Bai tap hinh hoc khong gian co loi giai

[r]

CHỦ ĐỀ I

KHỎANG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN

I.TĨM TẮT KIẾN THỨC

A KHỎANG CÁCH

1) Khỏang cách từ điểm M đến đường thẳng a không gian độ dài

đọan thẳng MH, MH a v⊥ ới H∈a

2) Khỏang cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) độ dài đọan MH, MH (P) v⊥ ới H∈(P)

3) Nếu đường thẳng a // (P) khỏang cách từ a đến (P) khỏang cách từ

điểm M a đến (P)

4) Nếu hai mặt phẳng song song khỏang cách chúng khỏang cách từ

một điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

5) Hai đường thẳng chéo a b ln ln có đường thẳng chung NΔ ếu Δ cắt a b A B độ dài đọan thẳng AB gọi khỏang cách a b chéo nói

Muốn tìm khỏang cách hai đường thẳng chéo người ta cịn có thể:

a) tìm khỏang cách từđường thẳng thứ đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai song song với đường thẳng thứ

b) tìm khỏang cách hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với

B GÓC

1) Góc hai đường thẳng khơng gian góc hai

đường thẳng qua điểm tùy ý không gian song song với hai

đường thẳng cho

) 90

( ≤ϕ ≤

ϕ

2) Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu vng góc mặt phẳng

3) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng

II RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a

a) Tính khỏang cách từđiểm A tới mặt phẳng BCD b) Tính khỏang cách hai cạnh đối diện AB CD

Giải

a) Gọi G trọng tâm tam giác BCD E = BC ∩ DG , F = CD ∩ BG

H

G

E F

B D

C A

Ta có : BF = DE = AF = a =

3

a

CD ABF CD AG

AF CD

BF CD

⊥ ⇒ ⊥

⇒ ⎩

⎨ ⎧

⊥ ⊥

) ( Chứng minh tương tự ta có BC AG ⊥

Vậy AG (BCD) AG kh⊥ ỏang cách từ A đến (BCD) Ta có: AG2 = AB2 – BG2 = a2 -

3 2

3

2a a2

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

Vậy AG =

6

a

b) Gọi H trung điểm AB Vì CD⊥(ABF) nên CD⊥HF Mặt khác FA = FB nên FH⊥ AB Vậy FH khỏang cách hai cạnh đối AB CD

Ta có HF2 = AF2 – AH2 =

2

2

3 2

a a

a =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

Vậy HF =

2

a

Bài 2. Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Tính a) Góc cạnh bên mặt đáy

b) Góc mặt bên mặt đáy

Giải

I A

C

B S

H

a) Do SABC hình chóp tam giác nên góc cạnh bên đáy Gọi H hình chiếu S lên mp(ABC) Ta có H trọng tâm tam giác ABC

AH hình chiếu SA lên mp(ABC) nên góc SAH góc cạnh bên SA đáy Ta có: AI =

2 3a

, AH =

3

a AI = Cos SAH =

2

3 = =

a a SA AH

Vậy SAH = 300

b) Các mặt bên hình chóp tao với đáy góc

Ta có SIA góc mặt bên mặt đáy

BC SI

BC AI

∠ ⇒ ⎩

⎨ ⎧

⊥ ⊥

SH = SA sỉn 300 = a , HI =

2

a AH

=

CHỦ ĐỀ II

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I.TĨM TẮT KIẾN THỨC

1 Thể tích khối hộp chữ nhật

V = abc ( a, b, c kích thước) Thể tích khối lập phương

V = a3

3 Thể tích khối lăng trụ

V = B.h Thể tích khối chóp

V =

B.h ( B diện tích đáy ) II RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên SA, SB, SC

đều tạo với đáy góc 60o

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính khỏang cách từđiểm A đến mp(SBC) Giải

H

F E

A

C

B S

a) Gọi H hình chiếu S lên mp(ABC), ta có H trọng tâm tam giác ABC

AH hình chiếu SA lên mp(ABC) nên g(SAH) = 60o

Ta có: AE =

3

a

, AH =

3

a

, HE =

3

a

SH = AH.tan 60o = a =a

3 Vậy VSABC =

12

4 3

1 a3

a

a =

b)Gọi AK khỏang cách từ A đến mp(SBC) Ta có: VSABC = VASBC =

SBC SABC SBC

S V AK AK

S

3

1 ⇒ =

SE2 = SH2 + HE2 = a2 +

6 42 36

42 36 6

6 2

2

a SE a

a a

a = + = ⇒ =

SSBC =

12 42

42

1 a a2

a =

Vậy SK =

42 3 42 12 12

3

2

3 a

a a

=

Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC

Giải

60

A C

B H S

F E

J

Hạ SH⊥(ABC), kẽ HE AB, HF⊥ ⊥BC, HJ⊥AC suy SE⊥AB, SF BC, SJ AC ⊥ ⊥

Ta có

60 = ∠ = ∠ =

∠SEH SFH SJH ⇒ ΔSAH =ΔSFH =ΔSJH nên HE =HF = HJ = r

( r bán kính đường trịn ngọai tiếp ΔABC)

Ta có SABC = p(p−a)(p−b)(p−c) với p = a b c 9a

2 =

+ + Nên SABC = 9.4.3.2 a2

Mặt khác SABC = p.r

3

2 a

p S

r = =

⇒

Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 = a 2 a

3

2 =

Vậy VSABC = 6 2.2 3

3

a a

a =

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 450

a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC

Giải

a) Kẽ SH BC mp(SAC) mp(ABC) nên SH⊥ ⊥ ⊥mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu

H lên AB BC ⇒ SI AB, SJ⊥ ⊥BC, theo giả thiết

45 = ∠ =

45

I

J H A

C

B S

Ta có: ΔSHI=ΔSHJ⇒HI =HJnên BH đường phân giác ∠ABC, từđó suy H trung điểm AC

b) Ta có HI = HJ = SH =

a

VSABC =

12

3

1 a3

SH SABC =

Bài : Cho hình chóp SABC, đáy ABC tam giác cân A có trung tuyến AD = a, hai mặt bên SAB SAC vng góc với đáy Cạnh bên SB hợp với đáy góc α hợp với mặt phẳng SAD góc β.Tính thể tích khối chóp SABC theo a, α, β

Giải

S

D

A C

B

Ta có : ( )

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

ABC SA

ABC SAC

ABC SAB

SA SAC SAB

⊥ ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

⊥ ⊥

= ∩

+ AB hình chiếu SB lên mp(ABC) nên g(SB, (ABC)) = ∠SBA=α

Ta có : BC (SAD)

SA BC

AD BC

⊥ ⇒ ⎩

⎨ ⎧

⊥ ⊥

+ SD hình chiếu SB lên mp(SAD) nên g(SB, (SAD)) = ∠BSD =β

Ta có : SB2 = SA2 + AB2 = SA2 + AD2 + BD2 (1)

(1) ⇔SB2 =SB2.sin2α +a2 +SB2.sin2 β ⇔SB2 −SB2.sin2α −SB2.sin2β =a2

⇔SB2(1−sin2α −sin2 β)=a2 ⇔SB2(cos2α −sin2 β)=a2

β α 2 sin cos − =

⇔SB a

β α β β α α 2

2 cos sin

sin , sin cos sin − = − =

⇒SA a BD a

V = ) cos( ) cos( sin sin ) sin (cos sin sin 3 2 β α β α β α β α β α − + = − =

= BDADSA a a

SA SABC

Bài 5: Cho khối chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a.Gọi B’, D’lần lượt hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’

Giải

A n B D' O S C' B' D C

Ta có AB’ SB, AB’ CB ⊥ ⊥ ⇒ AB’⊥(SBC) ⇒ AB’⊥SC (a)

