110 đề cực hay thi quốc gia môn toán giải chi tiết

http://hocmaivn.com Lấ NGUYấN THCH TUYN CHN 100 THI TH I HC MễN TON TP 3(31-40) THANH HểA, THNG 09 - 2014 http://hocmaivn.com LI NểI U Cỏc em hc sinh thõn mn! Luyn gii b trc k thi tuyn sinh i hc l mt quỏ trỡnh ht sc quan trng Cun sỏch Tuyn 100 TON LUYN THI VO I HC thy tng hp v biờn son t nhiu thi th i hc c nc vi nhiu thi hay giỳp cỏc em h thng li kin thc v chuyờn ó c hc, rốn luyn k nng gii toỏn to nn tng kin thc tt nht cho k thi i hc sp ti Ni dung sỏch c vit trờn tinh thn i mi ,cỏch gii trỡnh by chi tit, rừ rng phự hp theo quan im v chm thi ca B Giỏo dc v o to rt phự hp cỏc em t ụn luyn Toỏn l mụn khoa hc tru tng vi phm vi ng dng rng rói mi hot ng ca ngi hc toỏn tt trc ht rt cn s t m, cn cự, n lc phn u Bờn cnh ú phng phỏp hc cng rt quan trng, nờn i t cỏi d v c bn ti cỏi khú hn vi mt t logic Tip xỳc mt bi toỏn khụng ch dng li cỏch gii thụng thng m nờn suy ngh, ỏp dng nhiu hng v cỏch gii khỏc Sau mi bi toỏn nờn rỳt cho mỡnh nhng im chỳ ý quan trng Cui cựng thy chỳc tt c cỏc em luụn cú c SC KHE, NIM VUI, S AM Mấ, v THNH CễNG cỏc k thi sp ti! Thanh húa.Thỏng nm 2014 Tỏc gi S 51 http://hocmaivn.com Cõu 1.(2,0 im) Cho hm s y = 2x x+2 Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s Vit phng trỡnh tip tuyn vi ũ th (C) cho khong cỏch t I(-2;2) n tip tuyn ú l ln nht Cõu 2.(1,0 im) sin x.sin x + cos x.cos x = Gii phng trỡnh tan x ữ.tan x + ữ Tỡm cỏc giỏ tr thc ca tham s m h bt phng trỡnh sau cú nghim thc x mx + x x +x 3.2 x +1 Cõu 3.(1,0 im) Tớnh tớch phõn: I =dx 15 Cõu (1,0 im) Cho khai trin ( + x + x + + x14 ) =a + a1 x + a2 x + + a210 x 210 Chng minh rng: C15 a15 C15 a14 + C15a13 C15 a0 = 15 Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú trng tõm G(1;2) Phng trỡnh ng trũn i qua trung im ca hai cnh AB, AC v chõn ng cao h t A 2 n cnh BC ca tam giỏc ABC l ( x 3) + ( y + ) = 25 Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian Oxyz, cho hai im A(-1; -2; -3), B(-6; 10; -3) Vit phng trỡnh mt phng (P) cho khong cỏch t A n mp(P) bng 15 v khong cỏch t B n mp(P) bng Cõu 7.(1,0 im) Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc cõn ti C, cnh ỏy bng 300 Tớnh th tớch ca lng tr ABC.ABC, bit khong cỏch AB bng 2a v ABC 15 a ( + 42 x y ) 51 x + y = + 2 x y +1 ( x, y Ă Cõu 8(1,0 im) Gii h phng trỡnh x y = ln ( x + 3) ln ( y + 3) gia hai ng thng AB v CB bng Cõu 9.(1,0 im) Cho x, y, z l cỏc s thc dng tha x+y+z=3 Chng minh rng: x ( y + z) y ( z + x) z ( x + y) + + xyz yz zx xy LI GII Cõu 1.(2,0 im): Cho hm s y = 2x x+2 ) http://hocmaivn.com 1.(1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s: y = a/Tp xỏc nh: D = Ă / ( ) 2x = x+2 x+2 ( C) 2x 2x = v lim =2 x + x+2 x+2 th nhn ng thng cú phng trỡnh y=2 lm tim cn ngang 2x 2x lim = + v lim+ = x x + x x + th nhn ng thng cú phng trỡnh:x=-2 lm tim cn ng y/ = > 0, x D hm s ng bin trờn D ( x + 2) Nhỏnh vụ cc: xlim Bng bin thiờn : th nhn giao im ca hai tim cn I(-2;2) lm tõm i xng 2.(1,0 im) Vit phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) : y = 2x cho khong cỏch t im x+2 I ( 2; ) n tip tuyn ú l ln nht Ta cú y ' = Gi honh tip im l a ( a ) ( x + 2) 2a 2a x a) + x a) y + =0 Phng trỡnh tip tuyn l: y = hay 2( ( a+2 a+2 ( a + 2) ( a + 2) Khong cỏch t I ( 2; ) n ( ) l ng thc xy ( a + ) = d ( I;) = 16 ( a + 2) Cauchy ( a + 2) + 16 ( a + 2) =2 a = a + = a = a = Vy khong cỏch t I n ln nht bng 2 a = y = x Khi ú phng trỡnh tip tuyn l y = x+8 Cõu 2.(1,0 im) sin x.sin x + cos3 x.cos x = 1.(0,5 im).Gii phng trỡnh: (1) tan( x ) tan( x + ) ( ) ữ.cos x ữ 6 sin x ữ x + m ( m  ) ( *) iu kin sin x + cos x + ữ ữ 3 http://hocmaivn.com sin x Ta cú tan x ữtan x + ữ = cot x + ữ.tan x + ữ = 3 1 3 2 Suy (1) sin x sin x + cos x cos x = sin x [ sin x sin x ] + cos x [ cos x cos x ] = 8 1 sin x [ cos x cos x ] + cos x [ cos x + cos x ] = sin x + cos x cos x + cos x sin x cos x = 4 1 1 cos x + cos x cos x = cos x [ + cos x ] = cos x = cos x = x = + k ( k  ) 4 + k ( k  ) 2.(0,5 im) Tỡm cỏc giỏ tr thc ca tham s m h bt phng trỡnh sau cú nghim thc: x mx + ( 1) x x +x x +1 ( ) 3.2 Kt hp iu kin (*) ta c x = ( ) Ta cú ( ) x 3.2 x.2 x ( ) x ( 2x + x x + x x ( 3) Vỡ x = khụng tha (1) nờn ( 1) x )(2 x 4.2 x ) 02 x 4.2 x x3 + m ( ) vi x ( 0; 4] x ( ) x3 x3 + vi x ( 0; 4] , ta cú f ' ( x ) = , f '( x) = x = x x2 Bng bin thiờn ca f ( x ) l: Xột hm s f ( x ) = f ( x) = T bng bin thiờn suy xmin ( 0;4] f ( x) m Do ú h bt phng trỡnh cú nghim (4) cú nghim x ( 0; 4] m xmin ( 0;4] Cõu 3.