1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT HAY VÀ KHÓ THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

10 2,5K 101

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 0,96 MB

Nội dung

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Các toán hay khó thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài L y ng u nhiên l n l t ch s khác t ch s {0; 1; 2; 3; 4} x p thành hàng ngang t trái sang ph i Tính xác su t đ nh n đ c m t s t nhiên có ch s Gi i:  t: S = {0; 1; 2; 3; 4}  S cách l y ch s khác t p S x p chúng thành hàng ngang t trái sang ph i là: A53 cách  G i A bi n c nh n đ c m t s t nhiên có ch s khác Gi s s t nhiên có ch s đ c t o thành abc (a ≠ 0; a, b, c S) Khi đó: a có cách ch n b có cách ch n c có cách ch n T ta suy ra: n(A) = 4.4.3 (s ) 4.4.3  V y xác su t c n tìm là: P ( A)   A5 Bài M t h p ch c qu c u màu đ , qu c u màu xanh qu c u màu vàng L y ng u nhiên lúc qu c u t h p Tính xác su t cho qu c u đ c l y có m t qu c u màu đ không hai qu c u màu vàng Gi i:  S cách l y qu c u b t kì h p là: C164 cách  G i A bi n c l y qu c u có m t qu c u màu đ không hai qu màu vàng  Ta xét tr ng h p sau: - Tr ng h p : Có qu đ , qu xanh Tr ng h p có : C41 C53 cách  - Tr ng h p : Có qu đ , qu xanh qu vàng  Tr ng h p có : C41 C52 C71 cách - Tr ng h p : Có qu đ , qu xanh qu vàng  Tr ng h p có : C41 C51.C72 cách T suy : n(A) = C41 C53 + C41 C52 C71 + C41 C51.C72 (cách) C41 C53  C41 C52 C71  C41.C51.C72 37  C164 91 Bài G i M t p h p s t nhiên có ba ch s đôi m t khác đ c l p t ch s 0; 1; 2; 3; 4; 5; Ch n ng u nhiên m t s t t p M, tính xác su t đ s đ c ch n s có t ng ch s m t s l Gi i:  t: S = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}  G i s t nhiên có ba ch s đôi m t khác đ c l p t S a1a a3  Tính s s có ba ch s đôi m t khác đ c l p t S: a1 có cách L p a a có A62 cách T suy ra: n(M) = 6.A62 (s )  G i A bi n c s ch n có t ng ch s m t s l  V y xác su t c n tìm là: P ( A)  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton Tính s s có ba ch s đôi m t khác M có t ng ch s s l : - Tr ng h p 1: Có ch s l , ch s ch n:  Tr ng h p có: C31.C42 3! C31.C41.2!  84 s - Tr ng h p 2: Có ch s l  Tr ng h p có: 3! = s 90 T suy đ c: n(A) = 90 (s ) V y xác su t c n tìm là: P ( A)   A6 Bài M t h p ch a 11 bi đ c đánh s t đ n 11 Ch n bi m t cách ng u nhiên r i c ng s bi đ c rút v i Tính xác su t đ k t qu thu đ c s l Gi i:  S cách rút viên bi b t kì t 11 viên bi là: C116 cách  G i A bi n c thu đ c s l  Tính s cách rút viên bi cho t ng s viên bi s l : Ta có tr ng h p sau : Tr ng h p 1: Có bi mang s ch n, bi mang s l Tr ng h p có: C61.C55 cách  - Tr ng h p 2: Có bi mang s l , bi mang s ch n Tr ng h p có: C63 C53 cách - Tr ng h p 3: Có bi mang s l , bi mang s ch n Tr ng h p có: C65 C51 cách T suy ra: n(A) = C61.C55 + C63 C53 + C65 C51 (cách) C61.C55  C63 C53  C65 C51 118  V y xác su t c n tìm là: P ( A)   C116 231 Bài Cho t p E = {1, 2, 3, 4, 5} Vi t ng u nhiên lên b ng hai s t nhiên, m i s g m ch s đôi m t khác thu c t p E Tính xác su t đ hai s có m t s có ch s Gi i:  S s có ch s đôi m t khác đ c l p t E là: A53  60 s    Suy s cách vi t s lên b ng mà m i s có ch s đôi m t khác đ c l p t E là: C602 cách S s có ch s mà m i s m t ch s đ c l p t E là: A43 = 24 (s )  S s có ch s mà m i s có m t ch s đ c l p t E là: 60 – 24 = 36 (s ) G i A bi n c vi t lên b ng hai s mà hai s có m t s có ch s 1 Ta có, s cách vi t hai s lên b ng mà có m t s có ch s là: C24 C36 1 T suy ra: n(A) = C24 (cách) C36 1 C24 C36 144  C60 295 Bài T ch s 1, 2, 3, 4, 5, l p s có ch s khác L y ng u nhiên m t s s đ c l p, tính xác su t đ s đ c l y có ch s ch n, s l Gi i:   V y xác su t c n tìm là: P ( A)  t: S  0,1, 2,3, 4,5,6  S s có ch s đ  S cách ch n ch s ch n t p S là: C32 cách c l p t t p S là: A64 s S cách ch n ch s l t p S là: C32 cách T ch s đ c ch n ta l p s có ch s khác nhau, m i s đ c l p ng v i hoán v c a ph n t Suy s s có ch s l p t S mà m i s có ch s ch n, ch s l là: 4!.C32 C32 s  G i A bi n c s có ch s l p t t p S mà m i s có ch s ch n, ch s l Suy ra: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) P  A  Xác su t – Nh th c Newton 4!.C32 C32  A64 Bài M t chi c h p đ ng bút màu xanh, bút màu đen, bút màu tím bút màu đ đ c đánh s t đ n 20 L y ng u nhiên bút Tính xác su t đ l y đ c nh t bút màu Gi i:  S cách l y chi c bút b t kì t 20 chi c bút cho là: C20 cách  G i A bi n c l y đ  Ta tìm s cách l y bút màu v i nhau:  Tr  c nh t hai bút màu ng h p có: C61.C61.C51.C31 cách V y suy ra: P  A   C61 C61.C51.C31 287  C204 323 Bài G i A t p h p t t c s t nhiên có ch s Ch n ng u nhiên m t s t t p A, tính xác su t đ ch n đ c m t s chia h t cho ch s hàng đ n v b ng Gi i:  S s t nhiên có ch s 9.104  90000 s  G i s t nhiên có ch s mà chia h t cho có ch s hàng đ n v b ng là: a1a a3a 41  a1    Ta có bi n đ i sau: a1a a3a 41  3.a1a a3a   7.a1a a3a (*) a1a a3a 41 chia h t cho 3.a1a a3a  ph i chia h t cho T (*) ta có nh n xét:   t: 3.a1a a3a   x x   Suy ra: a1a a3a  T (**) ta suy x  ph i chia h t cho x 1 x 1 (**)  2x  3   t x 1  3t  x  3t  t   Khi đó: a1a a3a  7t   1000  7t   9999  t 143,144, ,1428 V y s cách ch n t cho s a1a a3a 41 chia h t cho có ch s hàng đ n v b ng 1286 cách ( ng v i m i t ta đ  c m t s a1a a3a 41 ) T ta có xác su t c n tính là: P 1286 643    0, 0143 90000 45000 Bài X p h c sinh nam h c sinh n ng i vào bàn tròn 10 gh Tính xác su t đ hai h c sinh n ng i c nh Gi i B c 1: S cách x p 10 ng i vào 10 gh bàn tròn là: n()  9!  362880 B c 2: G i A bi n c x p 10 ng i vào 10 gh cho hai h c sinh n ng i c nh  X p chi c gh vào bàn tròn x p nam h c sinh ng i vào gh này, s cách x p 5!  120 cách Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  Xác su t – Nh th c Newton đ m b o hai h c sinh n ng i c nh Ta s làm nh sau: Trong v trí nam ng i bàn tròn ta s t o kho ng tr ng N u x p chi c gh l i vào kho ng tr ng (m i kho ng tr ng không x p gh ) x p n vào gh s cách x p là: A64  360  Suy : n( A)  120.360  43200 n( A) 43200   n() 362880 42 Bài 10 Trong s 16 h c sinh có h c sinh gi i, khá, trung bình Có cách chia s h c sinh thành t , m i t có ng i cho m i t đ u có h c sinh gi i m i t có nh t h c sinh Gi i: M i t có ho c h c sinh gi i Vì không phân bi t th t c a t nên s cách chia ph i tìm s cách t o thành m t t có h c sinh có h c sinh gi i nh t h c sinh Các h c sinh l i t o thành t th hai  Tr ng h p 1: Có h c sinh khá: B c 3: V y xác su t c n tìm là: P ( A)   Có cách ch n h c sinh gi i  Có C52  10 cách ch n h c sinh  Có C85  56 cách ch n h c sinh trung bình   Có: 3.10.56  1680 cách Tr ng h p 2: Có h c sinh khá:  Có cách ch n h c sinh gi i  Có C53  10 cách ch n h c sinh  Có C84  70 cách ch n h c sinh trung bình  Có: 3.10.70  2100 cách V y có t t c : 1680  2100  3780 cách Bài 11 T ch s 0, 2, 3, 5, 6, có th l p đ c s t nhiên g m ch s đôi m t khác nhau, hai ch s không đ ng c nh Gi i:   t S  0, 2,3,5,6,8 G i a1a a3a a5 a6 s g m ch s đôi m t khác đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t c thi t l p t t p S T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  Ta tính s cách l p thành m t s a1a a3a a5 a6 t t p S - a1 có cách - a a3a a5 a có A55 cách T suy ra, có 5.A55 s g m ch s đôi m t khác đ  Xác su t – Nh th c Newton Ta tìm s s ch s đôi m t khác đ c thi t l p t t p S c thi t l p t t p S mà m i s có hai ch s đ ng c nh nhau: - Trong a1a a3a a5 a6 có v trí đ đ ng c nh v trí đ u bên trái ch có m t kh n ng 50a3a a5a , v trí l i có th hoán v cho - Sau ch n đ c v trí đ hai ch s đ ng c nh nhau, ta ch n m t hoán v c a ch s l i T suy ra, có 9.4! s d ng a1a a3a a5 a6 đ  c l p t S mà có hai ch s đ ng c nh V y ta có A55  9.4!  384 cách l p s t nhiên có ch s t t p S mà m i s hai ch s không đ ng c nh Bài 12 M t đ i v n ngh có 10 ng i, có n nam 1) Có cách chia đ i v n ngh thành hai nhóm có s ng i b ng m i nhóm có s n nh 2) Có cách ch n ng i mà nam Gi i: 1) Chia đ i v n ngh thành nhóm có s ng i b ng m i nhóm có s n nh t c chia m i nhóm có ng i mà có n nam  s cách chia là: C63 C42  120 i mà nam là: C65  2) S cách ch n ng S cách ch n ng i mà có nam (và n ) là: C64 C41  60 V y s cách ch n ng i mà có không nam là:  60  66 Bài 13 Cho hình th p giác l i H i có th l p đ c tam giác có đ nh đ nh c a th p giác l i, nh ng c nh c a tam giác không ph i c nh c a th p giác l i? Gi i: G i A t p h p t t c tam giác có đ nh đ nh c a th p giác G i B t p h p t t c tam giác có đ nh đ nh c a th p giác nh ng có nh t c nh c ng c nh c a th p giác G i C t p h p c n tìm ta có: C     (1)  120 (2) D th y   C10 G i B1 t p h p tam giác có đ nh đ nh c a th p giác có c nh c nh c a th p giác; B2 t p h p tam giác có đ nh đ nh c a th p giác có c nh c nh c a th p giác Khi theo quy t c c ng, ta có:   B1  B2 (3) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton tính B1 ta s s d ng quy t c nhân nh sau: B c 1: Ch n c nh c a th p giác làm c nh c a tam giác S cách ch n n1  10 B c 2: Khi đ nh th c n ch n c a tam giác đ c ch n đ nh l i (tr đ nh c a c nh đ c ch n đ nh khác c a th p giác k v i đ nh y) S cách ch n là: n  Vì th B1  n1n  10.6  60 D th y B2  10 T theo (3), ta có: B  70 (4) T (2) (3) (4) suy ra: C  120  70  50 V y có 50 tam giác th a mãn yêu c u đ Bài 14 M t th y giáo có 12 cu n sách đôi m t khác nhau, có cu n sách V n h c, cu n Âm nh c cu n H i h a (các cu n đôi m t khác nhau) Ông mu n l y cu n đem t ng cho h c sinh, m i h c sinh m t cu n cho sau t ng sau, m i m t th lo i v n h c, âm nh c, h i h a đ u l i nh t cu n H i có cách t ng? Gi i: G i A t p h p t t c cách t ng sách cho h c sinh G i B t p h p t t c cách t ng cho sau t ng sách không đ ba th lo i; C t p h p t t c cách t ng theo yêu c u Ta có: C     (1) 6!  665280 (2) D th y A  C12 cách ch n quy n 12 quy n Sau có quy n có 6! cách t ng quy n sách cho h c ( C12 sinh) Vì   6,5   6,   , nên không x y tr ng h p sau t ng sách xong ch l i th lo i sách Vì th B  B1  B2  B3 , B1 , B2 , B3 t ng ng t p h p t t c cách t ng sách mà sau t ng sách xong, th y giáo h t sách v n h c, h t sách âm nh c, h t sách h i h a Ta có ngay: B1  C17 6!  5040 (Vì B1 t p h p t t c cách t ng sách v n h c sách khác Cu n sách khác tùy ch n cu n l i) T ng t : B2  C82 6!  20160 ; B3  C93 6!  60480 Theo quy t c c ng thì:   B1  B2  B3  85680 (3) T (1) (2) (3) suy ra: C  665280  85680  579600 Bài 15 Cho t p h p E = 1, 2,3, 4,5,6 Có th l p đ c s có ch s không yêu c u đôi m t khác (các ch s ch n t t p h p E) cho m i s t o thành đ u chia h t cho 4? Gi i: Nh bi t m t s có t hai ch s tr lên chia h t cho ch s cu i c a s chia h t cho T t p h p E có th ch n s sau có hai ch s mà chia h t cho 4: 12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 52, 56, 64 Ta gi i toán b ng quy t c nhân nh sau: B c 1: Ch n s cu i, theo ta có s cách ch n n1  B c 2: Ch n s hàng tr m, s cách ch n n  B c 3: Ch n s hàng nghìn, s cách ch n n  Theo quy t c nhân, s s ph i tìm n  n1n n  9.6.6  324 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton Nh n xét: không đòi h i ch s c a s có ch s đôi m t khác nhau, nên cho phép s dùng r iđ - c dùng l i (phép đ m có l p) N u toán đòi h i thêm: Các s có ch s ph i đôi m t khác Các b n th gi i toán v phép đ m không l p áp s : 96 s Bài 16 Có th l p đ m t t i đa l n? c s có ch s cho s có m t t i đa l n, s 2, 3, m i s có Gi i: D th y s có m t t i thi u l n G i 3 t p h p s có ch s , cho s có m t l n, m i s 2, 3, có m t l n G i  t p h p s có ch s , cho s có m t l n, m i s 2, 3, có m t t i đa l n (ho c m t) G i 5 t p h p s có ch s , cho s có m t l n, m i s 2, 3, có m t t i đa l n (ho c m t) Tính 3 b ng quy t c nhân nh sau: B c 1: Ch n v trí v trí đ đ t s S cách ch n là: n1  C36  20 B c 2: v trí l i đ t ba s 2, 3, S cách ch n là: n  3!  Theo quy t c nhân 3  n1n  120 T ng t ta có 4  C64 32  90 , 5  C56 13  18 Theo quy t c c ng s s th a mãn yêu c u đ là: 3  4  5  228 s Bài 17 T ch s 0;1; 2;3; 4;5 l p đ c n s t nhiên l có ch s , đôi m t khác Tính xác su t đ có th ch n ng u nhiên m t s n s v a l p th a mãn t ng ba ch s đ u l n h n t ng ba ch s cu i m t đ n v Gi i: G i s có ch s đôi m t khác l p t ch s 0;1; 2;3; 4;5 có d ng: A a1a a3a a5 a6 +) A s l : a6 {1;3;5}: Có cách ch n a1 {1;2;3;4;5}\{a6}: Có cách ch n a a3a a5 : Có 4!  24 cách V y s cách ch n A s l là: n  3.4.24  288 (s ) +) A s l th a mãn : a1  a  a3  a  a5  a6   2(a1  a  a3 )  a1  a  a3  a  a5  a6   16  a1  a  a3  ( Vì a1  a2  a3  a  a5  a6        15 ) Khi (a1; a ; a3 ) thu c b s sau : (0;3;5) , (1; 2;5) , (1;3; 4) *) V i (a1; a ; a3 ) ch n t (0;3;5) , suy (a ; a5 ; a ) ch n t (1; 2; 4) (V i a1  a ch s l ) nên s cách ch n A : 2.2.1.1.2.1  *) V i (a1; a ; a3 ) ch n t (1; 2;5) , suy (a ; a5 ; a ) ch n t Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t (0;3; 4) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton (V i a ch s l ) nên s cách ch n A : 3!.1.2.1  12 ng t v i (a1; a ; a3 ) ch n t (1;3; 4) ta có s cách ch n A là: 3!.1.2.1  12 *) T V y A s l th a mãn : a1  a  a3  a  a5  a6  g m:  12  12  32 (s ) 32 Khi xác su t th a mãn u đ là:  288 Bài 18: V i n  Ch ng minh r ng: 202  122 203  123 20n1  12n1 n 21n1  13n1 Cn  Cn   Cn  1) 8C  n 1 n 1 n 2) 4Cn0  42 43 4n1 n 5n1  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 1 2n1  Cnn  3) Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1 4) 5Cn0  62  1 63  6n1  n n1  2n1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 Gi i: 202  122 203  123 20n1  12n1 n 21n1  13n1 Cn  Cn   Cn  1) 8C  n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1  x)  Cn  Cn x  Cn x   Cn x n 20 +) Suy ra:  (1  x) 20 n dx  12 (1  x)  n 1  21 Hay 8Cn0  n  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn  dx 12 n 1 20 n 1  C 12 n 1  13 n 1 20  x2 x3 xn 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n   12   8Cn0  202  122 203  123 20n1  12n1 n Cn  Cn   Cn n 1 202  122 203  123 20n1  12n1 n 21n1  13n1 Cn  Cn   Cn  (đpcm) n 1 n 1 42 43 4n1 n 5n1  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 +) Ta có: (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn 2) 4Cn0  +) Suy ra: 4 0 n n n 2  (1  x) dx   Cn  Cn x  Cn x   Cn x  dx 4  (1  x)n 1 x2 x3 xn 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn   n 1  n 1   5n1  42 43 4n1 n  4Cn0  Cn1  Cn2   Cn n 1 n 1 42 43 4n1 n 5n1  Cn  Hay 4C  Cn  Cn   (đpcm) n 1 n 1 n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xác su t – Nh th c Newton 1 2n1  Cnn  3) Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1 +) Ta có: (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn 1 0 n n n 2  (1  x) dx   Cn  Cn x  Cn x   Cn x  dx +) Suy ra: 1  (1  x)n 1 x2 x3 xn 1     Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1  n 1   2n1  1 1 Cnn  Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1 1 2n1  Cnn  Hay Cn0  Cn1  Cn2   (đpcm) n 1 n 1 62  1 63  6n1  n n1  2n1 Cn  Cn   Cn  4) 5C  n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1  x)  Cn  Cn x  Cn x   Cn x n 6  (1  x) dx   C +) Suy ra: (1  x)  n 1  2 n 1  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn  dx n 1 n 1 n n n 1  x2 x3 xn 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1    5Cn0  Hay 5Cn0  62  1 63  6n1  n Cn  Cn   Cn n 1 62  1 63  6n1  n n1  2n1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -

Ngày đăng: 28/05/2016, 09:12

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w