Tương tự AD’⊥SC (b)

Từ (a) (b) suy SC⊥(AB'C'D')⇒ SC⊥ AC' Do tính đối xứng, ta có VSAB’C’D’ = 2VSAB’C’ Ta có: 15 ' ' ' ' 2 2 2 2 2 ' ' = = = = = a a a a SC SA SB SA SC SC SC SB SB SB SC SC SB SB V V ABC S C AB S

Mà VSABC =

45 15

1 3

' '

2 a a

V a a a

C

SAB = =

⇒ =

Vậy VSAB’C’D’ =

45 16a3

Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, C’ trung điểm SB SD Mặt phẳng AB’D’cắt SC C’.Tính tỉ số thể tích hai khối chóp SAB’C’D’ SABCD

I

C'

C" S

I

O

D' B'

B

D

C A

Gọi O = AC∩BD.Ta có AC’, B’D’, SO đồng quy I I trung điểm SO

Kẻ OC” // AC’ Ta có SC’ = C’C” = C”C, nên

3 '

=

SC SC

Ta có

12

1 '

' ' '

'

' = = = ⇒ =

SABCD C SAB SABC

C SAB

V V SC

SC SB SB V

V

Tương tự ta có:

12

' ' =

SABCD D SAC

V V

Vậy

6 12

1 12

1

' ' '

' '

'

' = + = + =

SABCD D SAC C

SAB SABCD

D C SAb

V V V

V V

Bài 7: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (α)qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng

Giải

Kẻ MN // CD (N hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM)

)

SD

∈

+ SANB SADB SABCD

SADB

SAND V V V

SD SN V

V

4

1

1

= =

⇒ = =

N S

O M

B D

C

+ SBMN SBCD SABCD SBCD

SBMN V V V

SD SN SC SM V

V

8

1

1

= = ⇒ = =

=

Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD

Suy VABMN.ABCD = VSABCD Do :

5

=

ABCD ABMN

SABMN

V V

Bài 7: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao h góc hai đường chéo hai mặt bên kề phát xuất từ đỉnh α Tính thể tích lăng trụ

Giải

B'

h

D'

C'

A'

O

B

D C

A

Gọi x cạnh đáy, ta có B’D’ = x 2, AB'= AD'= h2 +x2 α α ' ' cos cos

' ' ' ' '

' :'

'D B D2 AB2 AD2 AB AD AB2 AB2

AB = + − = −

Δ

⇔2x2 =2(h2 +x2)−2(h2 +x2)cosα ⇔ x2 =(h2 +x2)−(h2 +x2)cosα

α α

cos ) cos (

2 = −

⇔x h .Vậy V = x2.h =

α α

cos ) cos (

3 − h

Bài 8: Đáy lăng trụđứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ

Giải

30

I C'

B' A'

C

B A

Giả sử BI = x

3

x x

AI = =

⇒

Ta có ' 300

' ⇒∠ =

⎩ ⎨ ⎧

⊥ ⊥

IA A BC

I A

BC AI

x x

AI AI

I A AI

A

3 3 30 cos : '

:

' = = = =

Δ

A’A = AI.tan 300 = x = x

3 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = ⇒ x=2

Do VABC.A’B’C’ =

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = , AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể

tích khối lăng trụđó biết cạnh bên Giải

Kẻ A’H ⊥(ABCD), HM⊥ AB, HN ⊥ AD ⇒ A'M ⊥ AB, A'N ⊥ AD(định lý đường vng góc) ⇒∠ A'MH =450,∠A'NH =600

Đặt A’H = x Khi A’N = x : sin 600 =

3 2x

AN = AA −A N = − x =HM

3 '

'

2

2

Mà HM = x.cot 450 = x

H N

M

D'

C'

B' A'

D

C

B A

Nghĩa x =

7 3

4

3

= ⇒ −

x x

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x =

7

CHỦ ĐỀ III

DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

I.TĨM TẮC KIẾN THỨC.

1 Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2.π.R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)

2 Thể tích khối trụ: V = π.R2.h ( h : độ dài đường cao ) Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π.R.l

4 Thể tích khối nón: V = R h

3

1 π

5 Diện tích mặt cầu: S = 4.π.R2

6 Thể tích khối cầu: V = .

3

R π

II.RÈN LUYỆN.

Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy a đường cao a

a) M N hai điểm lưu động hai đáy cho góc MN đáy α Tính khỏang cách từ trục đến MN

b) Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ tam giác ngọai tiếp hình trụ

Giải

C'

B'

A'

C

B

A

O'

O J I

N

N' H M

a) Kẻđường sinh NN’ ta có ∠NMN'=α , kẻ OH ⊥MN' OH khỏang cách trục OO’ MN

Ta có: MN’ = NN’ cotα= a 2.cotα

Δvng OMH : OH2 = OM2 – MH2 = a2 - (2 cot )

2 cot

2

2

2

α α = a − a

2 cot

2− 2α

= ⇒OH a

Ta có: O’N =R =

3 6

3

3 3

1 R a

x x

x

AN = = ⇒ = =

VABC.A’B’C’ =

12 36 '

3 2

2

a a

a OO

x = =

Sxq = 3x.OO’= 6

3

18a a = a2

Bà2. Cho hình nón có chiều cao h, góc đường sinh đường cao α a) Tính diện tích thiết diện hình nón mặt phẳng qua hai đường sinh

vng góc

b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón

c) Tính độ dài đường cao hình trụ nội tiếp hình nón, biết thiết diện qua trục hình trụ hình vuông

Giải

Q P

N M

O

B A

S

a)Tính diện tích thiết diện R = OA =h tan α, SA =

α

cos

h

SA SB ⊥ ⇒ΔSAB vuông cân

SSAB =

α 2

cos 2

1 h

SA =

b)+ Sxq =

α α π

π

cos tan

.RSA= h

+ V =

3 tan tan

1

2

2 π α π α

π R SO= h h= h

c) Đặt OM = x ⇒MN=2x

Ta có: MN//SO MN.AO AM.SO 2x.R h.(R x)

AO AM SO

MN = ⇒ = ⇒ = −

⇒

1 tan

tan 2

2

) (

+ =

+ = ⇒ + = ⇒ = + ⇒

α α R

h h

R hR MN

h R

hR x

Bài 3: Cho hình nón đỉnh S có đường sinh a, góc đường sinh đáy α a) Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón

b) Một mặt phẳng hợp với đáy góc 600 cắt hình nón theo hai đường sinh SA SB Tính diện tích tam giác SAB khỏang cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng

Giải

a

K H

O

B A

S

a) Tính V Sxq

Δ vuông SAO : SO = a.sinα, AO = a.cosα

V = π π .cos α.sinα

3

1 AO2 SO= a3

Sxq = π.AO.SA=π.a2.cosα

b) + Tính SSAB

Kẻ OH⊥ AB⇒SH ⊥ AB, ∠SHO =600

Δvuông SOH :

3 sin 60

sin

α a SO

SH = = , OH = SO.cot.60 =

3 sin

3 α

a

Δ vuông AOH : AH2 = AO2 – OH2 = a2.cos2

9 sin

3 α

α − a α

α

2 sin

cos

3 −

= ⇒ AH a

Vậy SSAB =

3

sin cos

3 sin

2

1 α 2α − 2α

= a SH AB

+ Tính d(O,(SAB))

Kẻ OK⊥SH ⇒OK ⊥(SAB)

Δ vuông OKH : OK = OH.sin 600 =

2 sin

3

sin

3 α a α

a

Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên b Tính thể tích diện tích mặt cầu ngọai tiếp hình chóp

Giải

b

a O

K I

C

B A

S

Gọi O hình chiếu S lên mp(ABC) O tâm đường trịn ngọai tiếp ΔABC Mặt phẳng trung trực SA cắt SA I cắt SO K Khi SK = KA = KB = KC K tâm mặt cầu ngọai tiếp

Hai tam giác đồng dạng SIK SOA cho ta:

SO SA SO

SA SI SK SO

SI SA SK

2

= =

⇒ =

Tam giác vuông SOA: SO2 = SA2 – AO2 = b2 -

3

3

2

a b

a = −

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

Suy ra: SO =

3

2 a

b − Vậy SK = R =

2 2

2

3

3

2 b a

b a

b b

− =

−

• V =

3 2

2 2

)

(

3

2

3

3

a b b a

b b R

− =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

−

= π π

π

• S = 2 2

4

2

3 ) (

2

a b

b a

b b

− = −

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA, SB, SC vng góc với đôi SA = a, SB = b, SC = c Tính bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp

Giải

K

O

I

C

B

A

S

Qua trung điểm I đọan BC, ta dựng đường thẳng d⊥(SBC) Mặt phẳng trung trực đọan SA cắt d O, Ta có OA = OS = OB = OC = R O tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp

Ta có : SI = 2

2

2 b c

BC = +

SO2 = SI2 + SA⎟ = b +c +a ⇒SO= a +b +c =R

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ 2 2 2

2

2

4

2

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh bênSA vng góc với đáy

a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp SABCD

b) Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt AB, SC, SD B’, C’, D’ Chứng tỏ bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ nằm mặt cầu

Giải

I

C' D'

B'

O

D

C B

a) Ta có : BC SB SA

BC AB BC

⊥ ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⊥ ⊥

Tương tự CD⊥SD

Vậy điểm A, B, D nhìn đọan SC góc vng, tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm I SC

b)Ta có : AC’⊥SC C’

* AB’⊥SC AB’⊥BC( BC⊥(SAB)⊃ AB') nên AB’⊥(SBC)⇒ AB'⊥B'C

* AD’⊥SC AD’⊥DC( DC⊥(SCD)⊃ AD'nên AD’⊥(SCD)⇒ AD'⊥D'C

Vậy điểm B’, C’, D’, D, B nhìn đọan AC góc vng, bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ nằm mặt cầu đường kính AC

Bài 7: Xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có cạnh a Giải

I O

K E

C

B A

D

Gọi O hình chiếu D lên mp(ABC), O trọng tâm tam giác d8ều ABC.Mặt phẳng trung trực đọan AD cắt AD E cắt DO K Ta có KD = KA = KB = KC nên K tâm mặt cầu nội tiếp tứ diên :

d(K,(DAB)) = d(K, (DBC)) = d(K, (DAC)) = d(K, (ABC)) = OK Ta có : AO =

3 3

2 a

AI = , OD =

3

2 AO a

DA − =

Vì ΔDEK đồng dạng ΔDOA ta có :

4

6

6 :

a DK a

a DO DE DA

DK = = = ⇒ =

Vậy OK = OD – DK =

12

6

6 a a

a − =

Bài 8: Xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h có cạnh đáy a

O K

I H

D C

B A

S

Gọi H tâm hình vng cạnh a, SH = h Gọi I trung điểm BC Trong ΔSHI phân giác ∠SIH cắt SH O, từ O kẻ OK ⊥SI, ta có OK⊥(SBC), OH = OK nên O cách mặt đáy mặt bên (SBC) Tương tự O cách mặt bên lại

Vậy O tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp OH = OK = r Ta có:

IH SI

SH IH OH IH

IS IH OS

OH IS

IH OS OH

+ = ⇒ + = ⇒

=

SHI

Δ : SI2 = SH2 + HI2 = h2 + 2 4 2

2

4 h a

a h SI a

+ =

+ = ⇒

Vậy : r = OH =

2 2

2

4 2

2

a h a

ah a

h a

h a

+ +