(1,0 im) Tớnh tớch phõn: I =dx Ta cú I = dx = |sinx - cosx|dx Xột sinx - cosx = tanx = x = + k Do x [0; ] nờn ta chn x = Ta cú bng xột du : x sin x cos x - + http://hocmaivn.com Vy I =-(sinx - cosx)dx + (sinx - cosx)dx =-(-cosx - sinx)+ (-cosx - sinx) = Cõu 4.(1,0 im) 15 1.(0,5 im).Cho khai trin ( + x + x + + x14 ) = a0 + a1 x + a2 x + + a210 x 210 Chng minh rng: C150 a15 C151 a14 + C152 a13 C1515 a0 = 15 15 14 Ta cú : ( x ) = ( + x + x + + x ) 15 15 ( x) Suy h s ca x15 khai trin ( x15 ) Mt khỏc ( x ) 15 15 15 15 l 210 15 = ( 1) C15k x i + k k i = k =0 ( 1) i + k =15 k C15k = C150 a15 C151 a14 + C152 a13 C1515 a0 = 15 x15 + x 225 Suy h s ca x15 khai trin ( x15 ) 15 l 15 Vy C150 a15 C151 a14 + C152 a13 C1515 a0 = 15 (pcm) Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng Oxy, cho tam giỏc ABC cú trng tõm G(1;2) Phng trỡnh ng trũn i qua trung im ca hai cnh AB, AC v chõn ng cao h t nh A n cnh 2 BC ca tam giỏc ABC l ( x 3) + ( y + ) = 25 Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Gi D, E, F l trung im BC, CA, AB A l chõn ng cao h t A xung BC K l giao im ca EF v AA G l trng tõm tam giỏc ABC I, J ln lt l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF v ABC Ta cú K l trung im ca AA v EF AA ' nờn A i xng vi A qua EF Suy ã ' F = EAF ã AEF = A ' EF EA ã ã Mt khỏc AFDE l hỡnh bỡnh hnh nờn EDF = EAF A ã ã Suy EA ' F = EDF Hn na A v D nm cựng phớa i vi EF, suy D nm trờn ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF Do ú phng trỡnh ng trũn i qua D, E, F l: E F K 2 G J ( x 3) + ( y + ) = 25 ng trũn ny cú tõm I ( 3; ) , I bỏn kớnh R = B Vỡ phộp v t V( G ;2) bin tam giỏc DEF thnh tam giỏc ABC C A' D nờn ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l nh ca ng trũn ngoi tip tam giỏc DEF qua V( G ;2) T úuusuy ung trũn ngoi tip tam giỏc ABC cú tõm J tha u r ur GJ = 2GI J ( 3;10 ) v bỏn kớnh R ' = R = 10 Vy phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l: ( x + 3) + ( y 10 ) = 100 Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian Oxyz cho hai im A(-1;-2;-3) v B(-6;10;-3) Vit phng trỡnh mt phng (P) cho khong cỏch t A n (P) bng 15 v khong cỏch t B n (P) bng Gi H,uK ln lt l hỡnh chiu ca A, B trờn (P) uur A Ta cú AB = ( 5;12;0 ) suy AB=13 Vỡ AH=15, BK=2 nờn AB+BK=AH Mt khỏc AB + BK AK AH (*) B Do ú (*) phi xy du = iu ny xy v ch A, B, K thng hng (B nm gia A v K) v K trựng vi H Suy AB vuụng gúc vi (P) ti K v B nm gia A v K K 2 P H uuur r BK uuur uuu 88 154 = AB K ; ; ữ AB 13 13 13 uuur Mt phng (P) i qua K v nhn AB lm vect phỏp tuyn nờn (P) cú pt l: 88 154 x + ữ+ 12 y ữ+ ( z + 3) = x 12 y + 176 = 13 13 http://hocmaivn.com AB Ta cú BK = Cõu 7.(1,0 im) Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc cõn ã ti C, cnh ỏy AB bng 2a v ABC = 300 Tớnh th tớch ca lng tr ABC.ABC bit khong cỏch gia hai ng thng AB v CB bng a A' M' H h Gi M, M ln lt l trung im ca AB v AB H l hỡnh chiu ca M trờn CM Khi ú: Vỡ tam giỏc ABC cõn ti C nờn CM AB , suy A ' B ' CM Vỡ ABC.ABC l lng tr ng nờn MM ' A ' B ' Vy A ' B ' ( MM ' C ) A ' B ' MH T ú suy MH ( A ' B ' C ) A B' a a Do ú d ( AB; CB ') = d ( AB; ( A ' B ' C ) ) = d ( M ; ( A ' B ' C ) ) = MH = 30* M a B a a2 S = Suy ABC 3 1 1 a3 + = + = V = h = a t AA=MM=h Ta cú Vy ABC A ' B ' C ' MM '2 MC MH h2 a2 a + 42 x y 512 x + y = + 22 x y +1 ( 1) Cõu 8.(1,0 im).Gii h phng trỡnh: x y = ln ( x + 3) ln ( y + 3) ( 2) iu kin x, y > (*) ã Ta cú BM=a, MBC = 300 nờn MC = ( ) x y x y ( 1) ữ + ữ 2.22 x y = (3) t t t Xột hm s f ( t ) = ữ + ữ 2.2 trờn Ă ta cú t t f ' ( t ) = ữ ln ữ+ ữ ln ữ 2.2t ln < t Ă Suy f ( t ) nghch bin trờn Ă Do ú ( 3) f ( x y ) = f ( 1) x y = y = x ( ) Th (4) vo (2) ta c x x+3 x + x = ln = (5) ữ ln ữ+ 4 2x + 2x + ( x + 5) ( x 1) x + x vi x > , ta cú g ' ( x ) = ữ+ ( x + 3) ( x + 1) 2x + Xột hm s g ( x ) = ln x = ( 1; + ) g '( x) = x = ( 1; + ) Ta cú bng bin thiờn ca g ( x ) trờn ( 1; + ) l: C' C T bng bin thiờn, suy g ( x ) = x = http://hocmaivn.com Do ú y = Vy h cú nghim ( x; y ) = ( 1;1) Cõu 9.(1,0 im) Cho x, y, z l cỏc s thc dng tha x + y + z = Chng minh rng: x ( y + z) y ( z + x) z ( x + y) + + xyz (1) yz zx xy Ta cú ( yz + zx + xy ) ( x + y + z) = yz + zx + xy ( y + z) + ( z + x) + ( x + y) (2) yz ( yz ) zx ( zx ) xy ( xy ) yz ( y + z) Ta cú yz ( yz ) yz yz + yz = ( )( ) yz ( ( 1) Do ú: 6+ ( ( y + z) + ( z + x) + ( x + y) yz ( yz ) zx ( zx ) xy ( xy ) 18 yz + zx + xy ) )( yz + yz ) 2 + yz 1 + + + yz + zx + xy 18 = Vy (2) ỳng (pcm) 6+3 S 52 Cõu 1.(2,0 im) Cho hm s y = 2x cú th (C) v im P ( 2;5 ) x +1 Kho sỏt s bin thiờn v v th y = 2x x +1 Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng d : y = x + m ct th ( C ) ti hai im phõn bit A v B cho tam giỏc PAB u Cõu 2.(1,0 im) Gii phng trỡnh: cos x + Gii phng trỡnh sin x cos x = sin x(1 + tan x) 2sin x x +1 = 2x + x + Cõu 3.(1,0 im) Tớnh tớch phõn: I = ( xĂ ) x sin x + + cos x dx 2 Cõu 4.(1,0 im)Tỡm s phc z tha món: z i = z z + 2i v z ( z ) = http://hocmaivn.com Cõu (1,0 im) Trong mt phng vi h trc ta Oxy , cho im A ( 1; 1) v ng + ( y ) = 25 Gi B, C l hai im phõn bit thuc ng trũn ( T ) ( B, C khỏc A ) Vit phng trỡnh ng thng BC , bit I ( 1;1) l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC trũn ( T ) : ( x 3) Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian ta Oxyz, cho hai im A(1; 2; 0), B(1; 2; 5) v ng thng (d) cú phng trỡnh: MA + MB nh nht x y z = = Tỡm ta im M trờn (d) cho tng 2 Cõu 7.(1,0 im) Cho lng tr ABC.A 'B'C' cú ỏy l tam giỏc u cnh a Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A ' lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm tam giỏc ABC Bit khong cỏch gia a Tớnh theo a th tớch lng tr ABC.A 'B'C' Cho t din ABCD cú G l trng tõm tam giỏc BCD Mt phng ( ) i qua trung im I ca on thng AG v ct cỏc cnh AB, AC, AD ti cỏc im (khỏc A ) Gi h A , h B , h C , h D ln lt l khong cỏch t cỏc im A, B, C, D n mt phng ( ) hai ng thng AA ' v BC bng h 2B + h C2 + h 2D Chng minh rng: h 2A 1 2 x + y + + =5 2 x y Cõu 8.(1,0 im) Gii h phng trỡnh ( xy 1) = x y + ( x, y Ă ) Cõu 9.(1,0 im) Cho cỏc s thc dng a, b, c Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: P= a + ab + abc a+b+c LI GII Cõu1.(2,0 im): 1.(1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th y = Tp xỏc nh : D = Ă \ ( 1) 2x x +1 2x 2x = +; lim+ = thi hm s nhn ng thng x=-1 lm tim cõn ng x x + x x + 2x lim = thi hm s nhn ng thng y=2 lm tim cõn ngang x x + y/ = > Hm s ng bin trờn D ( x + 1) lim y http://hocmaivn.com x th nhn giao im ca hai tim cn I(-1 ;2) lm tõm i xng 2.(1,0im) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng d : y = x + m ct th ( C ) ti hai im phõn bit A v B cho tam giỏc PAB u Phng trỡnh honh giao im ca ng thng d v th (C) l: 2x = x + m x +1 x (m 3)x m = ( 1) , vi x ng thng d ct th (C) ti hai im phõn bit v ch phng trỡnh ( 1) cú hai nghim phõn bit khỏc m 2m + 13 > (ỳng m ) 0.m x1 + x = m Gi x1 , x l cỏc nghim ca phng trỡnh (1), ta cú: x1 x = m Gi s A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x ; x + m ) Khi ú ta cú: AB = ( x1 x ) PA = ( x1 ) + ( x1 + m ) = ( x1 ) + ( x2 2) , + ( x + m ) = ( x ) + ( x1 ) Suy PAB cõn ti P Do ú PAB u PA = AB2 2 2 ( x1 ) + ( x ) = ( x1 x ) ( x1 + x ) + ( x1 + x ) 6x1x = PB = ( x 2) 2 2 m =1 m + 4m = m = Vy giỏ tr cn tỡm l m = 1, m = Cõu 2.(1,0 im): 1.(0,5 im) Gii phng trỡnh: cos x + sin x (*) k cos x sin x cos x = sin x(1 + tan x) 2sin x Vi k (*) phng trỡnh ó cho tng ng: 10 ( uuuu r r ) http://hocmaivn.com (d) to vi (P) gúc 300 nờn: s in30 = cos MN , n = 2t + + 4t t + t (1 + 2t ) + (t + 1) + (t 2) = 10t 18t = t = 0; t = 6t + 2t + x y +1 z = = + Vi t = 0, phng trỡnh : 1 x y +1 z = = + Vi t = , phng trỡnh : 23 14 = Cõu 7(1,0 im) Cho hỡnh lng tr ABC.ABC, ỏy ABC l tam giỏc cõn cú AB = AC = a (a l mt s thc dng) v mt bờn ACCA l hỡnh ch nht cú AA=2a Hỡnh chiu vuụng gúc H ca nh B lờn mt phng (ACC) nm trờn on thng AC 1/ Chng minh th tớch ca chúp A.BCCB bng ln th tớch ca chúp B.ACA 2/ Khi B thay i, xỏc nh v trớ ca H trờn AC cho lng tr ABC.ABC cú th tớch ln nht 3/ Trong trng hp th tớch lng tr ABC.ABC l ln nht, tỡm khong cỏch gia AB v AC B B J C C H A A 1/Gi V l th tớch lng tr ABC.ABC, VB.ACA l th tớch chúp B.ACA, - Ta cú V = h.SABC (h l chiu cao ca lng tr ABC.ABC) - Ta cú VB.ACA = h.SABC Vy V= 3.VB.ACA hay VA.BCCB = 2.VB.ACA - Ta cú V= 3.VB.ACA 2/Vy V ln nht VB.ACA ln nht, - a2 BH , m BH2 = AB2 AH2 = a2 AH2 a vy BH ln nht AH nh nht tc l AH AC CH = 3/Trong mp(AHB) k HJ AB, suy HJ l ng vuụng gúc chung ca AB v AC 1 4a 2 = + HA = - Trong ta giỏc vuụng AHB ta H ta cú: , ta cú: ; HJ HA2 HB 2a a2 HB = ; suy ra: HJ = 5 - Ta cú: VB ACA = S ACA ' BH hay VB ACA = ' ' x y 2x + y = (1) Cõu 8.