BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT HAY VÀ KHÓ THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Bài 1. L y ng u nhiên l n l t 3 ch s khác nhau t 5 ch s {0; 1; 2; 3; 4} và x p thành hàng ngang t trái sang ph i Tính xác su t đ nh n đ c m t s t nhiên có 3 ch s

Gi i:

 t: S = {0; 1; 2; 3; 4}

 S cách l y 3 ch s khác nhau trong t p S và x p chúng thành hàng ngang t trái sang ph i là: 3

5

A

cách

 G i A là bi n c nh n đ c m t s t nhiên có 3 ch s khác nhau

Gi s s t nhiên có 3 ch s đ c t o thành là abc (a ≠ 0; a, b, c S)

Khi đó: a có 4 cách ch n

b có 4 cách ch n

c có 3 cách ch n

T đó ta suy ra: n(A) = 4.4.3 (s )

5

4.4

( ) 3 4

5

P A

A

Bài 2. M t h p ch c 4 qu c u màu đ , 5 qu c u màu xanh và 7 qu c u màu vàng L y ng u nhiên cùng lúc ra 4 qu c u t h p đó Tính xác su t sao cho 4 qu c u đ c l y ra có đúng m t qu c u màu đ và không quá hai qu c u màu vàng

Gi i:

 S cách l y ra 4 qu c u b t kì trong h p là: 4

16

C cách

 G i A là bi n c l y ra 4 qu c u trong đó có đúng m t qu c u màu đ và không quá hai qu màu vàng

 Ta xét 3 tr ng h p sau:

- Tr ng h p 1 : Có 1 qu đ , 3 qu xanh Tr ng h p này có : 1 3

4 5

C C cách

- Tr ng h p 2 : Có 1 qu đ , 2 qu xanh và 1 qu vàng  Tr ng h p này có : 1 2 1

4 5 7

C C C cách

- Tr ng h p 3 : Có 1 qu đ , 1 qu xanh và 2 qu vàng  Tr ng h p này có : 1 1 2

4 5 7

C C C cách

 T đó suy ra : n(A) = 1 3

4 5

C C + C C C14 52 71+C C C41 15 72 (cách)

 V y xác su t c n tìm là: 14 53 41 52 17 14 51 72

4 16

3

9

( )

1

P A

C

Bài 3. G i M là t p h p các s t nhiên có ba ch s đôi m t khác nhau đ c l p t các ch s 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 Ch n ng u nhiên m t s t t p M, tính xác su t đ s đ c ch n là s có t ng các ch s là m t s

l

Gi i:

 t: S = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

 G i s t nhiên có ba ch s đôi m t khác nhau đ c l p t S là a a a 1 2 3

 Tính s các s có ba ch s đôi m t khác nhau đ c l p t S:

a1 có 6 cách L p a a2 3 có A62 cách T đó suy ra: n(M) = 2

6 6.A (s )

 G i A là bi n c s ch n ra có t ng các ch s là m t s l

CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Các bài toán hay và khó thu c khóa h c Luy n thi THPT

qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n

này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

 Tính s các s có ba ch s đôi m t khác nhau trong M và có t ng các ch s là s l :

- Tr ng h p 1: Có 1 ch s l , 2 ch s ch n:

3 4.3! 3 4.2! 84

C C C C  s

- Tr ng h p 2: Có 3 ch s l  Tr ng h p này có: 3! = 6 s

T đó suy ra đ c: n(A) = 90 (s ) V y xác su t c n tìm là: 2

6

90 ( ) 6

1 2

P A

A

Bài 4. M t h p ch a 11 bi đ c đánh s t 1 đ n 11 Ch n 6 bi m t cách ng u nhiên r i c ng các s trên

6 bi đ c rút ra v i nhau Tính xác su t đ k t qu thu đ c là s l

Gi i:

 S cách rút 6 viên bi b t kì t 11 viên bi là: 6

11

C cách

 G i A là bi n c thu đ c là s l

 Tính s cách rút 6 viên bi sao cho t ng các s trên 6 viên bi đó là s l :

Ta có 3 tr ng h p sau :

- Tr ng h p 1: Có 1 bi mang s ch n, 5 bi mang s l Tr ng h p này có: 1 5

6 5

C C cách

- Tr ng h p 2: Có 3 bi mang s l , 3 bi mang s ch n Tr ng h p này có: 3 3

6 5

C C cách

- Tr ng h p 3: Có 5 bi mang s l , 1 bi mang s ch n Tr ng h p này có: 5 1

6 5

C C cách

T đó suy ra: n(A) = 1 5

6 5

C C + C C + 63 53 C C (cách) 65 51

 V y xác su t c n tìm là: 16 55 63 53 65 15

6 11

231

P A

C

Bài 5. Cho t p E = {1, 2, 3, 4, 5} Vi t ng u nhiên lên b ng hai s t nhiên, m i s g m 3 ch s đôi m t khác nhau thu c t p E Tính xác su t đ trong hai s đó có đúng m t s có ch s 5

Gi i:

 S các s có 3 ch s đôi m t khác nhau đ c l p t E là: 3

5 60

A  s Suy ra s cách vi t 2 s lên b ng mà m i s có 3 ch s đôi m t khác nhau đ c l p t E là: 2

60

C cách

 S các s có 3 ch s mà trong m i s không có m t ch s 5 đ c l p t E là:

3 4

A = 24 (s )

 S các s có 3 ch s mà trong m i s có m t ch s 5 đ c l p t E là: 60 – 24 = 36 (s )

 G i A là bi n c vi t lên b ng hai s mà trong hai s đó có đúng m t s có ch s 5

 Ta có, s cách vi t hai s lên b ng mà trong đó có đúng m t s có ch s 5 là: 1 1

24 36

C C

T đó suy ra: n(A) = 1 1

24 36

C C (cách)

 V y xác su t c n tìm là: 124 361

2 60

295

C C

P A

C

Bài 6 T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 l p các s có 4 ch s khác nhau L y ng u nhiên m t s trong các s

đ c l p, tính xác su t đ trong s đ c l y có 2 ch s ch n, 2 s l

Gi i:

 t: S0,1, 2,3, 4,5, 6

 S các s có 4 ch s đ c l p t t p S là: 4

6

A s

 S cách ch n ra 2 ch s ch n trong t p S là: 2

3

C cách

S cách ch n ra 2 ch s l trong t p S là: C cách 32

T 4 ch s đ c ch n ta l p s có 4 ch s khác nhau, m i s đ c l p ng v i hoán v c a 4 ph n

t Suy ra s các s có 4 ch s l p t S mà trong m i s có 2 ch s ch n, 2 ch s l là: 4!.C C s 32 32

 G i A là bi n c s có 4 ch s l p t t p S mà trong m i s có 2 ch s ch n, 2 ch s l Suy ra:

  32 32

4 6

5

C C

P A

A

Bài 7 M t chi c h p đ ng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đ

đ c đánh s t 1 đ n 20 L y ng u nhiên ra 4 cái bút Tính xác su t đ l y đ c ít nh t 2 bút cùng màu

Gi i:

 S cách l y 4 chi c bút b t kì t 20 chi c bút đã cho là: 4

20

C cách

 G i A là bi n c l y đ c ít nh t hai bút cùng màu

 Ta đi tìm s cách l y ra 4 bút trong đó không có 2 cái nào cùng màu v i nhau:

6 6 5 3

C C C C cách

 V y suy ra:   61 16 51 31

4 20

1

323

C C C C

P A

C

Bài 8 G i A là t p h p t t c các s t nhiên có 5 ch s Ch n ng u nhiên m t s t t p A, tính xác su t

đ ch n đ c m t s chia h t cho 7 và ch s hàng đ n v b ng 1

Gi i:

 S các s t nhiên có 5 ch s là 4

9.10 90000 s

 G i s t nhiên có 5 ch s mà chia h t cho 7 và có ch s hàng đ n v b ng 1 là: a a a a1 2 3 41 a1 0

 Ta có bi n đ i sau:

a a a a1 2 3 41 3. a a a a1 2 3 4 1 7.a a a a1 2 3 4 (*)

T (*) ta có nh n xét: a a a a1 2 3 41 chia h t cho 7 thì 3.a a a a1 2 3 4 ph i chia h t cho 7 1

t: 3.a a a a1 2 3 4 1 7x x  Suy ra:  1 2 3 4 7 1 2 1

a a a a  x 

T (**) ta suy ra x1 ph i chia h t cho 3 t x    1 3t x 3t 1 t  

Khi đó: a a a a1 2 3 4   7t 2 1000  7t 2 9999 t 143,144, ,1428

V y s cách ch n t sao cho s a a a a1 2 3 41 chia h t cho 7 và có ch s hàng đ n v b ng 1 là 1286 cách ( ng v i m i t ta đ c m t s a a a a1 2 3 41)

 T đó ta có xác su t c n tính là:

1286 643  

0, 0143

90000 45000

Bài 9.X p 6 h c sinh nam và 4 h c sinh n ng i vào bàn tròn 10 gh Tính xác su t đ không có hai h c sinh n ng i c nh nhau

Gi i

B c 1: S cách x p 10 ng i vào 10 gh trên bàn tròn là: n( )  9! 362880

B c 2: G i Alà bi n c x p 10 ng i vào 10 gh sao cho không có hai h c sinh n ng i c nh nhau

 X p 6 chi c gh vào bàn tròn và x p 6 nam h c sinh ng i vào 6 gh này, s cách x p 5! 120 cách

 đ m b o không có hai h c sinh n ng i c nh nhau Ta s làm nh sau:

Trong 6 v trí nam đã ng i bàn tròn ta s t o ra 6 kho ng tr ng

N u x p 4 chi c gh còn l i vào 6 kho ng tr ng này (m i kho ng tr ng không x p quá 1 gh ) và

x p 4 n vào 4 gh này thì s cách x p là: 4

6 360

A 

 Suy ra : n A( )120.36043200

B c 3: V y xác su t c n tìm là: ( ) ( ) 43200 5

n A

P A

n

Bài 10 Trong s 16 h c sinh có 3 h c sinh gi i, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia s h c sinh

đó thành 2 t , m i t có 8 ng i sao cho m i t đ u có h c sinh gi i và m i t có ít nh t 2 h c sinh khá

Gi i:

M i t có 1 ho c 2 h c sinh gi i Vì không phân bi t th t c a 2 t nên s cách chia ph i tìm là s

cách t o thành m t t có 8 h c sinh trong đó có 1 h c sinh gi i và ít nh t 2 h c sinh khá Các h c sinh còn l i t o thành t th hai

 Tr ng h p 1: Có 2 h c sinh khá:

 Có 3 cách ch n 1 h c sinh gi i

5 10

C  cách ch n 2 h c sinh khá

8 56

C  cách ch n 5 h c sinh trung bình

 Có: 3.10.56 1680 cách

 Tr ng h p 2: Có 3 h c sinh khá:

 Có 3 cách ch n 1 h c sinh gi i

5 10

C  cách ch n 3 h c sinh khá

8 70

C  cách ch n 4 h c sinh trung bình

 Có: 3.10.702100 cách

V y có t t c : 1680 2100 3780 cách

Bài 11 T các ch s 0, 2, 3, 5, 6, 8 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m 6 ch s đôi m t khác

nhau, trong đó hai ch s 0 và 5 không đ ng c nh nhau

Gi i:

 t S0, 2,3,5, 6,8

 G i a a a a a a là s g m 6 ch s 1 2 3 4 5 6 đôi m t khác nhau đ c thi t l p t t p S

6

5

4

3 2

1

 Ta tính s cách l p thành m t s a a a a a a t t p S 1 2 3 4 5 6

- a có 5 cách 1

- a a a a a có 2 3 4 5 6 A cách 55

T đó suy ra, có 5

5 5.A s g m 6 ch s đôi m t khác nhau đ c thi t l p t t p S

 Ta đi tìm s các s 6 ch s đôi m t khác nhau đ c thi t l p t t p S mà trong m i s có hai ch s 0

và 5 đ ng c nh nhau:

- Trong a a a a a a có 5 v trí đ 0 và 5 đ ng c nh nhau trong đó v trí đ u bên trái ch có m t kh 1 2 3 4 5 6

n ng là 50a a a a , các v trí còn l i có th hoán v 0 và 5 cho nhau 3 4 5 6

- Sau khi ch n đ c v trí đ hai ch s 0 và 5 đ ng c nh nhau, ta ch n m t hoán v c a các ch s còn l i

T đó suy ra, có 9.4! s d ng a a a a a a đ c l p t S mà có hai ch s 0 và 5 đ ng c nh nhau 1 2 3 4 5 6

 V y ta có 5

5

5.A 9.4! 384 cách l p s t nhiên có 6 ch s t t p S mà trong m i s đó hai ch s 0

và 5 không đ ng c nh nhau

Bài 12 M t đ i v n ngh có 10 ng i, trong đó có 6 n và 4 nam

1) Có bao nhiêu cách chia đ i v n ngh thành hai nhóm có s ng i b ng nhau và m i nhóm có s n

nh nhau

2) Có bao nhiêu cách ch n ra 5 ng i mà trong đó không có quá 1 nam

Gi i:

1) Chia đ i v n ngh thành 2 nhóm có s ng i b ng nhau và m i nhóm có s n nh nhau t c là chia

m i nhóm có 5 ng i mà trong đó có 3 n và 2 nam  s cách chia là: 3 2

6 4 120

2) S cách ch n ra 5 ng i mà không có nam là: 5

6 6

S cách ch n ra 5 ng i mà có 1 nam (và 4 n ) là: 4 1

6 4 60

V y s cách ch n ra 5 ng i mà có không quá 1 nam là: 6 60 66

Bài 13 Cho hình th p giác l i H i có th l p đ c bao nhiêu tam giác có đ nh là đ nh c a th p giác l i,

nh ng c nh c a tam giác không ph i là c nh c a th p giác l i?

Gi i:

G i A là t p h p t t c các tam giác có 3 đ nh là các đ nh c a th p giác

G i B là t p h p t t c các tam giác có 3 đ nh là đ nh c a th p giác nh ng có ít nh t 1 c nh c ng là c nh

c a th p giác G i C là t p h p c n tìm ta có:

C     (1)

D th y  C103 120 (2)

G i B là t p h1 p các tam giác có 3 đ nh là đ nh c a th p giác và có đúng 1 c nh là c nh c a th p giác;

2

B là t p h p các tam giác có 3 đ nh là đ nh c a th p giác và có 2 c nh là c nh c a th p giác Khi đó theo quy t c c ng, ta có:   B1  B2

(3)

tính B ta s s d ng quy t1 c nhân nh sau:

B c 1: Ch n 1 c nh c a th p giác làm c nh c a tam giác S cách ch n n1 10

B c 2: Khi đó đ nh th 3 c n ch n c a tam giác đ c ch n trong 6 đ nh còn l i (tr 2 đ nh c a c nh

đ c ch n và 2 đ nh khác c a th p giác k v i 2 đ nh y) S cách ch n là: n2  Vì th 6

1 1 2

B n n 10.660

D th y B2  T đó theo (3), ta có: B 7010  (4)

T (2) (3) (4) suy ra: C 120 70 50 V y có 50 tam giác th a mãn yêu c u đ bài

Bài 14 M t th y giáo có 12 cu n sách đôi m t khác nhau, trong đó có 5 cu n sách V n h c, 4 cu n Âm

nh c và 3 cu n H i h a (các cu n đôi m t khác nhau) Ông mu n l y ra 6 cu n và đem t ng cho 6 h c

sinh, m i h c sinh m t cu n sao cho sau khi t ng sau, m i m t trong 3 th lo i v n h c, âm nh c, h i h a

đ u còn l i ít nh t 1 cu n H i có bao nhiêu cách t ng?

Gi i:

G i A là t p h p t t c các cách t ng sách cho h c sinh

G i B là t p h p t t c các cách t ng sao cho sau khi t ng sách không còn đ ba th lo i; và C là t p h p

t t c các cách t ng theo yêu c u Ta có: C     (1)

D th y A C 6! 665280126  (2)

(C là cách ch n 6 quy n trong 12 quy n Sau khi có 6 quy n thì có 6! cách t ng 6 quy n sách cho 6 h c 126 sinh)

Vì 5 4 6,5 3 6, 4 3 6, nên không x y ra tr ng h p sau khi t ng sách xong ch còn l i 1 th lo i sách Vì th B   , trong đó B1 B2 B3

1

B , B , 2 B 3 t ng ng là t p h p t t c các cách t ng sách mà sau khi t ng sách xong, th y giáo h t sách

v n h c, h t sách âm nh c, h t sách h i h a

Ta có ngay: B1 C 6! 504017 

(Vì B là t p h p t t c các cách t1 ng 5 sách v n h c và 1 sách khác Cu n sách khác tùy ch n trong 7

cu n còn l i) T ng t : 2

B C 6! 20160 ; B3 C 6! 6048039  Theo quy t c c ng thì:   B1  B2  B3 85680 (3)

T (1) (2) (3) suy ra: C 665280 85680 579600

Bài 15 Cho t p h p E = 1, 2,3, 4,5, 6 Có th l p đ c bao nhiêu s có 4 ch s không yêu c u đôi m t khác nhau (các ch s này ch n t t p h p E) sao cho m i s t o thành đ u chia h t cho 4?

Gi i:

Nh đã bi t m t s có t hai ch s tr lên chia h t cho 4 khi và ch khi 2 s cu i c a s đó chia h t cho 4

T t p h p E có th ch n ra các s sau có hai ch s mà chia h t cho 4:

12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 52, 56, 64

Ta gi i bài toán trên b ng quy t c nhân nh sau:

B c 1: Ch n 2 s cu i, theo trên ta có s cách ch n n1 9

B c 2: Ch n s hàng tr m, s cách ch n n2  6

B c 3: Ch n s hàng nghìn, s cách ch n n3  6

Theo quy t c nhân, s các s ph i tìm là nn n n1 2 39.6.6 324

Nh n xét:

- đây không đòi h i các ch s c a s có 4 ch s đôi m t khác nhau, nên cho phép các s đã dùng

r i đ c dùng l i (phép đ m có l p)

- N u bài toán đòi h i thêm: Các s có 4 ch s ph i đôi m t khác nhau Các b n th gi i bài toán v

phép đ m không l p này

áp s : 96 s

Bài 16 Có th l p đ c bao nhiêu s có 6 ch s sao cho s 1 có m t t i đa 5 l n, các s 2, 3, 4 m i s có

m t t i đa 1 l n?

Gi i:

D th y s 1 có m t t i thi u 3 l n

G i  là t p h p các s có 6 ch s , sao cho s 1 có m t 3 l n, m i s 2, 3, 4 có m t 1 l n 3

G i  là t p h p các s có 6 ch s , sao cho s 1 có m t 4 l n, m i s 2, 3, 4 có m t t i đa 1 l n (ho c 4

không có m t)

G i  là t p h p các s có 6 ch s , sao cho s 1 có m t 5 l n, m i s 2, 3, 4 có m t t i đa 1 l n (ho c 5

không có m t)

Tính  b ng quy t c nhân nh sau: 3

B c 1: Ch n 3 v trí trong 6 v trí đ đ t 3 s 1 S cách ch n là: 3

n C 20

B c 2: 3 v trí còn l i đ t ba s 2, 3, 4 S cách ch n là: n2   3! 6

Theo quy t c nhân  3 n n1 2 120

4 C6 3 90

    ,  5 C56 13 18 Theo quy t c c ng s các s th a mãn yêu c u đ bài là:      3 4 5 228 s

Bài 17 T các ch s 0;1; 2;3; 4;5 l p ra đ c n s t nhiên l có 6 ch s , đôi m t khác nhau Tính xác

su t đ có th ch n ng u nhiên m t s trong n s v a l p th a mãn t ng ba ch s đ u l n h n t ng ba

ch s cu i m t đ n v

Gi i:

G i s có 6 ch s đôi m t khác nhau l p t các ch s 0;1; 2;3; 4;5 có d ng: Aa a a a a a 1 2 3 4 5 6

+) A là s l thì : a6{1;3;5}: Có 3 cách ch n

a1{1; 2;3; 4;5}\{ }:a6 Có 4 cách ch n

a a a a2 3 4 5:Có 4! 24 cách

V y s cách ch n A là s l là: n3.4.24288(s )

+) A là s l th a mãn : a1  a2 a3 a4   a5 a6 1

2(a1 a2 a3)       a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 16

   a1 a2 a3 8 ( Vì a1    a2 a3 a4 a5 a6       5 4 3 2 1 0 15)

Khi đó ( ;a a a thu c b các 3 s sau : 1 2; 3) (0;3;5) ,(1; 2;5) , (1;3; 4)

*) V i ( ;a a a ch n t 1 2; 3) (0;3;5), suy ra ( ;a a a4 5; 6) ch n t (1; 2; 4)

(V i a1 và 0 a là ch s l ) nên s cách ch n 6 A là : 2.2.1.1.2.1 8

*) V i ( ;a a a ch n t 1 2; 3) (1; 2;5) , suy ra ( ;a a a4 5; 6) ch n t (0;3; 4)

(V i a là ch s l ) nên s cách ch n 6 A là : 3!.1.2.1 12

*) T ng t v i ( ;a a a ch n t 1 2; 3) (1;3; 4) ta có s cách ch n A là: 3!.1.2.1 12

V y A là s l th a mãn : a1  a2 a3 a4   g m: 8 12 12 32a5 a6 1    (s )

Khi đó xác su t th a mãn đi u đ bài là: 32 1

2889

Bài 18: V i Ch ng minh r ng:

1)

4)

Gi i :

1)

+) Ta có:

+) Suy ra:

+) Ta có:

+) Suy ra:

n

n

n

1

n n

n

n

(1x)n Cn C x C xn  n   C xnn n



20 20

(1 )

n



n

n

n

(1x)n Cn C x C xn  n   C xnn n

(1x dx)n  Cn C x C xn  n   C xnn n dx



4 4

(1 )

n

n

n

3)

+) Ta có:

+) Suy ra:

4)

+) Ta có:

+) Suy ra:

Hay

1

n n

(1x)n Cn C x C xn  n   C xnn n

(1x dx)n  Cn C x C xn  n   C xnn n dx



1 1

(1 )

n

1

n

n

1

n n

n

(1x)n Cn C x C xn  n   C xnn n

(1x dx)n  Cn C x C xn  n   C x dxnn n



6 6

(1 )

n

n

n

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng