1. Trang chủ
  2. » Mầm non - Tiểu học

Bài tập Hình học 10 chương 3: Phương pháp toạ độ phẳng

20 27 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 20
Dung lượng 0,94 MB

Nội dung

Viết một phương trình tham số khác của d b Tìm trên d một điểm A có hoành độ gấp đôi tung độ.. Tìm một VTCP, suy ra trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau : Đường thẳng d qua[r]

(1)Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H ỌC 10 Ch ơng Phương Pháp Toạ Độ Phẳng http://www.saosangsong.com.vn/ Save Your Time and Money Sharpen Your Self-Study Skill Suit Your Pace Lop10.com (2) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng § Phương trình tổng quát đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa Vectơ n khác vuông góc đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) ∆ • Phương trình đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) và có VTPT n = (a ; b) là : a(x – x0) + b(y – y0) = • Phương trình tổng quát đường thẳng có dạng : ax + by +c=0 n đó n = (a ; b) là VTPT • ∆ vuông góc Ox Ù ∆ : ax + c = a ∆ vuông góc Oy Ù ∆ : by + c = ∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by = ∆ x y ∆ qua A(a ; 0) và B(0 ; b) Ù ∆ : + = ( Phương trình φ a b theo đọan chắn ) M • Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k : y = kx + m với k = tanφ , φ là góc hợp tia Mt ∆ phía trên Ox và tia Mx Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = và ∆2 : a2x + b2y + c = Tính D = a1 b – a2 b1, Dx = b1 c – b2 c1 , Dy = c a – c2 a1 D ⎞ ⎛ D • ∆1 , ∆2 cắt Ù D ≠ Khi đó tọa độ giao điểm là : ⎜ x = x ; y = y ⎟ D D ⎠ ⎝ ⎧D = ⎪ • ∆1 // ∆2 Ù ⎨ ⎡ D x ≠ ⎪⎢D ≠ ⎩⎣ y • ∆1 , ∆2 trùng Ù D = Dx = Dy = Ghi chú : Nếu a2, b2 , c2 ≠ thì : • ∆1 , ∆2 cắt Ù Ù • ∆1 // ∆2 Ù • a1 b1 ≠ a b2 a1 b1 c1 = ≠ a b2 c a b c ∆1 , ∆2 trùng Ù = = a b2 c B Giải tóan Dạng tóan : Lập phương trình tổng quát đường thẳng : Cần nhớ : • • Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và vuông góc n = (a; b) là : a(x – x0 ) + b(y – y0) = Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và cùng phương a = (a ; a ) là : x − x o y − yo = a1 a2 www.saosangsong.com,vn Lop10.com (3) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng • Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = có dạng : by + m = với m ≠ c • Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 )coù daïng : a(x – x0 ) + b(y – y0) = ax + ( a2 + b2 ≠ ) • Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) và B(0 ; b) là : x y + =1 a b Ví dụ : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) và C(- 1; 4) Viết phương trình tổng quát : a) đường cao AH và đường thẳng BC b) trung trực AB c) đường trung bình ứng với AC d) đuờng phân giác góc A Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) và vuông góc BC = (- ; 3) có phương trình là : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = Ù - 2x + 3y = Đường thẳng BC là tập hợp điểm M(x ; y) cho BM = ( x − 1; y − 1) cùng phương x −1 y −1 = ( điều kiện cùng phương hai vectơ) Ù 3(x – BC = (−2;3) nên có phương trình là : −2 1) + 2(y – 1) = Ù 3x + 2y – = b) Trung trực AB qua trung điểm I( ; 3/2 ) AB và vuông góc AB = (- ; - 1) nên có phương trình tổng quát là : 2(x – 2) + 1.(y – 3/2) = Ù 4x + 2y – 11 = c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( ; 5/2) và cùng phương AB = (- ; - 1) Đường này là tập hợp điểm M(x ; y) cho KM = ( x − 0; y − ) cùng phương x −0 y −5/ = ( điều kiện cùng phương hai vectơ) AB = (−2;−1) nên có phương trình là : Ù x – 2y + = d) Gọi D(x ; y) là tọa độ chân đường phân giác Theo tính chất phân giác : DB AB =− AC DC Mà AB = 22 + 12 = 5, AC = 42 + 22 = , đó : DB = − <=> 2DC = − DC DC ⎧2(1 − x) = x + ⎧ x = 1/ Ù ⎨ <=> ⎨ ⎩2(1 − y) = y − ⎩y = Vậy D = (1/3 ; 2) Vì yA = yD = nên phương trình AD là y = Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình AB : 2x – y + = , đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( ; ) Viết phương trình các cạnh còn lại Giải Vì AD vuông góc với AB nên VTPT n = (2 ; - 1) AB là VTCP AD Phương trình AD x y qua O là : = Ù x + 2y = −1 www.saosangsong.com,vn Lop10.com (4) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng ⎧2x − y + = Tọa độ A là nghiệm hệ : ⎨ Giải hệ này ta : x = - ; y = => A(- ; 1) ⎩ x + 2y = ⎧ x A + x C = 2x I = ⎧ x C = 10 I là trung điểm AC , suy : ⎨ : C(10 ; 9) <=> ⎨ y y 2y 10 y + = = = C I ⎩ A ⎩ C Đường thẳng CD song song với AB nên n = (2 ; - 1) là A B VTPT CD CD qua C(10 ; 9) , đó phương trình CD là : I 2(x – 10) - (y – 9) = Ù 2x – y – 11 = Đường thẳng BC qua C và song song AD , đó phương trình BC là : (x – 10) + 2(y – 9) = Ù x – 2y – 28 = C D Ví dụ : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 = a) Tính diện tích tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng d qua trục Ox c) Viết phương trình đường thẳng d” đối xứng d qua điểm I(- ; 1) Giải : a) Cho x = : - 4y – 12 = Ù y = - => d cắt Oy tai A(0 ; - 3) Cho y = : 3x – 12 = Ù x = => d cắt Ox tai B(4 ; 0) Diện tích tam giác vuông OAB là : ½ OA.OB = ½ = đvdt b) Gọi A’(0 ; 3) là đối xứng A qua Ox Ta có d’ qua A’ và B , cùng phương A' B = (4;−3) có phương x −0 y−3 = Ù 3x + 4y – 12 = trình là : −3 c) Gọi B1là đối xứng B qua I => B1 (- ; 2) Đường thẳng d” qua B1và song song với d , có phương trình : 3(x + 6) – 4(y - 2) = Ù 3x – 4y + 26 = y A’ B1 I *Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2) , cắt tia Ox A, tia Oy B cho : a) OA + OB = 12 b) hợp với hai trục tam giác có diện tích là 12 Gọi A(a ; 0) và B(0 ; b) với a > , b > , phương trình đường x y thẳng cần tìm có dạng : + = Vì đường thẳng qua M(3 ; 2) nên : a b + = (1) a b a) OA + OB = 12 Ù a + b = 12 Ù a = 12 – b (2) + =1 Thế (2) vào (1) : 12 − b b Ù 3b + 2(12 – b) = (12 – b)b Ù b2 – 11b + 24 = Ù b = hay b = Giải : www.saosangsong.com,vn Lop10.com B A B A x (5) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng x y + = <=> x + 3y − = x y • b = : a = , phương trình cần tìm : + = <=> 2x + y − = b) Diện tích tam giác OAB là ½ OA.OB = ½ ab = 12 Ù a = 24/b (3) 3b + = Ù b2 + 16 = 8b Thế (3) vào (1) : 24 b Ù (b – 4)2 = Ù b = x y Suy : a = , phương trình cần tìm là : + = Ù 2x + 3y – 12 = Dạng : Tìm vị trí tương đối hai đường thẳng • b = : a = , phương trình cần tìm : Ví dụ : Tìm vị trí tương đối cac đường thẳng sau : a) 9x – 6y – = , 6x + 4y – = b) 10x – 8y + 2/3 =0 ; 25x – 20y + 5/3 = −6 ≠ nên hai đường thẳng cắt 10 −8 / b) Ta có : = = = nên hai đường thẳng trùng 25 −20 / Giải a) Ta có : * Ví dụ : Cho d : (m + 1)x – 2y + m + = d’ : mx - 3y + = a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M b) Tìm m ∈ Z để tọa độ giao điểm là số nguyên ⎧(m + 1)x − 2y + m + = (1) Giải a) Tọa độ giao điểm M là nghiệm hệ : ⎨ ⎩mx − 3y + = (2) m +1 − Hai đường thẳng cắt Ù D = = −3(m + 1) + 2m = −m − ≠ m −3 Ùm≠-3 − m +1 = - 2.1 + 3(m + 1) = 3m +1 Ta có : Dx = −3 Dy = m +1 m +1 = m(m + 1) – 1.(m+1) = m2 - m Dx - 3m - ⎧ ⎪⎪x = D = m + Tọa độ giao điểm M : ⎨ ⎪y = D y = - m + ⎪⎩ D m+3 −3(m + 3) + 8 b) Ta có : x = =-3+ m+3 m+3 y = − m +3− m+3 Để x và y ∈ Z thì chia hết cho (m + 3) www.saosangsong.com,vn Lop10.com (6) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng Ù (m + 3) ∈ { ± ; ± ; ± ; ± } Ù m ∈ {- ; - ; - ; - ; ; - ; ; - 11 } Ví dụ : Cho đường thẳng d : 2x + y - 13 = và điểm A (1 ; 1) a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc d b) Tìm tọa độ hình chiếu A lên d và tọa độ điểm A’ , đối xứng A qua A Giải a) Đường thẳng d’ vuông góc d nên VTPT n = (2 ; 1) d là VTCP d’ Suy phương trình d’ là : x −1 y −1 Ù x – 2y + = = A b) Tọa độ giao điểm H d và d ‘ thỏa hệ : ⎧2x + y − 13 = ⎧x = H Ù ⎨ : H(5 ; 3) , là hình chiếu A lên d ⎨ y − + = = x 2y ⎩ ⎩ H là trung điểm AA’ , suy : ⎧x A ' = x H − x A = : A' (9 ; 5) ⎨ ⎩y A' = y H − y A = A’ C Bài tập rèn luyện 3.1 Cho đường thẳng d : y = 2x – a) Vẽ đường thẳng d Xác định giao điểm A và B d với Ox và Oy.Suy diện tích tam giác OAB và khoảng cách từ O tới d b) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d , cắt Ox M , Oy N cho MN = 3.2 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d : a) qua điểm A(1 ; - 2) và có hệ số góc là b) qua B ( - 5; ) và cùng phương a = ( ; - 5) c) qua gốc O và vuông góc với đường thẳng : y = − 3x d) qua I(4 ; 5) và hợp với trục tọa độ tam giác cân e) qua A(3 ; 5) và cách xa điểm H(1 ; 2) 3.3 Chứng minh các tập hợp sau là các đường thẳng : a) Tập hợp điểm M mà khoảng cách đến trục hoành gấp đôi khoảng cách đến trục tung b) Tập hợp điểm M thỏa MA + MB2 = 2MO với A(2 ; ) và B( ; - 2) Cho tam giác ABC có A(4 ; 1) , B(1 ; 7) và C(- 1; ) Viết phương trình tổng quát a) Đường cao AH , đường thẳng BC b) Trung tuyến AM và trung trực AB c) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC và CA là : AB : x – = ; BC : 4x – 7y + 23 = ; AC : 3x + 7y + = www.saosangsong.com,vn Lop10.com (7) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng a) Tìm tọa độ A, B, C và diện tích tam giác b) Viết phương trình đường cao vẽ từ A và C Suy tọa độ trực tâm H Cho hai đường thẳng d : mx – y + m + = và d’ : x – my + = a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M , suy M di động trên đường thẳng cố định b) Định m để d và d’ và đường thẳng ∆ : x + 2y – = đồng quy Cho hai điểm A(5 ; - 2) và B(3 ; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C(1 ; 1) cho A và B cách đường thẳng d 3.8 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x – y – = và x + y – = Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I(3 ; 1) *3 Cho tam giác ABC có trung điểm AB là I(1 ; 3) , trung điểm AC là J(- 3; 1) Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC và đường cao vẽ từ B *3.10 Cho điểm M(9 ; 4) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt hai tia Ox và tia Oy A và B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ * 3.11 Cho điểm M(3 ; 3) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt Ox và Oy A và B cho tam giác MAB vuông M và AB qua điểm I(2 ; 1) D Hướng dẫn hay đáp số : 3.1 a) A(2 ; 0) , B(0 ; - 4) ; S = đvdt Ta có : 1 1 = + = + = => OH = 2 16 16 OH OA OB b) Phương trình d’ coù dạng : y = 2x + m , cắt Ox M(- m/2 ; 0) , caét Oy N(0 ; m) Ta có MN = OM + ON = |m| =3 Suy : m = ± 3.2 a) y + = 3(x – 1) Ù y = 3x – x+5 y−2 = <=> 5x + y + 21 = −5 c) y = x ( hai đường thẳng vuông góc Ù tích hai heä soá goùc laø – 1) b) d) Vì d hợp với Ox góc 450 hay 1350 nên đường thẳng có hệ số góc là tan 450 = hay tạn(1350) = - , suy phương trình laø : y = x + ; y = - x + e) Đường thẳng cần tìm qua A và vuông góc AH = ( −2;−3) 3.3 a) Gọi (x ; y) là toạ độ M : |y| = 2|x| Ù y = 2x hay y = - 2x b) MO2 = x2 + y2 , MA2 = (x – 2)2 +(y – 1)2 , MB2 = (x – 1)2 + (y + 2)2 Suy : 3x – y – = c) Đường thẳng cần tìm qua điểm D cho : DA = −2DB Ù D = (2 ; 5) www.saosangsong.com,vn Lop10.com (8) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng a) A(3 ; - 2) ; B(3 ; 5) ; C(- ; 1) , S = ½ AB CH = 47/ đvdt b) AH : y = , AK : 7x + 4y – 13 = , H(9/7 ; 1) a) D = – m2 ≠ Ù m ≠ ± , toạ độ giao điểm : Dx m+2 ⎧ x = = − = − − ⎪⎪ D m +1 m +1 ⎨ D ⎪y = y = ⎪⎩ D m +1 => x + y + = => M di động treânđường thẳng : x + y + = b) Thế toạ độ M vào phương trình : x + 2y – = , ta : m = - 2/3 d laø đường thẳng qua C : • Vaø qua trung điểm I(4 ; 1) cuûa AB • hay cuøng phöông AB = ( −2;6) 3.8 Gọi AB : 3x – y – = và AD : x + y – = Giải hệ , ta A = (1 ; 1) Suy C = (5 ; ) CD : 3x – y – 14 = ; BC : x + y – = * A = (0 ; a) => B(2 ; – a) vaø C(- ; – a) BC qua goác O vaø OB vaø OC cuøng phöông Ù 2(2 – a) = (6 – a) ( - 6) Ù a=5 10 Đặt A(a ; 0) và (0 ; b) ,với a , b > Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : x y + = Đường naøy qua I Ù + = a b a b AÙp duïng bđt Coâsi cho hai soá : = => ab ≥ 12 => S OAB = 9 12 + ≥2 = a b a b ab ab ≥ 72 Vậy tam giaùc OAB coù diện tích nhoû nhaát laø 72 thẳng cần tìm laø : = = <=> a = 18 ; b = và PT đường a b x y + = <=> x + y − 72 = 18 3.11 Đặt A(a ; 0) , B(0 ; b) , ta có : MA.MB = ( a − 3)(−3) + ( −3)(b − 3) = Ù a + b = (1) www.saosangsong.com,vn Lop10.com (9) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng Mặt khác phương trình đường thẳng AB : (AB) qua I(2 ; 1) Ù x y + = a b + = Ù 2b + a = ab (2) a b Thế (1) vaøo (2) : 2b + (6 – b) = (6 – b)b Ù b2 – 5b + = Ù b = hay b = Suy : (a = ; b = 2) hay (a = ; b = 3) § Phương trình tham số đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa a khác cùng phương với đường thẳng ∆ gọi là vectơ phương (VTCP) ∆ • Phương trình tham số đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) và có VTCP ⎧ x = x o + ta1 a = (a1 ; a2 ) là : ⎨ ⎩ y = y o + ta • Phương trình chính tắc đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) và có VTCP a x − x o y − yo = = (a1 ; a2 ) là : ( a1 ≠ và a2 ≠ 0) a1 a2 Nếu n = (a; b) là VTPT ∆ thì a = (b ; - a) hay ( - b ; a) là n a ∆ M VTCP ∆ B Giải toán Dạng toán : Lập PT tham số đường thẳng • Tìm điểm M(x0 ; y0 ) và VTCP (a ; a2) : ⎧ x = xo + a1t ¾ phương trình tham số là : ⎨ ⎩ y = yo + a2t x − xo y − y0 =− ¾ phương trình chính tắc là : (a1, ≠ 0) a1 a2 ¾ phương trình tổng quát là : a2(x – x0) – a1( y – y0) = • Tìm điểm M(x0 ; y0 ) và VTPT (a ; b) => VTCP (b ; - a) Áp dụng trên Ví dụ : Cho A( ; 2) , B(3 ; - 4) , C(0 ; 6) Viết PT tham số , chính tặc và tổng quát : a) đường thẳng BC b) đường cao BH c) đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC và song song với d : 3x -7y = Giải a) BC qua B(3 ; - 4) và có VTCP BC = (−3;10) nên có PTTS là : www.saosangsong.com,vn Lop10.com (10) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng ⎧ x = − 3t ⎨ ⎩ y = −4 + 10t 10 => PTCT là : x −3 y + = −3 10 và PTTQ là : 10( x − 3) + 3( y + 4) = Ù 10x + 3y -18 = b) Đường cao BH qua B(3 ; - 4) và vuông góc AC (−1; 4) nên có VTCP là (4 ; 1) Suy PTTS : ⎧ x = + 4t ⎨ ⎩ y = −4 + t x−3 y +4 PTCT : = PTTQ : 1(x – 3) – 4(y + 4) = Ù x – 4y – 19 = c) Đường thẳng song song với d : 3x – 7y = nên vuông góc VTPT n d (3 ; - 7), suy VTCP là (7 ; 3) Tọa độ trọng tâm G là : (4/3 ; 4/3 ) ⎧ x = / + 7t PTTS đường thẳng cần tìm : ⎨ ⎩ y = / − 3t 4 x− y− 3 = PTCT : PTTQ : 3(x – 4/3) – 7(y – 4/3) = Ù 3x – 7y + 16 =0 Dạng toán : Tìm điểm đường thẳng Tọa độ điểm M đường thẳng cho PTTS Ứng với t , ta điểm đường thẳng Bài toán thường đưa việc giải phương trình hay hệ phương trình mô tả tính chất điểm ⎧ x = − 2t Ví dụ : Cho đường thẳng d : ⎨ ⎩ y = + 3t a) Tìm trên d điểm M cách điểm A(4 ; 0) khoảng là b) Biện luận theo m vị trí tương đối d và d’: (m + 1)x + my – 3m – = Giải : a) Tọa độ điểm M thuộc d cho phương trình tham số d : M = (3 – 2t ; + 3t) Ta có : AM = (-1 – 2t ; + 3t ) => AM2 = (1 + 2t)2 + (1 + 3t)2 = 13t2 + 10t + Ta có : AM2 = 25 Ù 13t2 + 10t + = 25 Ù 13t2 + 10t – 23 = Ù t = hay t = - 23/13 Ù M = (1 ; 4) hay M = ( 85/13; - 56/13) b) Thế phương trình tham số d vào phương trình d’ , ta phương trình tính tham số t giao điểm , có : (m + 1)(3 – 2t) + m(1 + 3t) – 3m – = Ù (m – 2)t + m – = (1) • m – = Ù m = : (1) thỏa với m Ù d và d’ có vô số điểm chung Ù d , d’ trùng • m – ≠ Ù m ≠ : (1) có ngh Ù d và d’ cắt Ghi chú : Có thể biến đổi d dạng tổng quát : 3x + 2y – 11 = và biện luận www.saosangsong.com,vn Lop10.com (11) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 11 theo hệ phương trình ẩn C Bài tập rèn luyện 3.12 : Cho đường thẳng d có hương trình tham số : x = + 2t 5t ;y=2(1) a) Tìm VTCP d có tọa độ nguyên và điểm d Viết phương trình tham số khác d b) Tìm trên d điểm A có hoành độ gấp đôi tung độ c) Tìm trên d điểm B cách gốc O khoảng là 58 13 phương a) b) c) d) e) Cho tam giác ABC có A(1 ; - 2) , B(0 ; 4) và C(6; 3) Tìm VTCP, suy trình tham số và chính tắc các đường thẳng sau : Đường thẳng d qua A và có VTCP là (3 ; - ) Đường trung trực BC Đường thẳng AB Đường trung bình tam giác ABC ứng với cạnh BC Đường phân giác ngoài của góc B 3.14 Cho tam giác ABC với BC : 2x – y – = , đường cao BH : x + y - = , đường cao CK : x + y + = Viết phương trình các cạnh tam giác 3.15 Cho hình chữ nhật ABCD có AB : 2x – y – = , AD qua M(3 ; 1) và tâm I có tọa độ là ( - ; ½ ) Viết phương trình các cạnh AD , BC và CD *3 16 Cho tam giác ABC có trung điểm M AB có tọa độ (- ½ ; 0) , đường cao CH với H(- 1; 1) , đường cao BK với K(1 ; 3) và biết B có hoành độ dương a) Viết phương trình AB b) Tìm tọa độ B, A và C 3.17 Chọn câu đúng : Phương trình nào đây là phương trình tham số đường trung trực AB với A(3 ; - 5) và B(5 ; 9) : ⎧x = + t a) ⎨ ⎩ y = + 7t ⎧x = 1+ t b) ⎨ ⎩ y = + 7t ⎧ x = + 7t c) ⎨ ⎩y = + t ⎧ x = + 7t d) ⎨ ⎩y = − t 3.18 Chọn câu đúng : Phương trình nào đây là phương trình tổng quát ⎧ x = + 3t là : ⎩ y = −1 + 2t đường thẳng qua A(4 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng d : ⎨ a) 3x + 2y – = b) 3x - 2y – 12 = c) 2x – 3y – 23 = d) 4x + 5y – 22 = 3.19 Chọn câu đúng : Đường thẳng d : x+3 y−2 xác định với hai trục tọa độ = tam giác có diện tích là : a) 64/5 b) 128/5 c) 16/ d) đáp số khác 3.20 Chọn câu đúng : Gọi d là đường thẳng qua M(4 ; - 3) và song song với đường thẳng y = 2x – a) d qua điểm ( 10 ; 10) \ www.saosangsong.com,vn Lop10.com (12) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 12 b) trên d không có điểm nào có tọa độ là số nguyên chẵn c) Cả (a) và (b) sai d) Cả (a) và (b) đúng 3.21 Chọn câu đúng : Cho tam giác ABC cân A(1 ; - 2) , trọng tâm là G(5 ; 6) Phương trình đường thẳng BC là : a) x + 2y + 27 = c) x – 2y – 27 = A b) x + 2y – 27 = d) 2x – y – = C Hướng dẫn hay đáp Số 3.12 a) a = ( ; - 5) , x = + 4t , y = – 5t b) Giaûi xA = 2yA Ù t = 1/14 c) Dùuøng phöông trình tham số d : (3 + 4t)2 + (2 – 5t)2 = 58 3.13 a) x = + 3t , y = - – 2t b) x = + 8t , y = 7/2 + 3t G B C c) Trung trực vuông góc BC = (6 ;−1) nên cùng phương vectơ (1 ; 6) Suy phương trình ⎧x = t ⎩ y = + 6t tham soá : ⎨ 3.14 BC vaø BH cắt taïi B(2 ; 0) BC vaø CK cắt taïi C(1 ; - 2) Phöông trình AB qua B vaø vuoâng goùc CK laø : 3(x – 2) – 1(y – 0) = 3.15 AD qua M vaø vuoâng goùc AB coù phöông trình : 1.(x – 3) + 2(y – 1) = Ù x + 2y – = Suy tọa độ A = AB ∩ AD = (7/5 ; 9/5) Suy toạ độ C, đối xứng A qua I *3 16 a) Phöông trình AB qua H vaø M : 2x + y + = b) B thuoäc AB Ù B = (b ; - 2b – 1) A đối xứng B qua M Ù A = (- – b ; 2b + 1) Mặt khaùc AK BK = Ù 5b2 + 5b – 10 = Ù b = Vậy B = (1 ; - 3) , A = (- ; 3) , C = (3 ; 3) 3.17 (d) 3.18 (a) 3.19 (a) 3.20 (b) 3.21 (b) § Khoảng cách và góc M A Tóm tắt giáo khoa I Khỏang cách từ M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = là : | ax0 + by o + c | d(M, ∆) = a2 + b2 *2 Gọi M’ là hình chiếu M lên ∆ , thì : www.saosangsong.com,vn Lop10.com M’ ∆ (13) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 13 axM + byM + c n Suy : a + b2 M, N nằm cùng phía ∆ Ù (axM + byM + c)( (axN+ byN + c) > M ' M = k n = • • M, N nằm khác phía ∆ Ù (axM + byM + c)( (axN+ byN + c) < * Phương trình hai đường phân giác góc hợp hai đường thẳng : a1x + b1 y + c1 = và a2x + b2 y + c2 = là : a1 x + b1 y + c1 a x + b2 y + c ± =0 2 2 a1 + b1 a + b2 II Góc ( không tù ) tạo ∆1: a1x+ b1y + c1 = và ∆2 : a2x + b2y + c = là : | a1 a + b1b2 | cos(∆1 ; ∆2 ) = 2 2 a1 + b1 a + b2 ∆1 ┴ ∆2 Ù a1a2 + b1b2 = B Giải toán Dạng : Tính khỏang cách và lập phương trình đường thẳng liên quan đến khỏang cách Ví dụ : a) Tính khoảng cách từ điểm A(1 ; 3) đến đường thẳng d : 3x – 4y + = b) Tình bán kính đường tròn tâm O tiếp xúc đường thẳng d : 2x +y + = ⎧x = + t c) Tính khoảng cách từ điểm P(3 ; 12) đến đường thẳng : ⎨⎩ y = − 3t d) Tính khoảng cách hai đường thẳng song song : d : 5x + 3y – = và d’ : 5x + 3y + = 3x A − yA + 3.1 − 4.3 + =1 5 32 + b) Bán kính đường tròn là khoảng cách từ O đến đường thẳng d : Giải a) d(A, d) = R = d(O , d) = 2.0 + + 2 + 12 = = = d O c) Ta viết phương trình dạng tổng quát : x−2 y−5 = <=> −3( x − 2) = y − Ù 3x + y - 11 = −3 d(P, ∆ ) = 3.3 + 12 − 11 +1 2 = 10 10 d = 10 d) Chọn trên d : 5x + 3y - = điểm M ( 1; ) , thì : www.saosangsong.com,vn Lop10.com d' M (14) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng d(d , d’ ) = d(M, d) = 14 5.1 + + = +1 2 13 26 = 13 Ví dụ : a) Tìm trên trục hoành điểm cách đường thẳng : 2x + y – = khoảng là b) Tìm trên đường thẳng d : x + y + = điểm cách đường thẳng d ‘ : 3x – 4y + = khoảng là c) Cho điểm M ( m – ; 2m + ) di động và điểm A (2 ; 1) cố định Tìm giá trị nhỏ khoảng cách AM m thay đổi Giải a) Gọi M(x , ) là điểm cần tìm , ta có : 2x − d(M , d) = 2 Ù = = x − = 10 Ù 2x – = 10 hay 2x – = - 10 Ù x = 17/2 hay x = - 3/2 Vậy ta tìm hai điểm M(17/2 ; ) và M(- 3/2 ; ) b) Gọi x là hoành độ điểm M cần tìm , tung đô M là : y = - x – Ta có : d(M, d’ ) = d x M − yM + Ù =2 Ù x − 4(− x − 5) + = 10 Ù | 7x +24 | = 10 Ù 7x + 24 = 10 hay 7x + 24 = -10 Ù x = - hay x = - 34/ M A Vậy ta tìm hai điểm M(- 2; ) và M(- 34/7 ; ) ⎧x = m − x+2 y−5 = <=> x − y + = Ù c) Ta có : ⎨ ⎩ y = 2m + Vậy M di động trên đường thẳng d : 2x – y + = Suy khoảng cách nhỏ AM chính là 2.2 − + 12 = : d(A, d) = 5 Ví dụ : a) Viết phương trình đường thẳng song song và cách hai đường thẳng song song d : x – 3y – = và d’ : x – 3y + = b) Viết phương trình đường thẳng d :song song với đường thẳng d’ : 3x + 2y - = và cách d’ khoảng là 13 và nằm mặt phẳng bờ d’ và chứa điểm gốc O c) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A( ; 4) và cách điểm B( ; 2) khoảng là GIẢI a) Đường thẳng cần tìm là tập hợp điểm M(x ; y) cho : d(M, d) = d(M, d’) Ù | x − 3y −1 | +3 2 = | x − 3y + | 12 + ⎡ x − 3y − = x − 3y + (VN) Ù ⎢ ⎣ x − 3y − = − x + 3y − Ù 2x – 6y + = Ù x – 3y + = www.saosangsong.com,vn Lop10.com (15) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 15 b) Phương trình đường thẳng d song song với d’ có dạng : 3x + 2y + m = Ta định m để d(d , d’ ) = 13 Chọn trên d điểm A(0 ; ½) , ta có : d(d, d’) = d(A ,d’ ) = 13 Ù O 3.0 + + m = 13 <=> + m = 13 13 Ù m + = 13 hay m + = - 13 Ù m = 12 hay m = - 14 Ù d’ : 3x + 2y + 12 = hay d’ : 3x + 2y – 14 = • Xét d’ : 3x + 2y + 12 = Chọn điểm M’ (0 ; - 6) thuộc d’ Thế tọa độ M’ vào d : 0.3 + 2( - 6) – = - 13 > Thế tọa độ O(0 ; 0) vào d : 0.3 + 0(2) – = - < Vậy O và M’ cùng phía d tức d’ : 3x + 2y + 12 = là đường thẳng cần tìm Cách khác : Gọi M(x ; y) là điểm bất kì , ta có : M(x ; y) ∈ d’ Ù d(M, d) 13 và O và M nằm cùng phía d ⎧| 3x − y − | = 13 3x − y − ⎪ Ù⎨ <=> = − 13 13 13 ⎪(3x − y − 1)(3.0 − 2.0 − 1) > ⎩ Ù 3x – 2y + 12 = d’ d d’ A c) Phương trình d là đường thẳng qua A (6 ; 4) có dạng : a(x – 6) + b(y – 4) = với a2 + b2 ≠ Ù ax + by – 6a – 4b = (1) | 1.a + 2b − 6a − 4b | Ta có : d(B, d) = Ù = Ù (5a + 2b) = 25(a + b ) 2 a +b 21b Ù 20ab – 21b2 = Ùb(20a – 21b) = Ù b = hay a = 20 * Với b = : (1) thành ax – 6a = Ù x – = (chia hai vế a ≠ , coi chọn a = 1) 21b 21 41b =0 bx + by − * Với a = : (1) thành 20 20 20 Ù 21x + 20y – 41 = ( Chia hai vế cho b/20 , coi chọn b = 20 => a = 21 ) Vậy có hai đường thẳng thỏa đề bài là : 21x + 20y – 41 = và x = Cáck khác : Có thể xét * d : x = ( qua A và vuông góc Ox , không có hệ số góc ) * d : y = k(x – 6) + Ù kx – y – 6k + = Giải : d(B , d) = Ù k = - 21/ 20 Dạng : Viết phương trình phân giác , phân giác , ngoài www.saosangsong.com,vn Lop10.com (16) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 16 Ví dụ : Cho tam giác ABC với AB : 3x – 4y + = AC : 5x + 12y – 25 = , BC : y = a) Viết phương trình các phân giác góc B tam giác ABC b) Viết phương trình phân giác góc A tam giác ABC Giải : a) AB cắt BC B(- ; 0) , AC cắt BC C( ; 0) Phương trình các phân giác góc B tam giác ABC là phân giác góc hợp AB và BC , là : 3x − y + y ± =0 Ù 3x + y + = hay 3x – 9y + = A b) Phương trình các phân giác góc A , tạo AB và AC là : 3x − y + x + 12 y − 25 + = <=> 64 x + y − 47 = (1) (t) : 13 B C 3x − y + x + 12 y − 25 − = <=> 14 x − 112 y + 203 = 13 Thế tọa độ B(- ; 0) vào (1) : 64(-2) – 47 < Thế tọa độ C(5 ; 0) vào (1) : 64.5 – 47 > Vậy B và C nằm khác phía (t) , nên (t) là phân giác góc A (t’) : * Ví dụ : Cho d : 3x – 4y + = và d’ : 5x + 12y – = a) Viết phương trình các phân giác góc tạo hai đường thẳng b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc O và tạo với d, d’ tam giác cân có cạnh đáy là ∆ Giải a) Phân giác (t) góc tạo d , d’ : 3x − y + 5 x + 12 y − ± =0 13 Ù 13(3x – 4y + 5) = 5(5x + 12y – 1) hay 13(3x – 4y + 5) = - 5( 5x + 12y – 1) Ù (t1) : 14x - 112y + 70 = hay (t2) : 64x + 8y + 60 = Đó là hai đường phân giác cần tìm t1 d ∆1 t2 O b) Nhận xét tam giác cân , phân giác góc đỉnh thì vuông góc với cạnh đáy Ta hai đường d’ thẳng ∆ : • ∆1 qua O và vuông góc t1 có phương trình 112x + 14y = • ∆2 qua O và vuông góc t2 có phương trình 8x – 64y = ∆2 Dạng : Tính góc hai đường thẳng và lập phương trình đường thẳng liên quan đến góc \ Ví dụ : Tính góc hai đường thẳng sau : a) 2x + y – = ; 3x - y + = b) 3x + 4y - = , www.saosangsong.com,vn Lop10.com ⎧x = + t ⎨ ⎩y = − t (17) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng Giải a) cos α = 2.3 +1(−1) = 17 => α = 450 10 b) VTPT hai đường thẳng là : n = (3; 4) , n ' = (1;1) Suy : cosα = cos(n, n ') = 3.1 + 4.1 32 + 12 + 12 = Ví dụ : Tìm k biêt đường thẳng y = kx + hợp với đường thẳng : x – y = góc 600 Giải : Ta có kx – y + = Ta có phương trình : k + 1 cos 600 = = <=> 2(k + 1)2 = k + k2 + 2 Ù k + k + = <=> k = −2 ± *Ví du : Cho hình vuông ABCD có đường chéo BD : x + 2y – = , đỉnh A(2 ; - 1) Viết phương trình cạnh AB và AD biết AB có hệ số góc dương Giải : Gọi k là hệ số góc AB , AD , phương trình AB , AD có dạng : y = k(x – ) – Ù kx – y – 2k – = Ta có AB và AD hợp với BD góc 450 k −2 Ù cos 450 = = <=> 2(k − 2)2 = 5(k + 1) 2 k +1 Ù 3k + 8k – = Ù k = 1/3 ( đường AB) , k = - ( đường AD ) Vậy phương trình AB : - 3x – y + = , AD : x – 3y – = hay ngược lại C Bài tập rèn luyện 3.22 Chọn câu đúng : Gọi là góc hai đường thẳng : x - y – = và 3x + y – = , thì cosα = a) 1/ b) 2/ c) 2/ 10 d) đáp số khác 3.23 Chọn câu đúng : Khoảng cách từ A(1 ; 3) đến đường thẳng 3x – 4y + = là: a) b) c) d) đáp số khác 3.24 Chọn câu đúng : Có giá trị m để đường thẳng x + my – = hợp với x+ y = góc 600 Tổng giá trị là : a) – b) c) – d) 3.25 Chọn câu đúng : Cho A(3; 4) , B(1; 1) , C(2 ; - 1) Đường cao tam giác vẽ từ A có độ dài là : a) b) c) 13 www.saosangsong.com,vn Lop10.com d) đáp số khác (18) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 18 ⎧x = + t cách đường ⎩y = + t 3.26 Chọn câu đúng : Điểm A ( a, b) thuôc đường thẳng : ⎨ thẳng d : 2x – y – = khoảng a) 20 và a > , thì a + b = b) 21 c) 22 d) 23 3.27 Cho tam giác ABC với B(1 ; 2) và C(4 ; - 2) a) Viết phương trình đường thẳng BC và tính độ dài đường cao AH b) Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác là 10 và A thuộc trục tung 3.28 Cho tam giác ABC có AB : 2x + y – = ; AC : 3x - y + = và BC : x – y = a) Tính sinA , BC và bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng AB qua BC 3.29 Cho hình vuông ABCD có tâm I ( 2; – 3) , phương trình AB : 3x + 4y – = a) Tính cạnh hình vuông b) Tìm phương trình các cạnh CD , AD và BC 30 Cho hình vuông ABCD có AB : 3x – 2y – = , CD : 3x – 2y + = và tâm I thuộc d : x + y – = a) Tìm tọa độ I b) Viết phương trình AD và BC * 3.31 Cho tam giác có A( ; - 5) và trọng tâm G (1 ; 1) a) Viết phương trình cạnh BC b) Viết phương trình cạnh AB và AC *3.32 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2 ; - 3) , B(3 ; - 2) , diện tích tam giác 3/2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C * 3.33 Cho hình thoi ABCD có A(- 2; 3) , B(1 ; - 1) và diện tích 20 a) Tính đường cao hình thoi và phương trình cạnh AB b) Tìm tọa độ điểm D biết nó có hoành độ dương * 3.34 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2 ; 2) , AB : x – 2y – = và AB = 2AD và yA > a) Tìm tọa độ hình chiếu K I lên AB b) Tìm tọa độ A và B * 3.35 Cho đường thẳng d : x + 2y – = và A(1 ; 4) , B(6 ; 4) a) Chứng minh A, B nằm phía d Tìm tọa độ A’ đối xứng A qua d www.saosangsong.com,vn Lop10.com (19) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 19 b) Tìm M ∈ d cho tổng MA + MB nhỏ c) Tìm M ∈ d cho | MA – MB| lớn * 3.36 Cho hình thoi có phương trình ba cạnh là : 5x – 12y – = , 5x – 12y + 21 = và 3x + 4y = Viết phương trình cạnh còn lại *3.37 Viết phương trình cạnh hình vuông biết cạnh qua bốn điểm I(0 ; 2) , J(5 ; - 3) , K(- ; - 2) và l(2 ; - 4) D Hướng dẫn hay đáp số 3.22 (a) 3.23 (d) 3.24 (c) 3.25 (b) A 3.26 (d) 3.27 a) BC : 4x + 3y – 10 = Ta coù BC = , suy AH = 2S ABC = BC G | 3a − 10 | b) Gọi A( ; a) Ta coù : d(A, BC) = Ù =4 B Ù a = 10 hay a = - 10/3 3.28 a)Ta coù : sinA = sin(AB, AC) = |cosA| = | 2.3 + 1(−1) | 10 = A − cos A => sinA = C I C D Toạ độ B , giao điểm AB và BC là ( ; 1) Tọa độ C , giao điểm AC và BC là (- 7/2 ; - 7/2 ) Suy : R = B BC = = 9/2 sin A b) Phương trình đường thẳng cần tìm BD qua B có dạng y = k(x – 1) + Ù kx – y – k + = Ta có : cos (BA, BC) = cos (BD, BC) Ù | 2.1 + 1(−1) | = | k.1 + | k + Ù k2 + = 5(k + 1)2 Ù 4k2 + 10k + = Ù k = - ½ hay k = - Giá trị k = - ứng với hệ số góc BA nên bị loại , ta nhận k = - ½ Phương trình đường thẳng BD : x + 2y - = 3.29 a) Caïnh hình vuoâng 2.d(I, AB) = b) * Phöông trình CD : 3x + 4y + m = với 3(2) + 4(−3) + m 3(2) + 4(−3) − Ù-6+m=2 =− 5 Ùm=8 => CD : 3x + 4y + = www.saosangsong.com,vn Lop10.com (20) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 20 * Phöông trình AD vaø BC : 4x – 3y + m = Ta coù : d(I, AB) = d(I, AD) Ù = | 17 + m | Ù m = - hay m = - 27 AD : 4x – 3y - = , BC : 4x – 3y – 27 = hay ngược lại 3.30 a) I ∈ d => I = (x ; – x) Ta coù : d(I, AB) = d(I, CD) Ù x = => y = : I(0 ; 1) b) Nhö caâu b ( baøi 29) ⎧ x A + x B + x C = 3x G ⎧ x A + x I = 3x G => ⎨ => I = (0 ; 4) ⎩ y A + y B + y C = 3y G ⎩ y A + y I = 3y G 3.31 a) Gọi I laø trung điểm BC , ta có : ⎨ Phöông trình BC qua I vaø vuoâng goùc AI = (−3 ; 9) : - (x – ) + 3(y – 4) = Ù - x + 3y – 12 = A b) Phöông trình AB, AC qua A coù daïng : kx - y – 3k - = Ta coù : cos(AB, BC) = cos60 = ½ Ù | k +3| 10 k + = 6±5 Ù 3k – 12k – 13 = Ù k = Phöông trình AB vaø AC : G B I AB : (6 ± ) x − 3y + ± 15 = AC : (6 ∓ ) x − 3y + ∓ 15 = 3.32 G ∈ d => G = (a ; 3a - 8) Ta có ; SGAB = 1/3 SABC = ½ Maø AB = , suy : d(G; AB) = 1/ Phương trình AB : x – y - = , suy : | a − 3a + − | = <=> | − 2a | = Ù 3.33 a) Ta có : h = S ABCD = AB : 4x + 3y – = AB ⎧d(D, AB) = ⎩AD = AB = b) Gọi D = (x ; y) với d > Ta coù : ⎨ ⎧ | x + 3y − | = (1) ⎪ Ù ⎨ ⎪( x + 2) + ( y − 3) = 25 ⎩ (1) Ù y = (2) − 4x + 21 − 4x − 19 hay y = 3 www.saosangsong.com,vn Lop10.com C (21)

Ngày đăng: 03/04/2021, 00:42

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w