(1,0 im) Gii h phng trỡnh : 2x + 3x + 4y 12x + 11 = (2) T PT (1) ta c x , y 53 PT (2) 4y = 2x + 3x 12x + 11 http://hocmaivn.com (3) V phi (3) 4y vỡ y t f(x) = 2x3 +3x2 -12x +11 vi x ta cú bng bin thiờn: x f(x) + + f(x) 11 V phi ca (3) 4y 2x + 3x 12x + 11 vỡ x , y Vy nghim ca (2) l (x;y)=(1;-1) Thay (x;y)=(1;-1) vo (1) ta thy tha Vy nghim ca h phng trỡnh l (x;y) = (1;-1) Cõu 9.(1,0 im) Chng minh rng a + 4a + 2b b + 4b + 2c c + 4c + 2a + + b + 2c c + 2a a + 2b 2 4a + 2b 4b + 2c 4c + 2a a b c BT + + + + + c + 2a a + 2b b + 2c c + 2a a + 2b b + 2c a2 b + 2c 2a a2 b + 2c + 6a + Ta cú (1) (Cụsi) + b + 2c b + 2c a2 b + 2c Du = = b + 2c b c + 2a + 6b c2 a + 2b + 6c Tng t (2) (3) c + 2a a + 2b a2 b2 c2 Cng (1), (2), (3) v vi v ta c + + (*) du = a=b=c=1 b + 2c c + 2a a + 2b + Ta cú 4a + 2b 4b + 2c 4c + 2a 1 + + = ( a + b + c) + + b + 2c c + 2a a + 2b ữ b + 2c c + 2a a + 2b ổ 4ộ 1 ữ ựỗ ữ b + 2c + c + 2a + a + 2b + + ( ) ( ) ( ) ỗ ữ- ỳ ỷ ữ ỗ ốb + 2c c + 2a a + 2b ứ 3 (b + 2c)(c + 2a)(a + 2b).3 - = (**) 3 (b + 2c)(c + 2a)(a + 2b) Cng (*) v (**) ta c iu phi chng minh, du = a =b =c =1 54 http://hocmaivn.com S 59 3 Cõu1.(2,0 im) Cho hm s y = x + x 3x + 1 Kho sỏt s bin thiờn v v th ó cho Gi f ( x) = x x + x , tỡm s nghim ó cho ca phng trỡnh: [f ( x)]3 6[f ( x)]2 + f ( x) = Cõu 2.(1,0 im) Gii phng trỡnh : (1 + sin x)(1 2sin x) + 2(1 + 2sin x) cos x = Cõu 3(1,0 im) Tớnh tớch phõn: I = (sin x + cos x) dx x + cos x 3sin Cõu 4.(1,0 im) 1/ T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, lp cỏc s chn cú ch s ụi mt khỏc nhau.Ly ngu nhiờn mt s va lp.Tớnh xỏc sut ly c mt s ln hn 2012 2/Cho z1 ; z2 l hai nghim phc ca phng trỡnh z + z + = Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc P = (z1 +1 + 3) 2014 + (z +1 + 3) 2014 Cõu (1,0 im) Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn (C ) : x + y = , ng thng : y = x + v im A(3, 0) Gi M l mt im thay i trờn (C) v B l im cho t giỏc ABMO l hỡnh 55 bỡnh hnh.Tớnh din tớch tam giỏc ABM, bit trng tõm G ca tam giỏc ABM thuc v G cú http://hocmaivn.com tung dng Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng : x+2 = y = z v im 1 2 M(1; 1; 2) Mt cu (S) cú phng trỡnh : x + y + z + x + y - z = Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M, song song vi ng thng v tip xỳc vi mt cu (S) Cõu 7.(1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy l hỡnh ch nht cú AB=a v BC=2a, mt phng (SAB) vuụng gúc vi ỏy, cỏc mt phng (SBC) v (SCD) cựng to vi ỏy mt gúc bng nhau.Bit khong cỏch gia hai ng thng SA v BD bng 2a a Tớnh th tớch chúp S.ABCD b.Tớnh cosin gúc gia hai ng thng SA v BD 22 x y x + y = ( x + y ) x + y (2 x y ) x y Cõu 8.(1,0 im): Gii h phng trỡnh: y 2( x 1) + = 1 + + Cõu 9.(1,0 im) Cho cỏc s thc x, y, z tho x > , y > , z > v 3x + 2 y + z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc A = (3 x 1)(2 y 1)( z 1) LI GII Cõu 1.(2,0 im) 1.(1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s: y = x + x 3x + Tp xỏc nh: D = Ă y = + ; lim y = Gii hn: xlim x + S bin thiờn: + Chiu bin thiờn: y ' = x + x ; y '( x) = x = hoc x = Hm s nghch bin khong: ( ; 1) v (3; + ) ; ng bin trờn khong: (1; 3) + Cc tr: Hm s t cc tiu ti x = ; yCT = , t cc i ti x = ; yC = + Bng bin thiờn x y + 0 56 th: http://hocmaivn.com + i qua im: (0; 1) v 4; ữ y O x + Nhn xột: th (C) i xng qua im I 2; ữ 2.(1,0 im) Gi f ( x) = x x + x , tỡm s nghim ó cho ca phng trỡnh: [f ( x)]3 6[f ( x)]2 + f ( x) = Ta cú [ f ( x) ] (1) [ f ( x) ] + f ( x) = (1) [ f ( x) ] + [ f ( x) ] f ( x ) + = g (m) = (2) g (m) = m t g ( x) = x + x 3x + , ta cú: (1) g ( f ( x)) = m = f ( x) = g ( x ) (3) S nghim ca (1) l s nghim ca (3), vi m nhn tt c cỏc giỏ tr tho (2) T th (C), suy (2) cú nghim m , tho món: < m < , < m < v < m < Cng t (C), ta cú: m < thỡ (3) cú nghim phõn bit m + Nu < m < hay < < thỡ (3) cú ỳng nghim 3 m + Nu < m < hay < < thỡ (3) cú ỳng nghim 3 + Nu < m < hay < Rừ rng, cỏc nghim ca (3) trng hp trờn l ụi mt khỏc Do ú (1) cú ỳng nghim Cõu 2.(1,0 im) Gii phng trỡnh: (1 + sin x)(1 2sin x) + 2(1 + 2sin x) cos x = (1) x x x x (1) cos + sin ữ (1 2sin x) + 2(1 + 2sin x) cos sin ữ = 2 2 x x cos + sin = ( 2) cos x + sin x (1 2sin x) + (2 + 4sin x) cos x sin x = ( 3) ữ ữ 2 2 x (2) tan = x = + k 2 x x x x (3) 3cos sin + 2sin x cos 6sin x sin = 2 2 57 x x x x x x + 4sin cos 12sin cos = 2 2 2 x x x x 3sin 4sin + 12 cos3 cos = 2 2 3x 3x 2 sin + 3cos = x = +l , tan = 2 3 2 +l Vy, (1) cú nghim: x = + k hoc x = , tan = (vi k , l  ) 3 3cos sin http://hocmaivn.com Tớnh tớch phõn: I = Cõu 3.(1,0 im) Ta cú : I = (sin x + cos x)dx (sin x + cos x)dx + 2 x + cos x 3sin x + cos x 3sin (sin x + cos x) dx x + cos x 3sin t x = t , ta cú: (sin x + cos x)dx ( sin t + cos t )dt ( sin t + cos t )dt ( sin x + cos x)dx = = = 2 3sin x + cos x 3sin t + cos t 3sin x + cos x 3sin t + cos t 0 cos xdx d sin x 1 = = ữd sin x 2 3sin x + cos x sin x sin x + sin x 0 Suy ra: I = sin x + = ln = ln sin x ữ Cõu 4.(1,0 im) 1.(0,5 im) T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, lp cỏc s chn cú ch s ụi mt khỏc nhau.Ly ngu nhiờn mt s va lp.Tớnh xỏc sut ly c mt s ln hn 2012 Lp s chn dng abcd t E = { 0, 1, 2, 3, 4} + Chn d = , chn th t a, b, c E \ { 0} cú A = 24 cỏch Dng ny cú 24 s + Chn d cú cỏch, chn a E \ { 0, d } cú cỏch, chn b v c th t E \ { d , a} cú A = cỏch Dng ny cú 2.3.6 = 36 s Lp c 24 + 36 = 60 s Tớnh s cỏc s chn lp c khụng ln hn 2012, cú dng 1bcd : Chn d chn cú cỏch, chn b v c th t E \ { 1, d } cú A = cỏch Dng ny cú: 3.6 = 18 s Suy s ln hn 2012 cú 60 18 = 42 s Xỏc sut cn tớnh: P = 42 = 60 10 2.(0,5 im) Cho z1 ; z2 l hai nghim phc ca phng trỡnh z + z + = Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc P = (z1 +1 + 3) 2014 + (z +1 + 3) 2014 Gii phng trỡnh z + z + = z1,2 = - 3i Ta cú P = (- + 3i +1 + 3) 2014 + (- - 3i +1 + 3) 2014 P = ( 3i + 3) 2014 + (- 3i + 3) 2014 = ( 3) 2014 [(1 + i) 2014 + (1 - i) 2014 ] P = 31007 [((1 + i) )1007 + ((1 - i) )1007 ] P = 31007 [(2i)1007 + (- 2i)1007 ] = 58 P = (z1 +1 + 3) 2014 + (z +1 + 3) 2014 = Vy http://hocmaivn.com Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn (C ) : x + y = , ng thng : y = x + v im A(3, 0) Gi M l mt im thay i trờn (C) v B l im cho t giỏc ABMO l hỡnh bỡnh hnh.Tớnh din tớch tam giỏc ABM, bit trng tõm G ca tam giỏc ABM thuc v G cú tung dng (C) cú tõm O(0; 0), bỏn kớnh R = Nhn xột: A (C ) OA = OM ABMO l hỡnh thoi AM OB Gi I = AM OB OG = OI y M uuur r uuu K GK // AM , K OA , ta cú: OK = OA K (4; 0) B GK // AM GK OB Suy G thuc ng trũn ng kớnh OK y = x + O A K x To G ( x; y ), y > tho món: 2 ( x 2) + y = x = y + x = y + 2 2 y + 2(1 3) y = y + + y = G (3; 3) (do y > 0) 9 OK d(G , Ox ) 9.4 Din tớch: S( AMB ) = S( OAM ) = 2S( OAI ) = .S( OKG ) = = = 16 16 x + y z = = Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng : v im 1 M(1; 1; 2) Mt cu (S) cú phng trỡnh : x + y + z + x + y - z = Vit phng trỡnh I G ( ) mt phng (P) i qua im M, song song vi ng thng v tip xỳc vi mt cu (S) Gi pt ca mp(P) l ax + by + cz + d = vi a; b; c khụng ng thi bng (1) Vỡ M thuc mp(P) nờn a - b + 2c + d = r r Mt phng (P) cú VTPT n(a; b;c) , cú VTCP u (2;1; - 1) rr D / /(P) ị u.n = 2a + b - c = (2) Mt cu (S) cú tõm I (- 1; - 1;1); R = Mp(P) tip xỳc vi (S) d (I;(P)) = R - a - b +c +d a + b2 + c2 = (3) ỡù c = 2a + b 2 T (1);(2) ta cú ùớù thay vo (3) ta c a - 4ab - 5b = ộa = - b ờ ởa = 5b ùợ d = - 5a - b Vi a = - b ị c = - b; d = 4b , chn b = a = - 1; c = - 1; d = Phng trỡnh mt phng (P) l - x + y - z + = Vi a = 5b ị c = 11b; d = - 26b , chn b = ị a = 5; c = 11; d = - 26 Phng trỡnh mt phng (P) l x + y +11z - 26 = Vy phng trỡnh mp (P) l - x + y - z + = hoc x + y +11z - 26 = Cõu 7.(1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy l hỡnh ch nht cú AB=a v BC=2a, mt phng (SAB) vuụng gúc vi ỏy, cỏc mt phng (SBC) v (SCD) cựng to vi ỏy mt gúc bng nhau.Bit khong cỏch gia hai ng thng SA v BD bng 59 2a a Tớnh th tớch chúp S.ABCD b.Tớnh cosin gúc gia hai ng thng SA v BD a) Gi H l hỡnh chiu ca S trờn ( ABCD) , S suy H AB (do ( SAB) ( ABCD) ) CB HB , suy gúc gia hai mt phng ( SBC ) ã v ( ABCD) l SBH H HE CD ( E CD) , suy gúc gia hai mt ã phng ( SCD) v ( ABCD) l SEH ã ã Do ú SBH = SEH HB = HE = 2a t H Ta c BD // AE BD //( SAE ) E d( SA, BD) = d( B, ( SAE )) = d( H , ( SAE )) (do A http://hocmaivn.com A B D l trung im HB ) d( H , ( SAE )) = C HA , HE , HS ụi mt vuụng gúc, suy ra: Nhn xột rng 1 1 1 = + + = 2+ 2+ SH = 2a 2 2 d ( H , ( SAE )) HA HE HS 2a a 4a HS Th tớch: V( S ABCD ) = S( ABCD ) SH = 2a 4a ã b) BD // AE , suy gúc gia hai ng thng SA v BD l SAE p dng nh lý hm s cụsin cho tam giỏc SAE , vi AE = SA = SH + HA2 = a v SA2 + AE SE ã ã = SE = SH = 2a , ta cú: cos( SA, BD) = cos SAE = 2.SA AE 2x y x+y = ( x + y ) x + y (2 x y ) x y (1) Cõu 8.