[r]
(1)CHỦ ĐỀ I
KHỎANG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN
I.TĨM TẮT KIẾN THỨC
A KHỎANG CÁCH
1) Khỏang cách từ điểm M đến đường thẳng a không gian độ dài
đọan thẳng MH, MH a v⊥ ới H∈a
2) Khỏang cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) độ dài đọan MH, MH (P) v⊥ ới H∈(P)
3) Nếu đường thẳng a // (P) khỏang cách từ a đến (P) khỏang cách từ
điểm M a đến (P)
4) Nếu hai mặt phẳng song song khỏang cách chúng khỏang cách từ
một điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
5) Hai đường thẳng chéo a b ln ln có đường thẳng chung NΔ ếu Δ cắt a b A B độ dài đọan thẳng AB gọi khỏang cách a b chéo nói
Muốn tìm khỏang cách hai đường thẳng chéo người ta cịn có thể:
a) tìm khỏang cách từđường thẳng thứ đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai song song với đường thẳng thứ
b) tìm khỏang cách hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với
B GÓC
1) Góc hai đường thẳng khơng gian góc hai
đường thẳng qua điểm tùy ý không gian song song với hai
đường thẳng cho
) 90
( ≤ϕ ≤
ϕ
2) Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu vng góc mặt phẳng
3) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng
II RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a
a) Tính khỏang cách từđiểm A tới mặt phẳng BCD b) Tính khỏang cách hai cạnh đối diện AB CD
Giải
a) Gọi G trọng tâm tam giác BCD E = BC ∩ DG , F = CD ∩ BG
H
G
E F
B D
C A
(2)Ta có : BF = DE = AF = a =
3
a
CD ABF CD AG
AF CD
BF CD
⊥ ⇒ ⊥
⇒ ⎩
⎨ ⎧
⊥ ⊥
) ( Chứng minh tương tự ta có BC AG ⊥
Vậy AG (BCD) AG kh⊥ ỏang cách từ A đến (BCD) Ta có: AG2 = AB2 – BG2 = a2 -
3 2
3
2a a2
= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Vậy AG =
6
a
b) Gọi H trung điểm AB Vì CD⊥(ABF) nên CD⊥HF Mặt khác FA = FB nên FH⊥ AB Vậy FH khỏang cách hai cạnh đối AB CD
Ta có HF2 = AF2 – AH2 =
2
2
3 2
a a
a =
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
Vậy HF =
2
a
Bài 2. Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Tính a) Góc cạnh bên mặt đáy
b) Góc mặt bên mặt đáy
Giải
I A
C
B S
H
a) Do SABC hình chóp tam giác nên góc cạnh bên đáy Gọi H hình chiếu S lên mp(ABC) Ta có H trọng tâm tam giác ABC
AH hình chiếu SA lên mp(ABC) nên góc SAH góc cạnh bên SA đáy Ta có: AI =
2 3a
, AH =
3
a AI = Cos SAH =
2
3 = =
a a SA AH
Vậy SAH = 300
b) Các mặt bên hình chóp tao với đáy góc
Ta có SIA góc mặt bên mặt đáy
BC SI
BC AI
∠ ⇒ ⎩
⎨ ⎧
⊥ ⊥
SH = SA sỉn 300 = a , HI =
2
a AH
=
(3)CHỦ ĐỀ II
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I.TĨM TẮT KIẾN THỨC
1 Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc ( a, b, c kích thước) Thể tích khối lập phương
V = a3
3 Thể tích khối lăng trụ
