Viết một phương trình tham số khác của d b Tìm trên d một điểm A có hoành độ gấp đôi tung độ.. Tìm một VTCP, suy ra trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau : Đường thẳng d qua[r]
(1)Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H ỌC 10 Ch ơng Phương Pháp Toạ Độ Phẳng http://www.saosangsong.com.vn/ Save Your Time and Money Sharpen Your Self-Study Skill Suit Your Pace Lop10.com (2) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng § Phương trình tổng quát đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa Vectơ n khác vuông góc đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) ∆ • Phương trình đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) và có VTPT n = (a ; b) là : a(x – x0) + b(y – y0) = • Phương trình tổng quát đường thẳng có dạng : ax + by +c=0 n đó n = (a ; b) là VTPT • ∆ vuông góc Ox Ù ∆ : ax + c = a ∆ vuông góc Oy Ù ∆ : by + c = ∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by = ∆ x y ∆ qua A(a ; 0) và B(0 ; b) Ù ∆ : + = ( Phương trình φ a b theo đọan chắn ) M • Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k : y = kx + m với k = tanφ , φ là góc hợp tia Mt ∆ phía trên Ox và tia Mx Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = và ∆2 : a2x + b2y + c = Tính D = a1 b – a2 b1, Dx = b1 c – b2 c1 , Dy = c a – c2 a1 D ⎞ ⎛ D • ∆1 , ∆2 cắt Ù D ≠ Khi đó tọa độ giao điểm là : ⎜ x = x ; y = y ⎟ D D ⎠ ⎝ ⎧D = ⎪ • ∆1 // ∆2 Ù ⎨ ⎡ D x ≠ ⎪⎢D ≠ ⎩⎣ y • ∆1 , ∆2 trùng Ù D = Dx = Dy = Ghi chú : Nếu a2, b2 , c2 ≠ thì : • ∆1 , ∆2 cắt Ù Ù • ∆1 // ∆2 Ù • a1 b1 ≠ a b2 a1 b1 c1 = ≠ a b2 c a b c ∆1 , ∆2 trùng Ù = = a b2 c B Giải tóan Dạng tóan : Lập phương trình tổng quát đường thẳng : Cần nhớ : • • Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và vuông góc n = (a; b) là : a(x – x0 ) + b(y – y0) = Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và cùng phương a = (a ; a ) là : x − x o y − yo = a1 a2 www.saosangsong.com,vn Lop10.com (3) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng • Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = có dạng : by + m = với m ≠ c • Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 )coù daïng : a(x – x0 ) + b(y – y0) = ax + ( a2 + b2 ≠ ) • Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) và B(0 ; b) là : x y + =1 a b Ví dụ : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) và C(- 1; 4) Viết phương trình tổng quát : a) đường cao AH và đường thẳng BC b) trung trực AB c) đường trung bình ứng với AC d) đuờng phân giác góc A Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) và vuông góc BC = (- ; 3) có phương trình là : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = Ù - 2x + 3y = Đường thẳng BC là tập hợp điểm M(x ; y) cho BM = ( x − 1; y − 1) cùng phương x −1 y −1 = ( điều kiện cùng phương hai vectơ) Ù 3(x – BC = (−2;3) nên có phương trình là : −2 1) + 2(y – 1) = Ù 3x + 2y – = b) Trung trực AB qua trung điểm I( ; 3/2 ) AB và vuông góc AB = (- ; - 1) nên có phương trình tổng quát là : 2(x – 2) + 1.(y – 3/2) = Ù 4x + 2y – 11 = c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( ; 5/2) và cùng phương AB = (- ; - 1) Đường này là tập hợp điểm M(x ; y) cho KM = ( x − 0; y − ) cùng phương x −0 y −5/ = ( điều kiện cùng phương hai vectơ) AB = (−2;−1) nên có phương trình là : Ù x – 2y + = d) Gọi D(x ; y) là tọa độ chân đường phân giác Theo tính chất phân giác : DB AB =− AC DC Mà AB = 22 + 12 = 5, AC = 42 + 22 = , đó : DB = − <=> 2DC = − DC DC ⎧2(1 − x) = x + ⎧ x = 1/ Ù ⎨ <=> ⎨ ⎩2(1 − y) = y − ⎩y = Vậy D = (1/3 ; 2) Vì yA = yD = nên phương trình AD là y = Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình AB : 2x – y + = , đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( ; ) Viết phương trình các cạnh