C B O • Ta có số cách chọn đỉnh A 2018 cách 90◦ • Xét số cách chọn hai đỉnh B, C Gọi n · tổng số đo hai góc B, C với n 1009 ◦ 90 < 40◦ ⇒ n 448 Do A > 140◦ nên n · 1009 Với n phần tử xếp thành hàng ngang có n − khoảng trống nên với số n ∈ {2; 3; ; 448} có n − cặp góc B, C thỏa mãn u cầu • Vậy số tam giác có góc lớn 140◦ tạo thành từ ba đỉnh đa giác cho 2018 · (1 + + · · · + 447) = 2018 · C448 Vậy xác suất để chọn tam giác có góc lớn 140◦ p = 2018 · C448 298 = 2017 C2018 Câu 172 Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, phịng thi gồm 24 thí sinh xếp vào 24 bàn khác Bạn An thí sinh dự thi mơn (Tốn, Văn, Ngoại Ngữ, Khoa học tự nhiên), lần thi thi phịng thi Giám thị xếp thí sinh vào vị trí cách ngẫu nhiên Tính xác suất để lần thi An có lần ngồi vào vị trí Lời giải Xác suất để bạn An ngồi vào vị trí 24 · 24 · Xác suất để bạn An ngồi lần vào vị trí 24 23 22 253 · · C42 = 24 24 1152 Câu 173 Cho A tập số tự nhiên có chữ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc tập A Tính xác suất lấy số lẻ chia hết cho Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = · 108 Gọi B biến cố thỏa mãn u cầu tốn Ta có số lẻ có chữ số chia hết cho 100000017, 100000035, 100000053, , 999999999 lập thành cấp số cộng với u1 = 100000017 công sai d = 18 999999999 − 100000017 + = 50000000 Nên số phần tử dãy 18 n( B) · 107 Vậy n( B) = · 107 Xác suất P( B) = = = n(Ω) · 10 18 Câu 174 Cho tập hợp X gồm số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác có dạng abcde f Từ tập hợp X lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số lấy số lẻ thỏa mãn a < b < c < d < e < f Lời giải Không gian mẫu phép thử Ω = X Loại 1, số tự nhiên có a tùy ý (có thể chữ số 0), có A610 (số) Loại 2, số tự nhiên có dạng 0bcde f , có A59 (số) Do đó, số phần tử không gian mẫu n(Ω) = A610 − A59 = 136080 Tài liệu sưu tầm LATEX 80 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Toán Gọi A biến cố: “Số lấy số lẻ thỏa mãn a < b < c < d < e < f ” Vì số lấy số lẻ nên f ∈ {1; 3; 5; 7; 9}, kết hợp điều kiện a < b < c < d < e < f ta f ∈ {7; 9} • Trường hợp Số tự nhiên có dạng abcde7, lựa chọn chữ số a, b, c, d, e từ {1; 2; 3; 4; 5; 6} lập số thỏa mãn a < b < c < d < e, suy có C65 (số) • Trường hợp Số tự nhiên có dạng abcde9, lựa chọn chữ số a, b, c, d, e từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} lập số thỏa mãn a < b < c < d < e, suy có C85 (số) Do đó, số phần tử biến cố A n( A) = C65 + C85 = 62 n( A) 62 31 Vậy xác suất cần tính P( A) = = = n(Ω) 136080 60480 Câu 175 Xếp chữ số 1, 2, 3, 1, theo hàng ngang Tính xác suất để xảy biến cố: "2 chữ số giống khơng xếp cạnh nhau." Lời giải 6! Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = = 180 Gọi A biến cố: “2 chữ số giống khơng 2!2! 5! 5! xếp cạnh nhau.” Khi đó, n( A) = + − 4! = 96 2! 2! 96 Vậy, xác suất biến cố A P( A) = − P( A) = − = 180 15 Câu 176 Cho đa giác 100 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Tính xác suất để đỉnh chọn đỉnh tam giác tù Lời giải Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp đa giác 100 đỉnh Xét A đỉnh tùy ý đa giác, kẻ đường kính AA ⇒ A đỉnh đa giác Đường kính AA chia (O) thành hai nửa đường tròn, với cách chọn điểm B, C đỉnh đa giác thuộc nửa đường tròn, ta tam giác tù ABC Khi số cách chọn B C Đa giác có 100 đỉnh nên số đường chéo đường kính đường · C49 tròn ngoại tiếp đa giác 50 Do số cách chọn đỉnh để lập thành tam giác tù 2 50 · · C49 = 100 · C49 C A B Gọi biến cố E: "chọn đỉnh lập thành tam Ta có n(Ω) = C100 100 · C49 giác tù." Vậy P( E) = = 11 C100 A Câu 177 Chọn ngẫu nhiên hai số a, b khác từ tập hợp A = 2; 22 ; 23 ; ; 225 Tính xác suất để loga b số nguyên Lời giải Đặt loga b = t, ta b = at a = 2x x t y Đặt y ⇒ (2 ) = ⇔ y = x · t ⇒ y x Vì t ∈ Z x, y ∈ {1; 2; ; 25} nên ta có bảng sau b=2 Giá trị x Số cách chọn y Tài liệu sưu tầm LATEX 24 11 81 10 11 12 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Ta có n ( A) = 62 n (Ω) = Cách khác Ta có A225 Vậy P( A) = 12 n ( A) = ∑ x =1 Chinh Phục Olympic Toán 31 300 25 − = 24 + 11 + + + + + + + + + = 62 x Câu 178 Có 10 học sinh lớp A, học sinh lớp B xếp ngẫu nhiên vào tròn (hai cách xếp coi giống cách xếp kết cách xếp ta thực phép quay bàn tâm góc đó) Tính xác suất để khơng có hai học sinh lớp B đứng cạnh Lời giải Để tránh khả bị trùng ta thực đếm ta thực thao tác cố định học sinh xác đinh lớp A vị trí Bây ta chuyển tốn: Xếp học sinh lớp A học sinh lớp B thành hàng dọc với bạn đứng đầu bạn C khác 17 bạn Tính xác suất để khơng có hai học sinh lớp B đứng cạnh Không gian mẫu |Ω| = 17! Ta cần đếm số cách xếp để hai học sinh lớp B đứng cạnh nhau, tức hai học sinh lớp B ln có học sinh lớp A Do ta thực thuật tốn để tính số cách xếp sau: • Chọn vị trí 10 vị trí để xếp học sinh lớp B đánh số từ trái qua phải x1 , x2 , · · · , x8 cách chọn Có C10 • Thêm vào bên trái vị trí xi i = 2, 3, · · · , vị trí học sinh lớp A xếp vào Có cách thêm • Xếp học sinh lớp B vào vị trí x1 , x2 , · · · , x8 Có 8! cách xếp • Xếp học sinh lớp A vào vị trí cịn lại Có 9! cách xếp = 9!A8 cách xếp thỏa mãn hay xác suất cần tìm Vậy có 9! · 8! · C10 10 9!A810 17! Câu 179 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; ; 2018} số a, b, c thuộc A Hỏi có số tự nhiên có dạng abc cho a < b < c a + b + c = 2016 Lời giải Xét phương trình a + b + c = 2016 Phương trình có C2015 nghiệm ( a; b; c) Ta tìm nghiệm mà có cặp số trùng • Trường hợp a = b = c ⇒ a = b = c = 2016 = 672, trường hợp có nghiệm • Trường hợp Chỉ có số trùng Nếu a = b 2a + c = 2016, suy số c nhận giá trị chẳn 2; 4; ; 2014 nên có 1007 nghiệm, trừ nghiệm (672; 672; 672) ta 1006 nghiệm Xét tương tự b = c, c = a, trường hợp có × 1006 = 3018 nghiệm Suy ra, phương trình a + b + c = 2016 có C2015 − − 3018 = 2026086 nghiệm ( a; b; c) ba số a, b, c 2026086 đôi khác Trong số 2026086 nghiệm trên, có = 337681 nghiệm thỏa mãn a < b < c 3! Vậy có tất 337681 số tự nhiên abc thỏa đề Câu 180 Cho đa giác có 18 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Gọi X tập tam giác có đỉnh đỉnh của đai giác Tính xác suất để chọn tam giác từ tập X Tài liệu sưu tầm LATEX 82 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn tam giác cân khơng phải tam giác Lời giải Qua ba đỉnh đa giác tạo thành tam giác nên số tam Có 18 cách giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác n (Ω) = C18 chọn đỉnh đa giác đỉnh có cách chọn đỉnh lại để tam giác cân không Số tam giác cân không 128 21 18.7 = 126 Xác suất cần tìm P( A) = = 136 C18 Câu 181 Trên mặt phẳng Oxy, ta xét hình chữ nhật ABCD với điểm A(−2; 0), B(−2; 2), C (4; 2), D (4; 0) (hình vẽ) Một châu chấu nhảy hình chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật cho chân ln đáp xuống mặt phẳng điểm có tọa độ nguyên (tức điểm có hồnh độ tung độ ngun) Tính xác suất để đáp xuống điểm M( x; y) mà x + y < y B A C E O I D x Lời giải Số điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật · = 21 điểm x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} y ∈ {0; 1; 2} Để châu chấu đáp xuống điểm M( x, y) có x + y < châu chấu nhảy khu vực hình x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} thang BEI A Để M ( x, y) có tọa độ nguyên Nếu x ∈ {−2; −1} y ∈ {0; 1; 2} ⇒ y ∈ {0; 1; 2} có · = điểm Nếu x = y ∈ {0; 1} ⇒ có điểm Nếu x = ⇒ y = ⇒ có điểm Suy có tất + + = điểm thỏa mãn = Vậy xác suất cần tính P = 21 Câu 182 Trong trận đấu bóng đá hai đội U23 Việt Nam U23 Iraq, trọng tài cho đội Iraq hưởng đá phạt 11m Cầu thủ sút phạt ngẫu nhiên vào bốn vị trí 1, 2, 3, thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến bốn vị trí với xác suất (thủ môn cầu thủ sút phạt khơng đốn ý định đối phương) Biết cầu thủ sút thủ môn bay vào vị trí thủ mơn cản phá cú sút đó, vào vị trí xác suất cản phá thành cơng 50% Tính xác suất để cú sút khơng vào lưới Tài liệu sưu tầm LATEX 83 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Lời giải Gọi Ai biến cố cầu thủ sút vào vị trí i; Bi biến cố thủ mơn bay người đến vị trí i (i = 1, 2, 3, 4) Dễ thấy P( Ai ) = P( Bi ) = Gọi C biến cố cú sút khơng vào lưới Ta có P(C ) = P( A1 ) P( B1 ) + P( A2 ) P( B2 ) + P( A3 ) P( B3 ) + P( A4 ) P( B4 ) = 2 16 Câu 183 Cho A tập tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị chữ số Lời giải Gọi A biến cố “Chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị chữ số 1” Ta có số số tự nhiên có chữ số · 104 = 90000, suy n(Ω) = 90000 Gọi số tự nhiên có chữ số, chia hết cho chữ số hàng đơn vị chữ số x = abcd1 Ta có x = abcd1 = 10abcd + = 3abcd + + 7abcd Do x chia hết cho 3abcd + chia hết cho 7, nghĩa ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ Suy n( A) = 1286 ⇒ P( A) = 3abcd + = 7k, k ∈ N k−1 abcd = 2k + , k∈N k−1 , t∈N abcd = 7t + 2, t = 1000 7t + 9999, t ∈ N 998 9997 t , t∈N 7 t ∈ {143; 144; ; 1428} 1286 643 = 90000 45000 Câu 184 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên điểm thuộc tập S = {( a; b)| a, b ∈ Z; | a| 4; |b| 4} Nếu điểm có xác suất chọn nhau, tính xác suất để chọn điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ khơng vượt q Lời giải Tính số phần tử không gian mẫu n(Ω) Gọi M( x; y) điểm cho x, y ∈ Z |x| |y| 4 , x ∈ {0; ±1; ±2; ±3; ±4} y ∈ {0; ±1; ±2; ±3; ±4} Vậy số điểm M ( x; y) là: n(Ω) = 9.9 = 81 Tính số phần tử biến cố A.Gọi M( x; y) thỏa mãn x, y ∈ Z OM  x ∈ Z x, y ∈ Z x2 + y2 ⇔ x ∈ {0; ±1; ±2}   y − x2 Tài liệu sưu tầm LATEX 84 ⇔ x, y ∈ Z x + y2 ⇔ Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ • Nếu x = y2 Chinh Phục Olympic Toán ⇒ y ∈ {0; ±1; ±2} Có cách chọn • Nếu x = ±1 y2 ⇒ y ∈ {0; ±1} Có 3= cách chọn • Nếu x = ±2 y2 ⇒ y = Có cách chọn Vậy có tất + + = 13 cách chọn điểm M Tức n( A) = 13 Vậy P( A) = 13 81 Câu 185 Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi M tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác lấy từ S cho tổng chữ số hàng đơn vị, hàng chục hàng trăm lớn tổng chữ số hàng cịn lại đơn vị Tính tổng T phần tử tập hợp M Lời giải Gọi số có chữ số thỏa mãn yêu cầu ra, có dạng abcde f d + e + f = 12 Ta có a + b + c + = d + e + f , suy a + b + c = Các tập số thỏa mãn { a, b, c} {1, 2, 6}, {2, 3, 4} {1, 3, 5} Các tập số tương ứng thỏa mãn {d, e, f } {3, 4, 5}, {1, 5, 6} {2, 4, 6} Có ba tập số { a, b, c}, {d, e, f } mà tập số số a, b, c, d, e f xuất 12 lần Tổng số số tập M T = · 12 ( a + b + c)(105 + 104 + 103 ) + (d + e + f )(102 + 10 + 1) = 36.011.952 Câu 186 Cho quân cờ đứng vị trí trung tâm bàn cờ × (xem hình vẽ) Biết rằng, lần di chuyển, quân cờ di chuyển sang có cạnh với đứng Tính xác suất để sau bốn lần di chuyển, qn cờ khơng trở vị trí ban đầu Lời giải Quân cờ có bốn hướng di chuyển trái, phải, lên, xuống Số cách quân cờ di chuyển tùy ý sau lần di chuyển 44 Để qn cờ vị trí ban đầu có trường hợp • Mỗi hướng lần, có 4! = 24 cách • Di chuyển lần lên lần xuống dưới, di chuyển lần sang trái lần sang phải, có 4! 2· = 12 cách 2! · 2! 24 + 12 55 Xác suất cần tìm − = 64 Câu 187 Một trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn có đáp án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh không học đánh hú họa câu trả lời (giả sử học sinh chọn đáp án cho đủ 10 câu hỏi) Tìm xác suất để học sinh nhận điểm Lời giải Gọi a b số câu chọn đáp án sai (a, b ∈ N, a + b = 10) Để nhận điểm 4a − 2b < Vì a + b = 10 nên b = 10 − a Do vậy, 4a − 2(10 − a) < ⇔ 6a < 21 ⇔ a < 3,5 Tài liệu sưu tầm LATEX 85 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn • Với a = ⇒ b = 10 ⇒ xác suất xảy trường hợp 0,7510 = 0,05631 · 0,251 · 0,759 = 0,18771 • Với a = ⇒ b = ⇒ xác suất xảy trường hợp C10 · 0,252 · 0,758 = 0,28156 • Với a = ⇒ b = ⇒ xác suất xảy trường hợp C10 · 0,253 · 0,757 = 0,22028 • Với a = ⇒ b = ⇒ xác suất xảy trường hợp C10 Vậy xác suất để học sinh nhận điểm 0,05631 + 0,18771 + 0,28156 + 0,22028 = 0,77586 Câu 188 Cho tứ giác ABCD Trên cạnh AB, BC, CA, AD lấy 3; 4; 5; điểm phân biệt khác điểm A, B, C, D cho ba điểm ba cạnh khơng thẳng hàng Số tam giác phân biệt có đỉnh điểm vừa lấy Lời giải Số cách lấy điểm từ điểm lấy C18 Để lấy ba điểm không tạo thành tam giác, ta lấy ba điểm nằm cạnh số C33 + C43 + C53 + C63 = 35 − 35 = 781 Vậy số tam giác có ba đỉnh thuộc điểm cho C18 D C A B Câu 189 Cho tập X = {6; 7; 8; 9}, gọi E tập số tự nhiên khác có 2018 chữ số lập từ chữ số tập X Chọn ngẫu nhiên số tập E, tính xác suất để chọn số chia hết cho Lời giải Gọi An , Bn tập E gồm số có n chữ số với An tập số chia hết cho Bn tập số không chia hết cho Với số thuộc An có hai cách thêm vào cuối chữ số để An+1 hai cách thêm vào cuối chữ số chữ số để Bn+1 Với số thuộc Bn có cách thêm vào cuối chữ số chữ số để An+1 có ba cách thêm số để Bn+1 | An+1 | = 2| An | + | Bn | Như ⇒ | Bn+1 | = 3| An+1 | − 4| Bn | ⇒ | An+1 | = 5| An | − 4| An−1 | | Bn+1 | = 2| An | + 3| Bn | Hay | An | = 5| An−1 | − 4| An−2 | Xét dãy an = | An |, ta có a1 = 2, a2 = 6, an = 5an−1 − 4an−2 với n 42018 + 2 Nên an = α + β · 4n = + · 4n Suy ra, có số chia hết cho 3 3 1 Mà | E| = 42018 Vậy xác suất cần tìm P = · + 4035 Câu 190 Chọn ngẫu nhiên hàm số y = f ( x ) có tập xác định R \ {0} thỏa mãn đòng thời điều kiện f (1) = 3, f − ∈ Z f − −1 ∈ [−10 ; 10]; f ( x ) dx −2 f ( x ) dx; 1 f ( x ) = − , ∀ x = Tính xác suất để hàm số chọn thỏa mãn f (−1) ∈ N∗ x Tài liệu sưu tầm LATEX 86 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Lời giải    + C1 x > Từ giả thiết ta có Ta có f ( x ) = 1x   + C2 x < x f (1) = ⇔ + C1 = ⇔ C1 = Và đồng thời −1 f ( x ) dx ⇔ (ln | x | + C2 x )|− −2 f ( x ) dx −2 ⇔ C2 − ln − f (ln | x | + C1 x )|12 − 2 + ln ⇔ C2 + ln ∈ Z ⇔ (−2 + C2 ) ∈ Z ⇔ C2 ∈ Z ∈ [−10 ; 10] ⇔ −10 −2 + C2 10 ⇔ −8 (1) (2) C2 12 (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ C2 ∈ {−8 ; −7 ; ; 3} Suy có 12 hàm số y = f ( x ) thỏa mãn giả thiết tốn Do n (Ω) = 12 Gọi A biến cố: “Hàm số chọn thỏa mãn f (−1) ∈ N∗ ” Ta có f (−1) ∈ N∗ ⇔ (−1 + C2 ) ∈ N∗ ⇒ C2 ∈ {2 ; 3} ⇒ n ( A) = Vậy xác suất cần tính P ( A) = n ( A) = = n (Ω) 12 Câu 191 Từ hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ đến 100 lấy ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất biến cố A="Số ghi thẻ số đo cạnh tam giác" Lời giải = 161700 Gọi x, y, z số ghi thẻ lấy thỏa mãn u cầu tốn Ta có n(Ω) = C100 Đặt Ak = {( x; y; z)| x, y, z ∈ {1, 2, , 100} , x < y < z = k, x + y > z} ⇒ n( A) = | A1 | + | A2 | + | A3 | + + | A100 | Tính Ak với k 100.Dễ thấy |A1 | = |A2 | = |A3 | = • Trường hợp k chẵn,k = 2m(m 2) Xét x m,⇒ k = 2m 2x ⇒ k − x x ; x + y > z ⇒ y > k − x x ⇒ k − x + y z − Ta có số cách chọn y (k − 1) − (k − x + 1) + = ( x − 1) Xét x > m ⇒ x + y > 2x > 2m = z, thỏa mãn điều kiện Suy x + y z − = 2m − Ta có số cách chọn y (2m − 1) − ( x + 1) + = 2m−1 m (2m − x + 1) Vậy, với k = 2m ta có | Ak | = ∑ ( x − 1)+ x =1 ∑ (2m − x − 1) = (m − 1)2 x = m +1 • Trường hợp k lẻ,k = (2m + 1)(m 2) Xét x m, ta có k = 2m + > 2x ⇒ (k − x ) > x; x + y > z ⇒ y > k − x > x ⇒ k − x + y z − Ta có số cách chọn y (k − 1) − (k − x + 1) + = x − Xét x > m, ta thấy ∀y cho ( x + 1) y (z − 1) ta cóx + y x + x + = 2x + > 2m + = z, thỏa mãn điều kiện Ta có số cách chọn y (2m + − 1) − ( x + 1) + = (2m − x ) Vậy, với k = 2m + ta có m | Ak | = ∑ 2m ( x − 1)+ x =1 ∑ (2m − x ) = m(m − 1) x = m +1 ⇒ n( A) = | A1 | + | A2 | + | A3 | + + | A100 | = (| A1 | + | A3 | + + | A99 |) + (| A2 | + | A4 | + + | A100 |) 49 ⇒ n( A) = ∑ 50 m(m − 1)+ m =0 Tài liệu sưu tầm LATEX ∑ (m − 1)2 = 39200 + 40425 = 79625 m =1 87 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Vậy P( A) = Chinh Phục Olympic Toán n( A) 79625 65 = = n(Ω) 161700 132 Câu 192 Cho tập hợp số A = {1; 2; 3; ; 2019} Lấy ngẫu nhiên hai số, tính xác suất để lấy hai số mà bình phương số cộng ba lần số số phương Lời giải Gọi hai số lấy đồng thời từ tập A thỏa mãn yêu cầu toán x, y ( x, y ∈ Z∗+ , x = y) Không làm tính tổng quát giả sử x > y Ta có x2 + 3y = k2 (k ∈ Z∗+ , k > x ) Ta thấy 4x > 3x > 3y Đặt k = x + t ( t 1) Nếu t x2 + 2xt + t2 = k2 ⇒ 2xt + t2 = 3y ⇒ 3y 2xt 4x, vô lý 3y − 9y − Nên t < ⇒ t = Khi đó, 2x + = 2y ⇒ x = , 3x = < 6y (∗) 2 Tương tự y2 + 3x = m2 (m ∈ Z∗+ , m > y) Đặt m = y + z Nếu z m2 = y2 + 2yz + z2 ⇒ 3x = 2yz + z2 ⇒ 3x 2yz 6y (vô lý với (∗)), nên z < ⇒ z = {1, 2} 9y − Với z = ⇒ = 2y + ⇒ y = 1, x = (loại) 9y − = 4y + ⇒ y = 11, x = 16 Với z = ⇒ Suy ( x; y) = (16; 11), số phần tử biến cố Vậy xác suất biến cố C2019 Câu 193 Nhân dịp chào năm 2019 sinh nhật lần thứ 27 ông chủ shop thời trang tiếng Bắc Giang Shop mở chương trình tri ân khách hàng bốc thăm trúng thưởng Mỗi khách hàng bốc ngẫu nhiên phiếu 2019 phiếu đánh số số tự nhiên liên tiếp từ đến 2019 Biết giải dành cho khách hàng bốc ba phiếu mà tích số ghi ba phiếu chia hết cho 27 Cơ Huệ khách hàng thân thiết mời bốc thăm Xác suất (được làm tròn đến hàng phần trăm) để cô Huệ trúng giải Lời giải Bài toán viết gọn lại sau Cho tập hợp A = { x ∈ N|1 x 2019} Lấy ngẫu nhiên ba số từ tập A Tính xác suất để lấy ba số có tích chia hết cho 27 (xác suất làm tròn đến hàng phần trăm) Số phần tử không gian mẫu |Ω| = C2019 Ta chia tập A thành tập sau • Tập X gồm số chia hết cho 27 | X | = 2019 = 74 27 • Tập Y gồm số chia hết cho không chia hết cho 27 |Y | = • Tập K gồm số chia hết cho không chia hết cho |K | = • Tập T gồm số không chia hết cho | T | = 2019 − 2019 − 74 = 150 2019 − 74 − 150 = 449 2019 = 1346 Tính số khả xảy để tích ba số lấy khơng chia hết cho 27 • Trường hợp Lấy số thuộc tập T có C1346 cách cách • Trường hợp Lấy số thuộc tập T số thuộc tập K có C1346 C449 cách • Trường hợp Lấy số thuộc tập T số thuộc tập Y có C1346 C150 cách • Trường hợp Lấy số thuộc tập T số thuộc tập K có C1346 C449 Vậy xác suất để cô Huệ trúng giải − Tài liệu sưu tầm LATEX + C2 1 C1346 + C1346 C449 1346 C150 + C1346 C449 ≈ 0, 21 C2019 88 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Câu 194 Xét tập hợp gồm A = ax2 + bx + c, ax2 + bx, ax2 + c, ax2 (trong a, b, c số nguyên dương nhỏ hơn) Lấy ngẫu nhiên tam thức bậc hai thuộc A Tính xác suất để lấy tam thức bậc hai mà ghép hệ số x theo thứ tự từ bậc cao tới bậc thấp số chia hết cho 11 Lời giải Vì tam thức bậc hai có bốn dạng xảy • Dạng đầy đủ ax2 + bx + c ta thu số nguyên abc • Dạng khuyết c ax2 + bx ta thu số nguyên ab • Dạng khuyết b ax2 + c ta thu số nguyên ac • Dạng khuyết b, c ax2 ta thu số nguyên a đó, a, b, c ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Do có 729 số có chữ số khác 0; 81 số có hai chữ số có chữ số khác số có chữ số khác khơng Suy có 729 × 81 × + = 900 tam thức bậc hai Vì vậy, số phần tử khơng gian mẫu 900 Nhận xét Các số nguyên chia hết cho d có dạng dk với k số nguyên dương Do đó, số số nguyên n dương chia hết cho d không vượt n số số nguyên k với < kd n hay < k Vì d n n có số ngun khơng vượt q n chia hết cho d Trong số ngun khơng vượt q n Theo d d nhận xét • Số số có chữ số (các chữ số khác 0) chia hết cho 1; • Số số có chữ số (các chữ số khác 0) chia hết cho 12; • Số số có chữ số (các chữ số khác 0) chia hết cho 115; • Số số có chữ số (các chữ số khác 0) chia hết cho 11 0; • Số số có chữ số (các chữ số khác 0) chia hết cho 11 9; • Số số có chữ số (các chữ số khác 0) chia hết cho 11 72; • Số số có chữ số (các chữ số khác 0) chia hết cho 77 0; • Số số có chữ số (các chữ số khác 0) chia hết cho 77 1; • Số số có chữ số (các chữ số khác 0) chia hết cho 77 10; Suy có (1 + 12 + 115) + (0 + + 72) + (12 + − 1) − − − 10 = 218 tam thức bậc hai có hệ số ghép (theo thứ tự từ bậc cao tới bậc thấp) tạo thành số chia hết cho 11 Vậy xác suất để lấy tam thức 218 bậc hai thỏa mãn toán P = 900 Câu 195 Cho dãy số (un ) xác định sau Số hạng thứ n số số tự nhiên có n chữ số gồm chữ số 1, 2, số có mặt lần Tìm tổng số hạng Lời giải Ta tìm số hạng tổng quát (un ) Xét n = 1, n = rõ ràng u1 = u2 = Bài toán phụ Ta xác định xem có số có n chữ số, chữ số 1, 2, cho chữ số xuất hay hai ba chữ số cho • Số số có n chữ số có mặt ba chữ số {1, 2, 3} (11 1, 22 2, 33 3) • Trong ba số 1, 2, có C32 tập gồm chữ số Tài liệu sưu tầm LATEX 89 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Xét số gồm hai số 1,2 Mỗi chữ số có cách chọn nên có 2n số có n chữ số tạo thành từ{1, 2} Nên có 2n – số có n chữ số tạo thành từ {1, 2} chữ số có mặt lần (trừ 11 1, 22 2) Từ đó, số số gồm n chữ số có mặt hai ba chữ số {1, 2, 3} C32 (2n − 2) Mặt khác có tất 3n số số tự nhiên có n chữ số tạo thành từ chữ số {1, 2, 3} Do có tất 3n − C32 (2n − 2) − = 3n − 3.2n + số số tự nhiên có n chữ số tạo thành từ chữ số {1, 2, 3} số có mặt lần u1 = u2 = Suy dãy số (un ) hay (un ) = 3n − 3.2n + un = 3n − 3.2n + (n 3) 9 9 310 − 210 − Vậy ∑ ui = ∑ 3i − 3.2i + = ∑ 3i − ∑ 2i + 27 = − + 27 = 26484 3−1 2−1 i =1 i =1 i =1 i =1 Câu 196 Hai người bắn độc lập vào mục tiêu, người bắn lần Xác suất trúng người thứ 0,9; người thứ hai 0,7 Tìm giá trị lớn biểu thức M = 13p − 10p2 , p xác suất biến cố Lời giải Gọi A1 biến cố người thứ bắn trúng, A2 biến cố người thứ hai bắn trúng Khi p ( A1 ) = 169 13 13 0, 9; p ( A2 ) = 0, Ta có M = 13p − 10p2 = − 10 p − Do M lớn p − 40 20 20 0.A = ∅ nhỏ Giả sử p xác suất biến cố A Ta quy ước 1.A = A Khi A = xA1 A2 + yA1 A2 + zA1 A2 + tA1 A2 , x, y, z, t ∈ {0; 1} Ta có p = p( A) = x.p ( A1 A2 ) + y.p A1 A2 + z.p A1 A2 + t.p