CHINH PHỤC bài tập tổ hợp – xác SUẤT và số PHỨC lovebook

Chinh phục bài tập Tổ hợp xác suất và số phức... Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!. CHINH PHỤC BÀI TẬP TỔ

LOVEBOOK.VN

Lời chúc & kí tặng

Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook

Sách gốc phải có chữ ký của tác giả hoặc của thành viên Lovebook Bất kể cuốn sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành

Chinh phục bài tập Tổ hợp xác suất

và số phức

Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!

Đặng Thùy Trâm

Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà bằng cả con tim của mình nữa!

Lương Văn Thùy

LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ

đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất!

Bản quyền thuộc về Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp

Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ hình thức hoặc phương tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của công ty

CHINH PHỤC BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT

VÀ SỐ PHỨC

Sách dành cho:

 Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)

 Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA

 Học sinh mất gốc Toán, học kém Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp và kĩ năng giải toán Toán

 Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)

 Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông

 Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán

 Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị, sáng

tạo và độc đáo

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NHÀ XUẤN BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

16 Hàng Chuối – Hai Bà Trưng – Hà Nội Điện thoại: Biên tập – Chế bản: (04) 39714896;

Quản lý xuất bản: (043) 9728806; Tổng biên tập: (04) 397 15011

Fax: (04) 39729436

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc – Tổng biên tập: TS PHẠM THỊ TRÂM

Biên tập:

Chế bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP Trình bày bìa: NGUYỄN SƠN TÙNG

Sửa bản in: LƯƠNG VĂN THÙY – NGUYỄN THỊ CHIÊN – TĂNG HẢI TUÂN

Đối tác liên kết xuất bản:

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP

Địa chỉ: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội

SÁCH LIÊN KẾT

CHINH PHỤC BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC

Mã số: 1L – 160 ĐH2015

In 1000 cuốn, khổ 29,7 x 21cm tại Nhà máy In Bộ Tổng Tham Mưu – Bộ Quốc Phòng

Địa chỉ: Km13 Ngọc Hồi, Thanh Trì, Hà Nội

Số xuất bản: 2592 – 2014/CXB 34/ĐHQGHN, ngày 15/09/2015

Quyết định xuất bản số: 5783/CXBIPH-QLXB, ngày 15/09/2015

In xong và nộp lưu chuyển quý III năm 2015

I- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH

II- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN

1 TRẦN TRÍ KIÊN (Chủ biên)

 Sinh nhật: 23/09/1995

 Facebook: https://www.facebook.com/Tran.Tri.Kien.1

 Thành tích đã đạt được: (từ cao đến thấp)

- Giải Nhì thi chọn Học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm

2013;

- Huy chương đồng kỳ thi học sinh giỏi duyên hải và đồng

bằng Bắc Bộ

 Cựu học sinh chuyên Toán trường THPT Chuyên Biên

Hoà, Hà Nam

 Sinh viên trường đại học Ngoại Thương, chuyên ngành

Kinh Tế Đối Ngoại

- Giải Đồng kì thi giải toán trên mạng Violympic cấp quốc

gia; Giải KK casio cấp tỉnh (lớp 12)

 Cựu học sinh trường THPT chuyên Hùng Vương, thành

phố Pleiku,tỉnh Gia Lai

 Trường đại học đang học: Đại học cảnh sát nhân dân

Phan Ngọc Đức

NGUYỄN VĂN SƠN

𝐅𝟏

(T1/2015)

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH

Tác giả Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Lovebook.vn

3 NGUYỄN VĂN SƠN

 Thành tích: Giải Nhì kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia

môn Toán năm 2014

 Cựu học sinh chuyên toán trường THPT chuyên Phan

Bội Châu - Nghệ An

 Hiện là sinh viên lớp Kĩ sư tài năng Công nghệ thông

tin Đại học Bách Khoa Hà Nội

Nguyễn Văn Sơn

2 Quy tắc tính xác suất có điều kiện (Nhân xác suất mở rộng) 99

2 Dạng toán liên quan đến số học 110

B CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 148

I Các bài toán liên quan đến hệ số trong khai triển của nhị thức Newton 148

1 Tìm hệ số của số hạng chứa xm trong một khai triển nhị thức Newton 148

3 Tìm hệ số và các số hạng trong khai triển một nhị thức thỏa mãn điều kiện cho trước 161

II Các dạng bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức tổ hợp có sử dụng nhị thức Newton 164

III Các bài toán về giải phương trình, Hệ phương trình, bất phương trình chứa hệ số nhị thức và

D GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON TRONG CÁC ĐỀ

PHỤC LỤC, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY

B CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 255

Dạng 2 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện- Phương trình hệ phương trình đơn giản 256

Dạng 4 Sử dụng công thức Moivre để tính toán 260

Dạng 7 Tìm căn bậc hai của số phức – giải phương trình bậc 2 hệ số phức 265

Dạng 9 Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình trong tập phức 271

Dạng 16 Ứng dụng số phức, công thức Moiver giải các bài toán khác 297

D GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI SỐ PHUWCSTRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015 358

PHẦN II TỔNG KẾT – BÀI TẬP ỨNG DỤNG 365

LOVEBOOK | I

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH

I- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH

II- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN

1 TRẦN TRÍ KIÊN (Chủ biên)

 Sinh nhật: 23/09/1995

 Facebook: https://www.facebook.com/Tran.Tri.Kien.1

 Thành tích đã đạt được: (từ cao đến thấp)

- Giải Nhì thi chọn Học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm

2013;

- Huy chương đồng kỳ thi học sinh giỏi duyên hải và đồng

bằng Bắc Bộ

 Cựu học sinh chuyên Toán trường THPT Chuyên Biên

Hoà, Hà Nam

 Sinh viên trường đại học Ngoại Thương, chuyên ngành

2 PHAN NGỌC ĐỨC

 Sinh nhật: 11/09/1996

 Facebook:

 Thành tích:

- Giải Đồng kì thi giải toán trên mạng Violympic cấp quốc

gia; Giải KK casio cấp tỉnh (lớp 12)

 Cựu học sinh trường THPT chuyên Hùng Vương, thành

phố Pleiku,tỉnh Gia Lai

 Trường đại học đang học: Đại học cảnh sát nhân dân

Phan Ngọc Đức

3 NGUYỄN VĂN SƠN

 Thành tích: Giải Nhì kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia

môn Toán năm 2014

 Cựu học sinh chuyên toán trường THPT chuyên Phan

Bội Châu - Nghệ An

 Hiện là sinh viên lớp Kĩ sư tài năng Công nghệ thông

tin Đại học Bách Khoa Hà Nội

Nguyễn Văn Sơn

NGUYỄN VĂN SƠN

F1

(T1/2015)

Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Your dreams – Our mission

LOVEBOOK | II

LỜI MỞ ĐẦU

Các bạn cảm thấy:

Những chuyên đề Tổ hợp – Xác suất, Số phức quá lạ lẫm, sách giáo khoa chỉ cung cấp kiến thức ở mức

cơ bản trong khi đó lại có quá ít sách tham khảo để tìm hiểu và luyện tập thêm?

 Lý thuyết tổ hợp, xác suất thật trừu tượng và khó hình dung, dù đã đọc kỹ sách giáo khoa và nghe cô giảng rồi mà bạn vẫn không thể nắm chắc được chúng Làm sao có thể học tốt được nếu như nền móng còn chưa vững?

 Lý thuyết số phức thì không quá nhiều nhưng cách ứng dụng lại quá đa dạng phong phú, tìm nhiều sách, học nhiều nơi mà vẫn không thể tổng hợp được đầy đủ những phân dạng của nó

 Các thầy cô dạy ở trường cũng như ở các lớp ôn thi đều chỉ giảng qua hai chuyên đề này vì cho rằng chúng không quan trọng Do vậy bạn chẳng có một định hướng nào một cách hệ thống khi gặp các bài toán ấy mà chỉ làm theo cảm tính!

Trước tình hình các kì thi quốc gia có nhiều biến động, việc nắm chắc kiến thức ở tất cả các chuyên đề trong bộ môn Toán là rất quan trọng ⇒ bạn cần một tài liệu đầy đủ về Tổ hợp – xác suất, Số phức để tháo gỡ những vấn đề trên Vì lẽ đó đó, chúng tôi dành tặng bạn cuốn "Chinh phục Tổ hợp – xác suất và số phức trong đề thi quốc gia"!

Trong cuốn sách này bạn sẽ:

1 Hiểu sâu sắc và cặn kẽ về lý thuyết chuyên đề tổ hợp – xác suất

Qua quá trình quan sát các bài kiểm tra, bài thi của học sinh trung học phổ thông, chúng tôi nhận thấy rằng phần lớn các bạn còn khá mơ hồ về chuyên đề này, thậm chí là từ những kiến thức hết sức cơ bản Do vậy những phần lý thuyết trình bày về tổ hợp – xác suất sẽ được viết theo không chỉ một mà nhiều cách khác nhau, với những ví dụ trực quan Để từ đó những người thiên về não phải hay tưởng tượng mộng mơ đến những người thiên về não trái đề cao tính logic đều tìm cho mình một cách tiếp cận phù hợp đến những khái niệm, định lý, công thức Không dừng ở mức giải thích cắt nghĩa, cuốn sách còn trình bày những đối tượng ấy trong một mối liên hệ tương quan chặt chẽ với nhau

2 Tiếp cận một phương pháp giải toán tổ hợp – xác suất hoàn toàn mới – SƠ ĐỒ CÔNG VIỆC –

một phương pháp được phát triển dựa trên việc kết hợp tư duy sáng tạo và tư duy logic, giúp thay việc diễn giải bằng lời truyền thống trong các bài giải, hướng dẫn, đôi khi quá rối rắm khó hiểu, bởi một cách diễn với những sơ đồ thể hiện mối liên hệ của các đối tượng trong bài toán Có thể nói, sơ đồ công việc đã giúp chuyển đổi ngôn ngữ viết trở thành ngôn ngữ của tư duy Những bạn học sinh khá và giỏi nhiều năm liền có thể sẽ gặp phải một chút khó khăn khi tiếp cận với phương pháp này nhưng chúng tôi tin là các bạn sẽ nhanh chóng làm quen và sử dụng được nó một cách hiệu quả Với sơ đồ công việc, bạn sẽ có thể giải quyết phần lớn các bài toán đếm và xác suất trong đề thi quốc gia năm học tới Vậy cụ thể phương pháp này là gì, hãy cùng tìm hiểu trong cuốn sách nhé

LOVEBOOK | III

3 Được tổng hợp một cách đầy đủ các phân dạng của một bài toán số phức

Với cuốn sách này, việc tìm hiểu cặn kẽ một cách tổng thể về chuyên đề số phức không còn khó khăn nữa Bởi chúng tôi không chỉ dừng lại ở mức liệt kê các dạng bài, mà còn phân tích kĩ từng dạng bài đó và cả những ứng dụng của số phức trong việc giải toán thuộc các chuyên đề khác cũng được trình bày một cách cẩn thận, với mục đích gợi mở tư duy của người đọc

4 Được nâng cao và mở rộng

Những bạn đọc có hứng thú với các chuyên đề này cũng sẽ có cơ hội được tìm hiểu sâu thêm thông qua những bài toán nâng cao, những tư duy khác biệt được lồng ghép một cách tỉ mỉ vào trong cuốn sách, có thể chúng được trình bày riêng rẽ thành đề mục, cũng có thể được trình bày trong một bài toán, một lời nhận xét Có thể những nâng cao và mở rộng đó chưa đủ để các bạn dự các kì thi học sinh giỏi nhưng chắc chắn sẽ giúp hiểu sâu hơn, chắc chắn hơn hai chuyên đề này

5 Tiếp cận với một phương pháp giải toán số phức bằng máy tính bỏ túi thông qua phụ lục của

chuyên đề số phức Dù đây chỉ là một kĩ thuật nhỏ nhưng sử dụng máy tính bỏ túi hứa hẹn sẽ giúp các bạn rất nhiều trong qua trình giải toán và làm toán số phức

Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách nhưng cuốn sách chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi sai sót vì thời gian và kiến thức còn hạn chế Chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp về nội dung của cuốn sách từ các bạn học sinh, sinh viên, các thầy cô giáo để những lần tái bản tiếp theo cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn

Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ

o Thư điện tử: gopy.lovebook.vn@gmail.com

o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/

Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!!

Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức Your dreams – Our mission

LOVEBOOK | IV

LỜI CẢM ƠN

Chúng tôi xin được gửi những lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cha mẹ - những người có ơn sinh thành và nuôi dưỡng chúng tôi, dạy bảo chúng tôi nên người Gia đình luôn là điểm tựa vững chắc giúp chúng tôi vươn đến những thành công như ngày hôm nay

Chúng tôi cũng xin gửi những lời tri ân sâu sắc đến những người thầy, người cô đã dạy dỗ chúng tôi suốt những năm học vừa qua, những người truyền đạt cho chúng tôi không chỉ về những kiến thức

mà còn về những hiểu biết, kĩ năng về cuộc sống

- Thầy Đào Quốc Huy – giáo viên bộ môn toán trường THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam Bằng vốn kiến thức sâu rộng của mình, kết hợp với phong cách giảng hóm hỉnh nhưng không kém phần sâu sắc, thầy đã truyền cảm hứng chi nhiều thế hệ học sinh

- Cô Nguyễn Thị Hiền – giáo viên bộ môn toán trường THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam Những giờ lên lớp của cô luôn là những giờ được học sinh mong chờ nhiều nhất bởi những bài giảng lôi cuốn, bổ ích ấy luôn luôn mang lại cho học sinh hiệu quả cao nhất trong học tập

Tiếp đến chúng tôi xin được cảm ơn các anh em bạn bè cũng như các anh em trong mái nhà chung LOVEBOOK, các anh em đã luôn giúp đỡ, ủng hộ chúng tôi mọi lúc mọi nơi, giúp chúng tôi có động lực để hoàn tất ước mơ có một sản phẩm “tinh thần” của cuộc đời

Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể các em học sinh đã tin tưởng và sử dụng sách của Gia đình Lovebook Sự tin tưởng của các em học sinh là nguồn động lực lớn lao nhất để chúng tôi hoàn thiện cuốn sách này

Cảm ơn hai bạn cộng tác viên: bạn Nguyễn Bá Khánh Trình và bạn Bùi Nhật Quang vì những đóng góp của các bạn cho sự ra đời của cuốn sách này

Cuối cùng, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến anh Lương Văn Thùy – Giám đốc VEDU – và NHÀ SÁCH LOVEBOOK đã luôn ủng hộ, động viên và hướng dẫn chúng tôi trong quá trình hoàn thành cuốn sách

Một lần nữa, chúng tôi xin chân thành cảm ơn!!!

LOVEBOOK | V

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Cuốn sách được viết chia làm hai phần lớn ứng với hai chuyên đề Tổ hợp – xác suất và Số phức Trong phần một, chúng tôi trình bày về Tổ hợp – xác suất với 3 chuyên đề nhỏ: phép đếm, xác suất và nhị thức Newton Phần hai trình bày về số phức như là một chuyên đề riêng biệt Mỗi chuyên đề được viết theo cấu trúc: Lý thuyết cơ bản; Phương pháp – dạng bài; và bài tập tự luyện Riêng với phép đếm và xác suất, phần phương pháp – dạng bài được tách riêng làm hai phần

Sau đây là một số hướng dẫn mà các bạn nên làm theo trong quá trình sử dụng cuốn sách:

1 Về thứ tự đọc: Việc đọc cuốn sách này không có một thứ tự bắt buộc nào phải tuân theo cả Tuy

vậy, do những gì đã được trình bày ở trước sẽ không được trình bày lại trong các phần sau, đặc biệt là lý thuyết về tổ hợp cũng như phương pháp sơ đồ công việc nên tốt nhất các bạn nên đọc chuyên đề phép đếm đầu tiên trước khi đọc các chuyên đề xác suất và nhị thức Newton

Một cách đọc khác chúng tôi muốn gợi ý tới các bạn là bắt tay vào đọc phần mà mình thấy thú vị nhất đầu tiên, sau đó ghi lại những điều không hiểu và quay trở lại tìm hiểu ngay lập tức Bằng cách đó, các bạn sẽ tìm thấy cảm hứng trong học tập được dễ dàng hơn

2 Học một cách chủ động: Quá trình viết sách chúng tôi có đưa ra rất nhiều những ví dụ và bài tập

(không phải bài tự luyện) kèm theo phân tích và nhận xét, để đạt được hiệu quả tối đa, mỗi khi đọc một ví dụ, các bạn nên đọc đề bài và chủ động làm ra nháp, sau đó so sánh với lời giải, đọc nhận xét và rút

ra kinh nghiệm Trong trường hợp chưa nghĩ ra ngay, các bạn có thể đọc phần phân tích phía trước lời giải (có ở đa số những bài tập hay và khó), qua đó định hướng để đưa ra lời giải của mình NHỚ, đọc đề bài rồi xem ngay lời giải là hạ sách cuối cùng, cách làm đó sẽ khiến kiến thức trôi đi như nước đổ lá khoai

3 Có một cuốn vở riêng: Dùng để ghi chú những kiến thức cần nhớ, và làm những bài tập tự luyện

Với việc ghi chú, tuyệt đối đừng chỉ dùng bút nhớ hay gạch chân trong sách, đó là kiểu ghi chú lười biếng Kiến thức cần phải được diễn đạt lại bằng ngôn ngữ của bản thân người học thì mới có khả năng ghi sâu vào trong trí nhớ được Bạn cũng nên sáng tạo cách ghi chú của riêng bản thân mình, đừng để bị gò ép vào một hình thức có sẵn nào cả

Về bài tập tự luyện: Nên trình bày logic khi làm bài, tính toán cẩn thận, đặc biệt là những bài tập hay hoặc những phần mà bạn cảm thấy dễ quên Bằng cách cẩn thận ghi lại, bạn sẽ nhớ hơn rất nhiều những bài tập đó so với việc chỉ nháp ra ý tưởng

4 Lập nhóm học tập: hay ít nhất là thường xuyên trao đổi về bài tập trong cuốn sách với bạn bè

Ý tưởng đơn giản nhất là hẹn bạn cùng đọc, ghi chú, làm bài tập trong một phần hay một đoạn của cuốn sách trong một khoảng thời gian nhất định, sau đó đổi vở ghi chép và cùng bàn luận về những phần mình chưa hiểu, những cái hay, những điều mà mình rút ra được Việc này hoàn toàn có thể tận dụng khoảng thời gian ra chơi ở trường Có bạn bè cùng học thì động lực và hiệu quả sẽ tăng lên rất nhiều

5 Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì?

Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!!

- Hỏi bạn bè cùng lớp Học thầy không tày học bạn

- Hỏi thầy cô giáo trên lớp

- Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng

- Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách

của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/

Trên đây là một số hướng dẫn cho việc sử dụng cuốn sách để học tập và ôn luyện Mong rằng các bạn sẽ đạt được những kết quả tốt với cuốn sách này!

- Phát biểu theo cách nhìn “công việc”: Một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án: Có

n1 cách thực hiện.A1., n2 cách thực hiện ,…, nk cách thực hiệnAk Khi đó công việc có thể thực hiện bởi tổng cộng n1+ n2+ n3+ +nk cách

Ví dụ 1:Nam muốn đi từ Hà Nội vào Đà Nẵng bằng một trong hai phương án: đi tàu hoặc đi ô-tô Biết trong ngày có 3 chuyến tàu và 5 chuyến ô-tô Tìm số cách để Nam thực hiện chuyến đi của mình

Lời giải:

Số cách để Nam đi bằng một trong hai phương án tàu hoặc ô-tô là: 3 + 5 = 8 (cách)

- Phát biểu theo cách nhìn tập hợp: Cho k tập hợp: A1; A2; A3; … ; Ak là các tập đôi một rời nhau

Biết |A1| = n1; |A2| = n2; … ; |Ak| = nk, khi đó |A1∪ A2∪ … ∪ Ak| = n1+ n2+ ⋯ + nk

Để cho dễ hiểu hơn cách em có thể nhìn đơn giản như sau:

Hình A1 có diện tích là n1

Hình A2 có diện tích là n2

Ví dụ 2: Nam có 2 chiếc hộp đựng kẹo Hộp thứ nhất có 3 chiếc kẹo, hộp thứ hai có 5 chiếc kẹo Hỏi Nam

có tất cả bao nhiêu chiếc kẹo?

Lời giải:

Số kẹo mà Nam có là: 3 + 5 = 8 chiếc

Nhận xét: Đưa ra một bài toán “lớp 1” như vậy có vẻ thật ngớ ngẩn, tuy nhiên khi so sánh ví dụ 1 với ví dụ

2, các em sẽ thấy một sự tương đồng hoàn toàn giữa một bài “Đếm số cách làm” và một bài “Đếm số kẹo” NX1: Các bài toán đếm là có cùng bản chất và cách hiểu như nhau ⇒ Chúng dễ tương tự như nhau

⇒ Chỉ cần nắm vững được những phương pháp tư duy hệ thống (sẽ được trình bày ở phần sau) thì các em hoàn toàn có thể làm được chúng một cách “dễ như ăn kẹo”

NX2: Hiểu được bản chất thông quan những ví dụ đơn giản nhất giúp ta làm được bài toán trong những trường hợp khó và phức tạp hơn

b) Quy tắc nhân

- Phát biểu theo cách nhìn “công việc”: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A A1; 2; ;Ak Công đoạn có thể thực hiên theo.n cách, công đoạn 1 A2có thể thực hiện theon cách,… công đoạn có thể thực 2hiện theon cách Khi đó, số cách để thực hiện công việc này là nk 1n2… nk cách

A1

A2

Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0 Your dreams – Our mission

LOVEBOOK.VN | 14

Ví dụ 3: An muốn từ nhà mình qua đón Bình rồi cả 2 cùng sang nhà Cường chơi Hỏi A có bao nhiêu cách

đi biết từ nhà An sang nhà Bình có 2 đường, từ nhà Bình sang nhà Cường có 3 đường

Lời giải:

Số cách chọn đường từ nhà A sang nhà Bình là: 2 cách

Số cách chọn đường từ nhà Bình sang nhà Cường là: 3 cách

Vậy áp dụng quy tắc nhân, số cách đi của A là: 2.3 = 6 (cách)

- Phát biểu theo cách nhìn tập hợp: Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak| = mk Khi đó sA ố cách 1chọn (S) bộ gồm n phần tử (a1; a2; … ; an) với ai∈ Ai (1 ≤ A i ≤ n) sẽ là: k

Nam có tất cả 2.3 = 6 chiếc kẹo

Nhận xét: Lại một bài toán lớp 1 nữa được đưa ra làm ví dụ, tuy nhiên, ta có một cách giải khác như sau:

Số kẹo Nam có là: 3 + 3 = 6 (chiếc)

So sánh với ví dụ 2, ta có thể thấy rằng quy tắc nhân có “bản chất cộng” Điểm khác biệt duy nhất trong trường hợp này là số kẹo trong mỗi hộp bằng nhau (và bằng 3) nên thay vì 3 + 3 = 6 ta còn có thêm cách tính nữa là

2.3 = 6

Bất kì bài toán nào sử dụng quy tắc nhân đều có thể quy về làm bằng quy tắc cộng, chẳng hạn xét ví dụ sau:

Ví dụ 5: Một tour du lịch lần lượt đưa khách xuất phát từ thành phố A đi qua các thành phố B, C và kết thúc ở thành phố D Biết có 2 con đường nối từ A đến B, 4 con đường nối từ B đến C và 3 con đường nối

từ C đến D Hỏi có tất cả bao nhiêu cách hoàn thành tour?

Lời giải (dùng quy tắc nhân):

LOVEBOOK.VN | 15

Tuy vậy ta cũng thấy giải chỉ bằng quy tắc cộng quá dài dòng và phức tạp một cách không cần thiết, sử dụng quy tắc nhân là một sự rút ngắn khôn ngoan Do vậy trong hầu hết các bài toán ta cần sử dụng kết hợp cả 2 phương pháp để giải

Ví dụ 6: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này ta có 7.8.9 = 504 số thỏa mãn ycbt

- TH2: chữ số tận cùng khác 0 Vì đây là số chẵn nên chữ số tận cùng chỉ có thể thuộc tập {2;4;6;8} Ta thực hiện lần lượt các bước:

B1: Chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn

B2: Chọn chữ số hàng nghìn: có 8 cách chọn (ngoại trừ số 0 và chữ số hàng đơn vị)

B3: Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn

B4: Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này ta có 4.8.8.7 = 1792 số thỏa mãn ycbt

Vậy có tất cả 504 + 1792 = 2296 cố thỏa mãn ycbt

- Với những ai chưa hình dung rõ về ngôn ngữ tập hợp thì có cách diễn đạt dễ hiểu hơn như sau:

Có n đồ vật và n vị trí (có tính thứ tự) cho trước, số cách sắp xếp n đồ vật đó vào n vị trí đã cho là Pnn!

Ví dụ 7: Cho các số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau được lấy

từ các số đã cho?

Lời giải:

Gọi số cần lập là abcdef̅̅̅̅̅̅̅̅̅, trong đó a,b,c,d,e,f ∈ {1,2,3,4,5,6}

Số cách chọn chữ số a là: 6 cách (thuộc tập {1,2,3,4,5,6} )

Số cách chọn chữ số b là: 5 cách (thuộc tập {1,2,3,4,5,6} trừ đi số a đã được chọn)

Số cách chọn chữ số c là: 4 cách (thuộc tập {1,2,3,4,5,6} trừ đi số a và b đã được chọn)

Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0 Your dreams – Our mission

Ta có cách diễn đạt dễ hiểu hơn:

Có n đồ vật và k vị trí (có tính thứ tự) cho trước (k≤n), số cách lấy ra k trong n đồ vật không kể thứ tự là

Nhận xét: Cách chứng minh công thức tổ hợp sẽ được đề cập ở phần sau:

(*) Chú ý quan trọng: Như đã so sánh ở phần trên giữa bài toán “đếm kẹo” với bài toán “đếm số cách làm”, các bài toán đếm có bản chất giống nhau

Trong một số trường hợp, người ta thường đếm số cách làm ra sản phẩm thay cho số sản phẩm Muốn đếm như vậy thì ta phải hiểu rằng hai cách làm khác nhau sẽ tạo ra hai sản phẩm khác nhau Chẳng hạn như ví

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5.4 = 20 (số)

Nhận xét: trong bài toán trên, thực chất ta đã đếm số cách lập số thỏa mãn Tuy nhiên ta có thể đồng nhất số cách lập số thoản mãn với số các số thỏa mãn vì mỗi cách lập cho ra một số khác nhau

II LÝ THUYẾT MỞ RỘNG

1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tập hợp

Trước khi tìm hiểu các lý thuyết mở rộng về phép đếm, ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản cũng như kí hiệu trong toán tập hợp

 là biểu thị của tập hợp rỗng (không chứa phần tử nào) Do đó là tập hợp con của mọi tập hợp

Tập A B gọi là “A hợp B”: là tập chứa tất cả các phần tử của A và của B

b) Cho tập S = {x| x ∈ N; x < 50} và A = {x| x ∈ N; 5 < x < 45} Xác định tập S\A và số phần tử của nó c) Cho hai tập A = {x|x ∈ N; x ⋮ 3} và B = {x|x ∈ N; x ⋮ 5} Xác định tập hợp A ∩ B

d) Cho tập A = {1; 3; 5} xác định tập SA bao gồm tất cả các tập con của A và số phần tử của nó

Lời giải:

a)A B 3 10 { ; } với |A B 2 |

A B 1 2 3 5 6 7 8 10 13 { ; ; ; ; ; ; ; ; } với |A B 9 |

b) S = {x| x ∈ N; x < 50} là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 50

Tương tự A = {x| x ∈ N; 5 < x < 45} là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 5 và nhỏ hơn 45

Do đó: S\A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 45; 46; 47; 48; 49} với |S\A| = 11

c) A = {x|x ∈ N; x ⋮ 3} là tập các số tự nhiên chia hết cho 3

B = {x|x ∈ N; x ⋮ 5} là tập các số tự nhiên chia hết cho 5

Do đó A ∩ B là tập các số tự nhiên chia hết cho cả 3 lẫn 5 Mà 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó:

{x ⋮ 3x ⋮ 5⇔ x ⋮ (3.5) ⇔ x ⋮ 15 Vậy A ∩ B = {x|x ∈ N; x ⋮ 15} = {0; 15; 30; … }

Gọi A là tập hợp các học sinh giỏi toán trong lớp

B là tập hợp các học sinh giỏi văn trong lớp