Tài liệu BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN pdf

Chuyên đề: KHỐI ĐA DIỆN - KHỐI TRÒN XOAY ___________________________________________________________________ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A. KHÁI NIỆM CƠ BẢN I. KĨ NĂNG CƠ BẢN 1. Xác định hình chiếu của một điểm A trên một mặt phẳng (P) +chọn mf(Q) hợp lí mf (P)⊥ = ∆ + trong mf(Q) dựng AH H AH mf (P) H⊥ ∆ = ⇒ ⊥ = 2. Xác định khoảng cách của A tới đường thẳng ∆ +Chọn mf(P) chứa A, ∆ +Trong mf (P) dựng AH H⊥ ∆ = + d(A;∆)=AH 3. Xác định khoảng cách của A tới mặt phẳng (P) +Xác định AH (P) H⊥ = + d(A,(P))=AH 4. Xác định góc của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) + Xác định ( ) (P) I∆ ∩ = +Với A ( ).∈ ∆ Xác định AH (P) H⊥ = + Xác định = (∆, p) = α 5. Xác định góc của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) +Xác định giao tuyến của ∩ mp(P) mp(Q) =Δ +Với ∈ A (Q). Xác định ⊥AH (P) =H +Trong mf(P). Xác định ⊥HI (Δ) =I + Xác định = sđ(P, Q) = ϕ 6. Xác định hình trụ qua thiết diện chứa trục + Xác định thiết diện một hình chữ nhật chứa trục OO’ + Trong hình chữ nhật thiết diện . Xác định các yếu tố giả thiết cho và các đại lượng cần tìm nhiều nhất 7. Xác định hình nón qua thiết diện chứa trục + Xác định thiết diện một tam giác cân chứa trục OO’ + Trong hình tam giác cân thiết diện . Xác định các yếu tố giả thiết cho và các đại lượng cần tìm nhiều nhất 8. Xác định tâm mặt cầu qua trục của đường tròn ngoại tiếp + Xác định đường thẳng (∆)vuông góc tâm đường tròn ngoại tiếp đáy + Xác định mf trung trực(P) của cạnh bên hợp lí + Xác định giao điển của mf (P) với trục(∆): tâm mặt cầu B. BÀI TẬP ____________________________________________________________________ Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa và luyện thi ITH-BÌNH DƯƠNG 1 Chuyên đề: KHỐI ĐA DIỆN - KHỐI TRÒN XOAY ___________________________________________________________________ I. KHỐI CHÓP 1.Khối chóp tam giác Bài 1.1 Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA=2a vuông góc với (ABC). Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A trên SB,SC. Tính V của A.BCNM Bài 1.2 Cho tam giác ABC vuông,cân tại A BC=2a. M trong không gian sao cho MA=MB=MC=b. Tính V của hình chóp M.ABC Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a. = 120 0 , = 60 0 , = 90 0 CMR ∆ACB vuông và tính V của S.ABC theo a Bài 1.4 Cho đường tròn (C ) có đường kính AB=2R. M trung điểm của cung AB. Trên tia Ax vuông góc với (C) lấy S sao cho SA=h. Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB, cắt SB và SM tại H và K. Tính V của S.AHK theo R và h Bài 1.5 Cho ∆ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc (ABC) tại A lấy S sao cho SA= h. Đường thẳng đi qua trực tâm H của ∆SBC và vuông góc với (SBC) cắt (ABC) tại O cắt d tại K. a. CMR O là trực tâm của ∆ABC b. Tính SA.SK và từ đó xác định h theo a để SK ngắn nhất Bài 1.6 Cho ∆ABC cân có đáy là BC nằm trong mf(P). Gọi H hình chiếu của A trên (P) và ∆HCB vuông . Tính S của ∆ABC biết BC = 16, HA = 6 2. Hình chóp tứ giác đều Bài 1.8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có trung đoạn bằng a. Góc giữa cạnh bên với cạnh đáy bằng ά. Tính thể tích của S.ABCD theo a và ά Bài 1.9 Cho hình chóp có đáy là một hình vuông tâm O cạnh a 2 .Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = 2a. Tính thể tích của S.ABCD và tìm tâm (S) ngoại tiếp S.ABCD Bài 1.10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm CB. CMR MN vuông góc DB. Tính khoảng cách MN,AC theo a 3. Hình chóp tứ giác Bài 1.11 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a. đường cao SB = a 2 . Gọi M hình chiếu của B trên SD, (BCM) cắt SA tại N. Tính khoảng cách của B đến mf(SAD) và thể tích của S.BMN Bài 1.12 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a, SA (ABCD)⊥ . Gọi M,N lần lượt thuộc BC,CD: a 3a BM DN CMR (SMN) (SMA) 2 4 = = ⊥ ____________________________________________________________________ Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa và luyện thi ITH-BÌNH DƯƠNG 2 Chuyên đề: KHỐI ĐA DIỆN - KHỐI TRÒN XOAY ___________________________________________________________________ Bài 1.13 