Đề thi thử ĐH môn Toán ( giải chi tiết)

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2011 Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 2x +1 Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ nhÊt Câu II (2 điểm):1) Giải phương trình: 2009  cos x + 2 sin  x +   2  = 4cos x sin x + 4sin x cos x  1  x + x + (1 + )=4  y y  2) Giải hệ phương trình:  x x2  + + = 4− x  y y y   − 4x2 − 4x  + x x +  dx 1  x + x +    − Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = Câu IV (1 điểm):Trên đường thẳng vng góc A với mặt phẳng hình vng ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu vng góc A lên SB SD Mặt phẳng (AB’D’ ) cắt SC C’ Tính thể tích khối đa diện ABCDD’ C’ B’ Câu V (1 im): Tam giác ABC có đặc điểm góc thoả mãn: cos A.cos B cos B.cos C cos C.cos A + + = cos C cos A cos B II PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH ( điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường tròn ( C) : x + y − x + y − 15 = đường thẳng (d) : mx − y − 3m = ( m tham số) Gọi I tâm đường tròn Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) điểm phân biệt A,B thoả mãn chu vi  IAB 5(2 + 2) x −1 y z +1 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : (d1 ) : = = −2 1 x y − z +1 Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) hợp với (d2) góc 300 (d ) : = = −1 Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh với a, b, c>0 ta có: 1 1 1 1 + +  + +  + + 4a 4b 4c a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M điểm (d ) : x − y + = Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) góc 450 tiếp xúc với (C) A, B Viết phương trình đường thẳng AB 2) Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH ⊥ ( ABC ) DH = với H trực tâm tam giác ABC Tính góc (DAB) (ABC) Câu VII.b (1 điểm): Chứng minh với a, b, c>0 ta có: a b c + +  a + (a + b)(a + c) b + (b + a)(b + c) c + (c + a)(c + b) ĐÁP ÁN ĐỀ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 2x +1 Câu I (2 điểm): Cho hµm sè y = x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhá nhÊt Câu II (2 điểm):1) Giải phương trình: 2009   2 cos x + 2 sin  x +  = 4cos x sin x + 4sin x cos x   2009   2 cos x + 2 sin  x +  = 4cos x sin x + 4sin x cos x   2  cos x − sin x + 2(sin x + cos x) = 4sin x.cos x(sin x + cos x)  (cos x + sin x)(cos x − sin x − cos x.sin x + 2) = (1)  cos x + sin x =  cos x − sin x − 4sin x.cos x + = (2)  + k + Giải (2): Đặt cos x − sin x = t , t  ta có phương trình: 2t + t = + Giải (1): (1)  tan x = −1  x = −  t =0  t = −1/  + k • Với t = ta có: tan x =  x = •  x = arccos( − / 4) −  / + k 2  Với t = −1 / ta có: cos( x + ) = − /    x = − arccos( − / 4) −  / + k 2   + k , 4 x = arccos(− / 4) −  / + k 2 , x = − arccos(− / 4) −  / + k 2 KL: Vậy phương trình có họ nghiệm: x = − + k , x = 1  x + x + (1 + )=4  y y  2).Giải hệ phương trình:  x x2  + + = 4− x  y y y 1    x + x + y (1 + y ) = x +    §k y    x + x + = − x3  x3 +   y y  y 1 + x+ = y y đặt x + ( + x) = y3 y y  a = x + y   b = x  y 2   a = a + a − 2b =  a + a − = 2b a + a − = 2b Ta đ-ợc   2    b = a − 2ab = a − a(a + a − 4) =  a − 4a + = x = y y =1  Khi ®ã  KL  x =  x + x =   − 4x2 − 4x + x x + dx Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I =    4x + 4x +   −  0  − 4x − 4x  − (2 x + 1) + x x + dx = dx +  1  (2 x + 1)2 + 1 (2 x + 1)2 + 1 ( x x + 1)dx   −  − − I= 2 = − (2 x + 1) dx + (2 x + 1) +  − + Tính: I1 =  − 2  ( x x + 1) dx − − (2 x + 1) dx Đặt: (2 x + 1) +     x + = 2sin t , t   − ;   dx = cos tdt , x = −  t = 0,x =  t =  2  Khi đó: I1 =     cos t − − sin tdt dt dt = = − dt + 2    4sin t + 2(sin t + 1) 20 sin t + 0 2 6  =−  12 dt sin t + +   6 dt d (tan t ) = Đặt: tan t = tan y 2  sin t + 2(tan t + 1/ 2) + Tính: I =  Suy ra: d (tan t ) =  2 d (tan y ) = (1 + tan y)dy , với t =  y = 0, t =  y =  cho 2  , (0    )  2 dy = y Khi đó: I =  2 tan  =  =  + Tính: I =  ( x x + 1) dx Đặt: − 1 t = x +  x = t − 1, dx = tdt , x = −  t = 0, x = −  t = 2 t t −1 t  Khi đó: I =  t dt =  −  10 = − 15  10    , (0    ) ) − +  , ( tan  = 15 12 Câu IV (1 điểm):Trên đường thẳng vng góc A với mặt phẳng hình vng ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu vng góc A lên SB SD Mặt phẳng (AB’D’ ) cắt SC C’ Tính thể tích khối đa diện ABCDD’ C’ B’ + Trong tam giác SAB hạ AB ' ⊥ SC Trong tam giác SAD hạ AD ' ⊥ SD Dễ có: BC ⊥ SA, BC ⊥ BA  BC ⊥ ( SAB ) Suy ra: AB ' ⊥ BC , mà AB ' ⊥ SB Từ có AB ' ⊥ ( SAC )  AB ' ⊥ SC (1) Tương tự ta có: AD ' ⊥ SC (2) Từ (1) (2) suy ra: SC ⊥ ( AB ' D ')  B ' D ' ⊥ SC Từ suy ra: SC ' ⊥ ( AB ' C ' D ') KL: Vậy I = I1 + I + I = − 1 5a = 2+  AB ' = 2 AB ' SA BA 4  SB ' = SA2 − AB '2 = 4a − a = a, 5 + Ta có: S SB = SA2 + AB = 5a SB ' Suy ra: = ; SB Lại có B’D’ // BD (cùng thuộc mp(SBD) vng góc với SC) nên B ' D ' ⊥ AC ' (vì dễ có BD ⊥ ( SAC ) nên BD ⊥ AC ' ) B' Xét hai tam giác đồng dạng SB’D’ SBD suy ra: A B ' D ' SB ' = = BD SB 2a  B'D' = B Ta có: 1 3a = 2+  AC ' =  SC ' = SA2 − AC '2 = a 2 AC ' SA AC 3 1 16 + Ta có: VS AB 'C ' D ' = S AB 'C ' D ' SC ' = B ' D ' AC '.SC ' = a 3 45 VS ABCD = S ABCD SA = a 3 Suy thể tích đa diện cần tìm là: D' C' D O C V = VS ABCD − VS AB 'C ' D ' = 14 a 45 Chú ý: Vẽ hình sai khơng chấm Câu V (1 điểm): Tam giác ABC có đặc điểm góc thoả cos A.cos B cos B.cos C cos C.cos A m·n: + + = cos C cos A cos B sin C cos A.cos B tan C Ta cã tanA+tanB=  = cos A.cos B cos C tan A + tan B ABC không nhọn nên đặt x=tanA>0,y=tanB>0,z=tanC>0 x y z x y z Tõ GT ta có + + = với x,y,z>0.Dễ dàng CM đ-ợc + +  y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y Dấu =xảy x=y=z hay tam giác ABC II PHN RIấNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH ( điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: 2/.Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường tròn ( C) : x + y − x + y − 15 = đường thẳng (d) : mx − y − 3m = ( m tham số) Gọi I tâm đường tròn Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) điểm phân biệt A,B thoả mãn chu vi  IAB 5(2 + 2) x −1 y z +1 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : (d1 ) : = = −2 1 x y − z +1 Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) hợp với (d2) góc 300 (d ) : = = −1 Giả sử mặt phẳng cần tìm là: ( ) : ax + by + cz + d = (a + b + c  0) Trên đường thẳng (d1) lấy điểm: A(1; 0; -1), B(-1; 1; 0)  a−c+d = c = 2a − b Do ( ) qua A, B nên:  nên  −a + b + d =  d = a −b ( ) : ax + by + (2a − b) z + a − b = Yêu cầu toán cho ta: 1.a − 1.b + 1.(2a − b) = sin 300 = 12 + (−1)2 + 12 a + b2 + (2a − b)  3a − 2b = 3(5a − 4ab + 2b )  21a − 36ab + 10b =  18 − 114 a = 21 Dễ thấy b  nên chọn b=1, suy ra:   18 + 114 a =  21 18 + 114 15 + 114 − 114 KL: Vậy có mặt phẳng thỏa mãn: x+ y+ z− =0 21 21 21 18 − 114 15 − 114 + 114 x+ y+ z− = 21 21 21 Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh với a, b, c>0 ta có: 1 1 1 1 + +  + +  + + 4a 4b 4c a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 1 Dễ có: ( x + y )  xy  +  ( x, y  0)(*) x y x+ y 1 1 1 + Chứng minh: + +  + + 4a 4b 4c a + 3b b + 3c c + 3a 1 1 16 16 Áp dụng lần (*) ta có: + + +  hay +  (1) a b b b a + 3b a b a + 3b 16 16 Tương tự ta có: +  (2) +  (3) b c b + 3c c a c + 3a Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế rút gọn ta có điều phải chứng minh 1 1 1 + +  + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 1 Áp dụng (*) ta có: (4) +  = a + 3b b + 2c + a 2(a + 2b + c) a + 2b + c 1 Tương tự ta có: +  (5) b + 3c c + 2a + b b + 2c + a 1 +  (6) c + 3a a + 2b + c c + 2a + b Cộng (4), (5) (6) theo vế với vế ta có điều phải chứng minh + Chứng minh: Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M điểm (d ) : x − y + = Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) góc 450 tiếp xúc với (C) A, B Viết phương trình đường thẳng AB Dễ thấy I  ( d ) Hai tiếp tuyến hợp với (d) góc 450 suy tam giác MAB vuông cân tam giác IAM vuông cân Suy ra: IM =  a=0 M  (d )  M ( a; a+2), IM = (a + 1; a + 1) , IM =  a + =    a = −2 Suy có điểm thỏa mãn: M1(0; 2) M2 (-2; 0) + Đường tròn tâm M1 bán kinh R1=1 (C1): x + y − y + = Khi AB qua giao điểm (C ) (C1) nên AB: x2 + y − y + = x2 + y + 2x − y +  x + y − = + Đường tròn tâm M2 bán kinh R2=1 (C2): x + y + x + = Khi AB qua giao điểm (C ) (C2) nên AB: x2 + y2 + 4x + = x2 + y + 2x − y +  x + y + = + KL: Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x + y − = x + y + = 2).Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH ⊥ ( ABC ) DH = với H trực tâm tam giác ABC Tính góc (DAB) (ABC) Trong tam giác ABC, gọi K = CH  AB Khi đó, dễ thấy AB ⊥ ( DCK ) Suy góc (DAB) (ABC) góc DKH Ta tìm tọa độ điểm H Tính HK xong + Phương trình mặt phẳng (ABC) - Vecto pháp tuyến n = [ AB, AC ] = ( 0; −4; −4 ) - (ABC): y + z − = + H  ( ABC ) nên giả sử H (a; b; − b) Ta có: AH = (a; b; −b), BC = (4; −2; 2) CH = (a − 2; b; −b), AB = (−2; 2; −2)  BC AH =  a −b =   a = b = −2 Khi đó:  − a + 2b + =  AB.CH = Vậy H(-2; -2; 4) + Phương trình mặt phẳng qua H vng góc với AB là: x − y + z − = x = t  Phương trình đường thẳng AB là:  y = −t z = + t  x=t   y = −t  Giải hệ:  ta x =2/3; y =-2/3, z =8/3 z = + t   x − y + z − = 2 96 2    8  Suy ra: K(2/3;-2/3; 8/3) Suy ra: HK =  +  +  − +  +  −  = 3    3  Gọi  góc cần tìm thì: tan  = DH / HK = 96 /12 = /   = arctan( / 3) Vậy  = arctan( / 3) góc cần tìm Câu VII.b (1 điểm): Chứng minh với a, b, c>0 ta có: a b c + +  a + (a + b)(a + c) b + (b + a)(b + c) c + (c + a)(c + b) Víi a,b >0 ta cã ( a + b )( a + c ) − ( ab + ac )2 = a + bc − 2a bc = (a − bc )   ( a + b )( a + c )  ( ab + ac )  ( a + b )( a + c )  ( ab + ac ) a a a  = a + (a + b)(a + c) a + ab + ac a+ b+ c CM t cộng vế với vế ta đ-ợc dpcm ấ 2 x − Câu 1: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x−2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt tiệm cận (C) A, b cho AB ngắn  Câu 2: 1/.Giải phương trình: 2 sin( x −  ).cos x = 12 3 8x y + 27 = 18y3 (1) 2/.Giải hệ phương trình:  2 4x y + 6x = y (2) Câu 3:  2 1) Tính tích phân I =  sin x  sin x + dx 2) Tìm giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm thực: (m - 3) x + ( 2- m)x + - m = (1) Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a b c + + 1 3 8c + 8a + 8b3 + Câu 5: Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Phần riêng: 1.Theo chương trình chuẩn: Câu 6a: Cho  ABC có B(1;2), phân giác góc A có phương trình ( ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến ( ) lần khoảng cách từ B đến () Tìm A, C biết C thuộc trục tung Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 hai đường thẳng :  x = + 2t  − y z + (d1) x + = ; (d2)  y = + t (t  ) Viết phương trình tham số đường thẳng  = 1 z = 1+ t  nằm mp(P) cắt đường thẳng (d1) , (d2) 2.Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho  ABC có diện tích 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G  (d) 3x –y –8 =0 tìm bán kinh đường tròn nội tiếp  ABC Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất giá trị m để (S) cắt (d) điểm MN cho MN= ĐÁP ÁN ĐỀ 2 x − Câu 1: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x−2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn 2x0 − Gọi M(xo; ) (C) x0 − 2x02 − 6x0 + − x Phương trình tiếp tuyến M: () y = + ( x0 − 2)2 ( x0 − 2)2 2x0 − ) x0 − ( )  TCN = B (2x0 –2; 2) ( )  TCĐ = A (2; AB = (2x0 − 4; −2 )  AB = 4( x0 − 2)2 + x0 − ( x0 − 2)2  x = → M (3;3)  AB = 2    xo = → M (1;1) cauchy 2 Câu 2: 1) Giải phương trình: 2 sin( x −  ).cos x = 12  x =  + k  phương trình  2(cosx–sinx)(sinx– cosx)=0   (k  )  + k x =   3 8x y + 27 = 18y (1) 2).Giải hệ phương trình:  2 4x y + 6x = y (2) (1)  y    3 8x3 + 27 = 18 (2x) +   = 18 y3    y  Hệ    4x + 6x2 = 2x  2x +  =    y y  y y a3 + b3 = 18 a + b = 3 Đặt a = 2x; b = Ta có hệ:   y ab(a + b) = ab = → Hệ cho có nghiệm  − ;  ,  + ;   3+   3−  Câu 3:  2 1) Tính tích phân I =  sin x  sin x + dx  I =−  − cos x  d (cos x) Đặt cos x = cos u  2  I =   sin udu =  16 ( + ) 2) Tìm giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm thực: (m - 3) x + ( 2- m)x + - m = (1) Đk x  đặt t = x ; t  (1) trở thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m =  m = 2t − 3t + (2) t − t +1 Xét hàm số f(t) = 2t − 3t + (t  0) t − t +1 Lập bảng biến thiên (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t    m  3 Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a b c + + 1 3 8c + 8a + 8b3 + cauchy a 8c3 + = (2c + 1)(4c2 − 2c + 1)  2c2 +   2a 8c + 2c + b c Tương tự,  2b ;  2c 3 a + 8a + 8b + 2b + a + b + c  (1) Ta chứng minh: 2c + 2a2 + 2b2 + 3 Bđt(1)  4(a b +b a +c3a2) +2(a3+b3+c3 )+2(ab2+bc2+ca2)+( a+b+c)   8a2b2c2 +4(a2b2 +b2c2 +c2a2) +2 (a2 +b2 +c2 )+1 (2) Ta có: 2a3b2 +2ab2  4a2b2; … (3) 2(a3b2+b3a2+c3a2)  2.3 a5b5c5 =6 (do abc =1)(4) a3+b3+c3  3abc =3 = +2 a2b2c2 (5) a3 +a  2a2; … (6) Công vế (3), (4), (5), (6), ta (2) Dấu xảy a=b=c=1 Câu 5: Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Gọi M trung điểm BC O hình chiếu S lên AM Suy ra: SM =AM = a ; AMS = 600 SO ⊥ mp(ABC)  V(S.ABC) = dt ( ABC ).SO = a  d(S; BAC) = SO = 3a Mặt khác, V(S.ABC) = dt (SAC ).d ( B; SAC ) SAC cân C có CS =CA =a; SA = a 3 V a = Vậy d(B; SAC) = dt ( SAC ) 13 16  dt(SAC) = a 13 16 Phần riêng: 1.Theo chương trình chuẩn: Câu 6a: Cho  ABC có B(1;2), phân giác góc A có phương trình ( ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến ( ) lần khoảng cách từ B đến () Tìm A, C biết C thuộc trục tung Gọi H, I hình chiếu B, C lên () M đối xứng B qua   M  AC M trung điểm AC (BH): x –2y + =0 → H −1; → M −7 ; 5 5  y0 = BH = CI = ; C Oy  C(0; y0)   5  yo = −5 ( ) ( ) 10 ĐỀ 18 CÂUI: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x − x + m , m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Câu II: (2,0 điểm) x x + cos = sin 2 1 Giải phương trình: log ( x + 3) + log ( x − 1) = log (4 x) Giải phương trình: Câu III: (1,0 điểm)  Tính tích phân: I =   tan x cos x + cos x dx Câu IV: (1,0 điểm) Tính thể tích khối hộp ABCD A' B ' C ' D' theo a Biết AA ' B ' D ' khối tứ diện cạnh a Câu V: ( 1,0 điểm) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn   − ;1 : − x − x + x + = m ( m  R )   Câu VI: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng (d ) có phương trình: x − y − = hai điểm A(1;2) ; B ( 4;1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d ) qua hai điểm A , B Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B ( 2;0;2) a Tìm quỹ tích điểm M cho MA − MB = b Tìm quỹ tích điểm cách hai mặt phẳng (OAB ) (Oxy ) Câu VII: (1,0 điểm) Với n số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: C n0 + 2.C n1 + 3.C n2 + 4.C n3 + + n.C nn −1 + (n + 1).C nn = (n + 2).2 n −1 ĐÁP ÁN ĐỀ 18 CÂUI: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x − x + m , m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng  Phương trình x − 3x − 9x + m = có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 85  Phương trình x − 3x − 9x = −m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng  Đường thẳng y = − m qua điểm uốn đồ thị  − m = −11  m = 11 Câu II: (2,0 điểm) x x Giải phương trình: + cos = sin 2 x x + cos = sin 2 2x + cos = − cos x  + 4 2x  + + cos = − cos x x   + cos 2a = − cos 3a a =  3   + ( cos a − 1) = − ( cos3 a − cos a )  + cos a − + cos3 a − cos a =  cos a ( cos a + cos a − 3) =  cos a = x  x  3 cos =     = + k x= + k 3    cos a =      cos x = cos   x =   + k 2  x =  + k 6   3  3  cos a = − ( loaïi )  1 2.Giải phương trình: log ( x + 3) + log ( x − 1) = log (4 x) 1 log ( x + 3) + log ( x − 1) = log (4 x) Điều kiện:  x  −3   x    x  x   Biến đổi theo logarit số thành phương trình log ( x + 3)( x − 1)  = log ( 4x )  x − 2x − =  x = −1 ( loaïi )   x = x =  Câu III: (1,0 điểm) 86  Tính tích phân: I =   tan x cos x + cos x dx    tan x tan x I= dx =  dx =  dx 2  cos x + cos x   cos x tan x + 2 cos x +1 6 cos2 x  x = = u = Đặt u = tan x  du = dx cos x  x =  u =1 u u = I =  dx Đặt t = u +  dt = du u2 + u2 + 4 tan x u= t = 3 u =  t =  I =  dt = t 3 = 3− 3− = 3 Câu IV: (1,0 điểm) Tính thể tích khối hộp ABCD A' B ' C ' D' theo a Biết AA ' B ' D ' khối tứ diện cạnh a a2 a a3 V = Sđáy  h Sđáy = ,h = = V = Câu V: ( 1,0 điểm) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn   − ;1 : − x − x + x + = m ( m  R )     Đặt f ( x ) = − x − x3 + 2x + , suy f ( x ) xác định liên tục trênđoạn  − ;1     3x 3x2 + 4x 3x + f '( x) = − − = −x  +  1− x2 x + 2x + x + 2x +   1− x 3x +   +  x   − ;1 ta có x  −  3x +     1− x2 x + 2x + Vậy: f '( x) =  x = Bảng biến thiên: 87 − x f '( x) || + − || CÑ 3 − 22 f ( x) −4 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình cho có nghiệm thuộc 3 − 22   m =  −  m  − ;   Câu VI: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng (d ) có phương trình: x − y − = hai điểm A(1;2) ; B ( 4;1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d ) qua hai điểm A, B Phương trình đường trung trực AB 3x − y − = 2 x − y =  x = Tọa độ tâm I đường tròn nghiệm hệ:    I (1; −3) 3x − y =  y = −3 2 R = IA = Phương trình đường tròn ( x − 1) + ( y + 3) = 25 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B ( 2;0;2) a Tìm quỹ tích điểm M cho MA − MB = M ( x, y, z ) cho MA2 − MB =  ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 2) − ( x − 2) − y − ( z − 2) = 2 2  2x − y − = Vậy quỹ tích điểm M mặt phẳng có phương trình 2x − y − = b Tìm quỹ tích điểm cách hai mặt phẳng (OAB ) (Oxy ) OA, OB  = ( 2; 2; −2) = (1;1; −1)  ( OAB ) : x + y − z =   ( Oxy ) : z = N ( x; y; z ) cách ( OAB ) ( Oxy )  d ( N , ( OAB ) ) = d ( N , ( Oxy ) )  x + y −  x + y − z =  3z   x + y +  ( ( ) − 1) z = +1 z = 88 x+ y−z = z Vậy tập hợp điểm N hai mặt phẳng có phương trình x + y − x+ y+ ( ) ( ) + z = −1 z = Câu VII: (1,0 điểm) Với n số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: C n0 + 2.C n1 + 3.C n2 + 4.C n3 + + n.C nn −1 + (n + 1).C nn = (n + 2).2 n −1 Khai triển (1 + x ) ta có: n (1+ x ) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn −1x n −1 + Cnn x n Nhân vào hai vế với x  , ta có: n (1+ x ) x = Cn0 x + Cn1x2 + Cn2 x3 + Cn3 x + + Cnn−1x n + Cnn x n+1 Lấy đạo hàm hai vế ta có: n −1 n Cn0 + 2Cn1 x + 3Cn2 x + 4Cn3 x3 + + nCnn −1x n −1 + ( n + 1) Cnn x n = n (1+ x ) x + (1+ x ) = (1 + x ) n −1 ( nx + x + 1) Thay x = , ta có Cn0 + 2.Cn1 + 3.Cn2 + 4.Cn3 + + n.Cnn −1 + (n + 1).Cnn = ( n + 2) 2n −1 ĐỀ 19 I PHẦN CHUNG: Câu 1( điểm): Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x−2 x −1 Chứng minh với giá trị thực m, đường thẳng (d) y = - x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ đoạn AB Câu (1.5 điểm):  y2 + 3y = x2  Giải hệ phương trình sau:  3x = x +  y2  Giải phương trình: 2x + + 2x + + 2x + = Câu ( điểm): Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC), ngồi AC = AD = 4; AB = 3; BC = Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Câu 4( điểm):  Tính tích phân: I =   x cos x dx sin x Câu ( điểm): Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: 89 x − xy y − yz z − zx + + 0 x+ y y+z z+x II PHẦN RIÊNG: 1) Theo chương trình chuẩn: Câu ( 1.5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + y + = 0, (d2): 2x – y – = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;-1) cắt (d1) (d2) tương ứng A B cho MA + MB = Giải bất phương trình sau: 2C2x+1 + 3A2x < 30 ĐÁP ÁN ĐỀ 19 I PHẦN CHUNG: Câu 1( điểm): Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x−2 x −1 Chứng minh với giá trị thực m, đường thẳng (d) y = - x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ đoạn AB Phương hoành độ giao điểm (d) (C) là: x−2 =-x+m x −1 x  ln có nghiệm phân biệt với m   x − mx + m − = (1) Ta có A(x1; -x1 +m), B(x2; - x2 + m) AB = Vậy gtnn AB = 2( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2  = 2(m2 − 4m + 8)  8 m = Câu (1.5 điểm):  y2 + 3y = x2  Giải hệ phương trình sau:  3x = x +  y2  3x y = y + điều kiện x>0, y>0 Khi hệ tương đương  2 3xy = x + Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: (x-y)(3xy+x+y) =  x = y thay lại phương trình Giải tìm nghiệm hệ là: (1;1) 90 Giải phương trình: Tập xác định: D = R Đặt f(x) = Ta có: f ' ( x) = (2 x + 1) 2x + + 2x + + 2x + = 2x +1 + 2x + + 2x + 3 + + ( x + 2) 3  0; x  − ,−1,− 2 (2 x + 3) Suy hàm số f(x) đồng biến tập M=  − ,−    − ,−1   − 1,−    − ,+   2    2   Ta thấy f(-1)=0  x=-1 nghiệm (1) Ta có: f (− ) = 3; f (− ) = −3 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x -∞ − f’(x) -1  −  +∞  +∞ F(x) -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) =  x = -1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 u = x + Cách 2: Học sinh đặt  ta hệ v = x +  u + v3 =0 u + v + giải hệ  v − u =  tìm nghiệm Câu ( điểm): Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC), ngồi AC = AD = 4; AB = 3; BC = Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) 1 1 AH S DBC = DA.S DBC = DA AB AC 3 Vậy AH.SDBC= DA AB AC (1) 12 Mà AM.BC = BA.CA  AM = từ (1) có 1 AH BC.DM = DA AB AC 2 DA AB AC 4.3.4 34 = = từ AH = BC.DM 17 144 16 + 25 Ta có VABCD =  Câu 4( điểm): Tính tích phân: I =   x cos x dx sin x 91 D H C A M B ' cos x   Ta có   = − nên sin x  sin x     1 dx   1  I = −  xd ( ) = − x | +  = − ( − ) − cot x | = 2 2 2 sin x  sin x sin x 4 Câu ( điểm): Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: x − xy y − yz z − zx + + 0 x+ y y+z z+x x − xy x( x + y ) − xy xy ( x + y) x+ y x− y (1)( x,y>0) = = x−  x− = x− = x+ y x+ y x+ y 2( x + y ) 2 z − zx z − x y − yz y − z Tương tự: (2), (3) Cộng vế (1),(2),(3) suy ra:   z+x y+z x − xy y − yz z − zx x − y y − z z − x + +  + + = Đẳng thức xảy x = y = z x+ y y+z z+x 2 Ta có: II PHẦN RIÊNG: 1) Theo chương trình chuẩn: Câu ( 1.5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + y + = 0, (d2): 2x – y – = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;-1) cắt (d1) (d2) tương ứng A B cho MA + MB = A(a;-a-1), B(b;2b – 1) Từ điều kiện MA + MB = tìm A(1; - 2), B(1;1) suy (d): x – = Giải bất phương trình sau: 2C2x+1 + 3A2x < 30 Điều kiện x  N , x  Ta có 2C2x+1 + 3A2x < 30  x(x + 1) +3x(x-1) < 30  4x2 – 2x – 30 > −5   x  kết hợp với điều kiện ta x = 2 ĐỀ 20 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH x+2 Câu I (2 điểm) Cho haøm số y = (1) 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Câu II (2,0 điểm) (1 − 2sin x) cos x Giải phương trình = (1 + 2sin x)(1 − sin x) Giải phương trình : 3x − + − 5x − = (x  R) 92  Caâu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =  (cos3 x − 1) cos xdx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz, ta coù (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)  5(y + z)3 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng  : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác đònh tọa độ tâm tính bán kính đường tròn Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2+2z+10=0 Tính giá trò biểu thức A = z12 + z22 B Theo Chương trình Nâng Cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng  : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để  cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích IAB lớn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = vaø x +1 y z + x −1 y − z +1 đường thẳng 1 : ; 2 : Xác đònh tọa độ điểm = = = = 1 −2 M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Câu VII.b (1,0 điểm) log (x + y ) = + log (xy) Gỉai hệ phương trình :  (x, y  R) x − xy + y = 81 3 ĐÁP ÁN ĐỀ 20 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH x+2 Câu I (2 điểm) Cho haøm số y = (1) 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) y 93 -2 −3 2/3 x −1  −3  \  , y/ =  0, x  D (2 x + 3) 2 Suy hàm số giảm khoảng xác định khơng có cực trị −3 lim− y = − , lim+ y = +  TCĐ: x = −3 −3 x→ x→ D= 2 1 lim y =  TCN : y = x → 2 −3 x y/ +∞ -∞ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục +∞ hoành, trục tung hai điểm phân y biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O -∞ Tam giác OAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai đường thẳng y = x y = -x Nghóa là:  x = −1  y0 = −1 f’(x0) = 1  = 1   (2x + 3)  x = −2  y0 = 1 : y – = -1(x + 1)  y = -x (loaïi) 2 : y – = -1(x + 2)  y = -x – (nhaän) - - Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình (1 − 2sin x) cos x = (1 + 2sin x)(1 − sin x) −1 , sinx ≠ Pt  (1 − 2sin x ) cos x = (1 + 2sin x )(1 − sin x ) ĐK: sin x   cos x − 2sin x cos x = (1 + sin x − 2sin x )  cos x − s inx = s in2x + cos x 3      cos x − sin x = sin2x + cos x  cos  + x  = cos  x −  2 2 6 3     + x = 2x − x=   + k 2 hay − k 2 (loaïi) x = −   18 + x = −2 x + +k  + k 2 2 , k  Z (nhận) 2.Giải phương trình : 3x − + − 5x − = (x  R) 3x − + − 5x − = , điều kiện : − x   x  94 Đặt t = t3 + − 5t vaø – 5x = 3 3x −  t3 = 3x –  x = Phương trình trở thaønh : 2t +  − 5t −8 = − 5t t4  t = -2 Vaäy x = -2 = − 2t  15t + 4t − 32t + 40 = 3  Caâu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =  (cos3 x − 1) cos xdx    2 0 I =  ( cos3 x − 1) cos2 xdx =  cos5 xdx −  cos xdx   2  I1 =  cos x cos xdx =  (1 − sin x ) cos xdx =  (1 − 2sin x + sin x ) cos xdx 2 0 t = sin x  dt = cos xdx  t=1 Đổi cận: x=  t = 0; x = 1 2t t I1 =  (1 − 2t + t ) dt = t − + = 15       + cos x 12  I =  cos xdx =  dx =  dx +  cos xdx = x + sin x = 2 20 4 0 0 2  I =  ( cos3 x − 1) cos xdx =  − 15 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A vaø D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Từ giả thiết toán ta suy SI thẳng góc với mặt phẳng ABCD, gọi J trung điểm BC; E hình chiếu I xuống BC IJ  CH 3a 3a 2a + a 3a BC a SCIJ = , CJ= IJ = = = a= = 2 2 2  SCIJ 3a 1 3a 3a 6a 3a , = = IE  CJ  IE = =  SE = ,SI = CJ 5 1  3a 3a 15 V =   a + 2a  2a  = 3  95 A I N B H J E D C Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz, ta coù (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)  5(y + z)3 y z yz x(x+y+z) = 3yz  + + = x x xx y z Đặt u =  0, v =  0, t = u + v  x x Ta có t2 u+v + t = 3uv   =  3t − 4t −   ( t − )( 3t + )   t     Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa 3 (1 + u ) + (1 + v ) + (1 + u )(1 + v )( u + v )  ( u + v )  ( + t ) − (1 + u ) (1 + v ) − (1 + u )(1 + v ) + (1 + u )(1 + v ) t  5t 3 2  ( + t ) − (1 + u )(1 + v )  5t  ( + t ) − 6(1 + u + v + uv )  5t 3 1+ t   3  ( + t ) − 1 + t +   5t  4t − 6t − 4t   t ( 2t + 1)( t − )    Đúng t  PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng  : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB I (6; 2); M (1; 5)  : x + y – = 0, E    E(m; – m); Gọi N trung điểm AB  x N = 2x I − x E = 12 − m I trung điểm NE    N (12 – m; m – 1)  y N = 2y I − y E = − + m = m − MN = (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; – m – 2) = (m – 6; – m) MN.IE =  (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) =  m – = hay 14 – 2m =  m = hay m = + m =  MN = (5; 0)  pt AB laø y = + m =  MN = (4; 1)  pt AB laø x – – 4(y – 5) =  x – 4y + 19 = 2.Trong khoâng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác đònh tọa độ tâm tính bán kính đường tròn I (1; 2; 3); R = + + + 11 = 2(1) − 2(2) − − = < R = Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C) d (I; (P)) = + +1  x = + 2t Phương trình d qua I, vuông góc với (P) :  y = − 2t  z = − t 96 Gọi J tâm, r bán kính đường tròn (C) J  d  J (1 + 2t; – 2t; – t) J  (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – + t – =  t = Vậy tâm đường tròn J (3; 0; 2) Bán kính đường troøn r = R − IJ = 25 − = Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2+2z+10=0 Tính giá trò biểu thức A = z12 + z22 ’ = -9 = 9i2 phương trình  z = z1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i  A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 B Theo Chương trình Nâng Cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng  : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để  cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích IAB lớn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = coù tâm I (-2; -2); R = Giả sử  cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH ABC, ta có SABC = IA.IB.sin AIB = sin AIB Do SABC lớn sin AIB =  AIB vuông I − 4m IA  IH = = (thoûa IH < R)  =1 m2 +  – 8m + 16m2 = m2 +  15m2 – 8m =  m = hay m = 15 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = vaø x +1 y z + x −1 y − z +1 đường thẳng 1 : ; 2 : Xác đònh tọa độ điểm M = = = = 1 −2 thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) M (-1 + t; t; -9 + 6t) 1; 2 qua A (1; 3; -1) có véctơ phương a = (2; 1; -2) AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8)  AM  a = (14 – 8t; 14t – 20; – t) Ta coù : d (M, 2) = d (M, (P))  261t − 792t + 612 = 11t − 20  35t2 - 88t + 53 =  t = hay t = 53 35  18 53  Vaäy M (0; 1; -3) hay M  ; ;   35 35 35  Câu VII.b (1,0 điểm) log (x + y ) = + log (xy) Gỉai hệ phương trình :  x − xy + y2 (x, y  R) = 81 3 Điều kiện x, y > 97 2  log2 (x + y ) = log 2 + log (xy) = log (2xy)  2   x − xy + y =  x + y = 2xy (x − y) = x = y x =  x = −2     hay      x − xy + y =  xy = y =  y = −2  xy = 98 99 ...  a + (a + b)(a + c) b + (b + a)(b + c) c + (c + a)(c + b) Víi a,b >0 ta cã ( a + b )( a + c ) − ( ab + ac )2 = a + bc − 2a bc = (a − bc )   ( a + b )( a + c )  ( ab + ac )  ( a + b )( a +...   ( x0 − 5 )( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1 )( z0 + 4) = (2 )  x0 + z0 − =  (3 ) ( x0 − 5 )( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1 )( z0 + 4) =  y0 = −2 x0 + - Tõ (1 ) vµ (2 ) suy  Thay vµo (3 ) ta... b) , (AB): x –y –5 =0  d(C; AB) = = AB  a − b = 8(1 )  a− b− = 3   a − b = 2(2 ) Trọng tâm G a + ; b −  (d)  3a –b =4 (3 ) 3 (1 ), (3 )  C(–2; 10)  r = S = p + 65 + 89 (2 ), (3 )  C(1; –1)