A1 A2 = 0, 63x + 0, 07y + 0, 27z + 0, 03t p− 13 = |0, 63x + 0, 07y + 0, 27z + 0, 03t − 0, 65| = |0, 63x + 0, 07y + 0, 27z + 0, 03t − 0, 65| 20 Nếu x = p − 13 = |0, 07y + 0, 27z + 0, 03t − 0, 02| 20   y = 13 = 0, 01 Nhẩm với y; z; t ∈ {0; 1} |0, 07y + 0, 27z + 0, 03t − 0, 02| nhỏ z = Khi p −  20  t=1 13 Nếu x = p − = |0, 07y + 0, 27z + 0, 03t − 0, 65| 20 Ta có y; z; t ∈ {0; 1} ⇒ y; z; t ⇒ 0, 07y + 0, 27z + 0, 03t 0, 37 −0, 65 0, 07y + 0, 27z + 0, 03t − 0, 65 −0, 28 ⇒ 0, 65 p− 13 20 0, 28 0, 28 > 0, 01 x=t=1 13 = 0, 01 ⇔ 20 169 528 = − 10.0, 012 = 40 125 Từ trường hợp ta thấy p − Khi Mmax |0, 07y + 0, 27z + 0, 03t − 0, 65| y=z=0 Câu 197 Hỏi từ chữ số 1, 2, 3, 4, ta lập tất số có 15 chữ số mà số chữ số có mặt lần khơng có chữ số chiếm vị trí liên tiếp số? Lời giải Gọi X tập gồm tất số thoả mãn yêu cầu đề bài, A tập gồm tất số có 15 chữ số lập nên chữ số 1, 2, 3, 4, mà chữ số có mặt lần số Khi X = A\ Ai i =1 Tài liệu sưu tầm LATEX 90 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn Với Ai tập gồm tất số thuộc A mà chữ số i chiếm vị trí liên tiếp (i = 1, 2, 3, 4, 5) Xét k ta chứng minh k (15 − 2k)! Ai = 35−k i =1 | A| = 15! Áp dụng công thức 35 k n Ai = i =1 ∑ (−1)k−1 k =1 ∑ k Ai ⇒ | X | = i1 β Kí hiệu Pn ( A)là xác suất thắng giải A sau n ván; Ai Bi biến số tương ứng A B thắng ván Khi Pn ( A) = P ( A1 ) Pn−1 ( A| A1 ) + P ( B1 ) Pn−1 ( A| B1 ) = αPn−1 ( A| A1 ) + βPn−1 ( A| B1 ) (*) Trong Pn−1 ( A| A1 )là xác suất A thắng giải sau n − ván lại, A thắng ván đầu tiên; Pn−1 ( A| B1 )là xác suất A thắng giải sau n − ván lại, B thắng ván Xét n > Để A thắng giải sau n − ván lại, A thắng ván đầu, B phải thắng ván thứ hai, nghĩa Pn−1 ( A| A1 ) = P ( B1 ) Pn−2 ( A) = βPn−2 ( A) Tương tự Pn−1 ( A| B1 ) = P ( A1 ) Pn−2 ( A) = αPn−2 ( A) Từ (*) ta có Pn ( A) = 2αPn−2 ( A), suy P4 ( A) = 2αβα2 , , P2n ( A) = 2αβn−1 α2 Khi n = 2ta có P2 ( A) = α2 Vì khơng có ván hồ nên α + β = 1, xác suất thắng giải A là: ∞ P( A) = ∑ P2k ( A) = α2 + 2αβ + (2αβ)2 + = k =1 α2 α2 = − 2αβ α + β2 Bài toán giải ———- Hết ———- Tài liệu [1] Tổ hợp xác suất Nguyễn Minh Đức [2] Trắc nghiệm nâng cao tổ hợp xác suất – Đặng Việt Đông [3] Bài tốn chia kẹo Euler ứng dụng – Lục Trí Tuyên [4] Tổ hợp xác suất – Nhóm ham học toán [5] Các đề thi thử nước [6] Tuyển tập câu hỏi VDC xác suất - Strong Team Toán VD - VDC [7] Nguồn tài liệu từ Internet Tài liệu sưu tầm LATEX 91 Tạp chí tư liệu tốn học ...CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Sưu tầm LATEX Tạp chí tư liệu toán học Cách thời gian lâu, fanpage có đăng tài liệu tổ hợp xác xuất... tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh Phục Olympic Tốn • a1 < 4: – Vị trí a1 có cách chọn – Số cách xếp số vào vị trí cịn lại 4! = 24 cách • a1 = 4, a2 < 5: – Vị trí a1 có cách chọn – Vị... text nhé!) Các tốn đếm liên quan tới đa giác - Lê Thảo Các tốn đếm, xác suất khó - Tạp chí tư liệu toán học Tài liệu sưu tầm LATEX 12 Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN ĐẾM - XÁC SUẤT KHĨ Chinh