Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN x = Xét hàm số y = ax + bx + c ⇒ y′ = 4ax + 2bx = x ( 2ax + b ) = ⇔ b x = − 2a DẠNG BIỆN LUẬN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số có cực trị y′ đổi dấu lần, tức − b ≤0 2a Hàm số có cực trị y′ đổi dấu ba lần, tức y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ − b >0 2a Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + 3m − Tìm m để a) hàm số có cực trị b) hàm số có cực trị Lời giải: x = Ta có y = x3 − 4mx = x x − m ⇒ y′ = ⇔ x = m a) Hàm số có cực trị m ≤ b) Hàm số có ba cực trị m > ( ) Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = ( m + 1) x − 3mx + − 5m Biện luận theo m số cực trị hàm số cho Lời giải: x = Ta có y = ( m + 1) x3 − 6mx = x (m + 1) x − 3m ⇒ y ′ = ⇔ ( m + 1) x − 3m, (1) TH1 : m = −1 ⇒ y ′ = x; y = ⇔ x = Trong trường hợp hàm số có cực trị, điểm cực tiểu 3m TH2 : m ≠ −1, (1) ⇔ x = m +1 3m + Hàm số có cực trị ≤ ⇔ −1 < m ≤ m +1 m > 3m + Hàm số có ba cực trị >0⇔ m +1 m < −1 Kết luận : Hàm số có cực trị −1 ≤ m ≤ m > Hàm số có ba cực trị m < −1 DẠNG TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TH1: Hàm số có ba điểm cực trị A, B, C +) Tìm điều kiện tồn ba điểm cực trị : − b >0 2a ( *) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x = = x A → yA −b −b −b +) Với điều kiện (*) ta có y′ = ⇔ x2 = ; yB ; C − ; yC = xB → yB , từ A ( 0; y A ) ; B 2a 2a 2a −b = xC → yC x3 = − 2a Do hàm chẵn với x nên điểm B, C có yB = yC Nhận xét : A ∈ Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC tam giác cân A Ta xét số tính chất thường gặp hàm số : Tính chất 1: điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân Do tam giác ABC cân A nên vuông cân đỉnh A Khi đo ta có điều kiện AB AC = 0, (1) −b −b − = − − ; y y ; AC ; y y B A C A 2a 2a với AB = b + ( yB − y A ) = 2a Giá trị m tìm kết hợp với điều kiện tồn (*) cho ta kết cuối toán Ngoài ta dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân ABC : AB + AC = BC ⇔ AB = BC Từ (1) ⇔ AB AC = ⇔ Tính chất 2: điểm cực trị tạo thành tam giác Tam giác ABC AB = BC ⇔ AB = BC , ( ) −b −b y − y BC = − ; ; ;0 B A 2a a −b −2b T ( ) ⇔ + ( yB − y A ) = 2a a với AB = Giá trị m tìm kết hợp với điều kiện tồn (*) cho ta kết cuối toán Tính chất 3: điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200 Tam giác ABC cân A nên BAC = 1200 Gọi H trung điểm BC ⇒ H ( 0; yB ) AH AH ⇔ cos 600 = ⇔ AB = AH ⇔ AB = AH , ( 3) AB AB −b −b 2 + ( yB − y A ) = ( y B − y A ) ; yB − y A ; AH = ( 0; yB − y A ) , từ ( 3) ⇔ 2a 2a Ta có cos HAB = với AB = Giá trị m tìm kết hợp với điều kiện tồn (*) cho ta kết cuối toán Tính chất 4: điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S = So cho trước Gọi H trung điểm BC ⇒ H ( 0; yB ) Khi S∆ABC = với BC = −2 AH BC ⇔ So = AH BC ⇔ 4So2 = AH BC , −b −b ; ; AH = ( 0; yB − y A ) , từ ( 3) ⇔ So2 = ( yB − y A ) 2a 2a Giá trị m tìm kết hợp với điều kiện tồn (*) cho ta kết cuối toán Tính chất 5: điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước Sử dụng công thức diện tích tam giác S = abc abc AB AC.BC AB ⇒R= ⇔R= ⇔R= 4R 4S AH AH BC Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! ( 4) Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Giải phương trình ta giá trị m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối Tính chất 6: điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm G(0; α) cho trước Ta có điều kiện trường hợp α = y A + yB + yC ⇔ y A + yB = 3α Tính chất 7: điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r cho trước AH BC S AH BC Sử dụng công thức diện tích tam giác S = p.r ⇒ r = = = AB + AC + BC p AB + BC Giải phương trình ta giá trị m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối Ví dụ 1: [ĐVH] (ĐH khối B - 2011) Cho hàm số y = x − 2( m + 1) x + m , với m tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, với O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Lời giải: x = Ta có y′ = x3 − 4(m + 1) x = x x − (m + 1) ⇒ y′ = ⇔ x = m +1 Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m + > ⇔ m > −1, (*) x1 = ⇒ y1 = m Với m > −1 y′ = ⇔ x2 = m + ⇒ y2 = −(m + 1) + m x3 = − m + ⇒ y3 = −(m + 1) + m Theo ta có tọa độ điểm cực trị A ( 0; m ) , B ( ) ( ) m + 1; −m2 − m − , C − m + 1; −m2 − m − m = + 2 Từ OA = BC ⇔ OA2 = BC ⇔ m2 = ( m + 1) ⇔ m − 4m − = ⇔ m = − 2 Kết hợp với điều kiện (*) ta m = ± 2 giá trị cần tìm Ví dụ 2: [ĐVH] (Dự bị khối B - 2003) Cho hàm số y = x − 2m x + , với m tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân Lời giải: x = Ta có y′ = x3 − 4m2 x = x x − m ⇒ y ′ = ⇔ 2 x = m Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m2 > ⇔ m ≠ 0, ( *) x1 = ⇒ y1 = Với m ≠ y′ = ⇔ x2 = m ⇒ y2 = − m → A ( 0;1) , B ( m;1 − m ) , C ( − m;1 − m ) x = −m ⇒ y = − m4 Ta nhận thấy tam giác ∆ABC cân A Để ∆ABC vuông cân phải vuông cân A m = Từ suy AB ⊥ AC ⇔ AB AC = ⇔ ( m; − m ) ( − m; − m ) = ⇔ − m + m8 = ⇔ m (m − 1) = ⇔ m = ±1 Kết hợp với điều kiện (*) ta m = ±1 giá trị cần tìm Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x + 2mx − m − , với m tham số Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác a) có diện tích b) c) có góc 1200 Lời giải: x = Ta có y′ = x3 + 4mx = x ( x + m ) ⇒ y′ = ⇔ x = −m Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt, tức m < 0, (*) Với m < x = ⇒ y = −m − y′ = ⇔ x = −m ⇒ y = −m − m − → A ( 0; −m − 1) , B −m ; − m − m − , C − −m ; − m − m − x = − −m ⇒ y = −m − m − Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân A ( ( ) ( ) ) a) Gọi H trung điểm BC ⇒ H 0; − m − m − 1 AH BC = ⇔ AH BC = ⇔ AH BC = 128, (1) Ta có BC = −2 −m ;0 ; AH = 0; −m , từ (1) ⇔ −4m.m = 128 ⇔ m5 = −32 ⇒ m = −2 Khi đó, S∆ABC = ( ) ( ) Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy m = −2 giá trị cần tìm b) Tam giác ABC AB = BC ⇔ AB = BC , ( ) Ta có AB = ( m = − m ; − m , BC = −2 − m ;0 , từ ( ) ⇔ − m + m = −4m ⇔ m = −3m ⇔ m = − ) ( ) Đối chiếu với điều kiện (*) ta m = − 3 giá trị cần tìm c) Tam giác ABC cân A nên để có góc 1200 BAC = 1200 ( ) Gọi H trung điểm BC ⇒ H 0; − m2 − m − BH BH ⇔ = ⇔ AB = BH = BC ⇔ AB = BC , AB AB m = Ta có AB = − m ; − m , BC = −2 − m ;0 , ( 3) ⇔ −m + m = −4m ⇔ m = − Đối chiếu với điều kiện (*) ta m = − giá trị cần tìm Trong tam giác vuông HAB có sin HAB = sin 600 = ( ) ( ) ( ( 3) ) Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + m − , với m tham số Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Lời giải: x = Ta có y′ = x3 − 4mx = x ( x − m ) ⇒ y ′ = ⇔ x = m Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt, tức m > 0, (*) x = ⇒ y = m −1 Với m > y′ = ⇔ x = m ⇒ y = −m + m − → A ( 0; m − 1) , B m ; −m + m − , C − m ; −m + m − x = − m ⇒ y = −m + m − Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân A ( ( ) ( ) Gọi H trung điểm BC ⇒ H 0; −m + m − AH BC AB.BC AC AB = ⇒R= , 4R AH AB = m + m m ; −m ; AH = 0; −m ⇒ AH = m Diện tích tam giác ABC : S∆ABC = Ta có AB = ( ) ( (1) ) m = m + m4 ⇔ m − 2m + = ⇔ ( m − 1) m + m − = ⇔ Khi đó, (1) ⇔ = m = −1 ± m2 −1 Đối chiếu với điều kiện (*) ta m = 1; m = giá trị thỏa mãn yêu cầu toán ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! ) Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 5: [ĐVH] (Khối A - 2012) Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + m (1) , với m tham số Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Lời giải: x = Ta có y′ = x3 − 4(m + 1) x = x x − (m + 1) ⇒ y′ = ⇔ x = m +1 Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m + > ⇔ m > −1, (*) x1 = ⇒ y1 = m Với m ≠ y′ = ⇔ x2 = m + ⇒ y2 = −2m − → A ( 0; m ) , B m + 1; −2m − , C − m + 1; − 2m − x3 = − m + ⇒ y3 = −2m − Ta nhận thấy tam giác ∆ABC cân A Để ∆ABC vuông cân phải vuông cân A ( Ta có AB = ( ) ( m + 1; −(m + 1)2 ; AC = − m + 1; −(m + 1)2 ) ( ) ) m + = m = −1 Từ suy AB ⊥ AC ⇔ AB AC = ⇔ −(m + 1) + (m + 1)4 = ⇔ ⇔ m + = m = Kết hợp với điều kiện (*) ta m = giá trị cần tìm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 4mx + 2m + , với m tham số Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác a) có diện tích 2 b) có trọng tâm G 0; 3 c) có bán kính đường tròn ngoại tiếp Bài 2: [ĐVH] Tìm m để hàm số y = x − 2m2 x + có ba điểm cực trị A, B, C cho a) tam giác ABC b) OA = BC , O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc Oy, B ; C hai điểm cực trị lại Bài 3: [ĐVH] Tìm m để hàm số y = x + ( m − ) x + m2 − 5m + có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân Đ/s : m = Bài 4: [ĐVH] Tìm m để hàm số y = x + 2mx + m2 + m có ba điểm cực trị đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có góc 1200 Đ/s : m = − Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + 2m + m4 có đồ thị (Cm) Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có diện tích Đ/s : m = 16 Bài 6: [ĐVH] Biện luận theo m số cực trị hàm số sau : a) y = −2 x − (2m + 1) x + m + b) y = (1 − m) x − (3m + 1) x + 2m + Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c) y = (3m − 2) x − mx + m3 − Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + (C).Tìm m để hàm số có cực trị tạo thành tam giác có: a) Bán kính đường tròn nội tiếp b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp gấp đôi bán kính đường tròn nội tiếp Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + m, (C ) Chứng minh với m > hàm số có điểm cực trị Khi gọi A cực đại, B, C cực tiểu, (∆) đường thẳng qua A có hệ số góc k Biết (∆) không BC cắt đoạn thẳng BC Tìm k để d = d ( B; ∆ ) + d (C; ∆) = Bài 9: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 2mx + 1, (C ) điểm M ∈ (C ) có tung độ Tìm m để hàm số có cực tiểu A,B cho ( MA + MB ) MA − MB = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!