còn lại Giải Vì AD vuông góc với AB nên VTPT n = (2 ; - 1) AB là VTCP AD Phương trình AD x y qua O là : = Ù x + 2y = −1 www.saosangsong.com,vn Lop10.com (4) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng ⎧2x − y + = Tọa độ A là nghiệm hệ : ⎨ Giải hệ này ta : x = - ; y = => A(- ; 1) ⎩ x + 2y = ⎧ x A + x C = 2x I = ⎧ x C = 10 I là trung điểm AC , suy : ⎨ : C(10 ; 9) <=> ⎨ y y 2y 10 y + = = = C I ⎩ A ⎩ C Đường thẳng CD song song với AB nên n = (2 ; - 1) là A B VTPT CD CD qua C(10 ; 9) , đó phương trình CD là : I 2(x – 10) - (y – 9) = Ù 2x – y – 11 = Đường thẳng BC qua C và song song AD , đó phương trình BC là : (x – 10) + 2(y – 9) = Ù x – 2y – 28 = C D Ví dụ : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 = a) Tính diện tích tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng d qua trục Ox c) Viết phương trình đường thẳng d” đối xứng d qua điểm I(- ; 1) Giải : a) Cho x = : - 4y – 12 = Ù y = - => d cắt Oy tai A(0 ; - 3) Cho y = : 3x – 12 = Ù x = => d cắt Ox tai B(4 ; 0) Diện tích tam giác vuông OAB là : ½ OA.OB = ½ = đvdt b) Gọi A’(0 ; 3) là đối xứng A qua Ox Ta có d’ qua A’ và B , cùng phương A' B = (4;−3) có phương x −0 y−3 = Ù 3x + 4y – 12 = trình là : −3 c) Gọi B1là đối xứng B qua I => B1 (- ; 2) Đường thẳng d” qua B1và song song với d , có phương trình : 3(x + 6) – 4(y - 2) = Ù 3x – 4y + 26 = y A’ B1 I *Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2) , cắt tia Ox A, tia Oy B cho : a) OA + OB = 12 b) hợp với hai trục tam giác có diện tích là 12 Gọi A(a ; 0) và B(0 ; b) với a > , b > , phương trình đường x y thẳng cần tìm có dạng : + = Vì đường thẳng qua M(3 ; 2) nên : a b + = (1) a b a) OA + OB = 12 Ù a + b = 12 Ù a = 12 – b (2) + =1 Thế (2) vào (1) : 12 − b b Ù 3b + 2(12 – b) = (12 – b)b Ù b2 – 11b + 24 = Ù b = hay b = Giải : www.saosangsong.com,vn Lop10.com B A B A x (5) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng x y + = <=> x + 3y − = x y • b = : a = , phương trình cần tìm : + = <=> 2x + y − = b) Diện tích tam giác OAB là ½ OA.OB = ½ ab = 12 Ù a = 24/b (3) 3b + = Ù b2 + 16 = 8b Thế (3) vào (1) : 24 b Ù (b – 4)2 = Ù b = x y Suy : a = , phương trình cần tìm là : + = Ù 2x + 3y – 12 = Dạng : Tìm vị trí tương đối hai đường thẳng • b = : a = , phương trình cần tìm : Ví dụ : Tìm vị trí tương đối cac đường thẳng sau : a) 9x – 6y – = , 6x + 4y – = b) 10x – 8y + 2/3 =0 ; 25x – 20y + 5/3 = −6 ≠ nên hai đường thẳng cắt 10 −8 / b) Ta có : = = = nên hai đường thẳng trùng 25 −20 / Giải a) Ta có : * Ví dụ : Cho d : (m + 1)x – 2y + m + = d’ : mx - 3y + = a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M b) Tìm m ∈ Z để tọa độ giao điểm là số nguyên ⎧(m + 1)x − 2y + m + = (1) Giải a) Tọa độ giao điểm M là nghiệm hệ : ⎨ ⎩mx − 3y + = (2) m +1 − Hai đường thẳng cắt Ù D = = −3(m + 1) + 2m = −m − ≠ m −3 Ùm≠-3 − m +1 = - 2.1 + 3(m + 1) = 3m +1 Ta có : Dx = −3 Dy = m +1 m +1 = m(m + 1) – 1.(m+1) = m2 - m Dx - 3m - ⎧ ⎪⎪x = D = m + Tọa độ giao điểm M : ⎨ ⎪y = D y = - m + ⎪⎩ D m+3 −3(m + 3) + 8 b) Ta có : x = =-3+ m+3 m+3 y = − m +3− m+3 Để x và y ∈ Z thì chia hết cho (m + 3) www.saosangsong.com,vn Lop10.com (6) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng Ù (m + 3) ∈ { ± ; ± ; ± ; ± } Ù m ∈ {- ; - ; - ; - ; ; - ; ; - 11 } Ví dụ : Cho đường thẳng d : 2x + y - 13 = và điểm A (1 ; 1) a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc d b) Tìm tọa độ hình chiếu A lên d và tọa độ điểm A’ , đối xứng A qua A Giải a) Đường thẳng d’ vuông góc d nên VTPT n = (2 ; 1) d là VTCP d’ Suy phương trình d’ là : x −1 y −1 Ù x – 2y + = = A b) Tọa độ giao điểm H d và d ‘ thỏa hệ : ⎧2x + y − 13 = ⎧x = H Ù ⎨ : H(5 ; 3) , là hình chiếu A lên d ⎨ y − + = = x 2y ⎩ ⎩ H là trung điểm AA’ , suy : ⎧x A ' = x H − x A = : A' (9 ; 5) ⎨ ⎩y A' = y H − y A = A’ C Bài tập rèn luyện 3.1 Cho đường thẳng d : y = 2x – a) Vẽ đường thẳng d Xác định giao điểm A và B d với Ox và Oy.Suy diện tích tam giác OAB và khoảng cách từ O tới d b) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d , cắt Ox M , Oy N cho MN = 3.2 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d : a) qua điểm A(1 ; - 2) và có hệ số góc là b) qua B ( - 5; ) và cùng phương a = ( ; - 5) c) qua gốc O và vuông góc với đường thẳng : y = − 3x d) qua I(4 ; 5) và hợp với trục tọa độ tam giác cân e) qua A(3 ; 5) và cách xa điểm H(1 ; 2) 3.3 Chứng minh các tập hợp sau là các đường thẳng : a) Tập hợp điểm M mà khoảng cách đến trục hoành gấp đôi khoảng cách đến trục tung b) Tập hợp điểm M thỏa MA + MB2 = 2MO với A(2 ; ) và B( ; - 2) Cho tam giác ABC có A(4 ; 1) , B(1 ; 7) và C(- 1; ) Viết phương trình tổng quát a) Đường cao AH , đường thẳng BC b) Trung tuyến AM và trung trực AB c) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC và CA là : AB : x – = ; BC : 4x – 7y + 23 = ; AC : 3x + 7y + = www.saosangsong.com,vn Lop10.com (7) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng a) Tìm tọa độ A, B, C và diện tích tam giác b) Viết phương trình đường cao vẽ từ A và C Suy tọa độ trực tâm H Cho hai đường thẳng d : mx – y + m + = và d’ : x – my + = a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M , suy M di động trên đường thẳng cố định b) Định m để d và d’ và đường thẳng ∆ : x + 2y – = đồng quy Cho hai điểm A(5 ; - 2) và B(3 ; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C(1 ; 1) cho A và B cách đường thẳng d 3.8 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x – y – = và x + y – = Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I(3 ; 1) *3 Cho tam giác ABC có trung điểm AB là I(1 ; 3) , trung điểm AC là J(- 3; 1) Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC và đường cao vẽ từ B *3.10 Cho điểm M(9 ; 4) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt hai tia Ox và tia Oy A và B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ * 3.11 Cho điểm M(3 ; 3) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt Ox và Oy A và B cho tam giác MAB vuông M và AB qua điểm I(2 ; 1) D Hướng dẫn hay đáp số : 3.1 a) A(2 ; 0) , B(0 ; - 4) ; S = đvdt Ta có : 1 1 = + = + = => OH = 2 16 16 OH OA OB b) Phương trình d’ coù dạng : y = 2x + m , cắt Ox M(- m/2 ; 0) , caét Oy N(0 ; m) Ta có MN = OM + ON = |m| =3 Suy : m = ± 3.2 a) y + = 3(x – 1) Ù y = 3x – x+5 y−2 = <=> 5x + y + 21 = −5 c) y = x ( hai đường thẳng vuông góc Ù tích hai heä soá goùc laø – 1) b) d) Vì d hợp với Ox góc 450 hay 1350 nên đường thẳng có hệ số góc là tan 450 = hay tạn(1350) = - , suy phương trình laø : y = x + ; y = - x + e) Đường thẳng cần tìm qua A và vuông góc AH = ( −2;−3) 3.3 a) Gọi (x ; y) là toạ độ M : |y| = 2|x| Ù y = 2x hay y = - 2x b) MO2 = x2 + y2 , MA2 = (x – 2)2 +(y – 1)2 , MB2 = (x – 1)2 + (y + 2)2 Suy : 3x – y – = c) Đường thẳng cần tìm qua điểm D cho : DA = −2DB Ù D = (2 ; 5) www.saosangsong.com,vn Lop10.com (8) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng a) A(3 ; - 2) ; B(3 ; 5) ; C(- ; 1) , S = ½ AB CH = 47/ đvdt b) AH : y = , AK : 7x + 4y – 13 = , H(9/7 ; 1) a) D = – m2 ≠ Ù m ≠ ± , toạ độ giao điểm : Dx m+2 ⎧ x = = − = − − ⎪⎪ D m +1 m +1 ⎨ D ⎪y = y = ⎪⎩ D m +1 => x + y + = => M di động treânđường thẳng : x + y + = b) Thế toạ độ M vào phương trình : x + 2y – = , ta : m = - 2/3 d laø đường thẳng qua C : • Vaø qua trung điểm I(4 ; 1) cuûa AB • hay cuøng phöông AB = ( −2;6) 3.8 Gọi AB : 3x – y – = và AD : x + y – = Giải hệ , ta A = (1 ; 1) Suy C = (5 ; ) CD : 3x – y – 14 = ; BC : x + y – = * A = (0 ; a) => B(2 ; – a) vaø C(- ; – a) BC qua goác O vaø OB vaø OC cuøng phöông Ù 2(2 – a) = (6 – a) ( - 6) Ù a=5 10 Đặt A(a ; 0) và (0 ; b) ,với a , b > Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : x y + = Đường naøy qua I Ù + = a b a b AÙp duïng bđt Coâsi cho hai soá : = => ab ≥ 12 => S OAB = 9 12 + ≥2 = a b a b ab ab ≥ 72 Vậy tam giaùc OAB coù diện tích nhoû nhaát laø 72 thẳng cần tìm laø : = = <=> a = 18 ; b = và PT đường a b x y + = <=> x + y − 72 = 18 3.11 Đặt A(a ; 0) , B(0 ; b) , ta có : MA.MB = ( a − 3)(−3) + ( −3)(b − 3) = Ù a + b = (1) www.saosangsong.com,vn Lop10.com (9) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng Mặt khác phương trình đường thẳng AB : (AB) qua I(2 ; 1) Ù x y + = a b + = Ù 2b + a = ab (2) a b Thế (1) vaøo (2) : 2b + (6 – b) = (6 – b)b Ù b2 – 5b + = Ù b = hay b = Suy : (a = ; b = 2) hay (a = ; b = 3) § Phương trình tham số đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa a khác cùng phương với đường thẳng ∆ gọi là vectơ phương (VTCP) ∆ • Phương trình tham số đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) và có VTCP ⎧ x = x o + ta1 a = (a1 ; a2 ) là : ⎨ ⎩ y = y o + ta • Phương trình chính tắc đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) và có VTCP a x − x o y − yo = = (a1 ; a2 ) là : ( a1 ≠ và a2 ≠ 0) a1 a2 Nếu n = (a; b) là VTPT ∆ thì a = (b ; - a) hay ( - b ; a) là n a ∆ M VTCP ∆ B Giải toán Dạng toán : Lập PT tham số đường thẳng • Tìm điểm M(x0 ; y0 ) và VTCP (a ; a2) : ⎧ x = xo + a1t ¾ phương trình tham số là : ⎨ ⎩ y = yo + a2t x − xo y − y0 =− ¾ phương trình chính tắc là : (a1, ≠ 0) a1 a2 ¾ phương trình tổng quát là : a2(x – x0) – a1( y – y0) = • Tìm điểm M(x0 ; y0 ) và VTPT (a ; b) => VTCP (b ; - a) Áp dụng trên Ví dụ : Cho A( ; 2) , B(3 ; - 4) , C(0 ; 6) Viết PT tham số , chính tặc và tổng quát : a) đường thẳng BC b) đường cao BH c) đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC và song song với d : 3x -7y = Giải a) BC qua B(3 ; - 4) và có VTCP BC = (−3;10) nên có PTTS là : www.saosangsong.com,vn Lop10.com (10) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng ⎧ x = − 3t ⎨ ⎩ y = −4 + 10t 10 => PTCT là : x −3 y + = −3 10 và PTTQ là : 10( x − 3) + 3( y + 4) = Ù 10x + 3y -18 = b) Đường cao BH qua B(3 ; - 4) và vuông góc AC (−1; 4) nên có VTCP là (4 ; 1) Suy PTTS : ⎧ x = + 4t ⎨ ⎩ y = −4 + t x−3 y +4 PTCT : = PTTQ : 1(x – 3) – 4(y + 4) = Ù x – 4y – 19 = c) Đường thẳng song song với d : 3x – 7y = nên vuông góc VTPT n d (3 ; - 7), suy VTCP là (7 ; 3) Tọa độ trọng tâm G là : (4/3 ; 4/3 ) ⎧ x = / + 7t PTTS đường thẳng cần tìm : ⎨ ⎩ y = / − 3t 4 x− y− 3 = PTCT : PTTQ : 3(x – 4/3) – 7(y – 4/3) = Ù 3x – 7y + 16 =0 Dạng toán : Tìm điểm đường thẳng Tọa độ điểm M đường thẳng cho PTTS Ứng với t , ta điểm đường thẳng Bài toán thường đưa việc giải phương trình hay hệ phương trình mô tả tính chất điểm ⎧ x = − 2t Ví dụ : Cho đường thẳng d : ⎨ ⎩ y = + 3t a) Tìm trên d điểm M cách điểm A(4 ; 0) khoảng là b) Biện luận theo m vị trí tương đối d và d’: (m + 1)x + my – 3m – = Giải : a) Tọa độ điểm M thuộc d cho phương trình tham số d : M = (3 – 2t ; + 3t) Ta có : AM = (-1 – 2t ; + 3t ) => AM2 = (1 + 2t)2 + (1 + 3t)2 = 13t2 + 10t + Ta có : AM2 = 25 Ù 13t2 + 10t + = 25 Ù 13t2 + 10t – 23 = Ù t = hay t = - 23/13 Ù M = (1 ; 4) hay M = ( 85/13; - 56/13) b) Thế phương trình tham số d vào phương trình d’ , ta phương trình tính tham số t giao điểm , có : (m + 1)(3 – 2t) + m(1 + 3t) – 3m – = Ù (m – 2)t + m – = (1) • m – = Ù m = : (1) thỏa với m Ù d và d’ có vô số điểm chung Ù d , d’ trùng • m – ≠ Ù m ≠ : (1) có ngh Ù d và d’ cắt Ghi chú : Có thể biến đổi d dạng tổng quát : 3x + 2y – 11 = và biện luận www.saosangsong.com,vn Lop10.com (11) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 11 theo hệ phương trình ẩn C Bài tập rèn luyện 3.12 : Cho đường thẳng d có hương trình tham số : x = + 2t 5t ;y=2(1) a) Tìm VTCP d có tọa độ nguyên và điểm d Viết phương trình tham số khác d b) Tìm trên d điểm A có hoành độ gấp đôi tung độ c) Tìm trên d điểm B cách gốc O khoảng là 58 13 phương a) b) c) d) e) Cho tam giác ABC có A(1 ; - 2) , B(0 ; 4) và C(6; 3) Tìm VTCP, suy trình tham số và chính tắc các đường thẳng sau : Đường thẳng d qua A và có VTCP là (3 ; - ) Đường trung trực BC Đường thẳng AB Đường trung bình tam giác ABC ứng với cạnh BC Đường phân giác ngoài của góc B 3.14 Cho tam giác ABC với BC : 2x – y – = , đường cao BH : x + y - = , đường cao CK : x + y + = Viết phương trình các cạnh tam giác 3.15 Cho hình chữ nhật ABCD có AB : 2x – y – = , AD qua M(3 ; 1) và tâm I có tọa độ là ( - ; ½ ) Viết phương trình các cạnh AD , BC và CD *3 16 Cho tam giác ABC có trung điểm M AB có tọa độ (- ½ ; 0) , đường cao CH với H(- 1; 1) , đường cao BK với K(1 ; 3) và biết B có hoành độ dương a) Viết phương trình AB b) Tìm tọa độ B, A và C 3.17 Chọn câu đúng : Phương trình nào đây là phương trình tham số đường trung trực AB với A(3 ; - 5) và B(5 ; 9) : ⎧x = + t a) ⎨ ⎩ y = + 7t ⎧x = 1+ t b) ⎨ ⎩ y = + 7t ⎧ x = + 7t c) ⎨ ⎩y = + t ⎧ x = + 7t d) ⎨ ⎩y = − t 3.18 Chọn câu đúng : Phương trình nào đây là phương trình tổng quát ⎧ x = + 3t là : ⎩ y = −1 + 2t đường thẳng qua A(4 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng d : ⎨ a) 3x + 2y – = b) 3x - 2y – 12 = c) 2x – 3y – 23 = d) 4x + 5y – 22 = 3.19 Chọn câu đúng : Đường thẳng d : x+3 y−2 xác định với hai trục tọa độ = tam giác có diện tích là : a) 64/5 b) 128/5 c) 16/ d) đáp số khác 3.20 Chọn câu đúng : Gọi d là đường thẳng qua M(4 ; - 3) và song song với đường thẳng y = 2x – a) d qua điểm ( 10 ; 10) \ www.saosangsong.com,vn Lop10.com (12) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 12 b) trên d không có điểm nào có tọa độ là số nguyên chẵn c) Cả (a) và (b) sai d) Cả (a) và (b) đúng 3.21 Chọn câu đúng : Cho tam giác ABC cân A(1 ; - 2) , trọng tâm là G(5 ; 6) Phương trình đường thẳng BC là : a) x + 2y + 27 = c) x – 2y – 27 = A b) x + 2y – 27 = d) 2x – y – = C Hướng dẫn hay đáp Số 3.12 a) a = ( ; - 5) , x = + 4t , y = – 5t b) Giaûi xA = 2yA Ù t = 1/14 c) Dùuøng phöông trình tham số d : (3 + 4t)2 + (2 – 5t)2 = 58 3.13 a) x = + 3t , y = - – 2t b) x = + 8t , y = 7/2 + 3t G B C c) Trung trực vuông góc BC = (6 ;−1) nên cùng phương vectơ (1 ; 6) Suy phương trình ⎧x = t ⎩ y = + 6t tham soá : ⎨ 3.14 BC vaø BH cắt taïi B(2 ; 0) BC vaø CK cắt taïi C(1 ; - 2) Phöông trình AB qua B vaø vuoâng goùc CK laø : 3(x – 2) – 1(y – 0) = 3.15 AD qua M vaø vuoâng goùc AB coù phöông trình : 1.(x – 3) + 2(y – 1) = Ù x + 2y – = Suy tọa độ A = AB ∩ AD = (7/5 ; 9/5) Suy toạ độ C, đối xứng A qua I *3 16 a) Phöông trình AB qua H vaø M : 2x + y + = b) B thuoäc AB Ù B = (b ; - 2b – 1) A đối xứng B qua M Ù A = (- – b ; 2b + 1) Mặt khaùc AK BK = Ù 5b2 + 5b – 10 = Ù b = Vậy B = (1 ; - 3) , A = (- ; 3) , C = (3 ; 3) 3.17 (d) 3.18 (a) 3.19 (a) 3.20 (b) 3.21 (b) § Khoảng cách và góc M A Tóm tắt giáo khoa I Khỏang cách từ M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = là : | ax0 + by o + c | d(M, ∆) = a2 + b2 *2 Gọi M’ là hình chiếu M lên ∆ , thì : www.saosangsong.com,vn Lop10.com M’ ∆ (13) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 13 axM + byM + c n Suy : a + b2 M, N nằm cùng phía ∆ Ù (axM + byM + c)( (axN+ byN + c) > M ' M = k n = • • M, N nằm khác phía ∆ Ù (axM + byM + c)( (axN+ byN + c) < * Phương trình hai đường phân giác góc hợp hai đường thẳng : a1x + b1 y + c1 = và a2x + b2 y + c2 = là : a1 x + b1 y + c1 a x + b2 y + c ± =0 2 2 a1 + b1 a + b2 II Góc ( không tù ) tạo ∆1: a1x+ b1y + c1 = và ∆2 : a2x + b2y + c = là : | a1 a + b1b2 | cos(∆1 ; ∆2 ) = 2 2 a1 + b1 a + b2 ∆1 ┴ ∆2 Ù a1a2 + b1b2 = B Giải toán Dạng : Tính khỏang cách và lập phương trình đường thẳng liên quan đến khỏang cách Ví dụ : a) Tính khoảng cách từ điểm A(1 ; 3) đến đường thẳng d : 3x – 4y + = b) Tình bán kính đường tròn tâm O tiếp xúc đường thẳng d : 2x +y + = ⎧x = + t c) Tính khoảng cách từ điểm P(3 ; 12) đến đường thẳng : ⎨⎩ y = − 3t d) Tính khoảng cách hai đường thẳng song song : d : 5x + 3y – = và d’ : 5x + 3y + = 3x A − yA + 3.1 − 4.3 + =1 5 32 + b) Bán kính đường tròn là khoảng cách từ O đến đường thẳng d : Giải a) d(A, d) = R = d(O , d) = 2.0 + + 2 + 12 = = = d O c) Ta viết phương trình dạng tổng quát : x−2 y−5 = <=> −3( x − 2) = y − Ù 3x + y - 11 = −3 d(P, ∆ ) = 3.3 + 12 − 11 +1 2 = 10 10 d = 10 d) Chọn trên d : 5x + 3y - = điểm M ( 1; ) , thì : www.saosangsong.com,vn Lop10.com d' M (14) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng d(d , d’ ) = d(M, d) = 14 5.1 + + = +1 2 13 26 = 13 Ví dụ : a) Tìm trên trục hoành điểm cách đường thẳng : 2x + y – = khoảng là b) Tìm trên đường thẳng d : x + y + = điểm cách đường thẳng d ‘ : 3x – 4y + = khoảng là c) Cho điểm M ( m – ; 2m + ) di động và điểm A (2 ; 1) cố định Tìm giá trị nhỏ khoảng cách AM m thay đổi Giải a) Gọi M(x , ) là điểm cần tìm , ta có : 2x − d(M , d) = 2 Ù = = x − = 10 Ù 2x – = 10 hay 2x – = - 10 Ù x = 17/2 hay x = - 3/2 Vậy ta tìm hai điểm M(17/2 ; ) và M(- 3/2 ; ) b) Gọi x là hoành độ điểm M cần tìm , tung đô M là : y = - x – Ta có : d(M, d’ ) = d x M − yM + Ù =2 Ù x − 4(− x − 5) + = 10 Ù | 7x +24 | = 10 Ù 7x + 24 = 10 hay 7x + 24 = -10 Ù x = - hay x = - 34/ M A Vậy ta tìm hai điểm M(- 2; ) và M(- 34/7 ; ) ⎧x = m − x+2 y−5 = <=> x − y + = Ù c) Ta có : ⎨ ⎩ y = 2m + Vậy M di động trên đường thẳng d : 2x – y + = Suy khoảng cách nhỏ AM chính là 2.2 − + 12 = : d(A, d) = 5 Ví dụ : a) Viết phương trình đường thẳng song song và cách hai đường thẳng song song d : x – 3y – = và d’ : x – 3y + = b) Viết phương trình đường thẳng d :song song với đường thẳng d’ : 3x + 2y - = và cách d’ khoảng là 13 và nằm mặt phẳng bờ d’ và chứa điểm gốc O c) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A( ; 4) và cách điểm B( ; 2) khoảng là GIẢI a) Đường thẳng cần tìm là tập hợp điểm M(x ; y) cho : d(M, d) = d(M, d’) Ù | x − 3y −1 | +3 2 = | x − 3y + | 12 + ⎡ x − 3y − = x − 3y + (VN) Ù ⎢ ⎣ x − 3y − = − x + 3y − Ù 2x – 6y + = Ù x – 3y + = www.saosangsong.com,vn Lop10.com (15) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 15 b) Phương trình đường thẳng d song song với d’ có dạng : 3x + 2y + m = Ta định m để d(d , d’ ) = 13 Chọn trên d điểm A(0 ; ½) , ta có : d(d, d’) = d(A ,d’ ) = 13 Ù O 3.0 + + m = 13 <=> + m = 13 13 Ù m + = 13 hay m + = - 13 Ù m = 12 hay m = - 14 Ù d’ : 3x + 2y + 12 = hay d’ : 3x + 2y – 14 = • Xét d’ : 3x + 2y + 12 = Chọn điểm M’ (0 ; - 6) thuộc d’ Thế tọa độ M’ vào d : 0.3 + 2( - 6) – = - 13 > Thế tọa độ O(0 ; 0) vào d : 0.3 + 0(2) – = - < Vậy O và M’ cùng phía d tức d’ : 3x + 2y + 12 = là đường thẳng cần tìm Cách khác : Gọi M(x ; y) là điểm bất kì , ta có : M(x ; y) ∈ d’ Ù d(M, d) 13 và O và M nằm cùng phía d ⎧| 3x − y − | = 13 3x − y − ⎪ Ù⎨ <=> = − 13 13 13 ⎪(3x − y − 1)(3.0 − 2.0 − 1) > ⎩ Ù 3x – 2y + 12 = d’ d d’ A c) Phương trình d là đường thẳng qua A (6 ; 4) có dạng : a(x – 6) + b(y – 4) = với a2 + b2 ≠ Ù ax + by – 6a – 4b = (1) | 1.a + 2b − 6a − 4b | Ta có : d(B, d) = Ù = Ù (5a + 2b) = 25(a + b ) 2 a +b 21b Ù 20ab – 21b2 = Ùb(20a – 21b) = Ù b = hay a = 20 * Với b = : (1) thành ax – 6a = Ù x – = (chia hai vế a ≠ , coi chọn a = 1) 21b 21 41b =0 bx + by − * Với a = : (1) thành 20 20 20 Ù 21x + 20y – 41 = ( Chia hai vế cho b/20 , coi chọn b = 20 => a = 21 ) Vậy có hai đường thẳng thỏa đề bài là : 21x + 20y – 41 = và x = Cáck khác : Có thể xét * d : x = ( qua A và vuông góc Ox , không có hệ số góc ) * d : y = k(x – 6) + Ù kx – y – 6k + = Giải : d(B , d) = Ù k = - 21/ 20 Dạng : Viết phương trình phân giác , phân giác , ngoài www.saosangsong.com,vn Lop10.com (16) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 16 Ví dụ : Cho tam giác ABC với AB : 3x – 4y + = AC : 5x + 12y – 25 = , BC : y = a) Viết phương trình các phân giác góc B tam giác ABC b) Viết phương trình phân giác góc A tam giác ABC Giải : a) AB cắt BC B(- ; 0) , AC cắt BC C( ; 0) Phương trình các phân giác góc B tam giác ABC là phân giác góc hợp AB và BC , là : 3x − y + y ± =0 Ù 3x + y + = hay 3x – 9y + = A b) Phương trình các phân giác góc A , tạo AB và AC là : 3x − y + x + 12 y − 25 + = <=> 64 x + y − 47 = (1) (t) : 13 B C 3x − y + x + 12 y − 25 − = <=> 14 x − 112 y + 203 = 13 Thế tọa độ B(- ; 0) vào (1) : 64(-2) – 47 < Thế tọa độ C(5 ; 0) vào (1) : 64.5 – 47 > Vậy B và C nằm khác phía (t) , nên (t) là phân giác góc A (t’) : * Ví dụ : Cho d : 3x – 4y + = và d’ : 5x + 12y – = a) Viết phương trình các phân giác góc tạo hai đường thẳng b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc O và tạo với d, d’ tam giác cân có cạnh đáy là ∆ Giải a) Phân giác (t) góc tạo d , d’ : 3x − y + 5 x + 12 y − ± =0 13 Ù 13(3x – 4y + 5) = 5(5x + 12y – 1) hay 13(3x – 4y + 5) = - 5( 5x + 12y – 1) Ù (t1) : 14x - 112y + 70 = hay (t2) : 64x + 8y + 60 = Đó là hai đường phân giác cần tìm t1 d ∆1 t2 O b) Nhận xét tam giác cân , phân giác góc đỉnh thì vuông góc với cạnh đáy Ta hai đường d’ thẳng ∆ : • ∆1 qua O và vuông góc t1 có phương trình 112x + 14y = • ∆2 qua O và vuông góc t2 có phương trình 8x – 64y = ∆2 Dạng : Tính góc hai đường thẳng và lập phương trình đường thẳng liên quan đến góc \ Ví dụ : Tính góc hai đường thẳng sau : a) 2x + y – = ; 3x - y + = b) 3x + 4y - = , www.saosangsong.com,vn Lop10.com ⎧x = + t ⎨ ⎩y = − t (17) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng Giải a) cos α = 2.3 +1(−1) = 17 => α = 450 10 b) VTPT hai đường thẳng là : n = (3; 4) , n ' = (1;1) Suy : cosα = cos(n, n ') = 3.1 + 4.1 32 + 12 + 12 = Ví dụ : Tìm k biêt đường thẳng y = kx + hợp với đường thẳng : x – y = góc 600 Giải : Ta có kx – y + = Ta có phương trình : k + 1 cos 600 = = <=> 2(k + 1)2 = k + k2 + 2 Ù k + k + = <=> k = −2 ± *Ví du : Cho hình vuông ABCD có đường chéo BD : x + 2y – = , đỉnh A(2 ; - 1) Viết phương trình cạnh AB và AD biết AB có hệ số góc dương Giải : Gọi k là hệ số góc AB , AD , phương trình AB , AD có dạng : y = k(x – ) – Ù kx – y – 2k – = Ta có AB và AD hợp với BD góc 450 k −2 Ù cos 450 = = <=> 2(k − 2)2 = 5(k + 1) 2 k +1 Ù 3k + 8k – = Ù k = 1/3 ( đường AB) , k = - ( đường AD ) Vậy phương trình AB : - 3x – y + = , AD : x – 3y – = hay ngược lại C Bài tập rèn luyện 3.22 Chọn câu đúng : Gọi là góc hai đường thẳng : x - y – = và 3x + y – = , thì cosα = a) 1/ b) 2/ c) 2/ 10 d) đáp số khác 3.23 Chọn câu đúng : Khoảng cách từ A(1 ; 3) đến đường thẳng 3x – 4y + = là: a) b) c) d) đáp số khác 3.24 Chọn câu đúng : Có giá trị m để đường thẳng x + my – = hợp với x+ y = góc 600 Tổng giá trị là : a) – b) c) – d) 3.25 Chọn câu đúng : Cho A(3; 4) , B(1; 1) , C(2 ; - 1) Đường cao tam giác vẽ từ A có độ dài là : a) b) c) 13 www.saosangsong.com,vn Lop10.com d) đáp số khác (18) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 18 ⎧x = + t cách đường ⎩y = + t 3.26 Chọn câu đúng : Điểm A ( a, b) thuôc đường thẳng : ⎨ thẳng d : 2x – y – = khoảng a) 20 và a > , thì a + b = b) 21 c) 22 d) 23 3.27 Cho tam giác ABC với B(1 ; 2) và C(4 ; - 2) a) Viết phương trình đường thẳng BC và tính độ dài đường cao AH b) Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác là 10 và A thuộc trục tung 3.28 Cho tam