V = B.h Thể tích khối chóp
V =
B.h ( B diện tích đáy ) II RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên SA, SB, SC
đều tạo với đáy góc 60o
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tính khỏang cách từđiểm A đến mp(SBC) Giải
H
F E
A
C
B S
a) Gọi H hình chiếu S lên mp(ABC), ta có H trọng tâm tam giác ABC
AH hình chiếu SA lên mp(ABC) nên g(SAH) = 60o
Ta có: AE =
3
a
, AH =
3
a
, HE =
3
a
SH = AH.tan 60o = a =a
3 Vậy VSABC =
12
4 3
1 a3
a
a =
b)Gọi AK khỏang cách từ A đến mp(SBC) Ta có: VSABC = VASBC =
SBC SABC SBC
S V AK AK
S
3
1 ⇒ =
SE2 = SH2 + HE2 = a2 +
6 42 36
42 36 6
6 2
2
a SE a
a a
a = + = ⇒ =
(4)SSBC =
12 42
42
1 a a2
a =
Vậy SK =
42 3 42 12 12
3
2
3 a
a a
=
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC
Giải
60
A C
B H S
F E
J
Hạ SH⊥(ABC), kẽ HE AB, HF⊥ ⊥BC, HJ⊥AC suy SE⊥AB, SF BC, SJ AC ⊥ ⊥
Ta có
60 = ∠ = ∠ =
∠SEH SFH SJH ⇒ ΔSAH =ΔSFH =ΔSJH nên HE =HF = HJ = r
( r bán kính đường trịn ngọai tiếp ΔABC)
Ta có SABC = p(p−a)(p−b)(p−c) với p = a b c 9a
2 =
+ + Nên SABC = 9.4.3.2 a2
Mặt khác SABC = p.r
3
2 a
p S
r = =
⇒
Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 = a 2 a
3
2 =
Vậy VSABC = 6 2.2 3
3
a a
a =
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 450
a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC
Giải
a) Kẽ SH BC mp(SAC) mp(ABC) nên SH⊥ ⊥ ⊥mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu
H lên AB BC ⇒ SI AB, SJ⊥ ⊥BC, theo giả thiết
45 = ∠ =
(5)
45
I
J H A
C
B S
Ta có: ΔSHI=ΔSHJ⇒HI =HJnên BH đường phân giác ∠ABC, từđó suy H trung điểm AC
b) Ta có HI = HJ = SH =
a
VSABC =
12
3
1 a3
SH SABC =
Bài : Cho hình chóp SABC, đáy ABC tam giác cân A có trung tuyến AD = a, hai mặt bên SAB SAC vng góc với đáy Cạnh bên SB hợp với đáy góc α hợp với mặt phẳng SAD góc β.Tính thể tích khối chóp SABC theo a, α, β
Giải
S
D
A C
B
Ta có : ( )
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) (
ABC SA
ABC SAC
ABC SAB
SA SAC SAB
⊥ ⇒ ⎪
⎩ ⎪ ⎨ ⎧
⊥ ⊥
= ∩
+ AB hình chiếu SB lên mp(ABC) nên g(SB, (ABC)) = ∠SBA=α
Ta có : BC (SAD)
SA BC
AD BC
⊥ ⇒ ⎩
⎨ ⎧
⊥ ⊥
+ SD hình chiếu SB lên mp(SAD) nên g(SB, (SAD)) = ∠BSD =β
Ta có : SB2 = SA2 + AB2 = SA2 + AD2 + BD2 (1)
(6)(1) ⇔SB2 =SB2.sin2α +a2 +SB2.sin2 β ⇔SB2 −SB2.sin2α −SB2.sin2β =a2
⇔SB2(1−sin2α −sin2 β)=a2 ⇔SB2(cos2α −sin2 β)=a2
β α 2 sin cos − =
⇔SB a
β α β β α α 2
2 cos sin
sin , sin cos sin − = − =
⇒SA a BD a
V = ) cos( ) cos( sin sin ) sin (cos sin sin 3 2 β α β α β α β α β α − + = − =
= BDADSA a a
SA SABC
Bài 5: Cho khối chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a.Gọi B’, D’lần lượt hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’
Giải
A n B D' O S C' B' D C
Ta có AB’ SB, AB’ CB ⊥ ⊥ ⇒ AB’⊥(SBC) ⇒ AB’⊥SC (a)
Tương tự AD’⊥SC (b)
Từ (a) (b) suy SC⊥(AB'C'D')⇒ SC⊥ AC' Do tính đối xứng, ta có VSAB’C’D’ = 2VSAB’C’ Ta có: 15 ' ' ' ' 2 2 2 2 2 ' ' = = = = = a a a a SC SA SB SA SC SC SC SB SB SB SC SC SB SB V V ABC S C AB S
Mà VSABC =
45 15
1 3
' '
2 a a
V a a a
C
SAB = =
⇒ =
Vậy VSAB’C’D’ =
45 16a3
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, C’ trung điểm SB SD Mặt phẳng AB’D’cắt SC C’.Tính tỉ số thể tích hai khối chóp SAB’C’D’ SABCD
(7)
I
C'
C" S
I
O
D' B'
B
D
C A
Gọi O = AC∩BD.Ta có AC’, B’D’, SO đồng quy I I trung điểm SO
Kẻ OC” // AC’ Ta có SC’ = C’C” = C”C, nên
3 '
=
SC SC
Ta có
12
1 '
' ' '
'
' = = = ⇒ =
SABCD C SAB SABC
C SAB
V V SC
SC SB SB V
V
Tương tự ta có:
12
' ' =
SABCD D SAC
V V
Vậy
6 12
1 12
1
' ' '
' '
'
' = + = + =
SABCD D SAC C
SAB SABCD
D C SAb
V V V
V V
Bài 7: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (α)qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng
Giải
Kẻ MN // CD (N hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM)
)
SD
∈
+ SANB SADB SABCD
SADB
SAND V V V
SD SN V
V
4
1
1
= =
⇒ = =
N S
O M
B D
C
(8)+ SBMN SBCD SABCD SBCD
SBMN V V V
SD SN SC SM V
V
8
1
1
= = ⇒ = =
=
Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD
Suy VABMN.ABCD = VSABCD Do :
5
=
ABCD ABMN
SABMN
V V
Bài 7: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao h góc hai đường chéo hai mặt bên kề phát xuất từ đỉnh α Tính thể tích lăng trụ
Giải
B'
h
D'
C'
A'
O
B
D C
A
Gọi x cạnh đáy, ta có B’D’ = x 2, AB'= AD'= h2 +x2 α α ' ' cos cos
' ' ' ' '
' :'
'D B D2 AB2 AD2 AB AD AB2 AB2
AB = + − = −
Δ
⇔2x2 =2(h2 +x2)−2(h2 +x2)cosα ⇔ x2 =(h2 +x2)−(h2 +x2)cosα
α α
cos ) cos (
2 = −
⇔x h .Vậy V = x2.h =
α α
cos ) cos (
3 − h
Bài 8: Đáy lăng trụđứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ
Giải
30
I C'
B' A'
C
B A
(9)Giả sử BI = x
3
x x
AI = =
⇒
Ta có ' 300
' ⇒∠ =
⎩ ⎨ ⎧
⊥ ⊥
IA A BC
I A
BC AI
x x
AI AI
I A AI
A
3 3 30 cos : '
:
' = = = =
Δ
A’A = AI.tan 300 = x = x
3 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = ⇒ x=2
Do VABC.A’B’C’ =
Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = , AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể
tích khối lăng trụđó biết cạnh bên Giải
Kẻ A’H ⊥(ABCD), HM⊥ AB, HN ⊥ AD ⇒ A'M ⊥ AB, A'N ⊥ AD(định lý đường vng góc) ⇒∠ A'MH =450,∠A'NH =600
Đặt A’H = x Khi A’N = x : sin 600 =
3 2x
AN = AA −A N = − x =HM
3 '
'
2
2
Mà HM = x.cot 450 = x
H N
M
D'
C'
B' A'
D
C
B A
Nghĩa x =
7 3
4
3
= ⇒ −
x x
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x =
7
(10)CHỦ ĐỀ III
DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
I.TĨM TẮC KIẾN THỨC.
1 Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2.π.R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
2 Thể tích khối trụ: V = π.R2.h ( h : độ dài đường cao ) Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π.R.l
4 Thể tích khối nón: V = R h
3
1 π
5 Diện tích mặt cầu: S = 4.π.R2
6 Thể tích khối cầu: V = .
3
R π
II.RÈN LUYỆN.
Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy a đường cao a
a) M N hai điểm lưu động hai đáy cho góc MN đáy α Tính khỏang cách từ trục đến MN
b) Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ tam giác ngọai tiếp hình trụ
Giải
C'
B'
A'
C
B
A
O'
O J I
N
N' H M
a) Kẻđường sinh NN’ ta có ∠NMN'=α , kẻ OH ⊥MN' OH khỏang cách trục OO’ MN
Ta có: MN’ = NN’ cotα= a 2.cotα
Δvng OMH : OH2 = OM2 – MH2 = a2 - (2 cot )
2 cot
2
2
2
α α = a − a
2 cot
2− 2α
= ⇒OH a
(11)Ta có: O’N =R =
3 6
3
3 3
1 R a
x x
x
AN = = ⇒ = =
VABC.A’B’C’ =
12 36 '
3 2
2
a a
a OO
x = =
Sxq = 3x.OO’= 6
3
18a a = a2
Bà2. Cho hình nón có chiều cao h, góc đường sinh đường cao α a) Tính diện tích thiết diện hình nón mặt phẳng qua hai đường sinh
vng góc
b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón
c) Tính độ dài đường cao hình trụ nội tiếp hình nón, biết thiết diện qua trục hình trụ hình vuông
Giải
Q P
N M
O
B A
S
a)Tính diện tích thiết diện R = OA =h tan α, SA =
α
cos
h
SA SB ⊥ ⇒ΔSAB vuông cân
SSAB =
α 2
cos 2
1 h
SA =
b)+ Sxq =
α α π
π
cos tan
.RSA= h
+ V =
3 tan tan
1
2
2 π α π α
π R SO= h h= h
c) Đặt OM = x ⇒MN=2x
Ta có: MN//SO MN.AO AM.SO 2x.R h.(R x)
AO AM SO
MN = ⇒ = ⇒ = −
⇒
1 tan
tan 2
2
) (
+ =
+ = ⇒ + = ⇒ = + ⇒
α α R
h h
R hR MN
h R
hR x
(12)Bài 3: Cho hình nón đỉnh S có đường sinh a, góc đường sinh đáy α a) Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón
b) Một mặt phẳng hợp với đáy góc 600 cắt hình nón theo hai đường sinh SA SB Tính diện tích tam giác SAB khỏang cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng
Giải
a
K H
O
B A
S
a) Tính V Sxq
Δ vuông SAO : SO = a.sinα, AO = a.cosα
V = π π .cos α.sinα
3
1 AO2 SO= a3
Sxq = π.AO.SA=π.a2.cosα
b) + Tính SSAB
Kẻ OH⊥ AB⇒SH ⊥ AB, ∠SHO =600
Δvuông SOH :
3 sin 60
sin
α a SO
SH = = , OH = SO.cot.60 =
3 sin
3 α
a
Δ vuông AOH : AH2 = AO2 – OH2 = a2.cos2
9 sin
3 α
α − a α
α
2 sin
cos
3 −
= ⇒ AH a
Vậy SSAB =
3
sin cos
3 sin
2
1 α 2α − 2α
= a SH AB
+ Tính d(O,(SAB))
Kẻ OK⊥SH ⇒OK ⊥(SAB)
Δ vuông OKH : OK = OH.sin 600 =
2 sin
3
sin
3 α a α
a
(13)Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên b Tính thể tích diện tích mặt cầu ngọai tiếp hình chóp
Giải
b
a O
K I
C
B A
S
Gọi O hình chiếu S lên mp(ABC) O tâm đường trịn ngọai tiếp ΔABC Mặt phẳng trung trực SA cắt SA I cắt SO K Khi SK = KA = KB = KC K tâm mặt cầu ngọai tiếp
Hai tam giác đồng dạng SIK SOA cho ta:
SO SA SO
SA SI SK SO
SI SA SK
2
= =
⇒ =
Tam giác vuông SOA: SO2 = SA2 – AO2 = b2 -
3
3
2
a b
a = −
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
Suy ra: SO =
3
2 a
b − Vậy SK = R =
2 2
2
3
3
2 b a
b a
b b
− =
−
• V =
3 2
2 2
)
(
3
2
3
3
a b b a
b b R
− =
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
−
= π π
π
• S = 2 2
4
2
3 ) (
2
a b
b a
b b
− = −
(14)Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA, SB, SC vng góc với đôi SA = a, SB = b, SC = c Tính bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp
Giải
K
O
I
C
B
A
S
Qua trung điểm I đọan BC, ta dựng đường thẳng d⊥(SBC) Mặt phẳng trung trực đọan SA cắt d O, Ta có OA = OS = OB = OC = R O tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp
Ta có : SI = 2
2
2 b c
BC = +
SO2 = SI2 + SA⎟ = b +c +a ⇒SO= a +b +c =R
⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ 2 2 2
2
2
4
2
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh bênSA vng góc với đáy
a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp SABCD
b) Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt AB, SC, SD B’, C’, D’ Chứng tỏ bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ nằm mặt cầu
Giải
I
C' D'
B'
O
D
C B
(15)a) Ta có : BC SB SA
BC AB BC
⊥ ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⊥ ⊥
Tương tự CD⊥SD
Vậy điểm A, B, D nhìn đọan SC góc vng, tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm I SC
b)Ta có : AC’⊥SC C’
* AB’⊥SC AB’⊥BC( BC⊥(SAB)⊃ AB') nên AB’⊥(SBC)⇒ AB'⊥B'C
* AD’⊥SC AD’⊥DC( DC⊥(SCD)⊃ AD'nên AD’⊥(SCD)⇒ AD'⊥D'C
Vậy điểm B’, C’, D’, D, B nhìn đọan AC góc vng, bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ nằm mặt cầu đường kính AC
Bài 7: Xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có cạnh a Giải
I O
K E
C
B A
D
Gọi O hình chiếu D lên mp(ABC), O trọng tâm tam giác d8ều ABC.Mặt phẳng trung trực đọan AD cắt AD E cắt DO K Ta có KD = KA = KB = KC nên K tâm mặt cầu nội tiếp tứ diên :
d(K,(DAB)) = d(K, (DBC)) = d(K, (DAC)) = d(K, (ABC)) = OK Ta có : AO =
3 3
2 a
AI = , OD =
3
2 AO a
DA − =
Vì ΔDEK đồng dạng ΔDOA ta có :
4
6
6 :
a DK a
a DO DE DA
DK = = = ⇒ =
Vậy OK = OD – DK =
12
6
6 a a
a − =
Bài 8: Xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h có cạnh đáy a
(16)
O K
I H
D C
B A
S
Gọi H tâm hình vng cạnh a, SH = h Gọi I trung điểm BC Trong ΔSHI phân giác ∠SIH cắt SH O, từ O kẻ OK ⊥SI, ta có OK⊥(SBC), OH = OK nên O cách mặt đáy mặt bên (SBC) Tương tự O cách mặt bên lại
Vậy O tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp OH = OK = r Ta có:
IH SI
SH IH OH IH
IS IH OS
OH IS
IH OS OH
+ = ⇒ + = ⇒
=
SHI
Δ : SI2 = SH2 + HI2 = h2 + 2 4 2
2
4 h a
a h SI a
+ =
+ = ⇒
Vậy : r = OH =
2 2
2
4 2
2
a h a
ah a
h a
h a
+ +