BÀI TẬP ELIP HAY VÀ KHÓ THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình chính tắc của elip có tâm sai bằng và độ Giải: + Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng: với + Khi đó Vậy trình chính tắc của elip cần

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình chính tắc của elip có tâm sai bằng và độ

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

với

+) Khi đó

Vậy trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có phương trình và Một

Giải:

Theo hệ thức Vi – et ta có:

+) Khi đó

hệ:

3

2 5

( )E

2 2 3

a

2

3

a

2

b

( )E

1

1

(1; 1)

1

 



   



A mt  nt B mt  nt t t1, 2

5 2

t t

 



2

2

m





2

2



ELIP

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng ELIP thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn

Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem

tài liệu cùng với bài giảng này

hoặc

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Lập phương trình chính tắc của elip trong mặt phẳng Oxy biết điểm

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

+) Thay (2) vào (1) ta được:

Vậy phương trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Viết phương trình chính tắc của elip biết rằng elip có hai

và có diện tích bằng

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

+) Gọi

Khi đó

Ta có

1

y

    



6; 1 6; 1

A B









6; 1 6; 1

A

B







6; 1 6; 1

A B









Oxy

;

( )E

a b c

3

 

( )E

2 2

1 4

x y

1

1

( )E

3

3

a b 

0 0



 



1 2

F MF

0 0

4

2 4

a

Vậy phương trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Viết phương trình chính tắc của elíp đi qua điểm và tiêu điểm của elip nhìn trục nhỏ với một góc

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

Thay (1) vào (2) ta được :

Vậy phương trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có phương trình Giả sử là hai tiêu

Giải:

+) Gọi

+) Khi đó

+) Với

Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có phương trình Tìm điểm thuộc elip sao

với là hai tiêu điểm của elip

Giải:

( )E

2 2

1 4

x y

2

0 60

( )E

1( ;0)

1 1 2

F B B

4

( )E

2 2

1 4

x y

1

1

( )E

1

2 2 2

2

a b

 







1

2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

a

a





2

0

0

3 2

y x

y

 

 2; 3

Oxy

1

1 2

F MF 900 F F1, 2

+) Elip :

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Viết phương trình chính tắc của elip, biết hai tiêu điểm cùng với hai

đỉnh trên trục bé xác định một hình vuông và phương trình hai đường chuẩn là

Giải:

+) Khi đó:

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có hai tiêu điểm Tìm tọa độ điểm

Giải:

+) Từ

+) Mặt khác ta có:

+) Vì

( )E

1

4









1 (*)





0 0

x 

0

F MF 

0

5 14 4

1

y

5 14 3 2

;

;



Oxy

8

x 

2

4

a

b

 





1

Oxy

3

5

4

a

 







1 2

9

MF F

1 2

MF F

1 2

4

3

MF F

1 2

MF F

S

(0; 3)

M

M x

M



 (0;3)

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Viết phương trình chính tắc của elip biết rằng khi điểm

điểm có hoành độ âm

Giải:

Gọi

Từ (1) và (2) ta được:

Bài 11 Trongmặt phẳng tọa độ , cho elip Viết phương trình đường thẳng cắt

tại hai điểm phân biệt có tọa độ là các số nguyên

Giải:

Suy ra 4 điểm có tọa độ nguyên trên là:

Khi đó ta sẽ lập được 6 phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

Nhận xét: Ở ví dụ trên nếu ta tiếp cận theo cách thông thường là giả sử dạng phương trình của rồi

tìm giao điểm, sau đó sử dụng điều kiện tọa độ nguyên thì chúng ta sẽ gặp khó khăn Song nếu ta làm theo chiều nghịch thì bài toán sẽ trở nên “nhẹ nhàng” hơn rất nhiều Bởi ở những bài toán liên quan tới elip

(hay cả đường tròn) ta hoàn toàn có thể chặn điều kiện cho khá đơn giản Vì vậy việc yêu cầu tọa độ

nguyên của bài toán, giúp ta nghĩ tới ngay giải pháp trên

Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip Tìm tọa độ điểm trên sao cho

bán kính qua tiêu của tiêu điểm này bằng 3 lần bán kính qua tiêu của tiêu điểm kia

Giải:

( )E

0

1

a





 



1

1







2





( )E

1

x  y 

Oxy

( )E

0 0

0 0

( )E M1(2;1),M2(2; 1), M3( 2;1), M4( 2; 1) 

d

x x  y y  x y x y

d

,

x y

Oxy

2 2

9

x

+) Từ

+) Gọi

Từ giả thiết ta có:

+) Mặt khác

Nhưng trong nhiều trường hợp, việc biến đổi theo chiều ngược lại sẽ giúp giải bài toán ngắn gọn hơn rất nhiều, mà ví dụ trên là một điển hình

Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm , đường elip đi qua điểm và khoảng cách giữa hai đường chuẩn của là 6 Lập phương trình chính tắc của

Giải:

Do đó khoảng cách giữa hai đường chuẩn là:

Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được:

Vậy phương trình cần lập là:

Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Lập phương trình chính tắc của elip biết rằng có một đỉnh và

2 2

3

2 2

2 2

a

a

 







0 0

 





2

4

3

a

e

2

x

;

;



;



;

0

0

A

A B

B







( )E

e

e

 

9



( )E

1

hai tiêu điểm của tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của là

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

với

đều

Thay (2) vào (1) ta được :

+) Vậy phương trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có hai tiêu điểm và đi qua

biểu thức

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

với

+) Khi đó

+) Với

+) Gọi

Khi đó

( )E

4(a b ) 12 2 3   a b 3 2 3

(0; )

1 2

BF F

3

b

2 3

( )E

1

1 3;

2

PMF MF  OM MF MF

( )E

3

E



( )E

2 2

1 4

x y

;

4

x





2

2

x c

a

1

P

Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có phương trình với hai tiêu điểm

Giải:

+)

Ta có

Bài 17 (A – 2012) Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn Viết phương trình

đỉnh của một hình vuông

Giải:

+) (E) có độ dài trục lớn bằng 8

+) (E) cắt tại bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông nên 4 đỉnh nằm trên hai

đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:

Bài 18 (B – 2012). Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình thoi có và đường tròn

1

1

( )E

1

2

2

9

2 5

a

b

 







1 2

( 2; 0) (2; 0)

F F





 



1 (*)





2 1 1 2 2 1 1 2.cos 1 2

3

4

0

3 4



;

( )E

a b 

( )C

( ; )

A C     t t t t0 A(2; 2) ( )

1

1 16 16 3

4

đi qua các đỉnh của hình thoi Biết thuộc trục

Giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip :

Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Lập phương trình chính tắc của elip có tâm sai bằng , biết

diện tích của tứ giác tạo bởi các tiêu điểm và các đỉnh trên trục bé của bằng 24

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

Ta có tâm sai

, , ,

( )E

2

2

4

x y 

5

( )E

1

5 ( )E

( )E

a b c

c

a

   

1 2 2 1

F B F B

F B F B

c

3

c

Suy ra Vậy phương trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có tâm sai , đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

Ta có tâm sai

Vì đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở có bán kính

Vậy phương trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có hai tiêu điểm và với có

nhất đó

Giải:

Khi đó

1

x  y 

5

e

34

( )E

c

a

   

34

34

34

2

5

a b c a  a  a a   a b c

( )E

1

x  y 

M ( )E MF122MF22

3 5

e a





;

1 (*)





2

( )

5 5

f x x  x  x0  3;3

Ta có ;

Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip và điểm Lập phương trình

Giải:

Theo hệ thức Vi – et ta có:

Bài 23 Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm và elip Tìm tọa độ các điểm

Giải:

6

5

3

5

0

[ 3;3]

x

 

5

x 

0

3 5

;

Oxy

(1; 2)

2

 



  



t t



  



1 2

A B I

A B I



1 2

1 2

0

0







0

m n 

9

m n





  



1 32 :

2 9

d

 



  

2 2

9

x

,

Suy ra

Bài 24 Trongmặt phẳng tọa độ , cho điểm và elip Tìm tọa độ các điểm

Giải:

Gọi là trung điểm của

Bài 25 Trongmặt phẳng tọa độ , cho Tìm điểm có hoành độ dượng thuộc

Giải:

,

,

B m n









AB AC





2

3

9

5

m m

m







 



m   n

12 3

;

5 5

;

B

C





;

12 3

;

5 5

B

C





2 2

9

x

,

0 1 9

x y

2

2

3



 



2

5 5

;

Oxy

0

+)

+) Gọi

+) Do có hoành độ dường nên ta được: hoặc

Bài 26 Trongmặt phẳng tọa độ , cho elip có tâm sai , đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật

Giải:

Vậy phương trình chính tắc của elip là:

+) Gọi

+) Do có hoành độ dường nên ta được: hoặc

Bài 27 Trongmặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và elip Viết

bằng 3

Giải:

4 3

a

b





0 0

1







1 2

MF MF F F

2

2 0 81 16

y

;



5

e

34

( )E

34

34

a b 

4

4 5

3 34

34

e

c

b

  



( )E

1

0 0

1







1 2

MF MF F F

2

2 0

81 16

y

;



OAB

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Ta có cắt tại hai điểm khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt hay

Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ , cho biết elip có chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng , đồng thời một đỉnh của tạo với hai tiêu điểm một tam giác đều Viết phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ và cắt tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình vuông

Giải:

 ( )E

2

A x   B x  

1, 2

x x

1 2 2

1 2

2 5 36 5

c

c

x x

   





( , )

10

c

OAB

c

2

 2x6y3 100 2x6y3 100

( )E

( )E

4(a b ) 16 2 3  a 4 2 3 b

(0; )

1 2

3

3

a b c

Thay (1), (2) vào (3) ta được:

Vậy phương trình

Gọi

Bài 29. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip và điểm Viết phương trình

Giải:

biệt

Khi đó tọa độ là nghiệm của hệ:

2

3

b

( ; )

A x y







2

2

384 2

1

1

R



7

x y 

Oxy

1

,

A B

1

y k x



A x y B x y

;

k

I

k



  

  



AB

+) Khi đó

Bài 30 Trongmặt phẳng tọa độ , cho elip ngoại tiếp tam giác đều Tính diện

Giải:

Khi đó

+) Ta có

Bài 31. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip Tìm các điểm thuộc sao cho

Giải:

+) Gọi

Khi đó ta có:

:

:

2

y  x

Oxy

B x y C x y x0 0

3

2

a

2

0 0

0

x

0

0

32 3 2

;

2

13

ABC







768 3 169

ABC

Oxy

0

5

a

b





 

0 0

1 (*)







0

+) Thay vào (*) ta được:

Bài 32. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và hai elip có phương trình

Giải:

Vậy tọa độ điểm là nghiệm của hệ :

Bài 33. Trongmặt phẳng tọa độ , cho elip và hai điểm Tìm trên điểm có tọa độ dương sao cho diện tích tam giác lớn nhất

Giải:

0 0

(0;5)

1

E   (E2) :x22 y22 1

1

2

2

M

17

;

5

x

M

y

  





17 8

;

5 5

Oxy

AB 2x3y0

+) Gọi với Do

Mặt khác theo Bất đẳng thức Bu – nha ta có:

Từ (1) và (2) suy ra

Bài 34. Trong mặt phẳng tọa độ Lập phương trình chính tắc của elip , biết điểm nhìn hai tiêu điểm của dưới một góc vuông và hình chữ nhật cơ sở của nội tiếp đường tròn có phương

Giải:

Bài 35. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có hai tiêu điểm Tìm tọa độ điểm

Giải:

+) Ta có

Khi đó

Bài 36. Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm Viết phương trình chính tắc của elip đi

Giải:

0 0

ABC

6 2

ABC

0

0

3 2 1

3 2

; 2 2

2 2

x

C

y





3 2

; 2 2

20

x y 

( )E

0

2

20

1

Oxy

3

5

2 4

a

 





1 2

4 2.9

pr

F F

+) Gọi phương trình chính tắc của elip là với

Bài 37. Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm và elip

2 2

4

x

( )E sao cho và tam giác CAB có diện tích lớn nhất

Giải:

+) Theo giả thiết ta có là đỉnh nằm trên trục lớn của elip

Khi đó

Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi

( )E

0

2

OM  F F   c c 2 2

16

1

x  y 

CACB

2 2 0 0

0 0

1

x y







0 ( 2; 2)

x  

ABC

ABC

3

3

0

x

    

     



5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN

 Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng

 Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực

 Học mọi lúc, mọi nơi

 Tiết kiệm thời gian đi lại

 Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN

 Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất

 Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam

 Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên

 Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn

bộ kiến thức cơ bản theo

chương trình sách giáo khoa

(lớp 10, 11, 12) Tập trung

vào một số kiến thức trọng

tâm của kì thi THPT quốc gia

Là các khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc của

kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện bài

bản

Là các khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ năng trước kì thi THPT quốc gia cho các học sinh đã trải qua quá trình ôn luyện tổng

thể

Là nhóm các khóa học tổng

ôn nhằm tối ưu điểm số dựa trên học lực tại thời điểm trước kì thi THPT quốc gia

1, 2 tháng