Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam Đà Nẵng, ngày 30/10/2012 CHƯƠNG 3: CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG Hàm số: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Ta có: 𝑦 ′ = 𝑓 ′ = 4𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 𝑥 𝑥=0 𝑏 𝑦 = 2𝑥 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥 =− (1) 2𝑎 ′ A Kiến thức bản: - Hàm số nhận 𝑥 = làm điểm cực trị - Hàm số có điểm cực trị phương trình 𝑦 ′ = có nghiệm phương trình (1) có nghiệm kép 0, phương trình (1) vô nghiệm 𝑏 - − 2𝑎 = 𝑏 = (đã 𝑥é𝑡 𝑎 ≠ 0) 𝑏 − 2𝑎 < 𝑏 hay − 2𝑎 ≤ Hàm số có điểm cực trị phương trình 𝑦 ′ = có nghiệm phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác 𝑥=0 𝑏 ′ − 2𝑎 > ta có 𝑦 = 𝑥= 𝑏 − 2𝑎 𝑏 𝑥 = − − 2𝑎 - Luôn giả sử tọa độ điểm cực trị 𝐴 0; 𝑐 , 𝐵 𝑥1 ; 𝑦1 , 𝐶(𝑥2 ; 𝑦2 ) 𝐴 0; 𝑐 , 𝐵 𝑏 𝑏 − 2𝑎 ; 𝑦𝑏 , 𝐶 − − 2𝑎 ; 𝑦𝑐 tam giác ABC cân A B Một số câu hỏi thường gặp Tìm đk để đồ thị hàm số có cực trị B1: Tính 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 𝑥=0 B2: Giải pt: 𝑦 ′ = 2𝑥 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥 = − 𝑏 (1) 2𝑎 B3: Để đồ thị hàm số có cực trị 𝑦 ′ = có nghiệm phương trình (1) có nghiệm kép 0, phương trình (1) vô nghiệm 𝑏 − ≤0 2𝑎 Tìm đk để đồ thị hàm số có cực trị B1: Tính 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 xuannambka@gmail.com Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246 Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam 𝑥=0 B2: Giải pt: 𝑦 ′ = 2𝑥 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥 = − 𝑏 (1) 2𝑎 B3: Để đồ thị hàm số có cực trị 𝑦 ′ = có nghiệm phương trình (1) có nghiệm nghiệm phân biệt khác 𝑏 − >0 2𝑎 Tìm đk để đồ thị hàm số có cực tiểu cực đại Bài toán quay trở dạng B cần thêm điều kiện 𝑎 < Tìm đk để đồ thị hàm số có cực tiểu cực đại Bài toán quay trở dạng B cần thêm điều kiện 𝑎 > Tìm đk để đồ thị hàm số có cực tiểu mà ko có cực đại Bài toán quay trở dạng B cần thêm điều kiện 𝑎 > Tìm đk để đồ thị hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu Bài toán quay trở dạng B cần thêm điều kiện 𝑎 < Tìm đk để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông B1: Tính 𝑦 ′ B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm tọa độ điểm B3: Do tam giác ABC cân A nên vuông đỉnh A Khi ta có đk: 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = Trong đó: 𝐴𝐵 = − 𝑏 2𝑎 ; 𝑦𝑏 − 𝑐 𝐴𝐶 = − − 𝑏 Như ta có: 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐 𝑏 2𝑎 ; 𝑦𝑐 − 𝑐 =0 Cách khác: Dùng định lý Pi-ta-go Ta có: 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 2𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 Tìm đk để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác B1: Tính 𝑦 ′ B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm tọa độ điểm B3: Do tam giác ABC cân nên cần cạnh bên cạnh đáy, hay 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 −𝑏 −2𝑏 => 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 + 𝑦𝑏 − 𝑐 = 2𝑎 𝑎 Trong đó: 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑏 − 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐 𝑏 𝑏 − − 2𝑎 − − 2𝑎 2 + 𝑦𝑐 − 𝑦𝑏 =2 𝑏 − 2𝑎 Cách khác: Do tam giác ABC cân nên cần có thêm góc 𝐵𝐴𝐶 = 600 xuannambka@gmail.com Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246 Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam Ta có: cos 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑏 + 2𝑎 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝑦 𝑏 −𝑐 2 𝑏 2𝑎 𝑏 = + 𝑦 𝑐 −𝑐 − + 𝑦𝑏 − 𝑐 2𝑎 𝑏 2𝑎 + 𝑦 𝑏 −𝑐 − 𝑏 − 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐 Tìm đk để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200 B1: Tính 𝑦 ′ B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm tọa độ điểm B3: Do tam giác ABC cân nên cần có thêm góc 𝐵𝐴𝐶 = 1200 Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏 ) trung điểm 𝐵𝐶 𝐴𝐻 Ta có: cos 𝐻𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠600 = 𝐴𝐻 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 2𝐴𝐻 𝐴𝐵 = 4𝐴𝐻 Trong đó: 𝑏 2𝑎 𝐴𝐵 = − 𝐴𝐻 = 0−0 Như ta có: + 𝑦𝑏 − 𝑐 2 = + 𝑦𝑏 − 𝑐 𝑏 − 2𝑎 𝑦𝑏 − 𝑐 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2 = 𝑦𝑏 − 𝑐 Cách khác: Do tam giác ABC cân nên góc 𝐵𝐴𝐶 = 1200 Ta có: cos 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑏 + 2𝑎 − = 𝑏 2𝑎 − + 𝑦 𝑏 −𝑐 𝑏 − = 𝑦 𝑏 −𝑐 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐 𝑏 − 2𝑎 𝑏 2𝑎 − + 𝑦 𝑐 −𝑐 2 + 𝑦𝑏 − 𝑐 10 Tìm đk để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 𝜑 < 900 B1: Tính 𝑦 ′ B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm tọa độ điểm B3: Xét trường hợp xảy + TH1: 𝐵𝐴𝐶 = 𝜑 xuannambka@gmail.com Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246 Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Ta có: cos 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Hs: Nguyễn Xuân Nam = 𝑐𝑜𝑠𝜑 + TH2: 𝐵𝐴𝐶 ≠ 𝜑, tức 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐶𝐵 = 𝜑 Ta tính 𝐵𝐴𝐶 sau: 𝐵𝐴𝐶 = 1800 − 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐶𝐵 = 1800 − 2𝜑 Khi đó: cos 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝑐𝑜𝑠 1800 − 2𝜑 Lưu ý: Các điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 𝜑 ≥ 900 có 𝐵𝐴𝐶 = 𝜑 11 Tìm đk để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 𝑆0 cho trước B1: Tính 𝑦 ′ B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm tọa độ điểm B3: Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏 ) trung điểm 𝐵𝐶 Khi diện tích tam giác ABC là: 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐻 𝐵𝐶 2𝑆0 = 𝐴𝐻 𝐵𝐶 4𝑆0 = 𝐴𝐻 𝐵𝐶 2 Trong đó: 𝐵𝐶 = − − 𝐴𝐻 = − Như ta có: 𝑏 𝑏 − − 2𝑎 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐 + 𝑦𝑐 − 𝑦𝑏 = 𝑦𝑏 − 𝑐 =2 − 𝑏 2𝑎 −2𝑏 𝑎 12 Tìm đk để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước B1: Tính 𝑦 ′ B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm tọa độ điểm B3: Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏 ) trung điểm 𝐵𝐶 Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC: 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝐴𝐵 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑅 = = = 4𝑅 4𝑆∆𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐻 𝐵𝐶 2𝐴𝐻 4𝑆0 = 𝑦𝑏 − 𝑐 Trong đó: 𝑏 2𝑎 𝐴𝐵 = − 𝐴𝐻 = 0−0 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2 = + 𝑦𝑏 − 𝑐 xuannambka@gmail.com 𝑦𝑏 − 𝑐 Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246 Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam Như vậy: 𝑏 𝑅= − 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2 𝑦𝑏 − 𝑐 13 Tìm đk để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r cho trước B1: Tính 𝑦 ′ B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm tọa độ điểm B3: Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏 ) trung điểm 𝐵𝐶 Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC: 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐻 𝐵𝐶 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐻 𝐵𝐶 = 𝑝 𝑟 𝑟 = =1 = 𝑝 2𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 Trong đó: 𝑏 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2 = 𝐴𝐵 = − 𝐴𝐻 = 0−0 𝐵𝐶 = 𝑏 𝑏 − − − − 2𝑎 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐 𝑦𝑏 − 𝑐 2 + 𝑦𝑐 − 𝑦𝑏 𝑦 𝑏 −𝑐 Như ta có: 𝑟 = 𝑏 2𝑎 − 𝑏 2𝑎 =2 𝑏 − 2𝑎 − + 𝑦 𝑏 −𝑐 + 𝑏 2𝑎 − 14 Tìm đk để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm 𝐺 0; 𝑦𝐺 cho trước B1: Tính 𝑦 ′ B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm tọa độ điểm B3: Vì 𝐺 0; 𝑦𝐺 trọng tâm tam giác ABC nên ta có 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 𝑐 + 2𝑦𝐵 𝑦𝐺 = = 3𝑦𝐺 = 𝑐 + 2𝑦𝐵 3 15 Tìm đk để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có đường tròn ngoại tiếp qua điểm 𝐷 𝑥𝐷 ; 𝑦𝐷 cho trước B1: Tính 𝑦 ′ B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm tọa độ điểm B3: Gọi 𝐼 𝑥𝐼 ; 𝐼𝑦 tâm đường tròn ngoại tiếp xuannambka@gmail.com Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246 Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam 𝐼𝐴2 = 𝐼𝐷2 Ta có: 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 𝐼𝐵 = 𝐼𝐴2 Trong đó: 𝐼𝐴 = − 𝑥𝐼 + 𝑐−𝑦 2 𝐼𝐵 = − 𝑏 − 𝑥𝐼 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑦𝐼 2 𝐼𝐶 = 𝑏 − − − 𝑥𝐼 2𝑎 𝐼𝐷 = 𝑥𝐷 − 𝑥𝐼 2 + 𝑦𝑐 − 𝑦𝐼 + 𝑦𝐷 − 𝑦𝐼 = 𝑏 − + 𝑥𝐼 2𝑎 + 𝑦𝑐 − 𝑦𝐼 2 Tài liệu soạn gấp nên có sai sót xin bạn góp ý thêm, thank! Mình cố gắng cập nhật dạng lạ cho bạn, có cập nhật cho bạn có dạng câu hỏi Hẹn gặp lại! Chúc bạn học tập tốt! …………………HẾT………………… xuannambka@gmail.com Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246