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a 2 . SA = a và vuông góc (ABCD). Gọi M,N lần lượt trung điểm AD và SC, I giao điểm BM với AC. CMR (SAC) (SMB)⊥ , Tính V ANIB Bài 1.14 Cho hình chóp đáy là một hình thang vuông tại A,D SA ⊥ đáy. Biết AD = DC = a, AB = 2a 2a 3 SA 3 = . Tính góc của (SB;DC) và (SD;BC) Bài 1.15 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = b. SA (ABCD)⊥ SA = 2a. M,N trung điểm SA,SD Tìm a,b để ( ) 3 cos CMN 3 ∠ = Bài 1.16 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh 2a, SA = a ; SB a 3= và (SAB) vuông góc đáy. Gọi M,N lần lượt trung điểm AB,BC. Tính theo a V(S.BMDN) và cosin (SM,DN) Bài 1.17 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a. 0 (SAC) (ABCD) ASC 90⊥ ⇒ ∠ = SA tạo đáy một góc α . Tính V(S.ABCD) Bài 1.18 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a. ∆SAD đều và vuông góc đáy Gọi M,N P lần lượt trung điểm SB,SC,SD . Tính V (CMNP), CMR BP MA ⊥ 4. Một vài ví dụ liên quan đến góc 2 mặt phẳng, nhị diện Bài 1.19 Cho S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a. SA = a vuông góc đáy. Tính khoảng cách từ C đến (SBD) và cosin [B,SC,D] Bài 1.20 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a . ∆SAD đều và vuông góc đáy. Gọi H trung điểm AD. Tính [B,SC,D] Bài 1.21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm O. Biết độ dài đường chéo AC = 6; BD = 2 đường cao OS = 2 3 . Tìm vị trí M để số đo nhị diện [M,AC,D] = 120 0 Bài 1.22 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy ABCD là một hình vuông cạnh a. SA vuông góc (ABCD). SA = a 3 . Tính số đo của góc nhị diện tạo bởi (SAB,SCD) Bài 1.23 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a, SA (ABCD)⊥ . SA a 3= Tính [B,SC,D] Bài 1.24 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O, AC = a,SB = SD = DB = b. trên OC lấy M (không trùng O,C) AM = x. mf(P)chứa M và //(SBD) cắt hình chóp theo thiết diện (Q). Tính S của (Q) ____________________________________________________________________ Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa và luyện thi ITH-BÌNH DƯƠNG 3 Chuyên đề: KHỐI ĐA DIỆN - KHỐI TRÒN XOAY ___________________________________________________________________ II. KHỐI LĂNG TRỤ 1. Khối lăng trụ đều Bài 2.1 Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AA’ = h, AB = a. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC, CC’. (MNP) cắt BB’ tại Q. Tính V(PQBCNM) theo a, h Bài 2.2 Cho một khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau bằng a. Gọi MNP lần lượt là trung điểm BC,CC’và A’C’ CMR (MNP) ABB'A'⊥ , Xác đinh và tính diện tích do (MNP) cắt lăng trụ Bài 2.3 Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi MNEF lần lượt là trung điểm AB, CC’, BC và A’D’. CMR (DEB’F) là mặt phẳng trung trực của MN. Xác định và tính diện tích thiết diện do (MEF) cắt lập phương Bài 2.4 Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I,K trung điểm A’D’ và B’B CMR IK AC'⊥ . Tính k/c giữa IK, AD theo a Bài 2.5 Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi MNP trung điểm BB’, CD, A’D’ Tính góc và khoảng cách của MP và C’N Bài 2.6 Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 2a. Gọi M trung điểm BC,N thuộc AC’ (khác A). CMR khoảng cách (AB’D’) và (AMB’) không phụ thuộc vị trí của M 2.Khối lăng trụ bất kì Bài 2.7 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A’cách đều A,B,C. Cạnh bên AA’tạo đáy góc 60 0 . Tính V của lăng trụ Bài 2.8 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy là một tam giác vuông tại A, AB =a, AC a 3= . Hình chiếu của A’ trên (ABC) là trung điểm CB. Tính V A’ABC và cosin của góc giữa (AA’,B’C’) Bài 2.9 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là một tam giác vuông AB = BC = a. Cạnh bên AA’ = AA' a 2= . Gọi M, I lần lượt là trung điểm AB,BC . Mạt phẳng (P) đi qua M vuông góc với B’C Tính theo a khoảng cách (AI,B’C) Xác định và tính diện tích của thiết diện do (P) cắt lăng trụ Bài 2.10 Cho hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =2, AD =4 ; AA’ = 6. Các điểm M,N thỏa mẵn hệ thức ( ) AM mAD;BN mBB' 0 m 1= = ≤ ≤ . Gọi KI trung điểm AB,C’D’ CMR IKMN đồng phẳng. Gọi diện tích của thiết diên do (MNIK) cắt chữ nhật là S. tìm m=? để S có cực trị Bài 2.11 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a. Tính k/c của (AD’;B’C) và thể tích của AB’D’C theo a ____________________________________________________________________ Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa và luyện thi ITH-BÌNH DƯƠNG 4 A Chuyên đề: KHỐI ĐA DIỆN - KHỐI TRÒN XOAY ___________________________________________________________________ III. KHỐI TRÒN XOAY 1. Hình trụ khối trụ Bài 3.1 Cho một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao R 3 . Trên hai đường tròn đáy lấy lần lượt 2 điểm AB sao cho góc hợp bởi AB và trục bằng 30 0 . Tính khoảng cách AB và trục hình trụ Bài 3. 2 Cho hình trụ chiều cao = 12cm, bán kính đáy = 18 cm, Trên hai đường tròn đáy lấy lần lượt M,N sao cho MN = 24 cm. Tính góc và khoảng cách MN với trục hình trụ Bài 3. 3 Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy A tâm O’ lấy B sao cho AB = 2a. Tính Thể tích của khối tứ diện OO’AB Bài 3. 4 Cho hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp hình trụ,. A,B thuộc (C ) C,D thuộc (C’).Tính thể tích của hình trụ theo a biết (ABCD) tạo đáy một góc 45 0 Bài 3. 5 Cho khối lăng trụ tam giác đều cạnh đáy a. Góc giữa đường chéo của mặt bên và mặt đáy của lăng trụ 60 0 . Tính thể tích của khối trụ nội tiếp lăng trụ đó 2. Khối nón_hình nón Bài 3. 6 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, cạnh góc vuông a. Một thiết diện khác đi qua đỉnh hình nón tạo đáy một góc 45 0 . Tính S thiết diện này Bài 3. 7 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một Tam giác vuông cân cạnh a. Một thiết diện Đi qua đỉnh hình nón tạo với đáy một góc Bằng 60 0 . Tính diện tích của thiết diện này? Bài 3. 8 Cho khối nón đỉnh S đường cao SO = h, bán kính đáy R. Điểm M di động trên SOMặt phẳng (P) đi qua M và song song với đáy cắt khối nón theo thiết diện (T). Tính độ dài OM theo h để thể tích khối nón đỉnh O ,đáy (T) lớn nhất. Bài 3. 9 Cho hình nón có bán kính đáy R thiết diện qua trục là một tam giác đều. Một hình trụ nội tiếp có thiết diện qua trục là một hình vuông. a. Tính S XQ và S TP của hình nón b. Tính thể tích của hình trụ nội tiếp hình nón theo R Bài 3.10 Cho hình nón cụt tròn xoay có bán kính lớn bằng R, góc tạo bởi đường sinh với trục là 0 : 0 45 α α < < . Thiết diện qua trục có đường chéo cuông góc với cạnh xiên. Tính S xq Của hình nón cụt đó theo R và α 3. Hình cầu – khối cầu Bài 3.11 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0 . Tính thể tích và S khối cầu ngoại tiếp hình tứ ____________________________________________________________________ Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa và luyện thi ITH-BÌNH DƯƠNG 5 Chuyên đề: KHỐI ĐA DIỆN - KHỐI TRÒN XOAY ___________________________________________________________________ Bài 3.12 Cho hình chóp S.ABC có đáy là một tam giác cân , AB = AC = a. (SBC) ⊥ (ACB).SA = SB = a,SC = b. CMR ∆SBC vuông và tính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a,b Bài 3.13 Cho ∆ ABC cân tại A, nội tiếp trong (C ) tâm O r =2a = 120 0 .Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy S: SA a 3= . Gọi I trung điểm BC. a. Tính số đo góc của SI với hình chiếu của nó trên (ABC) b. Tính bán kính của (S) ngoại tiếp S.ABC Bài 3.14 Cho hình tứ diện O.ABC có các cạnh OA = 1, OB = 2, OC = 3 đôi một vuông góc với nhau Tính r cầu nội tiếp tứ diện đó Bài 3.15 Cho mặt cầu (S) đường kính AB . Qua A,B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By vuông góc với nhau.Gọi M,N lần lượt thuộc Ax,By sao cho MN luôn tiếp xúc (S) tại I CMR: AM.BN = 2R 2 và tứ diện ABMN có thể tích không đổỈ . ____________________________________________________________________ Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa và luyện thi ITH-BÌNH DƯƠNG 6 . của A.BCNM Bài 1.2 Cho tam giác ABC vuông,cân tại A BC=2a. M trong không gian sao cho MA=MB=MC=b. Tính V của hình chóp M.ABC Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABC. (SAB,SCD) Bài 1.23 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a, SA (ABCD)⊥ . SA a 3= Tính [B,SC,D] Bài 1.24 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành