Lý thuyết và bài tập tổ hợp xác suất

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c co m Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghóa www.saosangsong.com.vn Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất I TỔ HP m §1 Hai qui tắc đếm A Tóm tắt giáo khoa Qui tắc cộng : co Giả sử công việc tiến hành theo môt k phương án A2 , A2 , ,Ak Phương án A1 thực n1 cách,phương án A2 thực n2 cách , , phương án Ak thực nk cách Khi công việc thực n1 + n2 + + nk caùch c Qui tắc nhân B.Giải toán oc uo Giả sử công việc bao gồm k công đoạn A1 , A2 , ,Ak Công đoạn A1 thực theo n1 cách ,công đoạn A2 thực theo n2 cách , ,công đoạn Ak thực theo nk cách Khi công việc thực theo n1.n2 .nk cách Dạng :Đếm số phần tử tập hợp sử dụng qui tắc cộng Ví dụ : Trên kệ sách có 12 sách tham khảo Toán 11 sách tham khảo Lý 11.Hỏi học sinh có cách chọn hai loại sách nói gb Giải Học sinh có hai phương án chọn Phương án chọn sách Toán 11,phương án có 12 cách chọn Phương án chọn sách Lý 11,phương án có cách chọn Vậy học sinh có : 12 + cách chọn hai lại sách nói kh on Ví du : Cho tập hợp E = {a, b, c} Có cách chọn tập hơp khác r rỗng E Giải Phương án : có cách chọn tập E gồm phần tử Phương án : có cách chọn tập E gồm phần tử Phương án : có cách chọn tập E gồm phần tử Vậy có + + = tập khác rỗng tập E Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất Dạng :Đếm số phần tử tập hợp sử dụng qui tắc nhân m Ví dụ : Một lớp học có 40 học sinh.Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban điều hành lớp gồm lớp trưởng,một lớp phó thủ quỹ.Hỏi có cách chọn biết học sinh làm nhiệm vụ c co Giải Có 40 cách chọn lớp trưởng Sau chọn xong lớp trưởng có 39 cách chọn lớp phó Sau chọn xong lớp trưởng lớp phó ,có 38 cách chọn thủ quỹ Vậy có tất 40.39.38 = 58.280 cách chọn ban điều hành lớp oc uo Ví dụ : Từ trường Lê Hồng Phong đến trường Nguyễn Thị Minh Khai có đường từ trường Nguyễn Thị Minh Khai đến trường Lê Q Đôn có đường đi.Hỏi có cách học sinh trường Lê Hồng Phong muốn đến rủ học sinh trường Nguyễn Thị Minh Khai đến trường THPT Lê Q Đôn tham dự lễ hội? Giải Có đường từ trường Lê Hồng Phong đến trường Nguyễn Thị Minh Khai có đường từ trường Nguyễn Thị Minh Khai đến đường Lê Q Đôn ,như có 2.3 = 12 cách từ trường Lê Hồng Phong đến trường Lê Q Đôn qua ngõ trường Nguyễn Thị Minh Khai gb Ví dụ : Cho tập hợp E = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} Từ phần tử E lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác nhau: Giải Gọi số laø x = a1a2 a3 a4 kh on x laø số chẵn nên có cách chọn số a4 ∈ { 2,4,6,8} Vì số khác nên có cách chọn số a3 , có cách chọn số a2 có cách chọn số a1 Vậy theo qui tắc nhân có 2.8.2.6 = 1344 số tự nhiên thành lập C Bài tập rèn luyện : 2.1 Từ TP.Hố Chí Minh đến TP Nha Trang ô tô , tàu hỏa , hay tàu thủy Mỗi ngày có chuyến ô tô, có chuyến tàu hỏa chuyến tàu thủy.Hỏi có lựa chọn để từ TP.Hồ Chí Minh đến Nha Trang? Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất m 2 Một lớp học có 20 học sinh nam 15 học sinh nữ a) Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn học sinh nam hay nữ dự trại hè trường.Hỏi có cách chọn ? b) Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn học sinh nam họcsinh nữ dự lễ hội trường bạn Có chọn? có chữ số khác chọn từ phần tử E co Cho tập hợp E = {2, 4, 6} Hỏi lập số tự nhiên khác oc uo 2.5 Có tất số lẻ nhỏ 80? c 2.4 Trong thi vấn đáp môn sử , giám khảo soạn 10 câu hỏi sử Việt Nam, câu hỏi sử giới Mỗi thí sinh rút thăm câuhỏi Hỏi thí sinh có khả chọn câu hỏi? 2.6 Giả sử có đường nối từ tỉnh A đến tỉnh B có đường nối từ tỉnh B đến tỉnh C.Chúng ta muốn từ tỉnh A sang tỉnh C qua ngã tỉnh B trở theo ngã Có tất hành trình : a) phải dùng đường để b) dùng đường để c) phải dùng đường khác làm đường đường hai chặn A – B B – C ? gb 2.7 Có tất số thành lập với chữ số : 2.2.6.8 : a) số lớn 200 nhỏ 600 b) số có chữ số khác kh on 2.8 Biển số xe máy , không kể mã số vùng , gồm có kí tự Trong kí tự vị trí thứ chữ (trong bảng 24 chữ cái),ở vị trí thứ hai chữ số thuộc tập hợp {1.2.3.4.5.6.7.8.9} ,ở bốn vị trí bốn chữ số chọn tập hợp {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} Hỏi không kể mã số vùng làm biển số xe máy khác nhau? 2.9 Có số tự nhiên : a) có chữ số mà chữ số số lẻ ? b) có chữ số mà chữ số cách chữ số đứng giống nhau? Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất m 2.10 Người ta ghi nhãn ghế ngồi rạp hát hai ký tự :ký tự vị trí chữ ( bảng 24 chữ cái) ký tự vị trí thứ hai số nguyên dương 1,2 , , 30 Hỏi có tất ghế đïc ghi nhãn khác rạp hát? co D Hướng dẫn – Đáp số 2.1 Theo qui tắc cộng ta có : + + = 13 lựa chọn c 2.2 Lớp học có 20 nam 15 nữ a) Nếu chọn nam hay nữ theo qui tắc cộng có 20 + 15 = 35 cách chọn b) Nếu chọn nam nữ theo qui tắc nhân có 20.15 = 300 cách chọn oc uo 2.3 Có số tự nhiên khác có chữ số Có số tự nhiên khác có hai chữ số khác Có số tự nhiên khác có ba chữ số khác Vậy có tất + + = 15 số tự nhiên 2.4.Thí sinh có 10 cách chọn câu hỏi Sử Việt Nam hay cách chọn câu hỏi Sử Thế giới Vậy có 10 + = 16 cách chọn câu hỏi 2.5 Số phải tìm có chữ số : số ( chọn số lẻ 1.2.2.2.9) Số phải tìm có hai chữ số x = a1a2 Vì x số lẻ nên có cách chọn cho chữ số a2 , x gb nhỏ 80 nên có cách chọn cho chữ số a1 ( chọn số 1,2,3,4,5,6,7) Do có 2.7 = 35 cách chọn số lẻ có hai chữ số Vậy có + 35 = 40 số lẻ nhỏ 80 kh on 2.6 Có đường từ A đến B đường từ B đến C , theo qui tắc nhân có 2.3 = hành trình từ A đến C qua ngã B a) dùng đường để có cách chọn b) dùng đường để có 6 = 36 hành trình c) dùng đường khác làm đường đường hai chặn A – B B - C có 6.2 = 12 hành trình có cách chọn đường đường có cách chọn đường từ C – B cách chọn đường B – A 2.7 a) Số tự nhiên lớn 200 nhỏ 600 có ba chữ số a1a2 a3 Vì chọn số .4 nên có hai cách chọn a1 số và chữ số không khác nên có cách chọn a2 cách chọn a3 Vậy có tất 2.2.4 = 32 số lớn 200 nhỏ 600 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất b) Số tự nhiên có ba chữ số khác a1a2 a3 nên có cách chọn a1 , cách chọn a2 co m cách chọn a3 Vậy có 2.2.2 = 24 số gồm ba chữ số khác Bảng chữ số xe máy không kể mã vùng có dạng F – 6202 • Có 24 cách chọn chữ vị trí đầu • Có cách chọn chữ số cho vị trí thứ hai (không có số 0) • Có 10 cách chọn chữ số cho vị trí bốn vị trí lại (có số 0) Vậy theo qui tắc nhân có : 22.9.10.10.10.10 = 160 000 biển số xe 2.9 a) Có chữ số lẻ 1, , , , Số phải tìm gồm chữ số a1a2 a3 a4 c Các chữ số không khác nên chữ số có cách chọn số lẻ Vậy theo qui tắc nhân có : 2.2.2.5 = 625 số phải tìm b) Số phải tìm gồm chữ số a1a2 a3 a4 a5 với a1 ≠ theo yêu cầu toán a1 = a5 oc uo ; a2 = a4 Như có cách chọn chữ số a1 a5 ; có 10 cách chọn a2 a4 có 10 cách chọn số a3 Vậy theo qui tắc nhân có : 9.10.10 = 900 số phải tìm 2.10 Nhãn ghế có dạng A12 chẳng hạn Có 24 cách chọn chữ 24 chữ Có 30 cách chọn số nguyên dương tập hợp {1, 2, ,30} Vậy theo qui tắc nhân có : 22.30 = 720 nhãn § HOÁN VỊ , CHỈNH HP VÀ TỔ HP gb A.Tóm tắt giáo khoa : Hoán vị : Định nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự ,ta hoán vị phần tử tập A Ví dụ : Cho tập hợp A = {a, b, c} Các hoán vị A ba thứ tự (a,b,c) ; (a, c kh on ,b) ; (b.a.c) ; (b.c.a) ; (c,a,b) ; (c.b.a) b) Soá hoán vị : Cho số nguyên dương n Số hoán vị tập hợp có n phần tử : Pn = n(n – 1)(n – 2) 2.1 = n! (1) Ví dụ : Số hoán vị tập hợp A = {a, b, c} gồm phần tử 3! = 1.2.3 = Chỉnh hợp : Định nghóa : Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hởp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k cuûa A) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất Ví dụ : Cho tập hợp A = {a, b, c} Các chỉnh hợp chập A : m (a,b) ; (b,a) ; (a,c) ; (c,a) ; (b,c) ; (c.b) b) Số chỉnh hợp : Cho số nguyên n k với ≤ k ≤ n.Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử : A kn = n(n – 1)(n – 2) .(n – k +1) (2) co Ví dụ : Một lớp học có 40 học sinh.Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn học sinh làm lớp trưởng , học sinh làm lớp phó học sinh làm thủ quỹ.Hỏi có cách chọn? c Giải: Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn học sinh số 40 học sinh làm chức vụ phân biệt (có thứ tự) Vậy có tất : A40 = 40.39.38 = 59 280 cách chọn khác oc uo Ghi :1/ Theo định nghóa ta thấy hoán vị tập hợp n phần tử chỉnh hợp chập n tập hợp Ann = n! k 2/ Công thức (2) viết dạng An = n! (3) (n − k )! gb với qui ước 0! = Tổ hợp : a) Định nghóa : Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A ( gọi tắt tổ hợp chập k A) Như tổ hợp chập k A cách chọn k phần tử A (không quan tâm đến thứ tự) Ví dụ : Cho tập hợp A = {a, b, c} Các tổ hợp chập A laø : {a, b} ; {a, c} ; {b, c} b) Số tổ hợp : Cho số nguyên n k với ≤ k ≤ n Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử : kh on Ank n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = C = (4) k! k! Ghi : Với ≤ k ≤ n ta viết công thức (4) dạng : n! Cnk = (5) với qui ước Cn0 = k !(n − k )! k n c) H coâng thức tổ hợp Cnk = Cnn − k với số nguyên n k thỏa ≤ k ≤ n Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 với số nguyên n k thỏa ≤ k ≤ n Vậy có C52 = 5.4 = 10 đoạn thẳng 2! co Giải a) Một đoạn thẳng nối liền điểm chọn điểm cho m Ví dụ : Trong mặt phẳng cho điểm điểm thẳng hàng a) Hỏi có đoạn thẳng nối liền điểm đó? b) Hỏi có tam giác mà đỉnh điểm đó? Vậy có : C53 = 5.4.3 = 10 tam giác 3! c b) Một tam giác tạo điểm chọn điểm cho oc uo B Giải toán : Dạng : Bài toán xếp phần tử theo thứ tự : dùng chỉnh hợp hay hoán vị Ví dụ : Một nhóm học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh vào ghế dài cho : a) Học sinh nam phải ngồi liền b) Nhóm học sinh nữ ngồi gb Giải a) Bảy học sinh nam ngồi liền xem vị trí x nên ta xếp x nữ hoán vị phần tử : có 5! cách Sau xếp nam sinh vị trí x hoán vị phần tử : có 7! cách Vậy theo qui tắc nhân có 5!.7! = 604800 kh on b) Bốn học sinh nữ ngồi nên chiếm vị trí y cố định nên học sinh chỗ : có 7! cách Sau hoán vị nữ sinh vị trí y : có 4! cách Vậy có 4!.7! = 120960 cách Ví dụ : Có cách xếp người vào ghế xếp theo bàn tròn khác biệt ghế này? Giải Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suaát A D F B F E C E D Hình cho ta thấy hai lối xếp đặt giống hệt nhau,mặc dầu A thật ngồi ghế khác.Như việc ngồi xung quanh bàn tròn ,có người ngồi tự người lại chia ngồi ghế lại m A C co B Vậy có tất 5! = 120 cách xếp người ngồi vào ghế bàn tròn c Ví dụ : Có thể thành lập số gồm chữ số khác nhác thiết phải có chữ số ? a1a2 a3a4 a5 x= oc uo Giải Xét tập hợp số tự nhiên E = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} số gồm chữ số : • Dạng a1 = có m1 = A94 = 9.8.2.6 = 3024 số • Dạng a1 ≠ * có cách chọn a1 ∈ {1, 2,3, 4,5, 6, 7,9} * có cách chọn bốn chữ số a2 , a3 , a4 , a5 * lập chữ số lại tập hợp E \ {a1 ,8} : có A83 = 8.2.6 = 336 gb Do có m2 = 8.2.336 = 10 752 số dạng Vậy số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số : m1 + m2 = 3024 + 10752 = 13776 số kh on Ví dụ : Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau,mỗi dãy gồm ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường Lê Hồng Phong học sinh trường Trần Đại Nghóa vào bàn nói trên.hỏi có cách xếp trường hợp sau : a) Bất hai học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với b) Bất hai học sinh ngồi đối diện khác trường Giải Bước : xếp chỗ cho hai nhóm học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với có hai cách : ( P học sinh Lê Hồng Phong N học sinh Trần Đại Nghóa) PNPNPN NPNPNP NPNPNP PNPNPN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất 10 m Bước : Trong nhóm học sinh P có 6! cách xếp em vào chỗ ngồi Trong nhóm học sinh N có 6! cách xếp em vào chỗ ngồi Vậy coù 6! 6! = 036 800 cách c co b) Học sinh thứ trường P có 12 cách chọn ghế ngồi trước Sau chọn học sinh trường N ngồi đối diện với học sinh trường P thứ : có cách chọn Học sinh thứ hai trường P 10 chỗ để ngồi : có 10 cách chọn chỗ ngồi cho học sinh thứ hai trường P Chọn học sinh lại trường N ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường P : có cách Tiếp tục cách ta có : 12 × × 10 × × × × × × × × × = 33 177 600 cách Ví dụ : Cho tập hợp số : E = {0,1, 2,3, 4,5} Hỏi thành lập số có Giải • • oc uo chử số khác không chia hết cho Số gồm chữ số khác thành lập từ chữ số E kể số vị trí hàng trăm : A 36 = 120 Số gồm chữ số khác thành lập từ chữ số E mà số đứng vị trí hàng trăm A52 = 20 Số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Như tập E tập chữ số sau có tổng chia hết cho : {0,1,2} ; {0,2,4} ; {0 ,4 ,5} ; {0,1,5 ; {1,2,3} ; {2,3,4} ; {1,3,5} Do có 2.3! – 2.2! = 36 số chia hết cho Vậy có tất : 120 – 20 – 36 = 64 số phải tìm gb • Ví dụ : Cho tập hợp A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} kh on a) Có tập X tập A thỏa mãn điều kiện X chứa không chứa ? b) Có số tự nhiên chẵn gồm chũ số đôi khác lấy từ tập A mà không bắt đâu 135 ? Giải a) Xét tập hợp B = {2,3, 4,5, 6, 7,8} Vì tập X không chứa nên X\ {1} tập B Như tập B hợp với {1} tập X tập A chứa không chứa Vậy số tập X thỏa mãn điều kiện toán 27 = 128 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất 46 Xác suất lấy bi đỏ từ bình U2 : 2 × = 15 75 m Vậy P(A) = = 10 Xác suất lấu bi đen bình U2 c C72 21 = Xác suất lấy bi đen bình U1 = C10 45 15 co b) Gọi E biến cố lấy bi màu Biến cố E xảy ta lấy bi đỏ hay bi đen = 10 7 × = 15 25 oc uo Do xác suất lấy bi đen Hai biến cố lấy bi đỏ bi đen hai biến cố xung khắc Vậy xác suất lấy bi màu P(E) = 23 + = 75 25 75 B biến cố bi không màu , B biến cố đối E 23 52 = 75 75 gb Vaäy P(B) = – P(E) = − c) C biến cố bi đỏ lấy từ bình U2 kh on Ta có BC biến cố lấy bi không màu bi lấy từ U2 có màu đỏ Biến cố BC xảy : 14 × = 15 75 • lấy bi đen bình U1 bi đỏ bình U2 : • lấy bi đỏ bi đen bình U1 bi đỏ bình U2 : 14 × = 15 75 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Toå hợp xác suất 47 Hai biến cố xung khắc nên 14 14 28 + = 75 75 75 m P(BC) = co 28 P( BC ) 75 = = Ta suy P(C/B) = 52 13 P( B) 75 Vậy P(E1) = 4 × × = 8 36 c 1.4 a) E1 biến cố lấy bi trắng lần lấy thứ ,do lần lấy thứ hai thứ ba bi đỏ b) E2 biến cố lấy bi trắng lần lấy thứ 2,do lần lấy thứ lần lấy thứ 3û bi đỏ 10 × × = 9 81 oc uo Vaäy P(E2) = E3 biến cố lấy bi trắng lần thứ ,do lần lấy thứ thứ bi đỏ Vậy P(E3) = 4 100 × × = 9 729 Gọi F biến cố lấy bi trắng lần lấy F = E1 ∪ E2 ∪ E3 với E1 , E2 , E3 biến cố đôi xung khắc Vậy P(F) = P(E2) + P(E2) + P(E3) = gb 10 100 1165 + + = 36 81 729 2916 c) Gọi G xác suất lấy bi trắng lần lấy thứ biết lấy bi trắng lần lấy Gọi R1 biến cố lấy bi đỏ lần 1, R2 biến cố lấy bi đỏ lần , B3 biến cố lấy bi trắng lần kh on P( R1 R2 B3 ) 64 = P( F ) 233 C × C1 190 ×10 95 = a) P(A) = 20 10 = C30 4060 203 Ta coù P(G) = 1.5 C20 C103 57 + = + = 3 C30 C30 203 203 29 57 95 152 c) P (C ) = + = 203 203 203 b) P(B) = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất 48 m §3 Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc §4 Kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc A.Tóm tắt giáo khoa co Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc Đại lượng X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị số thuộc tập hợp hữu hạn đó,và giá trị ngẫu nhiên,không dự đoán trước Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị { x1 , x2 , , xn } Để hiểu oc uo c rõ X ta thường quan tâm đến xác suất để X nhận giá trị xk tức số P(X= xk) = pk với k = 1,2, , n Các thông tin X trình bày dạng bảng sau gọi bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X X x1 x2 P p1 p2 Chú ý ta có p1 + p2 + + pn = xn pn Kỳ vọng Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị { x1 , x2 , , xn } Kì vọng X, ký hiệu E(X) ,là số tính theo công thức gb E(X) = x1p1 + x2p2 + + xnpn = i =1 i i với pi = P(X = xi ) , ( i = 1, , , n) Ý nghóa : E(X) số cho ta ý niệm độ lớn trung bình X.Do kì vọng E(X) gọi giá trị trung bình X Nhận xét : Kì vọng X không thiết thuộc tập giá trị X Phương sai độ lệch chuẩn a) Phương sai : Cho X biến ngẫu nhiên rời rạcvới tập giá trị { x1 , x2 , , xn } on kh n ∑x p Phương sai X , kí hiệu D(X) , số tính theo công thức D( X ) = ( x1 − μ ) p1 + ( x2 − μ ) p2 + + ( xn − μ ) pn n = ∑ ( xi − μ ) pi i =1 với pi = P(X = xi ) ( i = 1,2, , n) vaø μ = E(X) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Toå hợp xác suất 49 lệch chuẩn X.Ta có : σ ( X ) = m Ý nghóa : Phương sai số không âm,cho ta ý niệm mức độ phân tán giá trị X xung quanh giá trị trung bình Phương sai lớn độ phân tán lớn b) Độ lệch chuẩn Căn số học bậc hai phương sai,kí hiệu σ ( X ) , gọi độ D( X ) co B Giải toán Giải - Giá trị X ∈ {0,1, 2,3, 4,5} c Ví dụ : Gieo đồng xu lần liên tiếp.Ký hiệu X số lần xuất mặt sấp Đại lượng X có phải biến ngẫu nhiên rời rạc không? sao? oc uo - Giá trị X ngẫu nhiên,không dự đóan trước Vậy giá trị X biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ : Một túi đựng bi đỏ bi trắng Chọn hú hoạ viên bi.Gọi X số viên bi trắng viên bi chọn X có phải biến ngẫu nhiên không? Giải - Giá trị X ∈ {0,1, 2,3} - Giá trị X ngẫu nhiên , không dự đoán trước Vậy X biến ngẫu nhiên rời rạc gb Ví dụ : Một nhóm có người có nam nữ.Chọn ngẫu nhiên người Gọi X số nữ người chọn Lập bảng phân bố xác suất X kh on Giải Giá trị X ∈ {0,1, 2,3} biến ngẫu rời rạc Số trường hợp chọn người nhóm người : C83 = 8.7.6 = 56 1.2.3 Ta có P(X = 0) xác suất chọn nam số cách chọn nam C53 = 5.4.3 10 = 10 Vaäy P(X = 0) = = 0,18 1.2.3 56 Ta có P(X = 1) xác suất chọn nữ nam Vậy P(X = 1) = C31.C52 3.10 = = 0,54 C83 56 Ta có P(X = ) xác suất chọn nữ nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Toå hợp xác suất C32 C51 3.5 = = 0, 27 C83 56 Ta có P(X = 3) xác suất chọn nữ C33 = 0, 02 Vaäy P(X = 3) = = C8 56 0,54 0,27 0,02 co Bảng phân phối xác suất X X P 0,18 m Vậy P( X = 2) = 50 c Ví dụ : Số khách hàng mua xăng trạm bán xăng phút biến ngẫu nhiên rời rạc X mà bảng phân phối xác suất X 0,1 0,5 0,4 a) Tính xác suất để phút có nhiều khách hàng đến mua b) Tính xác suất để phút có khách hàng đến mua xăng Giải oc uo X P a) Theo bảng phân bố xác suất ta có : Xác suất có nhiều khách hàng đến mua xăng P = 0,1 + 0,5 = 0,6 b) Xác suất để có khách hàng đến mua xăng P = – 0,1 = 0.9 gb Ví dụ : Trong sổ số tombola người ta bỏ bình 10 vé có vé trúng Lấy hú họa ve.ù Gọi X biến ngẫu nhiên số vé trúng vé chọn Lập bảng phân phối xác suất X tính kì vọng X kh on Giải Giá trị biến ngẫu nhiên X ∈ {0,1, 2} Số trường hợp chọn vé 10 vé C102 = 45 Ta có : • • • C82 28 = 45 45 C1 × C81 16 = P(X = 1) = 45 45 C P(X = 2) = = 45 45 P(X = 0) = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Toå hợp xác suất 51 Bảng phân phối xác suất cuûa X 28 45 16 45 45 28 16 18 + 1× + × = = 0,4 45 45 45 45 co Kì vọng : E(X) = x1p1 + x2p2 + x3p3 = × m X P X P oc uo Giaûi Ta có bảng phân phối xác suất biến X 1 C40 ( ) = 16 Kì vọng E(X) = × Phương sai D(X) = c Ví dụ : Chọn ngẫu nhiên gia đình số gia đình có con.Gọi X số trai gia đình Hãy tính kì vọng , phương sai độ lêch chuẩn X biết xác suất sinh trai 0,5 hai biến cố sanh trai hay gái độc lập với 4 C41 ( ) = 16 C42 ( ) = 16 C43 ( ) = 16 1 C44 ( ) = 16 + 1× + × + × + × = 16 16 16 16 16 ∑ (x − μ) pi + (1 – 2)2 + (2 -2)2 +(3 -2)2 +(4-2)2 16 16 16 16 16 gb i =0 i = (0 – 2)2 =1 Độ lệch chuẩn σ ( X ) = C Bài tập rèn luyện on kh D( X ) = 63 Một bình đựng bi trắng , bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi bình a) Tính xác suất biến cố sau : E1 : Các bi lấy khác màu E2 : Các bi lấy màu b) Gọi X biến ngẫu nhiên số bi trắng có lần lấy bi.Lập bảng phân phối xác suất X.Tính kì vọng X Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất 52 m 64 Một bình đựng bi đỏ , bi vàng bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi bình Gọi A biến cố bi đỏ ; B biến cố bi màu C biến cố bi khác màu a) Tính xác suất biến cố A , B , C b) Gọi X biến ngẫu nhiên số màu lần lấy bi Lập bảng phân phối xác suất X Tính kì vọng X oc uo c co 65 Một bình đựng bi đỏ , bi trắng bi xanh.Một người tham gia chơi sau : lấy ngẫu nhiên bi bình: * bi đỏ 16 ngàn đồng * bi trắng 12 ngàn đồng * bi xanh bỏ lại vào bình lấy tiếp bi khác bình : - bi đỏ ngàn đồng - bi trắng ngàn đồng - bi xanh không không Trước chơi người chơi có 12 ngàn đồng.Gọi X tổng số tiền người có sau lần rút a) Xác định giá trị biến ngẫu nhiên X b) Lập bảng phân phối xác suất X c) Tính kì vọng X gb 66 Gieo hai súc sắc lúc xét tổng số hai mặt xuất a) Tính xác suất để tổng số hai nút lớn hay b) Gieo lần liên tiếp hai súc sắc lúc Gọi X biến ngẫu nhiên số lần tổng số hai nút lớn hay Lập bảng phân phối xác suất X tính kì vọng E(X) 67 Chứng minh phương sai biến ngẫu nhiên X cho công thức n D( X ) = ∑ xi2 pi − μ 2 68 Gọi X số kg cà chua thu hoạch tuần nhà vườn , X biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất nhö sau on kh i =1 X P 0,1 O,5 Tính kì vọng phương sai X 0,3 0,1 69 Một xổ số gồm 1.000 vé.Có giải trúng độc đắc 500 ngàn đồng, hai giải trúng 100 ngàn đồng 50 giải khuyến khích trúng 10 ngàn đồng.Hỏi giá bán vé số để chơi vô tư ( số kì vọng biến rời rạc) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Toå hợp xác suất 53 70 Số tai nạn giao thông vào tối chủ nhật thành phố la biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau : 0,05 m 0,2 0,15 0,1 0,3 0,2 a) Tính xác suất để có tai nạn vào tối chủ nhựt b) Tính kì vọng , phương sai độ lệch chuẩn X co X P c 71 Xác suất để người bắn cung bắn trúng hồng tâm 0,75 a) Tính xác suất để 10 lần bắn người A : bắn trúng lần B : bắn trúng lần b) Gọi X biến ngẫu nhiên số lần bắn trúng hồng tâm lần bắn Lập bảng phân bố xác suất X Tính E(X) , D(X) D Hướng dẫn giải oc uo 2.72 Một ôtô đến ngã tư có đèn báo hiệu giao thông Xác suất để ôtô gặp đèn báo hiệu xanh ngã tư 0,6 a) Tính xác suất để ôtô đến ngã tư hai lần có lần tín hiệu xanh b) Trong ngày ôtô qua lần ngã tư Gọi X số lần gặp tín hiệu xanh lần qua ngã tư này.Tính phân bố xác suất X tính kì vọng 2.63 a) Ta có P(E1) = × × 36 12 = = C113 165 55 gb C63 + C33 21 = = P(E2) = C11 165 55 Vì E2 xảy bi trắng hay bi đỏ b) Ta có : X ∈ {0,1, 2,3} kh on • Biến cố X = xảy bi lấy bi trắng Do P(X = 0) = • Biến cố X = xảy bi trắng bi không trắng Do P(X = 1) = • C53 10 = = C11 165 33 × C52 = C113 11 Biến cố X = xảy bi trắng bi không trắng Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất 54 Do P(X = 2) = C62 × 5 = C113 11 m Biến cố X = xảy lấy bi trắng • C63 20 = Do P(X = 3) = = C11 165 33 X P 2 33 11 11 33 c Kì vọng X co Ta có bảng phân phối xác suất X 18 + 1× + × + × = 33 11 11 11 11 10 2.64 a) Ta coù P(A) = = 120 12 1 11 P(B) = + = ( B xảy bi đỏ hay bi vàng) 12 120 120 5× 3× = P(C) = 120 b) Ta coù X ∈ {1, 2,3} oc uo E(X) = × 11 120 P(X = 3) = P(C) = gb Ta coù : P(X = 1) = P(B) = Ta coù: P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = Do P(X = 2) = – ( Ta có bảng phối phối xác suất X X 11 P on kh 11 79 + )= 120 120 Kì vọng E(X) = 1× 120 79 120 11 79 259 + 2× + 3× = 120 120 120 2.65 a) Được bi đỏ X = 12 + 16 = 28 Được bi trắng X = 12 – 12 = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất 55 m Được bi xanh : - bi đỏ X = 12 + = 20 - bi trắng X = 12 – = 10 - bi xanh thi X = 12 + = 12 Vaäy X ∈ {0,10,12, 20, 28} 3× 5 = , P(X = 0) = = , P( X = 20) = = , 12 12 122 48 4×5 5 25 = , P(X = 12) = ( ) = P( X = 10) = 12 36 12 144 10 12 20 28 36 25 144 48 c) Kì vọng E(X) = × + 10 × c X P co b) P(X = 28) = 25 + 12 × + 20 × + 28 × = 12,55 36 144 48 oc uo 2.66 Gieo xúc sắc lúc ta có trường hợp sau đây: 6 8 9 10 10 11 gb Số trường hợp tổng hai nút xuất lớn hay bắng 15 P= 15 = 36 12 kh on Ta coù X ∈ {1,2,3,4,5} vaø P(X = k) = C 5k ( Vậy E(X) = × k ) với k = 1,2,3,4,5 12 25 = 12 12 2.67 Theo định nghóa ta có : n n n D( X ) = ∑ ( xi − μ ) pi = ∑ ( xi2 pi − 2μ xi pi + μ pi ) với μ = ∑ xi pi i =1 = n ∑x i =1 i i =1 i =1 n n i =1 i =1 pi − 2μ ∑ xi pi + μ ∑ pi 10 11 12 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất n ∑p i =1 i =1 Vaäy D(X) = n ∑x i =1 i pi − μ m 56 co 2.68 E(X) = 1,40 kg cà chua D(X) = 0,64 2.69 Cuôc chơi vô tư giá bán vé số kì vọng giải trúng E(X) = (1/1000)(500 + 2.100 + 50.10 ) = 1,20 Vậy vé bán 1200 đồng cuôc chơi vô tư c 2.70 a) Xác suất để có tai nạn biến cố đối biến cố không xảy tai nạn Vậy P = – 0,2 = 0,8 σ (X) = oc uo b) E(X) = × 0,2 + × 0,15 + × 0,1+ × 0,3+4 × 0,2 + × 0,05 = 1,05 D(X) = 02 × 0,2 + 12 × 0,15 + 22 × 0,1 + 32 × 0,3 + 42 × 0,2 + 52 × 0,05 –[E(X)]2 = 6,6 D ( X ) = 2,56 2.71 a) P(A) = C107 × (0, 75)7 × (0, 25)3 = 0, 25 P(B) = – (0,25)10 = b) X ∈ {0,1, 2,3, 4,5} X P (0,25)5 3 C × (0,75) C × (0,75) C × (0,75) C × (0,75) × (0,25)4 × (0,25)3 × (0,25)2 × (0,25) E(X) = × (0,25)5 + × × (0,75) × (0,25)4 + × 10 × (0,75)2 × (0,25)3 + × 10 × (0,75)3 × (0,25)2 + × × (0,75)4 × (0,25) + × (0,75)5 5 5 (0,75)5 gb D(X) = E(X2) – [E(X)]2 kh on 2.72 a) P = – (0,4)2 = 0,84 b) Bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X X P 0,01 0,07 0,23 0,35 E Câu hỏi trắc nghiệm cuối chương Câu Trong mệnh đề sau mệnh đề ? (I) Nếu A B biến cố đối P(A) + P(B) = 0,26 0,08 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất 57 b) 11 32 c) 16 d) đáp số khác c a) co m (II) Nếu P(AB) = A B hai biến cố xung khắc (III) Nếu P(A) > P(B) > A B hai biến cố độc lập a) Chỉ (I) b) (I) (II) c) (III) d) (I) (II) (III) Câu Cho P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,5 vaø P(AB) = 0,3 câu sau đúng? b) A B hai biến cố xung khắc c) A B hai biến cố độc lập d) A B hai biến cố không độc lập không xung khắc e) A B hai biến cố đối Câu Rút ngẫu nhiên cổ 32 lá.Xác suất để già hay bích : Câu Gieo xúc sắc lúc.Xác suất để đựợc số 421 laø: 36 b) 16 c) 0,7 d) đáp số khác oc uo a) kh on gb Câu Rút ngẫu nhiên cổ 32 xác suất để xì : a) 0,3 b) 0,5 c) 0,7 d) 0,2 Câu :Xác suất để sanh trai gái Môt cặp vợ chồng có cháu gái xác suất để có cháu gái thứ hai bao nhiêu? a) 0,5 b) 0,25 c) 0,4 d) không tính Câu Trong trò chơi gieo ngẫu nhiên đồng xu nhiều lần liên tiếp,hỏi phải gieo lần để xác suất mặt ngửa nhỏ 1/100 a) b) c) d) Câu Trong nhóm 100 học sinh 10 học sinh giỏi Toán học sinh giỏi Văn học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn Chọn ngẫu nhiên học sinh Xác suất để học sinh giỏi Văn biết học sinh giỏi Toán : a) 0,3 b) 0,2 c) 0,4 d) 0,5 Câu : Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau: X P 0,03 0,27 0,48 0,22 Kì vọng E(X) gần số sau : a) 1,20 b) 2,1 c) 2,2 d) 1,89 Caâu 10 : Gieo ngẫu nhiên đồng xu Gọi X biến ngẫu nhiên số lần mặt ngửa xuất phương sai X : a) 0,1 b) 0,3 c) 0,5 d) số khác Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất 58 Câu 11 : Môt xúc sắc gieo lần Xác suất để số lớn hay lần : 2 b) × ( )6 c) × ( )6 d) số khác m a) ( )6 a) 49 b) 81 c) 64 co Caâu 12 : Trong hệ trục Oxy chọn ngẫu nhiên điểm mà tọa độ số nguyên có trị tuyệt đối nhỏ hay Nếu điểm có xác suất chọn xác suất để chọn điểm mà khoảng cách đến gốc O nhỏ : d) số khác a) 15 oc uo c Câu 13 Ba thẻ đánh số 1,2,3 bỏ vào bình Rút thẻ ghi số sau trả thẻ vào bình.Tiến trình lập lại hai lần nữa.Biết thẻ có hội rút Nếu tổng ba số ghi lần rút suất để rút thẻ số hai lần : a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) số khác Câu 14 Xác suất để biến cố A xảy 0,75 ; xác suất để biến cố B xảy 0,66.Gọi x xác suất để hai A B xảy ra.Giá trị nhỏ x : a) 0,41 b) 0,3 c) 0,35 d) 0,2 Caâu 15 Gieo xúc sắc ba lần liên tiếp biết tổng số hai lần gieo đầu số thứ ba Xác suất để có mộtsố xuất : b) c) 12 d) 15 Câu 16 Gieo ngẫu nhiên xúc sắc liên tiếp Xác suất để số lần gieo thứ : gb a) ( )3 c) ×( ) 6 d) số khác Câu 17 Giáo viên chủ nhiệm chọn học sinh lớp làm trưởng lớp Mỗi học sinh có hội chọn ngang xác suất để nữ sinh chọn ¼ xác suất để nam sinh chọn Tỉ số số nam sinh lớp số học sinh lớp : on kh b) ( ) × a) b) c) d) số khác Câu 18 Một túi đựng 36 hạt bắp trắng 12 hạt bắp vàng Biết có ½ số hạt bắp trắng rang nở tung 2/3 số hạt bắp vàng nở tung Chọn ngẫu nhiên hạt bắp túi ,đem rang nở tung xác suất để hạt bắp chọn hạt trắng : a) b) c) 13 d) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tổ hợp xác suất 59 c co m Câu 19 Chọn ngẫu nhiên học sinh nhóm học sinh có anh em Xác suất để hai anh em chọn : a) 0,29 b) 0,40 c) 0,72 d) 0,15 Caâu 20 Một lớp học có 30 học sinh có 10 nữ sinh.Giáo viên toán chọn ngẫu nhiên học sinh để hỏi bài.Xác suất để có hai học sinh ba học sinh hỏi gần số : a) 0,4 b) 0,45 c) 0,47 d) 0,50 Đáp số 1b 2c 3b 4a 5c 6a 7b 8b 9d 10c 11c 12a 13b 14a 15d 16b 17a 18c 19a 20c Hướng dẫi giải 1b (I) (II) 2c A B hai biến cố không xung khắc P(AB) = 0,3 ≠ A B hai biến cố không độc lập P(AB) ≠ P(A) × P(B) oc uo 3b Được già hay bích có 11 trường hợp xảy ra.Vậy P = 4a Gieo xúc sắc liên tiếp không gian mẫu 63 Số trường hợp xảy số hoán vị {1, 2, 4} Vậy P = 11 32 3! = 6! 36 5c Xác suất để lá xì P1 = C28 C328 gb Vậy xác suất để xì P = – P1 = 0,7 6a Xác suất 0,5 7b Xác suất để gieo n lần mặt ngửa ( ) n < 1/100 kh on Vậy n = (1/2)7 = 0,0078 8b P = 0,2 9d E(X) = 1,89 10c D(X) = 0,5 11c Gọi A biến cố lần ( = Trong lần gieo xác suất để A 6 ) 2 Xác suất để A lần hỏng lấn : × ( )5 × 1 = × ( )6 2 Vậy xác suất để số lớn hay lần lần gieo Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Toå hợp xác suất 60 × ( )6 Vậy xác suất m 12a Có × = 49 điểm mà trị tuyệt đối nhỏ hay điểm cách O khoảng nhỏ hay 49 ,(2,3,2) , (3,2,2) Do xác suất để hai lần thẻ số co 13b Tổng số xuất trường hợp (1,3,3) , (3,1,3) , (3,3,1) , (2,2,3) = 0,5 oc uo c 14 a Ta coù P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,75 + 0,66 - x maø 0,75 ≤ P(A ∪ B) ≤ ⇔ 0,75 ≤ 0,75 + 0,66 – x ≤ ⇔ 0,41 ≤ x ≤ 0,66 15d Có 15 trường hợp tổng số hai lần gieo đầu số thứ ba : (1,1,2) ; (2,1,3) ; (3,1,4) ; (4,1,5) ; (5,1,6) ; (1,2,3) ; (2,2,4) ; (3,2,5) ; (4,2,6) ; (1,3,4) ; (2,3,5) ; (3,3,6) ; (1,4,5) ; (2,4,6) ; (1,5,6) Có lần xuất số Vaäy P = 16b P = ( ) × 15 ( lần đầu không lần thứ ba số 6) 17a Gọi s số học sinh lớp n số nam sinh s – n số nữ sinh Theo giả thiết s−n n n = × Vậy = s s s 18c Số hạt bắp nở tung 26 Do xác suất để số hạt bắp nở tung hạt trắng 18 = 26 13 C2 19a Ta có P = 54 = 0,29 C7 gb laø P = kh on 20c Ta có : P = C202 × C101 = 0, 47 C303