giác ABC có AB : 2x + y – = ; AC : 3x - y + = và BC : x – y = a) Tính sinA , BC và bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng AB qua BC 3.29 Cho hình vuông ABCD có tâm I ( 2; – 3) , phương trình AB : 3x + 4y – = a) Tính cạnh hình vuông b) Tìm phương trình các cạnh CD , AD và BC 30 Cho hình vuông ABCD có AB : 3x – 2y – = , CD : 3x – 2y + = và tâm I thuộc d : x + y – = a) Tìm tọa độ I b) Viết phương trình AD và BC * 3.31 Cho tam giác có A( ; - 5) và trọng tâm G (1 ; 1) a) Viết phương trình cạnh BC b) Viết phương trình cạnh AB và AC *3.32 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2 ; - 3) , B(3 ; - 2) , diện tích tam giác 3/2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C * 3.33 Cho hình thoi ABCD có A(- 2; 3) , B(1 ; - 1) và diện tích 20 a) Tính đường cao hình thoi và phương trình cạnh AB b) Tìm tọa độ điểm D biết nó có hoành độ dương * 3.34 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2 ; 2) , AB : x – 2y – = và AB = 2AD và yA > a) Tìm tọa độ hình chiếu K I lên AB b) Tìm tọa độ A và B * 3.35 Cho đường thẳng d : x + 2y – = và A(1 ; 4) , B(6 ; 4) a) Chứng minh A, B nằm phía d Tìm tọa độ A’ đối xứng A qua d www.saosangsong.com,vn Lop10.com (19) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 19 b) Tìm M ∈ d cho tổng MA + MB nhỏ c) Tìm M ∈ d cho | MA – MB| lớn * 3.36 Cho hình thoi có phương trình ba cạnh là : 5x – 12y – = , 5x – 12y + 21 = và 3x + 4y = Viết phương trình cạnh còn lại *3.37 Viết phương trình cạnh hình vuông biết cạnh qua bốn điểm I(0 ; 2) , J(5 ; - 3) , K(- ; - 2) và l(2 ; - 4) D Hướng dẫn hay đáp số 3.22 (a) 3.23 (d) 3.24 (c) 3.25 (b) A 3.26 (d) 3.27 a) BC : 4x + 3y – 10 = Ta coù BC = , suy AH = 2S ABC = BC G | 3a − 10 | b) Gọi A( ; a) Ta coù : d(A, BC) = Ù =4 B Ù a = 10 hay a = - 10/3 3.28 a)Ta coù : sinA = sin(AB, AC) = |cosA| = | 2.3 + 1(−1) | 10 = A − cos A => sinA = C I C D Toạ độ B , giao điểm AB và BC là ( ; 1) Tọa độ C , giao điểm AC và BC là (- 7/2 ; - 7/2 ) Suy : R = B BC = = 9/2 sin A b) Phương trình đường thẳng cần tìm BD qua B có dạng y = k(x – 1) + Ù kx – y – k + = Ta có : cos (BA, BC) = cos (BD, BC) Ù | 2.1 + 1(−1) | = | k.1 + | k + Ù k2 + = 5(k + 1)2 Ù 4k2 + 10k + = Ù k = - ½ hay k = - Giá trị k = - ứng với hệ số góc BA nên bị loại , ta nhận k = - ½ Phương trình đường thẳng BD : x + 2y - = 3.29 a) Caïnh hình vuoâng 2.d(I, AB) = b) * Phöông trình CD : 3x + 4y + m = với 3(2) + 4(−3) + m 3(2) + 4(−3) − Ù-6+m=2 =− 5 Ùm=8 => CD : 3x + 4y + = www.saosangsong.com,vn Lop10.com (20) Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 20 * Phöông trình AD vaø BC : 4x – 3y + m = Ta coù : d(I, AB) = d(I, AD) Ù = | 17 + m | Ù m = - hay m = - 27 AD : 4x – 3y - = , BC : 4x – 3y – 27 = hay ngược lại 3.30 a) I ∈ d => I = (x ; – x) Ta coù : d(I, AB) = d(I, CD) Ù x = => y = : I(0 ; 1) b) Nhö caâu b ( baøi 29) ⎧ x A + x B + x C = 3x G ⎧ x A + x I = 3x G => ⎨ => I = (0 ; 4) ⎩ y A + y B + y C = 3y G ⎩ y A + y I = 3y G 3.31 a) Gọi I laø trung điểm BC , ta có : ⎨ Phöông trình BC qua I vaø vuoâng goùc AI = (−3 ; 9) : - (x – ) + 3(y – 4) = Ù - x + 3y – 12 = A b) Phöông trình AB, AC qua A coù daïng : kx - y – 3k - = Ta coù : cos(AB, BC) = cos60 = ½ Ù | k +3| 10 k + = 6±5 Ù 3k – 12k – 13 = Ù k = Phöông trình AB vaø AC : G B I AB : (6 ± ) x − 3y + ± 15 = AC : (6 ∓ ) x − 3y + ∓ 15 = 3.32 G ∈ d => G = (a ; 3a - 8) Ta có ; SGAB = 1/3 SABC = ½ Maø AB = , suy : d(G; AB) = 1/ Phương trình AB : x – y - = , suy : | a − 3a + − | = <=> | − 2a | = Ù 3.33 a) Ta có : h = S ABCD = AB : 4x + 3y – = AB ⎧d(D, AB) = ⎩AD = AB = b) Gọi D = (x ; y) với d > Ta coù : ⎨ ⎧ | x + 3y − | = (1) ⎪ Ù ⎨ ⎪( x + 2) + ( y − 3) = 25 ⎩ (1) Ù y = (2) − 4x + 21 − 4x − 19 hay y = 3 www.saosangsong.com,vn Lop10.com C (21)