Tài liệu Bài tập hình học không gian có lời giải ppt

4 Nếu hai mặt phẳng song song thì khỏang cách giữa chúng là khỏang cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia 5 Hai đường thẳng chéo nhau a và b luôn luôn có đường thẳng

Trang 1

CHỦ ĐỀ I

KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN

I TÓM TẮT KIẾN THỨC

A KHỎANG CÁCH

1) Khỏang cách từ một điểm M đến một đường thẳng a trong không gian là độ dài

đọan thẳng MH, trong đó MH a với Ha

2) Khỏang cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) là độ dài đọan MH, trong đó

MH (P) với H(P)

3) Nếu đường thẳng a // (P) thì khỏang cách từ a đến (P) là khỏang cách từ một

điểm M bất kì của a đến (P)

4) Nếu hai mặt phẳng song song thì khỏang cách giữa chúng là khỏang cách từ

một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

5) Hai đường thẳng chéo nhau a và b luôn luôn có đường thẳng chung  Nếu 

cắt a và b lần lượt tại A và B thì độ dài đọan thẳng AB gọi là khỏang cách giữa a và b

chéo nhau nói trên

Muốn tìm khỏang cách giữa hai đường thẳng chéo nhau người ta còn có thể:

a) hoặc tìm khỏang cách từ đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứa đường thẳng

thứ hai và song song với đường thẳng thứ nhất

b) hoặc tìm khỏang cách giữa hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng đó và

song song với nhau

B GÓC

1) Góc  (0900) giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai

đường thẳng cùng đi qua một điểm tùy ý trong không gian và lần lượt song song với hai

đường thẳng đã cho

2) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và

hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng

3) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì lần lượt vuông góc

với hai mặt phẳng đó

II RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

a) Tính khỏang cách từ điểm A tới mặt phẳng BCD

b) Tính khỏang cách giữa hai cạnh đối diện AB và CD

Giải a) Gọi G là trọng tâm tam giác đều BCD và E = BC ∩ DG , F = CD ∩ BG

H

G

C A

Trang 2

Ta có : BF = DE = AF = a =

2

3

a

AF CD

BF CD

















) ( Chứng minh tương tự ta có BCAG

Vậy AG(BCD) và AG là khỏang cách từ A đến (BCD)

Ta có: AG2 = AB2 – BG2 = a2 -

3

2 2

3 3

2

a

a  











Vậy AG =

3

6

a

b) Gọi H là trung điểm AB Vì CD( ABF) nên CD HF Mặt khác FA = FB nên

FH AB Vậy FH là khỏang cách giữa hai cạnh đối AB và CD

Ta có HF2 = AF2 – AH2 =

2 2

2

a a

























Vậy HF =

2

a

Bài 2 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a Tính

a) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy

b) Góc giữa mặt bên và mặt đáy

Giải

I

A

C

B

S

H

a) Do SABC là hình chóp tam giác đều nên góc giữa các cạnh bên và đáy bằng nhau Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC) Ta có H là trọng tâm của tam giác ABC

AH là hình chiếu của SA lên mp(ABC) nên góc SAH là góc giữa cạnh bên SA và đáy

Ta có: AI =

2

3

3a

3

2

a

AI 

Cos SAH =

2

3 2

3



a

a SA

AH

Vậy SAH = 300 b) Các mặt bên của hình chóp tao với đáy các góc bằng nhau

BC

SI

BC

AI













là góc giữa mặt bên và mặt đáy

SH = SA sỉn 300 = a , HI =

2

3 2

a AH



Trang 3

CHỦ ĐỀ II

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I.TÓM TẮT KIẾN THỨC

1 Thể tích của khối hộp chữ nhật

V = abc ( a, b, c là 3 kích thước)

2 Thể tích của khối lập phương

V = a3

3 Thể tích của khối lăng trụ

V = B.h

4 Thể tích của khối chóp

V =

3

1 B.h ( B là diện tích của đáy )

II RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC

đều tạo với đáy một góc 60o

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

b) Tính khỏang cách từ điểm A đến mp(SBC)

Giải

H

A

C

B S

a) Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC), ta có H là trọng tâm tam giác ABC

