BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN HAY VÀ KHÓ THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

2 Ch ng minh AMNCMN... Cho hình chóp S ABCD... Cho hình chóp SABC có SA SB SC, đáy ABC là tam giác vuông cân t i A.

Bài 1.Cho l ng tr ABC A B C có tam giác ABC ' ' ' đ u c nh a , c nh bên CC vuông góc v' i đáy và

'

CC  G i a M J, l n l t là trung đi m c a BB B C', ' ' và là đi m thu c đo n A B' ' sao cho '

4

a

Ch ng minh :

1) AMBC' 2) AM (MNJ)

Gi i:

1) Ch ng minh AMBC'

G i I là trung đi m c a BC , khi đó:







AI (BCC B' ')AI BC' (1)

M t khác, trong m t ph ng (BCC B' ') ta có:

MI B C

T (1) và (2), suy ra BC'(AIM)AMBC' (*)

2) Ch ng minh AM(MNJ)

G i H là trung đi m c a A B' ' , khi đó:

AMB BHB'MABHBB'

90

T (*) và (2*), suy ra AM(BC H' ) (3*)

/ / '







T (3*) và (4*), suy ra AM(MNJ)

Bài 2. Trong m t ph ng ( ) cho hình vuông ABCD Các tia Bx và Dy vuông góc v i m t ph ng ( )

và cùng chi u Các đi m M và N l n l t thay đ i trên Bx Dy, sao cho m t ph ng (MAC) và (NAC)

vuông góc v i nhau Ch ng minh r ng:

1) BM DN không đ i 2) (AMN)(CMN)

Gi i:

1) Ch ng minh BM DN không đ i

t BMm DN, n AB, a

CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Các bài toán hay và khó thu c khóa h c: Luy n thi THPT

qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n

này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

I

J

M

N H

C'

B' A'

C

B A

G i O là tâm hình vuông ABCD





Theo gi thi t (MAC)(NAC)MO(NAC)

MOON, do đó 2 2 2

MN OM ON (*) Trong hình thang vuông BDNM ta có:

MN BD  BMDN  a  m n

Ta có

2

2

a

OM BM BO m 

và

2

2

a

ON DN OD n 

2

2

a

BM DN

2) Ch ng minh (AMN)(CMN)

H OH MN (HMN) Xét tam giác vuông MON ta có:

2 2 2

2 2

2

Mà HO là trung tuy n c a AHC , suy ra AHC900 hay AH CH (1)

M t khác, MNAC (do AC(BMND) - ch ng minh ý 1))

và MNOHMN(HAC)MNAH (2)

T (1) và (2), suy ra AH (MNC)(AMN)(CMN)

Bài 3. Cho tam giác nh n ABC và đ ng th ng  đi qua A và vuông góc v i m t ph ng (ABC) Các

đi m M và N l n l t thay đ i trên  sao cho hai m t ph ng (MBC) và (NBC) vuông góc v i nhau

Tìm v trí c a M N, sao cho đ dài đo n MN nh nh t

Gi i:

G i H là hình chi u c a A lên BC, khi đó:













Trong tam giác MH N vuông t i H có HA là đ ng cao

nên A thu c đo n MN

D u “=” x y ra khi AM AN AH 

O

D

y

x M

N H

C B

A

M

N

H C

B A

V y MN nh nh t khi

M và N n m trên , đ i x ng nhau qua A và AMAN AH

Bài 4.Cho hình l ng tr ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân v i AB AC a  , 0

120 BAC và

c nh bên BB' G i a I là trung đi m c a CC Tính cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ' (ABC) và

(AB I' )

Gi i:

I

M H

C' B'

A'

C B

A

Cách 1: Kéo dài B I' c t BC t i M, khi đó (ABC), (AB I' )  (ACM), (AIM)

Ta có CI (ACM), do đó ta có cách d ng góc gi a hai m t (ACM) và (AIM) nh sau:

D ng CH AM (HAM)AM(CHI)AMIH, suy ra (ACM), (AIM)CHI

Ta có

/ / ' 1 ' 2







 C là trung đi m c a

2

ACM ABC

a

Ta có CM2 CB2  AB2AC22AB AC .cosBAC3a2 BM2BC2a 3

Suy ra

2

14

2 7 ACM

CH

2

Xét tam giác ICH ta có: cos 21 14 30

CHI

V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng (ABC) và (AB I' ) b ng 30

10

Cách 2: Ta có tam giác ABC là hình chi u vuông góc c a tam giác AB I' trên m t ph ng (ABC)

Khi đó g i  (ABC), (AB I' ), suy ra

'

AB I

S S

 (*)

2

a

AB AI  AB BB  AC CI  a   B I  AB I' vuông t i A

Suy ra

2 '

'

AB I

a

2

ABC

a

Áp d ng (*), ta có:

2 2 '

ABC

AB I

S

V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng (ABC) và (AB I' ) b ng 30

10

Bài 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a C nh bên SA vuông góc v i m t

đáy ABCD và SA a G i E là trung đi m c a CD Tính di n tích m t c u đi qua b n đi m S A B E, , ,

Gi i:

 G i I là tâm c a m t c u đi qua b n đi m S A B E, , ,

Khi đó: IS IA IB IE   (1)

(2)

IA IB IE

IS IA





 G i F là trung đi m c a AB và O là tâm đ ng tròn

ngo i ti p tam giác EAB Do EAB cân t i E nên OEF

D ng đ ng th ng d qua O và vuông góc (EAB)

Suy ra d là tr c c a tam giác EAB

Theo (1)  (*) I d

 Ta có / /d SA (do SA(ABCD)(EAB))

Trong m t ph ng (SA d, ) d ng đ ng th ng

trung tr c  c a SA Theo (2)  (2*) I

T (*) và (2*), suy ra d   I

2

a

ABa AEBE Áp d ng công th c

4

abc R S

 , ta có:

4

2 ABE

a

OA

a S

AKIO là hình ch nh t (v i K là trung đi m c a SA) nên

Suy ra di n tích m t c u c n tính là:

2

2 41 4

16 mc

a

Bài 6. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i C và SA vuông góc v i đáy;

SC Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng c (SBC) và (ABC) đ th tích kh i chóp SABC l n nh t

Gi i:

G i  là góc t o b i hai m t ph ng (SBC) và (ABC)

(v i 00   900)

d

K

F

E

S

O

D I

C B

A

Ta có BC AC BC (SAC) BC SC







Do đó SCA Trong tam giác vuông SAC ta có:





Khi đó th tích kh i chóp SABC là:

1 1 3 2

Theo b t đ ng th c AM – GM (Cauchy) ta có:

3

2

2

sin

3

27

a V

 

 

Bài 7. Cho hình chóp SABC có ASB900, ASCBSC600 Bi t SA3 ,a SB4 ,a SC5a Tính th tích c a kh i chóp đã cho

Gi i:

G i H E F, , l n l t là hình chi u vuông góc c a C

lên m t ph ng (SAB), đ ng th ng SA SB,

Khi đó ta có: CH (SAB) ; SA(CHE) và SB(CHF)

Xét tam giác vuông CSE ta có: cos 600 5

2

a

Xét hai tam giác vuông CSE và CSF , ta có:

CS chung và ESCFSC600

Khi đó SEHF là hình vuông 2 5 2

2

a

Xét tam gics SHC , ta có: 2 2 5 2

2

a

2 SAB

.

SABC C SAB SAB

a

V y th tích kh i chóp c n tính là V5a3 2

Bài 8. Cho hình chóp SABC có SA SB SC, đáy ABC là tam giác vuông cân t i A M t ph ng (SAB)

t o v i đáy góc 0

45 G i ( )P là m t ph ng qua B và vuông góc v i SA, ( )P c t hình chóp SABC theo

S

C

B A

5a

4a

3a

60°60°

F E

S

H

C

B

A

m t thi t di n có di n tích b ng

2 3 6

a Tính th tích c a kh i chóp SABC

Gi i:

G i H là trung đi m c a BC Mà ABC vuông cân t i A

Suy ra, H là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

Mà SA SB SCSH(ABC)

Khi đó BC SH BC (SAH) BC SA







G i K là hình chi u vuông góc c a H lên SA, ta có:

BC SA (BCK) SA (BCK) ( )P







Suy ra thi t di n c a ( )P và hình chóp S ABC là tam giác BCK

G i M là trung đi m c a AB, khi đó:







tan 45

2

x

Trong tam giác vuông SHA: 1 2 12 1 2 62

6

x HK

Khi đó di n tích c a thi t di n 1 1 2 2 3

BCK

Mà theo gi thi t

BCK

Khi đó th tích c a kh i chóp S ABC là:

2 3

Bài 9. Cho hình chóp S ABC có hai m t (SAB), (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC) Tam giác

ABC cân t i đ nh A, trung tuy n AD , đ ng th ng SB t o v i m t ph ng a (ABC) m t góc b ng 

và h p v i m t ph ng (SAD) m t góc b ng 

1)Xác đ nh góc   ,

2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S ABC là

3 sin sin

a



Gi i:

1)Xác đ nh góc   ,

Ta có









Suy ra hình chi u c a SB lên (ABC) là AB

Khi đó SB ABC, ( )(SB AB, )SBA

K S

M H

A

a S

D B A

Tam giác ABC cân t i A có AD là trung tuy n

BDAD , mà ta có: BDSABD(SAD)

Suy ra hình chi u c a SB lên (SAD) là SD

Khi đó SB SAD, ( )(SB SD, )BSD

2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S ABC là

3 sin sin

a



Ta có:

sin







(1 sin sin )

Ta có th tích c a kh i chóp S ABC là:

a

Thay (1) vào (2) ta đ c: 2 2 2 sin sin 3sin2 sin2

L i có: cos2 sin2 1 cos 2 1 cos 2 cos 2 cos 2 cos( ) cos( )

Thay (2*) vào (*) ta đ c: 3sin sin

a



Bài 10. Cho hình l p ph ng ABCD A B C D c nh ' ' ' ' a i m M thu c đo n AD' và đi m N thu c

đo n BD sao cho AMDN v i 0x  x a 2

1) Ch ng minh r ng khi 2

3

a

x thì đo n MN ng n nh t

2) Ch ng minh r ng MN luôn song song v i m t ph ng ( 'A D CB' ) khi x bi n thiên

Gi i:

N

D'

E

D

M

C'

B' A'

C

B A

1) Ch ng minh r ng khi 2

3

a

x thì đo n MN ng n nh t

K MEDA (EDA), khi đó tam giác AEM vuông cân t i E

2

x

   Xét tam giác EDN , ta có:

2

EN DE DN  DE DN EDNa  x  a x  x  ax a

Xét tam giác MEN , ta có:

2

D u “=” x y ra khi 2  

3

a

3

a

x thì đo n MN ng n nh t và b ng 3

3

a

2) Ch ng minh r ng MN luôn song song v i m t ph ng ( 'A D CB' ) khi x bi n thiên

Ta có A M D, , ' và D N B, , l n l t n m trên hai đ ng th ng chéo nhau là AD' và DB





Khi đó theo đ nh lý Ta – lét đ o, ta suy ra AD MN D B, , ' cùng song song v i m t m t ph ng (1)

M t khác: ' ( ' ' )

/ /( ' ' )







T (1) và (2), suy ra MN/ /( 'A D CB' )

Chú ý: ( nh lý Ta – lét đ o trong không gian)

trên d' sao cho

ph ng

( ngh a là có c tr ng h p 2 đ ng cùng song song v i m t m t ch a đ ng kia)

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng