Tuyển tập 200 bài tích phân hay và khó ôn thi quốc gia môn toán

http://hocmaivn.com Trn S Tựng Bi Tớch phõn TP1: TCH PHN HM S HU T Dng 1: Tỏch phõn thc Cõu x2 I =ũ x - x + 12 dx 2 ổ 16 ã I = ũ ỗ1 + ữdx = ( x + 16 ln x - - ln x - ) = + 25ln - 16 ln x -4 x -3ứ ố Cõu dx I =ũ x5 + x3 1 ã Ta cú: =- x ( x + 1) 1 x + + x x3 x2 + ộ ự2 1 3 ị I = - ln x + ln( x + 1)ỳ = - ln + ln + 2 2 2x ỷ1 Cõu 3x + I =ũ x - x - 5x + dx ã I = - ln 13 14 + ln + ln 15 Dng 2: i bin s Cõu I =ũ ( x - 1)2 (2 x + 1)4 Cõu dx ( x - 1)99 I =ũ 101 ( x + 1) ổ 7x - ã I = ũỗ ữ ố 2x + ứ 99 ổ x -1 ã Ta cú: f ( x ) = ỗ ữ ố 2x + ứ (x Cõu 5x I =ũ I= ũ Cõu I= ũ 2 + 4) 99 ổ 7x - 1 ổ 7x - = ũỗ dỗ ữ ữ ( x + 1)2 ố x + ứ ố x + ứ dx 100 Cõu ổ x - ửÂ ổ x -1 ỗ ữ ịI = ỗ ữ +C ố 2x + ứ ố 2x + ứ dx 1 ổ 7x - = ì ỗ ữ 100 ố x + ứ dx dx x ( x + 1) ộ 100 ự = ở2 - 1ỷ 900 ã t t = x + ị I = ã t t = x ị I = ổ1 t ũ ỗ t - t + ữdt = ln ố ứ dx x (1 + x ) http://hocmaivn.com Trang http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn ã t : x = ị I =t 3 ũ t6 dt = t2 + Trn S Tựng ổ 117 - 41 p + ỗt - t +1- ữ dt = 135 12 t + ố ứ ũ Cõu I =ũ x7 Cõu 10 I = ũ (1 + Cõu 11 I = ũ x )5 - x7 x (1 + x ) (1 + x dx dx ã t t = + x ị dt = xdx ị I = dx ã I =ũ x 2001 Cõu 12 I = ũ 1 32 dt ã I =ũ t t = x ị I = ũ 10 2 t (t + 1)2 x ( x + 1) x.( x10 + 1)2 ã I =ũ dx x )1002 128 - t dx t t = x ị I = ũ dt 7 t (1 + t ) x (1 + x ) 1 x (1 + x )1002 Cỏch 2: Ta cú: I = (1 - x ).x dx x 2004 (t - 1)3 1 dt = ũ 21 t 25 1 dx t t = + ị dt = dx 1002 x x ổ x ỗ + 1ữ ốx ứ dx = ũ 11 x 2000 xdx t t = + x ị dt = xdx ũ 2000 2 (1 + x ) (1 + x ) 1000 (t - 1)1000 2ổ 1ử ị I= ũ dt = ũ ỗ - ữ t1000t 2 1ố t ứ ổ 1ử d ỗ1 - ữ = ố t ứ 2002.21001 Cõu 13 I = ũ x (1 - x )6 dx ã t t = - x ị dt = -3x 2dx ị dx = Cõu 14 I = ũ -dt 3x ịI = 11 ổ t t8 t (1 t ) dt = ỗ - ữ= ũ 30 ố ứ 168 xdx ( x + 1)3 x x + 1-1 1 ã Ta cú: = = ( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 ị I = ũ ộở( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 ựỷdx = 3 ( x + 1) ( x + 1) Cõu 15 I = ũ + x2 11+ ã Ta cú: ị I=ũ x4 1+ x 1+ = 1+ x4 dt t2 - dx = http://hocmaivn.com x t t = x - ị dt = ổ + dx ỗ ữ x x2 ứ ố x2 + x 2ổ ũỗ t1ố - ổ -1ử t - 3/ ln = ln ỗ ữ ữ dt = 2 t+ 2 ỗố + ữứ t+ 2ứ Trang http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng - x2 Cõu 16 I = ũ 11+ x4 1- x Bi Tớch phõn dx -1 ổ 1 dt = x t t = x + ị dt = ỗ - ữ dx ị I = - ũ 2 x 1+ x x t + ố ứ x + x du 5 t t = tan u ị dt = ; tan u = ị u1 = arctan 2; tan u = ị u2 = arctan 2 cos u ã Ta cú: u2 ị I= u1 x4 + Cõu 17 I = ũ dx x +1 x4 + ã Ta cú: x6 + 1 ị I =ũ x2 + Cõu 18 I = ũ = 1- x Cõu 20 I = ũ x - x2 + I= 3 ũ ã I= 3 ũ +1 x4 -1 x = x2 + x2 + + x2 x6 + 1 dt 11 = 0ũ t + t + 0ũ dt ổ 1ử ổ 3ử ữ ỗt + ữ + ỗ ố 2ứ ố ứ = p x2 x2 t t = x -1 ổ 1 ị dt = ỗ + ữ dx x x2 ứ ố p du cos2 u ị I = ũ du = p dx ( x - 1)( x + 1) http://hocmaivn.com 1 t t = tan u ị dt = x2 x6 + = dx 1+ x4 - x2 + 0t x2 ã t t = x ị I = x2 + dt ( x + 1)( x - x + 1) + -1 x ã Ta cú: I = ũ dx t t = x + ị I = ln x +x x x +1 x4 - x2 + dx ã Ta cú: = 1 d (x3 ) p 1p p dx = + = ũ ( x )2 + 34 x + x +1 Cõu 21 x6 + xdx 1+ ị I =ũ ( x - x + 1) + x dx + 1x+x Cõu 19 I = ũ 2ổ (u2 - u1 ) = ỗ arctan - arctan ữ 2 ố ứ ũ du = dx = 3 ổ ũ 1 p + dx = ln(2 - 3) + ỗ ữ 12 ố x - x2 + ứ Trang http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn Trn S Tựng TP2: TCH PHN HM S Vễ T Dng 1: i bin s dng x I =ũ Cõu dx 3x + x - x ã I =ũ dx = ũ x (3x - x - 1)dx = ũ x 2dx - ũ x x - 1dx 3x + x - + I1 = ũ 3x dx = x + C1 1 + I = ũ x x - 1dx = ũ x - d (9 x - 1) = (9 x - 1) + C2 18 27 ị I= x2 + x I =ũ Cõu ã (9 x - 1) + x + C 27 ũ x2 + x 1+ x x x2 dx = ũ x2 + I1 = ũ ị 1+ x x dx 1+ x x 1+ x x x 1+ x x Vy: I = ( dx = 1+ x x 2x + Cõu I =ũ Cõu I =ũ Cõu I = ũ x - x dx 01+ 2x + ) dx + + 4x + Cõu I =ũ 1+ x 01+ x ( 1+ x x ) - t(t - 1)dt + x x + C1 +C 1 dx d (1 + x x ) = + x x + C2 ũ 3 1+ x x dx 2x 1+ x x dx t t= + x x t - = x x x = (t - 1)2 x 2dx = 4 4 ũ (t - 1)dt = t - t + C = + I2 = ũ x dx + ũ ã t t = x + I = t2 ũ + t dt =2 + ln ã t t = x + I = ln 12 ã t: t = - x ị I = ũ ( t - t ) dt = 15 dx ổ t +t 11 ã t t = x ị dx = 2t.dt I = 2ũ dt = ũ ỗ t - t + - ln ữdt = t +1 1+ t ứ ố 0 Cõu I =ũ x -3 dx x + + x + http://hocmaivn.com Trang http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng 2t - 8t 1t ã t t = x + ị 2tdu = dx ị I = ũ Cõu I= ũx + 3t + Bi Tớch phõn 2 dt = -3 + ln t +1 dt = ũ (2t - 6)dt + ũ x + 1dx -1 1 ổ t7 t4 ã t t = x + ị t = x + ị dx = 3t dt ị I = ũ 3(t - 1)dt = ỗ - ữ = 28 ố ứ0 3 Cõu x2 + 1 x 3x + I =ũ dx ổ t2 - ỗ ữ +1 4ỗ ữ 2tdt 2tdt ứ ã t t = 3x + ị dx = ị I =ũố 3 t2 - t 4 2ổ1 t -1 100 = ỗ t - t ữ + ln = + ln 9ố3 t + 27 ứ2 Cõu 10 I = ũ 2x2 + x - x +1 = 24 dt ( t 1) dt + ũ ũ 92 t -1 dx x + = t x = t - ị dx = 2tdt ã t 2(t - 1)2 + (t - 1) - ị I =ũ 2tdt t 1 2 ổ 4t 54 = 2ũ (2t - 3t )dt = ỗ - 2t ữ = ố ứ1 x 2dx Cõu 11 I = ũ ( x + 1) x +1 ã t t = x + ị t = x + ị 2tdt = dx ịI = ũ (t - 1)2 t3 Cõu 12 I = ũ 2tdt =2 ũ x +1 + 2x ) (1 + 2 ổ t3 ổ 1ử 1ử 16 - 11 t dt = ỗ - 2t - ữ = ỗ ữ t ứ1 ố tứ ố3 dx t - 2t ã t t = + + x ị dt = ị dx = (t - 1)dt v x = + 2x dx Ta cú: I = (t - 2t + 2)(t - 1) t - 3t + 4t - 4ổ 2ử dt = dt = t - + - ữdt ỗ ũ ũ ũ 22 22 2ố t t2 ứ t2 t2 = Cõu 13 I = ũ ổ t2 2ử ỗ - 3t + ln t + ữ = ln 2 ỗố t ữứ x -1 x +1 http://hocmaivn.com dx Trang http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn Trn S Tựng ( ) ổ x ộ ự ã I= ũỗ dx = x + - ln x + x + ỷ ữ ỗ ữ x2 + ứ ố x +1 = + ln ( + ) - ln ( + 3) Cõu 14 I = ũ ( x - 1)3 x - x dx ã I = ũ ( x - 1) Cõu 15 I = ũ x - x dx = ũ ( x - x + 1) x - x ( x - 1)dx t t = x - x ị I = x3 - 3x + x x2 - x + 1 2 15 dx ( x - x )(2 x - 1) dx t t = x - x + ị I = ũ (t - 1)dt = x2 - x + 1 ã I =ũ Cõu 16 I = ũ x 3dx + x2 ã t t = + x ị x = t - ị xdx = 3t 2dt ị I = 3ổ8 (t - 4t )dt = - ỗ + ữ ũ 23 2ố5 ứ Cõu 17 I = dx ũ x + + x2 -1 + 1 + x - + x2 1ổ1 + x2 ã Ta cú: I = ũ dx = ũ dx = ũ ỗ + 1ữ dx - ũ dx 2 2x -1 ố x ứ 2x -1 (1 + x ) - (1 + x ) -1 -1 + I1 = + I2 = 1 + x - + x2 1ổ1 1 ỗ + ữ dx = ộở ln x + x ựỷ |-1 = ũ -1 ố x ứ ũ -1 + x2 dx t t = + x ị t = + x ị 2tdt = xdx ị I2= 2x Vy: I = ũ t 2dt 2 2(t - 1) =0 Cỏch 2: t t = x + x + Cõu 18 I = ũ Cõu 19 I = ũ 1 3 -x (x ) x4 - x2 ũ dx - x2 dx x ã Ta cú: I = ũ ịI= ổ ử3 1 ã Ta cú: I = ũ ỗ - 1ữ dx t t = -1 ị I = x x x ố ứ t(-tdt ) - t2 http://hocmaivn.com x xdx t t = t2 - x ị t = - x ị tdt = - xdx ổ t-2 = ũ dt = ũ (1 + )dt = ỗ t + ln ữ 2 t+2 ứ t t ố 3 Trang ổ 2- ữ = - ỗ + ln ỗ ữ + 3 ố ứ http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng Cõu 20 I = Cõu 21 I = x ( x + 1) x + ũ 27 x -2 ũ x+ x x2 + x + 3t -4 15 ln dx ã t t = x + x + x + ị I = 1+ 1+ 2dt = ln(2t + 1) 2t + ũ x2 + x )2 (2 + + x )2 (1 + = ổ ộ 2 5p 2t ự dt = ũ ờ1 - + dt = ỗ - + ln ữ ỳ ứ 12 t t + t + 1ỷ ố t(t + 1) Cõu 23 I = ũ dt t3 - Cõu 22 I = ũ ã t t = x + ị I = ũ dx dx ã t t = x ị I = ũ Bi Tớch phõn = ln 3+ 3 dx ổ 42 36 ã t + + x = t ị I = ũ ỗ 2t - 16 + - ữ dt = -12 + 42 ln t t2 ứ 3ố x2 Cõu 24 I = ũ 2( x + 1) + x + + x x + 2t (t - 1)2 dt ã t t = x + ị I = ũ t(t + 1)2 Cõu 25 I = 2 ũ x - x + 2011x x4 ã Ta cú: I = 2 ũ M= 2 ũ N= 2 x x3 2011 ũ x3 ị I= 1 x2 x3 dx + 2 ũ dx = ũ 2 = ũ (t - 1)2 dt = (t - 1)3 = 3 2011 x3 -1 2 dx -1 dx t t = dx x2 dx = M + N -1 ị M = - - ũ t 3dt = - 2 ộ 2011 ự 2011x dx = ỳ x2 ỷ -3 = 213 128 14077 16 14077 21 16 128 dx Cõu 26 I = ũ (1 + x ) + x 3 3 ã t t = + x ị I = http://hocmaivn.com ũ t2 t (t - 1) 3 dt = ũ dt t (t Trang - 1) http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn = dt ũ ũ = ửự ộ ổ t ờt ỗ - ữ ỳ ố t ứỷ t u = - Cõu 27 I = 2 ũ t3 ị du = 3dt t4 dt = ử3 ị I=ũ u ũ ổ t ỗ1 - ữ ố t ứ 2 ổ 1ử ỗ1 - ữ ố t ứ t4 du = - Trn S Tựng dt -2 u du ũ0 ổ 1 ỗ u3 ử2 ữ = ỗ ữ 3ỗ ữ ỗ ữ ố ứ0 1 = u3 = x4 dx ổ 1ử ỗ x - x ữ x +1 ố ứ ã t t = x + ị I =ũ (t - 1)2 t2 - dt = ũ t - 2t + t2 - 2 3 2t dt = ũ t dt + ũ -2 dt = 19 ổ4+ + ln ỗ ữ ỗố - ữứ Dng 2: i bin s dng 1ổ x ln + x ( ) ữữ dx ỗ 1+ x ứ 0ố Cõu 28 I = ũ ỗ 1- x 1- x ã Tớnh H = ũ 1+ x dx t ộ pự p x = cos t; t ẻ 0; ỳ ị H = 2 2ỷ ỡu = ln(1 + x ) ã Tớnh K = ũ x ln(1 + x )dx t ị K= ợ dv = xdx Cõu 29 I = ũ (x + x ) - x dx -2 ãI= ũ (x + x ) - x dx = -2 ũx - x dx + ũx - x dx = A + B -2 ũx - x dx t t = - x Tớnh c: A = ũx - x dx t x = 2sin t Tớnh c: B = 2p -2 + Tớnh B = -2 + Tớnh A = -2 Vy: I = 2p http://hocmaivn.com Trang http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng (3 - Cõu 30 I = ũ ) - x dx 2x4 2 ã Ta cú: I = ũ 2x + Tớnh I1 = ũ 2x 8ũ p Vy: I = cos tdt sin t dx t x = 2sin t ị dx = cos tdt = p 12 cot 8ũ 1( - 3) 16 x 2dx - x6 Cõu 31 I = ũ dx -4 x dx = ũ 21 16 dx = 2x4 2x p 12 4 - x2 dx - ũ - x2 + Tớnh I = ũ ị I2 = Bi Tớch phõn p p 12 ổ tỗ dt = - ũ cot t.d (cot t ) = ữ 8p ố sin t ứ ã t t = x ị dt = x dx ị I = 1 dt ũ0 - t p ộ pự p t t = 2sin u, u ẻ 0; ỳ ị dt = cos udu ị I = ũ dt = 2ỷ 30 18 Cõu 32 I = ũ 2- x dx x+2 x 2dx Cõu 33 I = ũ x 2dx ã Ta cú: I = ũ 22 - ( x - 1)2 ị I =- ũ 2p Cõu 34 ũ t ã t x = cos t ị dx = -2sin tdt ị I = ũ sin2 dt = p - + 2x - x2 p p 2 t x - = cos t (1 + cos t ) 2sin t - (2 cos t )2 - x - x dx http://hocmaivn.com dt = 2p ũ ( + cos t + cos2t ) dt = p p p 3 + -4 2 ã t x = sin t ị I = ũ (cos t - sin t )cos tdt = Trang p + 12 8 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn Trn S Tựng Dng 3: Tớch phõn tng phn Cõu 35 I = ũ x - 1dx ỡ x ỡùu = x - ùdu = dx ã t ịớ x ùợdv = dx ùv = x ợ ị I = x x2 - =5 2- ũ ị I= - ũ x x - 1dx - x x2 - ũ dx = - dx x2 - ũ ự ỳ dx x - ỳỷ = - I - ln x + x - - ln ( + 1) + ln 2 Chỳ ý: Khụng c dựng phộp i bin x = http://hocmaivn.com ộ x -1 + 2ờ 3 vỡ ộở 2;3ựỷ ẽ [ -1;1] cos t Trang 10 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn Trn S Tựng 2(e - 1) Vy : I = e2 ln( x - + 1) Cõu 26 I = ũ dx x -1 x -1+ ã t t = ln ( x - + 1) ị 2dt = e Cõu 27 I = ũx dx x -1+ x -1 (t - 1)3 dt = t ũ e dt = ln2 - ln2 ln - ln x x + ln x t - 3t + 3t - 1 15 dt = (t - 3t + 3t - )dt = - ln ũ ũ t t 1 dx e xe x + Cõu 30 I = ũ dx x(e x + ln x) http://hocmaivn.com dx = 2tdt v ln3 x = (t - 1)3 x ln x + ln2 x dx x Cõu 29 I = ũ ũ ln x dx + ln x ị I =ũ e ln 3 ã t t = + ln x ị + ln x = t ị Cõu 28 I = ị I =2 ã t t = + ln x ị I = e ũ (2 - t )dt = -5 3 3 ã t t = + ln2 x ị I = ộở 34 - 24 ựỷ ee + ã t t = e + ln x ị I = ln e x Trang 30 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng Bi Tớch phõn Dng 2: Tớch phõn tng phn Cõu 31 I = p ũe s inx sin xdx p ỡu = sin x ỡdu = cos xdx ã I = ũ es inx sin x cos xdx t ịớ sin x cos xdx ợv = esin x ợdv = e ịI p sin x = 2sin xe p -ũe sin x cos xdx p sin x = 2e - 2e =2 Cõu 32 I = ũ x ln( x + x + 1)dx ỡ 2x + du = dx ù ỡu = ln( x + x + 1) ù x + x + ã t ịớ ợdv = xdx ùv = x ùợ x2 1 2x3 + x2 I= ln( x + x + 1) - ũ dx 2 x + x +1 = 3p 11 1 2x + 31 dx ln - ũ (2 x - 1)dx + ũ dx - ũ = ln 20 x2 + x + x2 + x + 12 Cõu 33 I = ũ ln x x +1 dx ỡu = ln x ỡ dx 8 x +1 ù ùdu = ( ) dx ị ã t ị I = x + 1.ln x dx = ln - ln - J x ũ dv = x ùợ ù x + ợv = x + + Tớnh J = ũ 3 3 ổ x +1 t t2 1 dx t t = x + ị J = ũ 2tdt = ũ dt = ũ ỗ + ữ dt 2 x t -1 t + 1ứ t -1 t -1 2ố ổ t -1 = ỗ 2t + ln ữ t +1 ứ ố T ú I = 20 ln - ln - = + ln - ln e x + x ln x + x e dx x Cõu 34 I = ũ e e e x e dx x ã I = ũ xe x dx + ũ ln xe x dx + ũ 1 e e e x e e 1 e x e e dx = ee - ũ dx x x 1 +Tớnh I = ũ e x ln xdx = e x ln x - ũ e + Tớnh I1 = ũ xe x dx = xe x - ũ e x dx = ee (e - 1) e x e dx = ee +1 x Vy: I = I1 + I + ũ http://hocmaivn.com Trang 31 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn e ổ Trn S Tựng + ln2 x ữ dx ứ ố x + ln x ln x Cõu 35 I = ũ ỗ e ln x 1x e + ln x ã Tớnh I1 = ũ dx t t = + ln x ị I1 = 2 3 + Tớnh I = ũ ln2 xdx Ly tớch phõn tng phn ln c I = e - 2 3 ln( x + 1) Cõu 36 I = ũ dx x3 Vy I = e - ỡ 2x ỡu = ln( x + 1) ùdu = ln( x + 1) 2 dx ù ù x + ã t ị Do ú I = +ũ dx 2 dv = x ù ùv = x ( x + 1) x ợ 2x2 ợù = ln ln ổ x ln ln dx d ( x + 1) + ũỗ dx = + ữ ố x x2 + ứ 1ũ x 1ũ x + = ử2 ln ln ổ + ỗ ln | x | - ln | x + 1| ữ = ln - ln ố ứ1 Cõu 37 I = ũ ln( x + 1) x2 dx ỡ dx ỡu = ln( x + 1) ùdu = x + 1 dx ù dx ã t ớ ị I = - ln( x + 1) + ũ = 3ln - ln dv = 1 ( x + 1) x x ùợ ùv = - x2 x ợ ổ1+ x ữ dx ố 1- x ứ Cõu 38 I = ũ x ln ỗ ỡ ộ ự du = dx ỡ 1+ x ù ỳ ổ 1+ x ù ù 2ổ (1 - x )2 ỳ ã t ớu = ln - x ị ị I = x ln ỗ x dx ữ2 ũ ỗ 2ữ 2 x ỳ x x ố ứ ố ứ ùợdv = xdx ùv = 0 ỳỷ ùợ = 2 2ộ ự ln x ln ln3 1 +ũ dx = + ũ ờ1 + dx = + + ln ỳ x -1 ( x - 1)( x + 1) ỷ 2 ổ 1ử Cõu 39 I = ũ x ln ỗ x + ữ dx xứ ố Cõu 40 I = ũ x ln(1 + x )dx http://hocmaivn.com ỡ ổ 1ử 10 ùu = ln ỗ x + ữ ã t x ứ ị I = 3ln - ln + ố ùdv = x 2dx ợ ỡ + x ) ị I = ln + + p ã t ùớu = ln(1 ùợ dv = x dx Trang 32 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng ln x Cõu 41 I = ũ ( x + 1) e Cõu 42 I = Bi Tớch phõn ỡu = ln x ù dx ã t ị dv = ù ( x + 1) ợ dx I = - ln3 + ln ln x + e x (e x + ln x) dx + ex ũ e e ã Ta cú: I = ũ ln x.dx + ũ e2 x 1e x +1 dx = H + K e e ỡ + H = ũ ln x.dx t: ớu = ln x ị H = e - ũ ln x.dx = e - ợdv = dx 1 e e2 x + K=ũ 1e x x +1 dx t t = e + ị ị I = Vy: I = ee + ln x ũ ã Ta cú: I = ũ e x+ x t -1 e +1 dt = ee - e + ln t ee + e +1 ũ e +1 ee + Cõu 43 I = ( x + - )e ee +1 x+ x dx 1 x+ ổ dx + ũ ỗ x - ữ e x dx = H + K xứ 1ố + Tớnh H theo phng phỏp tng phn I1 = H = xe x+ x 2 ịI= x+ 1x 52 ổ - ũ ỗ x - ữ e dx = e - K xứ 1ố e ũ Cõu 44 I = ln( x + - x)dx ( ) ỡù ã t ớu = ln x + - x ị I = x ln ùợdv = dx http://hocmaivn.com ( x + - x) Trang 33 +ũ x x2 + dx = http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn Trn S Tựng TP5: TCH PHN T HP NHIU HM S Cõu 1ổ x I = ũ ỗỗ x 2e x + 1+ x 0ố 1 ã I = ũ x 2e x dx + ũ x 1+ x ữữ dx ứ dx 11 t 1 1 + Tớnh I1 = ũ x e dx t t = x ị I1 = ũ e dt = et = e - 30 3 x3 + Tớnh I = ũ x 1+ x x ã I = ũ xe dx + x2 dx 2 + Tớnh I1 = ũ xe x dx = e2 + Tớnh I = ũ ị I2 = p ũ p cos2 t dt sin2 t Vy: I = e2 + Cõu I =ũ 4-x 1 0 x3 - x2 ị I= dx = I1 + I e2 + dx t t = - x ị I = -3 + 16 e2 61 +3 34 12 Cõu p ) 4-x + Tớnh I1 = ũ x e2 x dx = + Tớnh I = ũ 3- - x - x dx x3 1 = x2 ộ pự dx t x = 2sin t , t ẻ 0; ỳ 2ỷ p ã I = ũ x e2 x dx - ũ - x2 p = (- cot t - t ) p2 ( e2 x x ổ pử dt = ỗ - + ữ ố 4ứ 1+ t ữ dx ữ ứ - x2 ũ t4 dx t t = x ị I = ũ Vy: I = e + p - 3 ổ - x2 Cõu I = ũ x ỗ e x ỗ x3 ố I =ũ x2 + ( x + 1) http://hocmaivn.com e x dx Trang 34 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng 2 ã t t = x + ị dx = dt I = ũ t - 2t + t2 Cõu I= ũ x +1 x e e Bi Tớch phõn ổ ổ e2 2 t -1 dt = ũ ỗ + - ữ e dt = e - + ỗ - + e ữ = ữ e ỗố t2 t ứ 1ố ứ t -1 dx + x2 2 1 ã t t = + x ị dx = tdt ị I = ũ (t - 1)et dt = ũ t 2et dt - et + J = ũ t 2et dt = t 2et = J - ( e - e) ổ 2 2 t - ũ 2te dt = 4e2 - e - ỗ tet - ũ et dt ữ = 4e2 - e - 2(tet - et ) ỗ 1 ữ 1 ố ứ Vy: I = e2 Cõu x ln( x + 1) + x I =ũ x2 + ã Ta cú: f ( x ) = dx x ln( x + 1) + x( x + 1) - x = x ln( x + 1) +x- x x +1 x +1 x +1 x +1 1 ị F ( x ) = ũ f ( x )dx = ũ ln( x + 1)d ( x + 1) + ũ xdx - ũ d ln( x + 1) 2 1 = ln ( x + 1) + x - ln( x + 1) + C 2 ( Cõu I =ũ ã I =ũ ) ln x + x + - x x2 + ( ) ln x + x + - x x2 + + Tớnh I1 = ũ ị I1 = ũ ( x +9 udu = ln 2 x +9 Vy I = ũ )dx - 34 ũ x3 x2 + ) x + = u ị du = dx = I1 - 3I dx x +9 x + = v ị dv = dx t x x +9 dx , x = v -9 u3 44 - 9u) = 3 ( ) ln x + x + - x x2 + x2 + )dx t ln ( x + ị I = ũ (u2 - 9)du = ( ( ln x + x + u ln ln - ln = ln x3 + Tớnh I = ũ dx = ũ ln x + x + ln dx dx = I1 - 3I = ln2 - ln - 44 e Cõu ( x + 1) ln x + x + dx + x ln x I =ũ e e + ln x ã I = ũ x dx + ũ dx + x ln x 1 http://hocmaivn.com e e x3 e3 - + ũ x dx = = 3 Trang 35 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn e e + ln x d (2 + x ln x ) + ũ dx = ũ = ln + x ln x + x ln x + x ln x 1 Cõu p ã I= + sin x ũ + cos x e I= p ũ x e Trn S Tựng e3 - e+2 Vy: I = + ln e+2 = ln dx p x e dx sin x x +ũ e dx + cos x x cos p p p x x 2sin cos sin x x 2 e x dx = tan x e x dx + Tớnh I1 = ũ e dx = ũ ũ x + cos x 0 cos2 x ỡ u=e p p ỡdu = e x dx p ù x 2 e dx ù ù - tan x e x dx + Tớnh I = ũ t ớdv = dx ị ị I = e ũ 2 x x 20 ù ù v = tan x cos2 cos ợ ùợ 2 p Do ú: I = I1 + I = e Cõu 10 I = p ũ tan x.ln(cos x ) dx cos x ã t t = cos x ị dt = - sin xdx ị I = - ũ ln t t dt = ũ ln t t2 dt ỡ ỡu = ln t ùdu = t dt ù t ịớ ị I = -1ln dv = dt 2 ùợ ù v=t t ợ p Cõu 11 I = ũ p ã I =ũ ịI = cos x e x (1 + sin x ) dx ỡ cos x ỡ -(sin x + cos x )dx u= du = ù ù x cos x ù ù e ex dx t ịớ x dx sin x e (sin x + cos x ) ùdv = ùv = ùợ (sin x + cos x ) sin x + cos x ợù cos x e x p p sin x sin xdx +ũ = sin x + cos x 0 e x p ũ sin xdx ex p ỡu1 = sin x ỡdu1 = cos xdx -1 ù ù t ị I = sin x + dx ị -1 x dv = v = e 1 ù ù ex ex ợ ợ http://hocmaivn.com Trang 36 p ũ cos xdx e x = -1 p e2 + p ũ cos xdx ex http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng Bi Tớch phõn ỡu2 = cos x ỡdu2 = - sin xdx ù ù t dx ị -1 ù dv1 = e x ùv1 = e x ợ ợ ịI = -1 + cos x p e2 Cõu 12 I = p -1 e x p -ũ sin xdx e = x -1 + - I ị 2I = p e2 -p -e +1 ị I = -p -e 2 + p ũ sin x ln(1 + sin x )dx ỡ + cos x ỡu = ln(1 + sin x ) ùdu = dx ã t ịớ + sin x dv = sin xdx ợ ùợv = - cos x p p p p 2 cos x - sin2 x p ị I = - cos x.ln(1 + sin x ) + ũ cos x dx = + ũ dx = ũ (1 - sin x )dx = - 1 + sin x + sin x 0 0 Cõu 13 I = p ũ sin x + cos6 x 6x + p dx ã t t = - x ị dt = -dx ị I = p ũ t sin t + cos t 6t + p ị 2I = p - ịI = (6 x + 1) ũ sin x + cos x x +1 p dx = p ũ x sin x + cos6 x 6x + p (sin x + cos6 x )dx = ũ - dt = p p dx p ổ5 5p ỗ + cos x ữdx = 16 ứ p ố8 ũ - 5p 32 Cõu 14 I = p ũ sin xdx 2- x + p p + Tớnh I1 = p ũ sin xdx p x ũ x ũ ã Ta cú: I = ịI = 6 2x + sin xdx x +1 http://hocmaivn.com 2x + + p ũ = ũ p sin xdx p sin xdx 2x + + p ũ x sin xdx 2x + 0 t x = -t ị I1 = - ũ x sin xdx x x +1 p = ũ sin xdx = = I1 + I 2-t sin (-t ) p p 2- t + dt = ũ p sin x dt = ũ dx x 2t + p +1 sin t (1 - cos2 x )2 dx 0ũ Trang 37 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn = Trn S Tựng p 4p - (3 - cos x + cos x )dx = ũ 80 64 Cõu 15 I = e3 ln3 x 1 + ln x ũx dx ã t t = + ln x ị + ln x = t ị (t - 1)3 dt = t ị I =ũ Cõu 16 I = p t - 3t + 3t - 1 15 dt = (t - 3t + 3t - )dt = - ln ũ ũ t t 1 x sin x dx x ũ cos ỡu= x ù ã t ị sin x dv = dx ù cos2 x ợ + I1 = Vy: = dx = 2tdt v ln3 x = (t - 1)3 x p dx p ỡ du = dx x ù ị I= cos x ùv = cos x ợ cos xdx ũ cos x = ũ - sin2 x 0 p t t = sin x ị I1 = p -ũ 2 ũ p dx p dx = -ũ cos x cos x dt 1- t = 2+ ln 2- p 2+ - ln 2- Cõu 17 I = p ũ p x cos x sin3 x dx ổ ửÂ cos x ã Ta cú ỗ = t ữ sin3 x ố sin x ứ 1 ị I = - x sin2 x Cõu 18 I = p p p + p 12 ỡu = x ỡdu = dx ù ù cos x ị ớdv = ớv = - dx ùợ ùợ sin3 x 2sin x dx p p p = - ( - ) - cot x p ũ sin2 x 2 2 p = x sin x ũ cos3 x dx p ỡu = x ỡdu = dx x ù ù sin x ã t: ịớ ịI = dv = dx v= cos x ùợ ùợ cos3 x 2.cos2 x Cõu 19 I = p dx p p ũ cos2 x = - tan x 0 = p ep ũ cos(ln x )dx ã t t = ln x ị x = et ị dx = et dt http://hocmaivn.com Trang 38 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng Bi Tớch phõn p ị I = ũ et cos tdt = - (ep + 1) (dựng pp tớch phõn tng phn) p 2 Cõu 20 I = ũ esin x sin x.cos3 xdx 11 t ã t t = sin x ị I = ũ e (1 - t )dt = e (dựng tớch phõn tng phn) 20 2 Cõu 21 I = p ũ ln(1 + tan x )dx ã t t = = p ổ ổp ửử p - x ị I = ũ ln ỗ + tan ỗ - t ữ ữdt = ố ứứ ố p p 0 ũ ln 2dt - ũ ln(1 + tan t )dt = p t.ln 04 p ổ - tan t p ũ ln ỗố + + tan t ữứdt = ũ ln + tan t dt 0 -I p p ln ị I = ln ln(5 - x) + x - x Cõu 22 I = ũ dx x2 ị 2I = 4 ln(5 - x) ã Ta cú: I = ũ dx + ũ x - x dx = K + H x2 1 ỡu = ln(5 - x ) ln(5 - x ) ù dx dx t ị K = ln dv = x ùợ x2 + K=ũ + H= ũ x - x dx t t = - x ị H = 164 15 164 Vy: I = ln + 15 p ( x + sin x) Cõu 23 I = ũ dx + sin x ã Ta cú: I = p p x sin2 x dx + ũ + sin x ũ + sin x dx = H + K 0 ỡu = x ỡdu = dx ùù dx x x ù ổ pử + H=ũ dx = ũ dx t: ớdv = ịớ v = tan ỗ x - ữ ổ p + sin x ổ p 2 ù ù 0 cos x cos ỗ x - ữ 4ứ ố ợ ỗ 4ứ ùợ ữứ ố ố p ịH= p p ử2 ổ x p tan ỗ x - ữ ứ0 ố http://hocmaivn.com p ổ1 ổ pửử2 p + ỗ ln cos ỗ x - ữ ữ = ỗ2 ứ ữứ ố ố Trang 39 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn p Trn S Tựng p sin x p cos2 x dx t t = x ị K = ũ + sin x ũ + sin x dx 0 + K= p p ổ dx pử2 ị 2K = ũ = tan ỗ x - ữ = ị K = ổ ứ0 ố cos2 x - p ỗ ữ ố 4ứ p Vy, I = H + K = + p Cõu 24 I = x(cos3 x + cos x + sin x ) ũ + cos2 x dx p ổ p p cos x(1 + cos2 x ) + sin x x.sin x ã Ta cú: I = ũ x ỗ dx = ũ x.cos x.dx + ũ dx = J + K ữ 2 ỗ ữ + cos x + cos x ố 0 ứ p p p p ỡu = x + Tớnh J = ũ x.cos x.dx t ị J = ( x.sin x ) - ũ sin x.dx = + cos x = -2 0 ợdv = cos xdx 0 p x.sin x + Tớnh K = ũ + cos p ịK=ũ x dx t x = p - t ị dx = - dt (p - t ).sin(p - t ) + cos2 (p - t ) p ị 2K = ũ + cos2 x p (p - t ).sin t dt = ũ + cos2 t ( x + p - x ).sin x p dt = ũ p dx = p ũ + cos2 x sin x.dx + cos (p - x ).sin x x ịK= dx p p sin x.dx 0ũ + cos2 x p dt t t = cos x ị dt = - sin x.dx ị K = ũ , t t = tan u ị dt = (1 + tan2 u)du 2 -1 + t p ịK= p ũ (1 + tan u)du + tan2 u p p = p p p p2 ũ du = u - p = p - 4 p -2 Vy I = 2p p Cõu 25 I = ũ x + ( x + sin x )sin x (1 + sin x )sin2 x 2p p ã Ta cú: I = ũ 2p p + H=ũ 2p p + K=ũ x sin2 x x(1 + sin x ) + sin2 x (1 + sin x )sin x dx t 2p dx = + sin x ũp http://hocmaivn.com dx 2p p dx = ũ x sin x 2p p dx + ũ dx =H+K + sin x ỡu = x p ù ỡdu = dx ớdv = dx ị ớv = - cot x ị H = ợ ùợ sin x 2p dx dx = ũp3 = -2 ổp xử 2ổp + cos ỗ - x ữ cos ỗ - ữ ố2 ứ ố 2ứ Trang 40 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng p Vy I = Bi Tớch phõn + 3-2 Cõu 26 I = ũ ộở x (2 - x ) + ln(4 + x )ựỷ dx 2 ã Ta cú: I = ũ x(2 - x )dx + ũ ln(4 + x )dx = I1 + I 0 2 0 + I1 = ũ x (2 - x )dx = ũ - ( x - 1)2 dx = p (s dng i bin: x = + sin t ) 2 + I = ũ ln(4 + x )dx = x ln(4 + x ) - 2ũ x2 dx (s dng tớch phõn tng phn) + x2 = ln + p - (i bin x = tan t ) 0 Vy: I = I1 + I = 3p - + ln 2 p x + sin x + cos2 x Cõu 27 I = ũ dx p x + sin x + cos2 x ã Ta cú: I = ũ p + H=ũ p dx = ũ p dx = ũ 2 cos2 x x x p sin x dx = H + K cos2 x ỡu = x x ù ỡdu = dx dx ị dx t dv = ợv = tan x cos x ùợ cos2 x cos2 x dx + ũ p ộ ự p 1ờ p ị H = x tan x - ũ tan xdx ỳ = + ln cos x 0 ỷ 2 p + K=ũ p sin x p = - ln 2 p p 1 1ổ pử dx = ũ tan2 xdx = [ tan x - x ] = ỗ - ữ 0 2 2ố 3ứ cos x Vy: I = H + K = 1ổ p p ( - 1) - ln + ỗ - ữ = + ( - ln 2) 2ố 3ứ 2 p ln x dx x +1 Cõu 28 I = ũ ỡu = ln x ỡ dx 8 x +1 ù ùdu = dx ị ã t ị I = x + ln x - ũ dx x dv = x ùợ ù x + ợv = x + 3 ổ x +1 2t dt dx t t = x + ị J = ũ = 2ũ ỗ + ữdt = + ln - ln 2 x t t ố ứ 2 ị I = ln - ln - 2(2 + ln - ln 2) = 20 ln - ln - + Tớnh J = ũ Cõu 29 I = + x2 ũ1 x3 ln xdx ỡu = ln x ổ 1ử ù 1 ã Ta cú: I = ũ ỗ + ữ ln xdx t dv = ( + )dx xứ ùợ 1ố x x3 x http://hocmaivn.com Trang 41 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn Trn S Tựng 2 ổ -1 ổ -1 63 ị I =ỗ + ln x ữ ln x - ũ ỗ + ln x ữ dx = - ln + + ln x 64 ố 4x ứ ứ ố 4x Cõu 30 I = ũ x + 1sin x + 1.dx 2 1 ã t t = x + ị I = ũ t.sin t.2tdt = ũ 2t sin tdt = ũ x sin xdx 2 ỡ ỡdu = xdx t ớu = x ịớ ị I = -2 x cos x + ũ x cos xdx ợdv = sin xdx ợv = - cos x ỡu = x ỡdu = 4dx t T ú suy kt qu ịớ ợdv = cos xdx ợv = sin x e x + x ln x + x e dx x Cõu 31 I = ũ e e 1 e x e dx = H + K + J x ã Ta cú: I = ũ xe x dx + ũ e x ln xdx + ũ e x + H = ũ xe dx = e xe x 1e - e ũe x dx = ee (e - 1) e e x e x e e dx = ee - ũ dx = ee - J x x 1 + K = ũ e x ln xdx = e x ln x - ũ 1 Vy: I = H + K + J = ee +1 - ee + ee - J + J = ee +1 http://hocmaivn.com Trang 42 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Trn S Tựng Bi Tớch phõn TP6: TCH PHN HM S C BIT Cõu Cho hm s f(x) liờn tc trờn R v f ( x ) + f (- x ) = cos4 x vi mi xẻR I= Tớnh: p f ( x )dx ũ -p p ị2 ũ f ( x )dx = -p p -p ũ - Chỳ ý: cos4 x = Cõu f ( x )dx = ũ ã t x = t ị p - p p ũ f (-t )(- dt ) = p p ũ - ộở f ( x ) + f (- x )ựỷ dx = p ũ p f (- x )dx ũ - p cos4 xdx ị I = -p 3p 16 1 + cos2 x + cos x 8 Cho hm s f(x) liờn tc trờn R v f ( x ) + f (- x ) = + cos2 x , vi mi xẻR I= Tớnh: 3p ũ -3p p ũ ã Ta cú : I = -3 + Tớnh : I1 = f ( x )dx ũ p f ( x )dx = p -3 ũ -3 f ( x )dx + p p ũ f ( x )dx f ( x )dx t x = -t ị dx = - dt ị I1 = Thay vo (1) ta c: I = p ũ ộở f (- x ) + f ( x )ựỷ dx = p ộp ự ộ p ờ2 ỳ = ũ cos xdx - ũ cos xdx ỳ = ờsin x 02 - sin x ờ0 ỳ p ờở ỳ ởờ ỷ I= p ũ - p sin x 1+ x + x http://hocmaivn.com (1) 3 Cõu f (-t )dt = p p ũ p ũ f (-t )dt = p ũ f (- x )dx (1 + cos x ) = p ũ cos x dx 3p ự ỳ ỳ=6 p ỳ ỷỳ dx Trang 43 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi Tớch phõn ã I= p + x sin xdx - ũ - p p ũ - p p p x sin xdx = I1 - I + x sin xdx S dng cỏch tớnh tớch phõn ca hm s l, ta tớnh c I1 = ũ + Tớnh I1 = p Trn S Tựng - ũ + Tớnh I = - p x sin xdx Dựng pp tớch phõn tng phn, ta tớnh c: I = - p - x e ( 3x - 2) + x - p+ Suy ra: I = Cõu I =ũ ã I =ũ e x ( x - 1) + x - e x ( 3x - ) + x - e x ( x - 1) + x - dx dx = ũ e x ( x - 1) + x - + e x ( x - 1) e x ( x - 1) + x - 5 2 dx = ũ dx + ũ e x ( x - 1) e x ( x - 1) + x - dx 5 e x ( x - 1) e x ( x - 1) =x +ũ dx = + ũ dx 2 x - 1(e x x - + 1) x - 1(e x x - + 1) e x ( x - 1) x t t = e x - + ị dt = dx x -1 e5 +1 ị I = 3+ ũ e2 +1 Cõu I= 2e5 + 2e5 + dt ị I = + ln t = + ln t e +1 e +1 p x2 ũ ( x sin x + cos x )2 dx ã I= p ũ ỡ x u= ù x x cos x ù cos x dx t ị x cos x cos x ( x sin x + cos x ) dx ùdv = ( x sin x + cos x )2 ùợ ị I =- p x + cos x( x sin x + cos x ) http://hocmaivn.com p dx ũ cos2 x dx = ỡ cos x + x sin x dx ùùdu = cos x -1 ùv = x sin x + cos x ợù -p 4+p Trang 44 http://hocmaivn.com [...]... 2ũ =ũ dt = ũ (t + )dt = + ln t + C = + ln tan x + C 2t t t 2 2 Cõu 13 I = ũ 1 + t2 http://hocmaivn.com Trang 13 http://hocmaivn.com http://hocmaivn.com Bi tp Tớch phõn Cõu 16 I = ũ 2011 sin2011 x - sin2009 x sin5 x cot xdx 1 2011 1 - sin2 x cot xdx = ũ sin 4 x ã Ta cú: I = ũ t t = cot x ị I = ũ 2 2011 t (1 + t 2 )tdt 4024 Trn S Tựng 2011 - cot 2 x sin 4 x cot xdx 4024 8046 2011 2011 2011 2011 = t +