(1,0 im)Gii h phng trỡnh: (2) y 2( x 1) + = + iu kin: x + y 0, x y (*) + Khi ú: (1) 22 x y + (2 x y ) x y = x + y + ( x + y ) x + y Xột hm f (t ) = 2t + t t , suy ra: (1) cú dng f (2 x y ) = f ( x + y ) Mt khỏc f (t ) ng bin, ú (1) 2x y = x + y hay x = y + Th vo (2), ta c: y + = 2(2 y 1)3 (3) t 3 t = (2 y 1) y = 2t , phng trỡnh (3) tr thnh h: y = (2t 1) Tr v tng ng cỏc phng trỡnh ca h, ta c: t = y ( 2(2 y 1) + 2(2 y 1)(2t 1) + 2(2t 1) + > y, t ) Th vo h: y = (2 y 1)3 y 12 y + y = ( y 1)(8 y y + 1) = y = y = x = , tho (*) Vy, h ó cho cú nghim (duy nht): ( x; y ) = (2; 1) 1 + + 3x + 2 y + z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc A = (3 x 1)(2 y 1)( z 1) t x = a, y = b, z = c ; ta cú: a, b, c l cỏc s dng v A = abc b c a + + + + + + Khi ú: ữ 3x + 2 y + z a + b + c +1 a + b + c +1 a b c + + a + b + c +1 Cõu 9.(1,0 im) Cho cỏc s thc x, y, z tho x > , y > , z > v 60 b b+2 b c bc c a + hay (1) a + b + c +1 c +1 a+3 (b + 2)(c + 1) http://hocmaivn.com + Suy ra: 2 ca ab (2) v (3) b+2 c +1 (c + 1)(a + 3) ( a + 3)(b + 2) Nhõn v tng ng ca (1), (2) v (3), ta c: A a b c = = = Du bng xy ra, v ch khi: a + b + c +1 3 a = , b = 1, c = x = , y = 3, z = 2 2 Vy, max A = Tng t: S 60 Cõu 1.(2,0 im) Cho hm s y = x3 3mx + 3(m 1) x m3 + 4m 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s m = 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s cú hai im cc tr cho ng thng i qua im cc tr ct ng trũn (x- 2) + (y- 1) = ti im A,B phõn bit tha AB = Cõu 2.(1,0 im) = 10 x + x 2 Gii phng trỡnh: t anx + 4cos x = 2cos x ữ+ cos x Gii cỏc phng trỡnh sau: x + 3x x p Cõu 3.(1,0 im) Tớnh tớch phõn: I = (1 + x).s inx+x.sinx.cosx dx ũ + cos x Cõu 4.(1,0 im): Cho a giỏc u n cnh ( n ) Tớnh s t giỏc cú cnh l ng chộo ca a giỏc ó cho Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m bt phng trỡnh (m + 2) x m x + cú nghim thuc on [-2; 2] Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng vi h to Oxy cho ABC cú nh A ( 3; ) , ng phõn giỏc ca gúc A cú phng trỡnh x + y = v tõm ng trũn ngoi tip ABC l I (1 ;7) Vit phng trỡnh cnh BC, bit din tớch ABC gp ln din tớch IBC 61 Cõu 6.(1,0 im) http://hocmaivn.com Trong khụng gian vi h to Oxyz cho ba im A ( 3; 2; ) , B ( 0; 1; ) , C ( 2;1;0 ) v mt phng ( Q ) : x y z + = Vit phng trỡnh mt phng ( P ) i qua A , vuụng gúc vi mt phng ( Q ) v cỏch u hai im B,C Cõu 7.(1.0 im): Cho t din ABCD cú di cỏc cnh bng Gi M, N ln lt l trung im ca DB, AC Trờn ng thng AB ly im P, trờn ng thng DN ly im Q cho PQ // CM Tớnh di PQ v th tớch AMNP y x + + = x + + x (1) Cõu 8.(1,0 im):Gii h phng trỡnh: 3 2 x y + x y = xy 3x + y (2) Cõu 9(1,0 im): 2 Cho x, y tha x + y = Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc: M = x ( x + 2) + y ( y + 2) + 3( x + y )( xy 4) LI GII Cõu 1.(2,0 im) 1.(1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn, v th hm s y = x3 3mx + 3(m 1) x m3 + 4m Khi m = ta c hm s y = x 3x + TX : R ( x x + 2) = ; lim ( x x + 2) = +; Gii hn : xlim x + x = y ' = x x = x = Hm s ng bin trờn mi khong (;0);(2; +) Hm s nghch bin trờn khong (0; 2) Cc tr : Hm s t C ti x1 = 0; yCD = , hm s t CT ti x2 = 2; yCT = th hm s khụng cú tim cn - BBT : + x y + 0 + + y - - th 62 http://hocmaivn.com -5 -2 -4 2.(1,0 im) Tỡm m ng thng i qua im cc tr ct ng trũn ti A,B cú AB = y ' = x 6mx + 3(m 1) (1) Hm s cú C, CT y ' = cú hai nghim phõn bit ' = > luụn ỳng vi mi m y ' = cú hai nghim x1,2 = m Thay x1,2 vo hm s ta cú ta im cc tr l : M( m + 1; m 3); N ( m 1; m + 1) Phng trỡnh ng thng i qua im cc tr l D :2 x + y - 3m +1 = I H A B ng trũn cú tõm I (2;1); R = K IH vuụng gúc vi AB thỡ H l trung im AB ị HA = ị IH = IA2 - HA2 = ị d (I; D ) = IH = - 3m 11 d (I; D ) = = m = ;m = 3 Vy m = ; m = 11 Cõu 2.(1,0 im) 1/ Gii cỏc phng trỡnh sau: x + 3x x x < = 10 x + x x iu kin x x Chia v ca phng trỡnh cho x ta c: x + x 10 = t t = x ,t x t = t = 5(loai ) c phng trỡnh: t + 3t 10 = x x = + 2 Vi t = 2, ta c x = (thừa iu kin) x = 2 Phng trỡnh cú hai nghim: x = + 2; x = 2 2/ Gii PT : t anx + 4cos x = 2cos cos x x ữ+ 63 p + kp PT sinx + 4cos x = 2cos x( cos2 x + sin x) + 2 2 sinx + 4cos x = cos xcos2 x + cos x sin x + (sinx cos x sin x) + (4cos x 2) = cos x.cos x http://hocmaivn.com iu kin : cos x x sinx(1 2cos x) + 2(2cos x 1) = cos x.cos x k cos2 x = x = + cos2 x( cos x + sinx 2) = sinx + cos x = (1) sin( x + ) = x = + k Vy phng trỡnh cú nghim l : x = (t/ m) (1) (t/ m) k + ; x = + k , k  p Cõu 3.