Bài tập hình học không gian

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác om Nguyễn Hồng Điệp c c Bài tập ✩ bo c ✬ uo Hình học không gian ✬ ✫ ✬ kh on g ✞ ✝ ✫ ✩ ✩ ✪ ✪ ☎ ✆ ✪ ✫ ✪ Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ❛❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜❝ ❞ ❡ ❞ ❡ ❞ ❡❡ ❞❢❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❤ www.MATHVN.com kh on g bo c uo c c om Nguyễn Hồng Điệp Vĩnh Bình - Gò Công Tây - Tiền Giang mathvn.com Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác www.MATHVN.com Lời mở đầu om • Quyển sách nhỏ không cung cấp lại kiến thức hình không gian Xuyên suốt tài liệu dạng tập phương pháp để giải chúng Đa phần dạng tập biên soạn lại từ nhiều nguồn tài liệu khác bổ xung thêm số vấn đề người soạn cảm thấy cần thiết c c • Tài liệu soạn LATEX phiên LATEX 2ε Muốn biết cụ thể LATEX bạn lên google có kết quả, sau số điều mà tác giả tâm đắc : uo • Người soạn thảo văn kiếu thường mắc phải sai lầm nghiêm trọng quan điểm: “Nếu tài liệu trông sắc sảo thiết kế tốt” Tuy nhiên tài liệu in ấn để đọc để trưng bày phòng triển lãm nghệ thuật on g bo c • Tính rõ ràng, dễ đọc, dễ hiểu tài liệu phải đặt lện hàng đầu LATEX làm tốt điều này, LATEX yêu cầu người soạn định nghĩa cấu trúc logic tài liệu, chương trình lựa chọn cách trình bày tốt Nhờ tài liệu soạn thảo trông thật chuyên nghiệp Các bạn thấy số trang tài liệu có nhiều phần trắng trang khác, tất LATEX kh • Tác giả gởi lời cám ơn đến tất người giúp đỡ thời gian qua; nhờ có bạn Võ Nguyễn Hoàng Tâm Lê Thanh Chung mà tác giả bắt đầu học cách sử dụng LATEX cảm thấy ngày hứng thú Ngày 21 tháng 10 năm 2013 Một số phương pháp người biên soạn tài liệu đưa ra, tự tác giả thấy nhiều hạn chế, mong đóng góp thêm bạn Đáng lẽ phần Lời mở đầu thích cuối trang TEX footnote thật hấp dẫn (ˆ.ˆ) mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy www.khongbocuoc.com để download thêm tàiMỤC liệu LỤC MỤCcập LỤC học tập khác www.MATHVN.com Mục lục I Mở đầu 7 10 om Mở đầu hình không gian 1.1 Mở rộng mặt phẳng 1.2 Bài tập c c Giao tuyến hai mặt phẳng 11 2.1 Phương pháp giải 11 2.2 Bài tập 11 uo Giao điểm đường thẳng mặt phẳng 15 3.1 Phương pháp giải 15 3.2 Bài tập 17 bo c Thiết diện hình chóp với mặt phẳng 19 4.1 Phương pháp giải 19 4.2 Bài tập 19 on g Chứng minh ba điểm thẳng hàng 23 5.1 Phương pháp giải 23 5.2 Bài tập 24 kh Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 25 6.1 Phương pháp giải 25 6.2 Bài tập 26 II Quan hệ song song 26 Giao tuyến hai mặt phẳng 27 7.1 Phương pháp giải 27 7.2 Bài tập 27 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy www.khongbocuoc.com để download thêm tàiMỤC liệu LỤC MỤCcập LỤC học tập khác www.MATHVN.com Đường thẳng song song mặt phẳng 29 8.1 Phương pháp giải 29 8.2 Bài tập 30 c c 10 Bài toán thiết diện 10.1 Phương pháp giải 10.1.1 Bài toán 10.1.2 Phương pháp giải 10.2 Bài tập om Hai đường thẳng song song 31 9.1 Phương pháp giải 31 9.2 Bài tập 32 33 33 33 34 34 uo 11 Hai mặt phẳng song song 38 11.1 Phương pháp giải 38 11.2 Bài tập 38 bo c 12 Bài toán thiết diện 12.1 Phương pháp giải 12.1.1 Bài toán 12.1.2 Phương pháp giải 12.2 Bài tập on g 13 Hình lăng trụ - Hình hộp 39 39 39 40 40 41 kh 14 Chứng minh điểm đồng phẳng 44 14.1 Phương pháp giải 44 14.2 Bài tập 44 15 Chứng minh thẳng hàng điểm 45 15.1 Phương pháp giải 45 15.2 Bài tập 46 16 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 47 16.1 Phương pháp giải 47 16.2 Bài tập 47 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy www.khongbocuoc.com để download thêm tàiMỤC liệu LỤC MỤCcập LỤC học tập khác www.MATHVN.com 17 Bài tập tổng hợp kh on g bo c uo c c om 48 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN học tập khác www.MATHVN.com Phần I Mở đầu 1.1 om Mở đầu hình không gian Mở rộng mặt phẳng uo c c Trong phần tập mặt phẳng thường bị “thu gọn” thành tam giác, tứ giác “mở rộng” mặt phẳng ta có cách nhìn rõ ràng số dạng toán (không có quan hệ song song, vuông góc không gian) : giao tuyến hai mặt phẳng, giao điểm đường mặt, toán thiết diện • Lưu ý: bo c “Mở rộng” cách kéo dài “đoạn thẳng giới hạn mặt phẳng” Khi mở rộng ta nên tìm tất giao điểm có a b α kh on g Hai đường thẳng cắt chúng phải đồng phẳng, tức chúng cắt mp (α) Ví dụ: Cho S điểm không thuộc mặt phẳng hình thang ABCD (AB CD, AB > CD) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) Phân tích • Dựa vào tên gọi ta có giao điểm thứ S mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 1.1 Mở rộng mặt phẳng MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN học tập khác www.MATHVN.com • Ta chọn (SAD) để “mở rộng” : nhận xét : kéo dài SA, SD chưa thấy giao điểm om • Kéo dài AD cắt BC (do nằm (ABCD) AD không song song BC) nên giao điểm AD BC giao điểm thứ hai cần tìm Khi ta nối SI, BI DC bị khuất D I uo A c c S C bo c B Giải Ta có: S ∈ (SAD) S ∈ (SBC) ⇒ S ∈ (SAD) ∩ (SBC) (1) on g Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I giao điểm AD BC I ∈ AD I ∈ BC I ∈ (SAD) ⇒ I ∈ (SBC) ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (SBC) (2) kh ⇒ Từ (1), (2) ⇒ SI = (SAD) ∩ (SBC) Khi (SAD) “mở rộng” thành (SAI) Ví dụ: Cho tứ diện ABCD; gọi I, J, K điểm cạnh AB, BC, CD cho AI = 31 AB, BJ = 32 BC, CK = 45 CD Tìm giao điểm (IJK) với AD mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN 1.1 Mở rộng mặt phẳng học tập khác www.MATHVN.com Phân tích • Tỉ số CK CD = CJ CB (trong ∆CBD) nên JK không song song BD om • Kéo dài AD ta chưa thấy giao điểm Tránh nhầm lẫn AD cắt IK, điểm A, D, I thuộc mặt phẳng (ABD) K không thuộc (ABD) nên AD IK không đồng phẳng • "Mở rộng" mặt phẳng (IJK) : c c – Kéo dài IJ cắt BD E (trong mp (BCD)), (IJK) “mở rộng” thành (IJE) – E ∈ BD ⇒ E ∈ (ABD) – Gọi F giao điểm IE AD F điểm cần tìm uo A I bo c F D E B K on g J C Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD Gọi M điểm tùy ý tam giác SCD Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (ABM) với hình chóp kh Phân tích • AB kéo dài cắt CD E (trong mp(ABCD)) Lúc (ABM) trở thành (AEM) • ME cắt SC SD K, H (trong mp(SCD)) Lúc (ABM) trở thành (HAE) Thiết diện nói rõ phần sau mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 1.2 Bài tập MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN học tập khác www.MATHVN.com • Khi giao thiết diện tứ giác AHKB S M K D C B 1.2 uo E c c A om H Bài tập bo c Cho tứ diện SABC Gọi M, N, P điểm thuộc SA, SB, SC (a) Kéo dài NM cắt AB H, H thuộc mp nào? on g (b) MP cắt AC không? Vì sao? (c) MP cắt đường thẳng nào? Gọi giao điểm (nếu có) J, J thuộc mp nào? kh (d) HJ có thuộc mp(ABC), mp(MNP) không? Cho hình chóp SABC, gọi M, N điểm thuộc SA, SB, P điểm mp(SBC) (a) Các đường thẳng qua MN, MP, SP cắt đường thẳng nào? (b) MP cắt AB, BC không? Vì sao? 10 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 10.2 Bài tập học tập khác www.MATHVN.com 16 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm BC, AD; G trung điểm IJ Xác định thiết diện tứ diện cắt (P) trường hợp : om (a) (P) qua G điểm E thuộc BC; song song với AD (b) (P) qua G song song với BC, AD 17 Cho hình chóp SABCD c c (a) Gọi M, N trung điểm SB, SC; E điểm tùy ý AB Tìm thiết diện tạo mp(P) cắt hình chóp biết (P) qua E, song song AM, BN (b) Tìm thiết diện tạo (Q) hình chóp biết (Q) qua BN, song song với AM uo 18 Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành ABCD bo c (a) Gọi H giao điểm hai đường chéo đáy, M điểm tùy ý AC Mp(P) qua M song song SA, DB Xác định thiết diện tạo (P) hình chóp (b) Gọi G trọng tâm tam giác SCD Mp(Q) qua BQ song song SA Tìm thiết diện tạo (Q) hình chóp 19 Cho hình chóp SABC kh on g (a) Gọi M, N trung điểm SB, SC; E điểm tùy ý AB Tìm thiết diện tạo (P) qua E song song với AM, BN cắt hình chóp (b) Tìm thiết diện tạo (Q) qua BN, song song AM cắt hình chóp 20 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành (a) Gọi H giao điểm cảu hai đường chéo đáy M điểm tùy ý AC (khác H) Tìm thiết diện tạo (P) qua M song song với đường thẳng SA, BD cắt hình chóp 21 Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tìm thiết diện tạo (Q) qua BG song song SA, cắt hình chóp mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 37 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 11 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG học tập khác www.MATHVN.com 11 11.1 Hai mặt phẳng song song Phương pháp giải α Bài tập on g 11.2 b bo c β O uo a c c om Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng  a, b ⊂ (α)  a ∩ b = {0} ⇒ (α) (β)  a (β) , b (β) Cho hình bình hành ABCD ABEF thuộc hai mặt phẳng khác (a) Chứng minh (ADF) song song (BCE) kh (b) Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, BA, BE Chứng minh (MNP) song song (CAE) Cho hình chóp SABC Gọi I, J, K trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA Chứng minh (IJK) song song (ABC) Hai hình bình hành ABCD CDEF nằm hai mặt phẳng BM khác Trên đoạn BD, CE, BE lấy M, N, K cho M = D CN BK = KE Chứng minh (MNK) song song (ADE) NE 38 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 12 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN học tập khác www.MATHVN.com Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J, K trung điểm SA, SB, SC (a) Chứng minh (HIK) song song (ABCD) om (b) Gọi J giao điểm SD (HIK) Chứng minh HIJK hình bình hành (c) Gọi M giao điểm AI DK; N giao điểm DH CI Chứng minh (SMN) song song (ABCD) c c Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang (AB đáy lớn) Trên SA, BD lấy M, N cho SM:SA = DN:DB = 2:3 Kẻ NI song song AB (I thuộc AD) uo (a) Chứng minh MI song song (SBD); (MIN) song song (SCD), Mn song song (SCD) (b) Tìm giao điểm P (MNI) SB Chứng minh : PJ song song SC bo c Cho hai hình vuông ABCD ABEF hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho: AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N cắt AD, AF M’, N’ on g (a) Chứng minh: (CBE) // (ADF) (b) Chứng minh: (DEF) // (MNN’M’) kh (c) Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp điểm I M, N di động Bài toán thiết diện 12 12.1 Phương pháp giải 12.1.1 Bài toán Xác định thiết diện tạo (P) với hình chóp (P) song song với mặt (Q) hình chóp mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 39 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 12.2 Bài tập 12 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN học tập khác www.MATHVN.com 12.1.2 Phương pháp giải Để xác định giao tuyến ta làm sau : Trong (Q) tìm đường thẳng d om Vì (P) song song d nên (P) cắt mặt phẳng chứa d theo giao tuyến song song với d • (SAC) IM IM song SA c c • Ví dụ: Cho hình chóp SABC, I nằm SB Mặt phẳng (P) qua I song song (SAC) Khi ta có giao tuyến (P) và: • (SBC) IN IN song song SC uo • (ABC) MN MN song song AC bo c Vậy thiết diện tam giác IMN S C A M N B kh on g I 12.2 Bài tập Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm SC, AB lấy K Tìm thiết diện tạo (P) với hình chóp biết (P) qua K song song (MBD) 40 Bài toán thiết diện mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy 13 cập HÌNHwww.khongbocuoc.com LĂNG TRỤ - HÌNH HỘPđể download thêm tài liệu học tập khác www.MATHVN.com Cho hai hình bình hành ABCD nằm mặt phẳng khác Gọi M, N, P điểm nằm AB, BC, AD hình bình hành Gọi (P) mp qua K song song với (MNE) Tìm giao tuyến (P) (CDEF) om Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Trên BC ta lấy E cho BE = 2EC Trên AM lấy H Tìm thiết diện tạo (P) qua H song song (MNE) Thiết diện hình gì? c c Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, E trung điểm AB, AD, SC Với K AM ta dựng (P) qua K song song (MNE) Tìm thiết diện tạo (P) hình chóp Thiết diện hình gì? bo c uo Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b Tam giác SBD Một mặt phẳng (P) di động song song với mp(SBD) qua điểm I đoạn AC Xác định thiết diện hình chóp với (P) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Lấy M thuộc AC Mặt phẳng (P) qua song song SA, DB Xác định giao tuyến (P) hình chóp Hình lăng trụ - Hình hộp on g 13 kh Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ Gọi M trung điểm BB’, G trọng tâm tam giác ABC, K trung điểm BC Tìm thiết diện tạo (A’MG) hình chóp Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi O trung điểm AB; I, J tâm hình vuông ABCD ABB’A’ Chứng minh IJ song song (ADD’A’) (OIJ) song song (BCC’) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Điểm M thuộc AD, N thuộc D’C’ cho AM:MD = D’N:NC’ (a) Chứng minh : MN song song (C’BD) mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 41 Truy cập www.khongbocuoc.com để thêmTRỤ các-tài liệu HỘP 13 download HÌNH LĂNG HÌNH học tập khác www.MATHVN.com (b) Chứng minh : MN song song (C’BD) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ (a) Chứng minh CB’ // (AHC’) om (b) Tìm giao điểm AC’ với (BCH) (c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm CC’ song song với AH CB’ Xác định thiết diện (P) thiết diện c c Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) (B’D’C) song song uo (b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mp(A B G2 ) Thiết diện hình gì? Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ bo c (a) Tìm giao tuyến (AB’C’) (BA’C’) (b) Gọi M, N điểm AA’ BC Tìm giao điểm B’C’ với mặt phẳng (AA’N) giao điểm MN với mp(AB’C’) on g Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ (a) Chứng minh CB’ // mp(AHC’) (b) Tìm giao điểm AC’ mp(BCH) kh (c) Mp(P) qua trung điểm I CC’ song song với AH CB’ Xác định thiết diện Cho lăng trụ ABCA’B’C’ (a) Tìm giao tuyến (AB’C’) (BA’C’) (b) Gọi M N điểm AA’ BC Tìm giao điểm B’C’ với mp(AA’N), MN với (AB’C’) 42 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy 13 cập HÌNHwww.khongbocuoc.com LĂNG TRỤ - HÌNH HỘPđể download thêm tài liệu học tập khác www.MATHVN.com Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Trên phần kéo dài AA’ phía A ta lấy điểm M cho AA’ = AM Xét N E nằm cạnh A’B’ C’D’ thỏa mãn A’N = 2NB’ C’E = 3ED’ Tìm thiết diện tạo (MNE) cắt hình hộp om 10 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M trung điểm BB’, G trọng tâm tam giác ABC Tìm thiết diện tạo (A’MG) cắt hình lăng trụ uo c c 11 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M trung điểm cạnh AB Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (P) song song (AB’D’) qua M cắt hình hộp 12 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N giao điểm hai mặt (BCC’B’), (CDC’D’) bo c (a) Tìm thiết diện tạo (AMD) cắt hình hộp on g (b) Gọi (P) mặt phẳng qua giao điểm đường chéo mặt (ABA’B’) song song (AMN) Tìm thiết diện tạo (P) cắt hình hộp kh 13 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M trung điểm BC, N trung điểm AB Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (P) song song (AMC’) qua N cắt hình trụ 14 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M trung điểm AB, N trun điểm B’C’, K giao điểm hai đường chéo hình bình hành ACC’A’ Tìm thiết diện tạo (KMN) cắt hình lăng trụ 15 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M trọng tâm tam giác ABC N trung điểm BB’ Mặt phẳng (P) qua M song song AN A’C cắt lăng trụ theo thiết diện Tìm thiết diện mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 43 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 14 CHỨNG MINH ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG học tập khác www.MATHVN.com 14 14.1 Chứng minh điểm đồng phẳng Phương pháp giải om Xét điểm A, B, C, D • Nếu AB cắt CD điểm đồng phẳng • Nếu AB CD điểm đồng phẳng c c Ví dụ: Cho hình thang ABCD, có AB song song CD tam giác ABE nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N trung điểm AE, BE tam giác ABE Chứng minh C, D, M, N thẳng hàng uo Giải bo c Rõ ràng MN song song AB AB song song CD MN song song CD M N ≡ CD Vì M không thuộc (ABCD) M không thuộc (ECD) nên MN trùng với CD Từ suy đường thẳng MN song song CD chúng nằm mặt phẳng E M on g N kh A 14.2 B D C Bài tập Cho hình bình hành ABCD Ta kí hiệu Ax, By, Cz tia nằm phía mặt phẳng (ABCD) thỏa mãm điều kiện Ax By Cz Trên tia Ax, By, Cz ta lấy điểm tương ứng 44 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 15 CHỨNG MINH SỰ THẲNG HÀNG CỦA ĐIỂM học tập khác www.MATHVN.com M, K, N cho AM + CN = BK Chứng minh điểm M, N, K, D thẳng hàng Cho tứ diện ABCD Chứng minh trung điểm cạnh tứ diện AB, AC, DB, DC nằm mặt phẳng c c om Cho hình bình hành ABCD điểm A’, B’, C’, D’ nằm phía mặt phẳng (ABCD) thỏa mãn đồng thời điều kiện AA //BB //CC //DD AA + CC = BB + DD Chứng minh A’, B’, C’, D’ nằm mặt phẳng Cho hình chóp SABCD có đáy tứ giác lồi ABCD Chúng minh trọng tâm mặt bên hình chóp nằm mặt phẳng 15 Chứng minh thẳng hàng điểm Phương pháp giải on g 15.1 bo c uo Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC Chứng minh tia phân giác hai góc ASB, BSC tia phân giác góc CSA nằm họ mặt phẳng Xem phương pháp giải mục 5.1 trang 23 kh Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB song song CD) tam giác CED nằm hai mặt phẳng khác Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thang Các điểm M, N trung điểm CE, DE tam giác CDE Chứng minh hai đường thẳng AM, BN cắt I ba điểm E, I, O thẳng hàng Giải Rõ ràng MN song song CD CD song AB, M không nằm AB, MN song song AB Tứ giác ABMN có hai đường chéo mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 45 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 15.2 Bài tập 15 CHỨNG MINH SỰ THẲNG HÀNG CỦA ĐIỂM học tập khác www.MATHVN.com AM BN nên chúng cắt Mặt khác OE giao tuyến (AEC) (BED) I đồng thời thuộc hai mặt phẳng nên I nằm OE M N I C O B bo c Bài tập uo A 15.2 c c D om E Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Các điểm M, N, E, F trung điểm AB, CD, AC, BD Chứng minh MN EF cắt K ba điểm D, G, E thẳng hàng on g Cho hình chóp SABCD có đáy ABCDlà hình bình hành Gọi A’, B’, C’, D’ trung điểm SA, SB, SC, SD (a) Chứng minh BA’ CD’ cắt M; AB’ DC’ cắt N kh (b) Chứng minh M, N, S thẳng hàng Cho hai hình bình hành ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng khác Gọi I, J trung điểm CE DF (a) Chứng minh AI BJ cắt P (b) Gọi Q, R trung điểm DE, AB Chứng minh B, Q, R thẳng hàng 46 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 16 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI học tập khác www.MATHVN.com 16 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 16.1 Phương pháp giải om Xem phương pháp giải mục 6.1 trang 25 Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, I , K , H trung điểm AB, CD, AC, BD, AD, BC Chứng minh MN, IK, HL đồng qui c c Giải uo Cách Rõ ràng tứ giác MINK, MHNL hình bình hành MN đường chéo chung hai hình bình hành Vì IK, HL cắt MN trung điểm MN bo c Cách Rõ ràng MN giao tuyến hai mặt phẳng (MINK) (MHNL) Gọi O giao điểm HL IK, O thuộc đồng thời hai mặt phẳng (MINK) (MHNL) Do O thuộc MN A on g M I K kh B 16.2 H D N L C Bài tập Cho hình chóp SABC Gọi A’, B’, C’ trung điểm BC, CA, SA1 SB1 SC1 AB Trên SA, SB, SC lấy A1 , B1 , C1 cho = = SA SB SC Chứng minh đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 47 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 17 BÀI TẬP TỔNG HỢP học tập khác www.MATHVN.com Cho hai hình bình hành ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng khác Gọi I, J giao điểm đường chéo hai hình bình hành Các điểm M, N tương ứng trung điểm đoạn CE DF Chứng minh IJ, AM, BN đồng qui Bài tập tổng hợp c c 17 om Cho hình thang ABCD (AB song song CD) tam giác CDE nằm hai mặt phẳng khác Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thang Các điểm M, N trung điểm CE, DE tam giác CDE Chứng minh AM, BN, OE đồng quy uo (Thi học kì I - Tiền Giang - 2012-2013) Cho hình chóp SABC có G trọng tâm tam giác ABC Gọi M, N điểm cạnh SA cho SM = M N = N A (a) Chứng minh GM song song (SBC) bo c (b) Gọi D điểm đối xứng A qua G Chứng minh BG song song CD GN song song MD (Thi học kì I - Vĩnh Bình - 2011-2012) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm AB on g (a) Tìm giao tuyến mặt phẳng i (SAC) (SBD) ii (SAD) (SBC) kh (b) Gọi (α) mặt phẳng qua M song song BD, SA Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) (Thi học kì I - Chợ Gạo - 2011-2012) Cho hình chóp SBCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, K trung điểm AB, CD, SA (a) Chứng minh: MN song song (SBC), SC song song (MNK) (b) Tìm thiết diện (MNK) hình chóp Thiết diện hình 48 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 17 BÀI TẬP TỔNG HỢP học tập khác www.MATHVN.com (Thi học kì I - Vĩnh Kim - 2011-2012) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi M điểm tùy ý cạnh SB, G1 trọng tâm tam giác SAD G2 trọng tâm tam giác SBC (b) Tìm giao điểm DM (SAC) (c) Chứng minh G1 G2 song song (SCD) om (a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAD) (SBC) (a) Xác định giao tuyến của: uo i (MNK) (BCD) ii (MNK) (ABD) iii (MNK) (ACD) c c (Thi học kì I - Nguyễn Văn Côn - 2011-2012) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, K trung điểm AC, BC BD bo c (b) (MNK) cắt AD L Chứng minh ML song song (BCD) on g (Kiểm tra lần I - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang, đáy lớn AD Gọi M, N trung điểm SC, SD (a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD) Tìm giao điểm K SB (AMN) (b) Tìm thiết diện (AMN) hình chóp SABCD kh (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm SA, SB (a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD) Chứng minh MN song song (ABCD) (b) Tìm giao điểm K SC (ADN) Kéo dài AN DK cắt I Chứng minh SI AB CD mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 49 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 17 BÀI TẬP TỔNG HỢP học tập khác www.MATHVN.com (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm AC, BC K điểm BD Tìm thiết diện (MNK) tứ diện Xác định K BD để thiết diện hình bình hành om (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M ,N hai điểm AB, CD Mặt phẳng (P) qua MN song song SA Tìm thiết diện tạo (P) hình chóp Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang c c 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với CD đáy lớn Điểm M trung điểm AD, K điểm thuộc SM cho SK = 2KM (a) Tìm giao tuyến (SBC) (SAD) uo (b) Tìm giao điểm CK (SBD) bo c (c) Mặt phẳng (α) qua K song song SD, AB Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(α) 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hnh, O giao điểm đường chéo AC BD Gọi M, N trung điểm SA, SC on g (a) Tìm giao điểm SO với mp (MNB) Suy thiết diện hình chóp cắt mp (MNB) (b) Tìm giao điểm E, F AD, CD với mp(MNB) (c) Chứng minh E, B, F thẳng hàng kh 12 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD l hình bình hành M, N trung điểm AB, SC (a) Tìm giao tuyến (SMN) (SBD) (b) Tìm giao điểm I MN (SBD) (c) Tính tỷ số MI MN 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình thang AD//BC đáy lớn AD = 2BC Gọi G trọng tâm tam giác SCD 50 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu 17 BÀI TẬP TỔNG HỢP học tập khác www.MATHVN.com (a) Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng (SAC) (SBD), (SAD) (SBC), (SAB) (SCD) (b) Xác định giao điểm H BG mp(SAC) Từ tính tỉ số HB HG om 14 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình hành ABCD có tâm O Gọi M trung điểm SC (a) Xác định giao tuyến mp(ABM) mp(SCD) c c (b) Gọi N trung điểm BO, xác định giao điểm I SI (AMN) với SD Chứng minh ID = 23 uo 15 Cho hai hình vuông có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF ta lấy điẻm M, N cho AM = BN Mặt phẳng (P) chứa MN song song với AB cắt AD AF M’, N’ bo c (a) Tứ giác MNM’N’ hình gì? (b) Chứng minh M’N’ // EC kh on g (c) Chứng minh MN // (DEF) mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 51 [...]... download thêm các tài liệu 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG 4.2 Bài tập học tập khác www.MATHVN.com 7 Cho hình chóp SABC Gọi N là điểm trên cạnh SB, M, P là các điểm thuộc miền trong (SAB) và (SBC) Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với hình chóp om 8 Cho hình chóp SABCD Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB, BD Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với hình chóp 9 Cho hình chóp SABCD Gọi M là điểm tùy ý trong... thêm các tài liệu 10.2 Bài tập 10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 1 học tập khác www.MATHVN.com 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi K, G là trọng tâm tam giác SBC và SCD Trên AB ta lấy M Tìm thiết diện tạo bởi (MGK) cắt hình chóp om 11 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Gọi M, N là trung điểm SB, SD Trên đường chéo AC ta lấy điểm K Tìm thiết diện tạo bởi (KMN) cắt hình chóp (a) Tìm giao... 7.2 Bài tập kh 1 Cho hình bình hành ABCD và S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành Tìm giao tuyến của : (a) (SAD) và (SBC) (b) (SAB) và (SDC) 2 Cho tứ diện ABCD Trên AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho AN AM = Tìm giao tuyến của (DBC) và (DMN) AB AC mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 27 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu 7.2 Bài tập 7 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG học tập. .. HÀNG học tập khác www.MATHVN.com 22 Cho hình chóp SABC D Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD (a) Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC) (b) Tìm giao điểm của BM và (SAC) om (c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (AMB) c c 23 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N, E là trung điểm của AB, Bc, SD Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) cắt hình chóp 24 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình. .. (BKN) và hình chóp 15 Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC, lấy một điểm M Trong tam giác SCD, lấy một điểm N (a) Tìm giao điểm của MN và (SAC) (b) Tìm giao điểm của SC với (AMN) (c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN) mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 21 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu 4.2 Bài tập 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG học tập khác www.MATHVN.com... thiết diện tạo SC bởi (MNE) và hình chóp 5 Cho hình chóp SBCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC, H là điểm trên đường chéo AC (không trùng với giao điểm các đường chéo hình bình hành), và N là trung điểm SH Tìm thiết diện tạo bởi (BMN) và hình chóp 6 Cho hình chóp SABC gọi M, N là các điểm trên SA, SB, P là điểm trong mp(SBC) Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) và hình chóp 20 mathvn.com ♥ Nguyễn... cạnh của thiết diện phải nằm trên các mặt của hình chóp E kh on g F 4.2 I B A G H C D Bài tập 1 Cho tứ diện ABCD Hãy xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNI) trong các trường hợp sau : mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 19 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu 4.2 Bài tập 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG học tập khác www.MATHVN.com A1 A N1 N N2 M1 M B1... phẳng chứa hình bình hành đó 8.1 Đường thẳng song song mặt phẳng Phương pháp giải kh Ta chứng minh đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song với đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng a b α mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 29 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu 8.2 Bài tập 8 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG học tập khác www.MATHVN.com  a ⊂ (α)  a b ⇒a  b ⊂ (α) Bài tập om 8.2... cạnh hình chóp on g 5 Lập lại cho đến khi xác định được thiết diện Lưu ý tính chất song song (có thể có) của các cạnh thiết diện để định tính thiết diện 10.2 Bài tập kh 1 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành (a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD) (b) Xác định thiết diện của hình chóp SABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MCB) trong đó M là một điểm nằm giữa S và A 2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình. .. Trên cạnh AB lấy M Tìm thiết diện tạo bởi (MGK) và hình chóp 34 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu 10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 1 10.2 Bài tập học tập khác www.MATHVN.com 3 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là từ giác lồi Gọi M, N là trung điểm SB, SD Trên đường chéo AC lấy K Tìm thiết diện tạo bởi (KMN) và hình chóp om 4 Cho tứ diện ABCD, lấy M thuộc BC,