AH là hình chiếu của SA lên mp(ABC) nên g(SAH) = 60o

Ta có: AE =

2

3

a

, AH =

3

a

, HE =

6

3

a

SH = AH.tan 60o = a 3 a

3 3

Vậy VSABC =

12

3

4

3 3

a

b)Gọi AK là khỏang cách từ A đến mp(SBC)

Ta có: VSABC = VASBC =

SBC

SABC SBC

S

V AK AK

3

1





SE2 = SH2 + HE2 = a2 +

6

42 36

6 6

2

a SE a

a a a























Trang 4

SSBC =

12

42 6

42 2

Vậy SK =

42

3 3 42

12 12

3 3

2

3

a a

Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB,

SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC

Giải

60

B H S

F E

J

Hạ SH( ABC), kẽ HEAB, HFBC, HJAC suy ra SEAB, SFBC, SJAC

Ta có SEH SFH SJH 600 SAH SFH SJH nên HE =HF = HJ = r ( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ABC)

Ta có SABC = p(pa)(pb)(pc) với p = a b c 9a

2 

 Nên SABC = 9.4.3.2 a2

Mặt khác SABC = p.r

3

6

p

S

r  



Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 = a 3 2 2 a

3

6 2



Vậy VSABC = 6 6 2.2 2 8 3 3

3

1

a a

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a Mặt

bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC

Giải a) Kẽ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC) Gọi I, J là hình chiếu của

H lên AB và BC  SIAB, SJBC, theo giả thiết SIH SJH 450

Trang 5

45

I

J

H A

C

B

Ta có: SHI SHJHIHJnên BH là đường phân giác của ABC, từ đó suy ra H

là trung điểm của AC

b) Ta có HI = HJ = SH =

2

a

VSABC =

12

3

SH

S ABC 

Bài 4 : Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác cân tại A có trung tuyến AD = a, hai

mặt bên SAB và SAC cùng vuông góc với đáy Cạnh bên SB hợp với đáy một góc  và hợp với mặt phẳng SAD một góc .Tính thể tích khối chóp SABC theo a, ,

Giải

S

D

B

) ( ) (

ABC SA

ABC SAC

ABC SAB

SA SAC SAB





















+ AB là hình chiếu của SB lên mp(ABC) nên g(SB, (ABC)) = SBA

SA BC

AD BC













+ SD là hình chiếu của SB lên mp(SAD) nên g(SB, (SAD)) = BSD

Ta có : SB2 = SA2 + AB2 = SA2 + AD2 + BD2 (1)

Mà SA = SB.sin, BD = SB.sin

Trang 6

(1) SB2 SB2.sin2a2SB2.sin2 SB2SB2.sin2SB2.sin2 a2

SB2(1sin2sin2)a2 SB2(cos2sin2)a2



2 sin











2 2

sin cos

sin ,

sin cos

sin









V =

) cos(

)

cos(

3

sin sin )

sin (cos

sin sin

3

1 3

2 2

3































SA

S ABC

Bài 5: Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và SA = 2a.Gọi B’, D’lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’

Giải

A

n

B

D'

O

S

C' B'

D

C

Ta có AB’SB, AB’CB  AB’(SBC)  AB’SC (a)

Tương tự AD’SC (b)

Từ (a) và (b) suy ra SC(AB'C'D')SC AC'

Do tính đối xứng, ta có VSAB’C’D’ = 2VSAB’C’

Ta có:

15

8 6

4 5

4

'

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

'

a

a a

a SC

SA SB

SA SC

SC SC SB

SB SB SC

SC SB

SB V

V

ABC

S

C

AB

S

Mà VSABC =

45

8 3

15

8 3

2 2

3

' '

3 2

a a V

a a

a

C





Vậy VSAB’C’D’ =

45

16a3

Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi B’, C’ lần lượt là

trung điểm của SB và SD Mặt phẳng AB’D’cắt SC tại C’.Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SAB’C’D’ và SABCD

Giải

Trang 7

I C'

C"

S

I

O

D' B'

B

D

C A

Gọi O = ACBD.Ta có AC’, B’D’, SO đồng quy tại I và I là trung điểm của SO

Kẻ OC” // AC’ Ta có SC’ = C’C” = C”C, nên

3

1 '



SC

Ta có

12

1 6

1 3

1 2

1 '

'

SABCD

C SAB SABC

C

SAB

V

V SC

SC SB

SB V

V

Tương tự ta cũng có:

12

1

'

SABCD

D SAC

V V

Vậy

6

1 12

1

' ' '

' '

'

SABCD

D SAC C

SAB SABCD

D

C

SAb

V

V V

V

Bài 7: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD Một mặt phẳng ()qua A, B và trung điểm M của SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó

Giải

Kẻ MN // CD (N SD)thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM)

SADB

SAND

V V

V SD

SN

V

4

1 2

1







N S

O M

B

D

C

A

Trang 8

+ SBMN SBCD SABCD

SBCD

SBMN

V V

V SD

SN SC

SM

V

8

1 4

1 2

1



Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = V SABCD

8

3

Suy ra VABMN.ABCD = V SABCD

8 5

Do đó :

5

3

.



ABCD ABMN

SABMN

V V

Bài 7: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của

hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là  Tính thể tích của lăng trụ

Giải

B'

h

D'

C'

A'

O

B

A

Gọi x là cạnh của đáy, ta có B’D’ = x 2, AB' AD' h2 x2



cos '

'

2 ' ' '

'

:

'



2x2 2(h2x2)2(h2x2)cos x2 (h2x2)(h2 x2)cos



cos

) cos 1 (

2



 x h .Vậy V = x2.h =



cos

) cos 1 (

h

Bài 8: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt (A’BC) tạo

với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải

30 I

C'

B' A'

C

B A

Trang 9

Giả sử BI = x 3

2

3 2

x

AI  



30 '









IA A BC

I

A

BC

AI

x x

AI AI

I

A

AI

3

3 2 3

2 30 cos : '

:



A’A = AI.tan 300 = x x

3

3 3 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 x2

Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 , AD = 7

Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 Tính thể tích khối lăng trụ đó nếu biết cạnh bên bằng 1

Giải

Kẻ A’H ( ABCD), HM AB,HN AD A'M  AB, A'N  AD(định lý 3 đường vuông góc) A'MH 450,A'NH 600

Đặt A’H = x Khi đó A’N = x : sin 600

= 3

2x

3

4 3 '

'

2 2

2

Mà HM = x.cot 450 = x

H N

M

D'

C'

B' A'

D

C

B A

Nghĩa là x =

7

3 3

4

3 x2 x

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 3

7

3 7

Trang 10

CHỦ ĐỀ III DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

I.TÓM TẮC KIẾN THỨC

1 Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2..R l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)

2 Thể tích khối trụ: V = .R 2 h ( h : độ dài đường cao )

3 Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = .R l

4 Thể tích khối nón: V = R h

3

1 2

5 Diện tích mặt cầu: S = 4..R2

6 Thể tích khối cầu: V = 3

3

4

R



II.RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a 2

a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng  Tính khỏang cách từ trục đến MN

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ

Giải

C'

B'

A'

C

B

A

O'

O

J I

N

N' H M

a) Kẻ đường sinh NN’ ta có  NMN', kẻ OH MN' thì OH bằng khỏang cách giữa trục OO’ và MN

Ta có: MN’ = NN’ cot= a 2.cot

vuông OMH : OH2 = OM2 – MH2 = a2 - (2 cot )

2

cot 2

2 2



a

2

cot

2 2



OH a

Trang 11

Ta có: O’N =R =

3

6 3

6 6

3 2

3 3

1 3

x x

x

12

3 36 ' 4

2 2

a a

a OO

Sxq = 3x.OO’= 2 6 6

3

a a

Bà2 Cho hình nón có chiều cao bằng h, góc giữa đường sinh và đường cao là  a) Tính diện tích thiết diện của hình nón bởi một mặt phẳng qua hai đường sinh vuông góc nhau

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

c) Tính độ dài đường cao hình trụ nội tiếp trong hình nón, biết thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông

Giải

Q

P

N

M

O

B A

S

a)Tính diện tích thiết diện

R = OA =h tan  , SA =



cos

h

SASB SAB vuông cân

SSAB =

 2

2 2

cos 2 2

SA 

b)+ Sxq =





cos

tan

.R SA h

+ V =

3

tan tan 3

1

3

h h

SO

c) Đặt OM = x MN2x

Ta có: MN//SO MN.AO AM.SO 2x.R h.(R x)

AO

AM SO



1 tan 2

tan 2 2

2 2

)

2

(

























R

h h

R

hR MN

h R

hR x

hR h

R

x

Trang 12

Bài 3: Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là  a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón

b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA

và SB Tính diện tích tam giác SAB và khỏang cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này

Giải

a

K H O

B A

S

a) Tính V và Sxq

 vuông SAO : SO = a.sin, AO = a.cos

V =   .cos .sin

3

1

3

a SO

AO 

Sxq = .AO.SA.a2.cos

b) + Tính SSAB

Kẻ OHABSH AB, do đó SHO600

vuông SOH :

3

sin 2 60 sin 0



a SO

3

sin

a

 vuông AOH : AH2 = AO2 – OH2 = a2.cos2

9

sin

 a



2

sin cos

3



 AH a

Vậy SSAB =

3

sin cos

3 sin 2

2

SH AB

+ Tính d(O,(SAB))

Kẻ OKSH OK(SAB)

 vuông OKH : OK = OH.sin 600 =

2

sin 2

3 3

sin

a



Trang 13

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b Tính

thể tích và diện tích mặt cầu ngọai tiếp hình chóp đó

Giải

b

K I

C

B A

S

Gọi O là hình chiếu của S lên mp(ABC) thì O là tâm của đường tròn ngọai tiếp ABC Mặt phẳng trung trực của SA cắt SA tại I và cắt SO tại K Khi đó SK = KA = KB = KC

và do đó K là tâm của mặt cầu ngọai tiếp

Hai tam giác đồng dạng SIK và SOA cho ta:

SO

SA SO

SA SI SK SO

SI SA

SK

2







Tam giác vuông SOA: SO2 = SA2 – AO2 = b2 -

3 3

2

a b a

















Suy ra: SO =

3

2

a

b 

Vậy SK = R =

2 2 2

2 2

2

3 2

3 3

b a

b







 V =

3 2 2

6 3

2 2

2 3

) 3

( 2

3 3

2

3

4 3

4

a b

b a

b

b R





















2

4

3

6 ) 3 ( 2

4

a b

b a

b









Trang 14

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một

và SA = a, SB = b, SC = c Tính bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp đó

Giải

K

O

I

C

B

A

S

Qua trung điểm I của đọan BC, ta dựng đường thẳng d(SBC) Mặt phẳng trung trực của đọan SA cắt d tại O, Ta có OA = OS = OB = OC = R và O là tâm của mặt cầu ngọai tiếp hình chóp

2

1

BC





SO2 = SI2 + SA b c a SO a b c R









2 2 2 2

2

1 4

4

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh bênSA vuông

góc với đáy

a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp SABCD

b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt AB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ Chứng tỏ rằng bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên một mặt cầu

Giải

I

C' D' B'

O

D A

S

Trang 15

a) Ta có : BC SB

SA BC

AB BC













Tương tự CDSD

Vậy các điểm A, B, D đều nhìn đọan SC dưới một góc vuông, do đó tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I của SC

b)Ta có : AC’SC tại C’

* AB’SC và AB’BC( vì BC(SAB) AB') nên AB’(SBC)AB'B'C

* AD’SC và AD’DC( vì DC(SCD) AD'nên AD’(SCD)AD'D'C

Vậy các điểm B’, C’, D’, D, B cùng nhìn đọan AC dưới một góc vuông, do đó bảy điểm

A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC

Bài 7: Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD có cạnh là a

Giải

I O

K

E

C

B A

D

Gọi O là hình chiếu của D lên mp(ABC), O là trọng tâm của tam giác d8ều ABC.Mặt phẳng trung trực của đọan AD cắt AD tại E và cắt DO tại K Ta có KD = KA = KB = KC nên K là tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diên đều vì :

d(K,(DAB)) = d(K, (DBC)) = d(K, (DAC)) = d(K, (ABC)) = OK

Ta có : AO =

3

3 3

AI  , OD =

3

6

2

AO

DA  

Vì DEK đồng dạng DOA ta có :

4