(1,0 im) Tớnh tớch phõn : I = (1 + x).s inx+x.sinx.cosx dx ũ + cos x p I =ũ p p s inx dx +ũ x.s inxdx + cos x I1 = ũ p s inx dx =1 + cos x (*) p d(1+cosx) ũ + cos x dx =- ln + cos x p = ln I = ũ x.s inxdx s dng tớch phõn tng phn ị I = (1) (2) Thay (1) v (2) vo (*) ta cú I = + ln Cõu 4.(1,0 im) 1.(0,5 im) Cho a giỏc u n cnh ( n ) Tớnh s t giỏc cú cnh l ng chộo ca a giỏc ó cho Gi cỏc nh ca a giỏc u n cnh ln lt l: A1 , A2 , , An Ta m s cỏc t giỏc tha yờu cu bi toỏn cú nh l A1 Khi ú: A2 , An khụng phi l nh ca t giỏc vỡ A1 A2 , A1 An l cỏc cnh ca a giỏc Ta cn chn thờm cỏc nh: Ai , Aj , Ak tha món: i + < j + < k n (vỡ gia nh ca t giỏc phi cú ớt nht nh ca a giỏc) Mi cỏch chn b nh nh trờn l cỏch chn b s phõn bit n s t nhiờn t n n Vy cú Cn35 t giỏc cú nh A1 tha yờu cu bi toỏn Vỡ a giỏc cú n nh v mi t giỏc c m lp li ln theo nh nờn s t giỏc cn tỡm n.Cn35 l: 2.(0,5 im) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m bt phng trỡnh (m + 2) x m x + cú nghim thuc on [-2; 2] BPT (m + 2) x m x + x + m( x 1) x + (1) Ta thy x = 1, bpt vụ nghim vi mi m, nờn bpt cú nghim thỡ x , ú cú TH 64 x2 + x2 + , x (1; 2] t f(x) = x x bpt ó cho cú nghim thuc on [-2;2] thỡ m m in f(x) +)http://hocmaivn.com Nu x > thỡ (1) m (1;2] Kho sỏt f(x) trờn na khong (1;2] ta tỡm c m(1;2]in f(x)=5 Vy m x2 + x2 + , x [-2;1) t f(x) = x x bpt ó cho cú nghim thuc on [-2;2] thỡ m max f(x) +) Nu x < thỡ (1) m [-2;1) f(x)=2(1- 2) Vy m 2(1 2) Kho sỏt f(x) trờn na khong [-2;1) ta tỡm c max [-2;1) m Túm li, bt phng trỡnh ó cho cú nghim thuc on [-2; 2] m 2(1 2) Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng vi h to Oxy cho ABC cú nh A ( 3; ) , ng phõn giỏc ca gúc A cú phng trỡnh x + y = v tõm ng trũn ngoi tip ABC l I (1 ;7) Vit phng trỡnh cnh BC, bit din tớch ABC gp ln din tớch IBC 2 + Ta cú IA = Phng trỡnh ng trũn ngoi tip ABC cú dng ( C ) : ( x 1) + ( y 7) = 25 + Gi D l giao im th hai ca ng phõn giỏc gúc A vi ng trũn ngoi tip x + y = D ( 2;3) ABC Ta ca D l nghim ca h : 2 ( x 1) + ( y 7) = 25 + Vỡ AD l phõn giỏc ca gúc A nờn D l im uuu r chớnh gia cung nh BC Do ú ID BC hay ng thng BC nhn vộc t DI = ( 3; ) lm vec t phỏp tuyn + Phng trỡnh cnh BC cú dng x + y + c = + Do S ABC = 4S IBC nờn AH = IK 114 c= 7+c 31 + c + M AH = d( A; BC ) = v IK = d( I ;BC ) = nờn + c = 31 + c 131 5 c = x + 12 y 114 = 15 x + 20 y 131 = Vy phng trỡnh cnh BC l : hoc Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian vi h to Oxyz cho ba im A ( 3; 2; ) , B ( 0; 1; ) , C ( 2;1;0 ) v mt phng ( Q ) : x y z + = Vit phng trỡnh mt phng ( P ) i qua A , vuụng gúc vi mt phng ( Q ) v cỏch u hai im B,C uur Ta cú: (Q) cú VTPT l nQ = ( 1; 1; 1) uuur + BC = ( 2; 2; ) A + Trung im ca BC l I ( 1;0;1) uu r +) IA = ( 2; 2; 3) Q P Ta xột hai trng hp sau: Nu B,C nm cựng phớa so vi mt phng (P), mun B v C cỏch u (P) thỡ BC / / ( P )N uur uuur uur I VTPT Khi ú (P) nhn vộc t: nQ , BC = ( 4;0; ) hay vộc t nP =E( 1;0;1) lm Phng trỡnh mt phng (P): x + z = Nu B,C nm khỏc phớa so vi mt phng (P), mun B B v C cỏch u (P) thỡ I ( P ) uur uur uu r Khi ú (P) nhn vộc t nP = nQ , IA = ( 1;1;0 ) lm VTPT 65 C M D Phng trỡnh mt phng (P): x + y = http://hocmaivn.com Vy phng trỡnh mt phng (P) l: x + z = hoc x + y = Cõu 7.(1,0 im) Cho t din ABCD cú di cỏc cnh bng Gi M, N ln lt l trung im ca DB, AC Trờn ng thng AB ly im P, trờn ng thng DN ly im Q cho PQ // CM Tớnh di PQ v th tớch AMNP Trờn (ACM) dng IN // CM ( I AM ) Trờn (ABD) ly im P = DI AB Trờn (DNP) dng PQ // IN // CM ( Q DN ) Gi E l trung im ca PB ME l ng trung bỡnh ca BPD , ú: ME // PD ME // PI Mt khỏc: NI l ng trung bỡnh ca ACM I l trung im ca AM Nờn PI l ng trung bỡnh AME 1 3 EM = PD DI = PD, IN = CM = 4 IN DI = = PQ = IN = Khi ú: PQ DP 3 VAMNP AM AN AP AN AP 1 = = = = Ta cú: VAMCB AM AC AB AC AB VAMCB 1 = Vy: V M: (vtt) = VABCD = AMNP VABCD 12 144 Hay: PI = y x + + = x + + x (1) Cõu 8.(1,0 im)Gii h phng trỡnh: 3 2 x y + x y = xy 3x + y (2) iu kin: x Ta cú (2) x( x y ) + y ( x y ) + 3( x y ) = (2 x + y + 3)( x y ) = y = x (vỡ 2x + y2 +3 > 0, vi mi x ) Thay y = x2 vo (1) ta c: x x + + = x + + x (3) Xột hm s f(x) = x x x + x + + 2, x [-1;2] 1 + x +1 2 x 1 + > 0, x (1; 2) V f(x) = + 4( x + 1) x + 4(2 x) x Ta cú f(x) = x Do ú hm s f(x) ng bin trờn khong (-1; 2), nờn phng trỡnh f(x) = cú nhiu nht 1 nghim Mt khỏc f( ) = 0, t ú ta cú BBT ca f(x) x f(x) f(x) -1 - + f( ) 66 Vỡhttp://hocmaivn.com f( ) = + < 0, nờn t BBT suy phng trỡnh f(x) = cú nhiu nht nghim, hn na f(0) = f(1) = 0, ú phng trỡnh (3) cú nghim x =0; x = Túm li h ó cho cú nghim (0; 0) v (1;1) 2 Cõu 9.(1,0 im) Ta cú: ( x + y ) 2( x + y ) = x + y M = x ( x + 2) + y ( y + 2) + 3( x + y )( xy 4) = ( x + y )3 12( x + y ) + t: x + y = t t [ 2;2] Ta cú: M = t 12t + Xột f (t ) = t 12t + , ta cú: f '(t ) = 3t 12 t [-2; 2] Do ú trờn on [-2; 2] , f(t) nghch bin Vy: max M = max f (t ) = f (2) = 20 t = x = y = [-2;2] M = f (t ) = f (2) = 12 t = x = y = [-2;2] 67 [...]... 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 4 ( m − 1) x + 2m − 1 có đồ thị ( Cm ) 4 3 2 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = b) Xác định tham số m để (Cm) có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều Câu 2.(1,0 điểm) a) Giải phương trình ( 1 − tan x ) ( 1 + sin 2 x ) = ( 1 + tan x ) b) Giải phương trình: x + 1 + 1 = 4 x 2 + 3x π 2 Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân ∫ π 4 ( x + 2sin... 1 ) + y( y + x ) = 4 y Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực:  2 2 ( x + 1 ).y( y + x − 2 ) = y Câu 9.(1 điểm) Cho a,b,c>0 thỏa điều kiện abc=1 Chứng minh rằng: a b c + + ≥1 1+ b + c 1+ c + a 1+ a + b LỜI GIẢI Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 4 ( m − 1) x + 2m − 1 có đồ thị ( Cm ) 1.(1,0 điểm).Với m = 2 bài toán trở thành Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y =... = 0  x = ±1 • Sự biến thi n: y' = 4 x 3 − 4 x Ta có y' = 0 ⇔  • yCD = y ( 0 ) = 2; yCT = y ( 2 ) = −2 • Bảng biến thi n: x −∞ y/ - -1 0 + 0 0 17 - 1 0 +∞ + +∞ y +∞ http://hocmaivn.com 2 -2 -2 • vẽ đồ thị 8 6 4 2 - 15 - 10 -5 5 10 1 5 -2 -4 -6 -8 Nhận xét: đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung Oy 2.(1,0 điểm) Xác định m để (Cm) có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều 3 2 Ta có y′ = 4 x −... khi và chỉ khi a=b=c=1 ĐỀ SỐ 2 2x − 3 (1) x−2 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1) 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB = 2 IB , với I (2, 2) Câu 2.(1,0 điểm) sin 2x + 3tan 2x + sin 4 x = 2 1 Giải phương trình: tan 2 x − sin 2 x Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số: y = 2 Giải phương trình : log... −∞;lim y = +∞ x → 2− y/ = −1 ( x − 2) x → 2+ 2 ⇒ phương trình đường TCĐ: x = 2 < 0 ∀x ∈ D ⇒ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Hàm số không có cực trị Bảng biến thi n: 22 2x − 3 x−2 http://hocmaivn.com Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0) Đồ thị: 1.(1,0 điểm).Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang... − 1) = 3  m = 1 +  2 4 3 3 : 2 Câu 2.(1,0 điểm) Giải phương trình ( 1 − tan x ) ( 1 + sin 2 x ) = ( 1 + tan x ) So sánh với điều kiện có 3 cực trị ta suy ra m = 1 + • Điều kiện: x ≠ π + kπ ,k ∈ Z 2 tan x = −1 cos2 x = 1 Biến đổi phương trình về dạng ( sin x + cos x ) ( 1 − cos2 x ) = 0 ⇔  Do đó nghiệm của phương trình là: x = − 2.(0,5 điểm) .Giải phương trình: Điều kiện: x ≥ 0 π + kπ ,x = kπ... u + v | ≤ | u | + | v |⇔ 3 5 ≤ (3t + 2) 2 + 1 + (−3t + 1) 2 + 25 3t + 2 1 1 r r = ⇔t =− hay MA + MB ≥ 3 5 Đẳng thức chỉ xảy ra khi u và v cùng hướng ⇔ −3t + 1 5 2 1  Vậy ( MA + MB) min = 3 5 đạt được khi M  0; 2; ÷ 2  Câu 7.(1,0 điểm) 1.(0,5 điểm) Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chi u vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết... độ dương Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng ( P ) : x − y − z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết rằng mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON Câu 7.(1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chi u của A trên (A’B’C’) trùng với trọng... ABC.A’B’C’ theo a 2  x − y) (  2x + 1 + 2 y + 1 = Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  2  ( x + y ) ( x + 2 y ) + 3x + 2 y = 4  ( x, y ∈ ¡ ) Câu 9.(1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= 1 a 2 + b 2 + c 2 +1 − 2 ( a +1) ( b +1) ( c +1) LỜI GIẢI Câu 1.(2,0 điểm) 1.(1,0 điểm) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = TXĐ: D = R \ { 2} lim y = 2 ⇒... m − 1) x = 4 x ( x − 2 ( m − 1) ) x = 0 y′ = 0 ⇔  2 nên hàm số có 3 cực trị khi m > 1  x = 2 ( m − 1) Với đk m > 1 hàm số có 3 điểm cực trị là: A ( 0; 2m − 1) ,B ( ) ( ) 2 ( m − 1) ; −4m 2 + 10m − 5 ,B − 2 ( m − 1) ; −4m 2 + 10m − 5 Ta có: AB 2 = AC 2 = 2 ( m − 1) + 16 ( m − 1) ; BC 2 = 8 ( m − 1) 4 Điều kiện tam giác ABC đều là AB = BC = CA ⇒ AB 2 = BC 2 = CA2 m = 1 m − 1 = 0 3 ⇒ 2 ( m − 1)