Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
1,14 MB
Nội dung
Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy TÌM I M LO I HAY VÀ KHÓ ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Tìm m lo i hay khó thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình ch nh t ABCD có m M n m c nh BC cho MC 2MB , tia đ i c a tia DC l y m N cho NC ND nh D(1; 3) m A n m đ ng th ng 3x y Ph ng trình đ ng th ng MN : x y Xác đ nh t a đ đ nh l i c a hình ch nh t ABCD Gi i: +) G i E giao m c a MN AD , : 1 1 ED MC BC BC AD AD 3ED (*) 2 3 +) Do A thu c đ ng th ng 3x y A(a ;3a 9) Do E thu c MN : x y E(3b; 1 4b) a 9b 2 b 1 a 3(1 3b) Khi (*) A(2;3) 3 (3a 9) 3 3 (1 4b) a 4b 2 a 2 +) CN qua D(1; 3) vuông góc v i AD nên có ph ng trình: x y x y x 3 N (3; 5) Khi t a đ m N nghi m c a h 4 x y y 5 Do D trung m c a CN nên suy C (5; 1) xB 2 xB B(2;5) +) Ta l i có CB DA yB yB V y A(2;3), B(2;5), C(5; 1) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy Bài Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho hình vuông ABCD có A(2;6) , đ nh B thu c đ ng th ng d có ph ng trình x y G i M , N l n l t hai m hai c nh BC, CD cho BM CN Xác 14 5 đ nh t a đ đ nh C , bi t r ng AM c t BN t i m I ; Gi i: Cách 1: *) Tam giác vuông ABM BCN có : AB BC BM CN ABM BCN A1 = B1 Mà B1 + B2 = 900 A1 + B2 = 900 hay AIB 900 12 16 *) Ta có : AI ; 5 32 14 G i B(2t 6; t ) d IB 2t ; t , đó: 5 12 32 16 14 AI IB AI IB 2t t t t B(2; 4) 5 AB2 42 22 12 16 AM AI *) Ta có AI AM 4 AI 5 5 2 12 xM x M M (1; 2) Khi Suy yM 16 yM 5 BC C (0;0) Nh n xét: (Cách 2) BM M trung m c a BC AB *) Th c ví d M trung m c a BC t ng đ ng v i h th c vecto BM MC , song h th c đ c bi t nên ta trình bày trung m đ áp d ng công th c vi c tìm m M đ c đ n gi n h n *) Ngoài vi c tìm t a đ m B, M , C theo cách b n có th tìm theo cách trình bày sau: +) Vi t ph ng trình BI : 3x y 10 , suy t a đ m B nghi m c a h : x y x B(2; 4) 3x y 10 y +) Ph ng trình AI : x y 10 BC : x y , suy t a đ m M nghi m c a h : 4 x y 10 x M (1; 2) 2 x y y +) Ta tìm C theo m lo i C th : t C (0;0) G i C (t; 2t ) BC , BC AB2 (t 2)2 (2t 4)2 20 (t 2)2 t C (4;8) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Do M n m gi a B C nên ta nh n đ Hình h c Oxy c đáp s C (0;0) Song m t h n ch cách trình bày th ba (tìm m C ) ta s tìm đ c hai m C c n lo i m t m Trong v i cách làm ta s tìm đ c xác m t m C theo yêu c u đ Vì v y r t nhi u toán, tìm m ta có r t nhi u cách ti p c n, cách ti p c n cách tìm m theo h th c vecto (đi m lo i 3), giao c a hai đ ng th ng (đi m lo i 1) s cho ta đ c m nh t (n u d a vào đ c thù c a hình v ) ó u m c a so v i h ng ti p c n khác – mà vi c tìm nhi u h n m t m, n ta ph i có thêm b c lo i nghi m 5 Bài Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho tam giác ABC có tâm đ ng tròn ngo i ti p I ; , tr c tâm 3 1 8 H ; trung m c a c nh BC m M (1;1) Xác đ nh t a đ đ nh c a tam giác ABC 3 3 Gi i: +) G i A' m đ i x ng v i A qua I , : A' C // BH (cùng vuông góc AC ) A' B // CH (cùng vuông góc AB ) Suy BHCA' hình bình hành , suy M trung m c a HA' +) G i G tr ng tâm tam giác ABC , G c ng tr ng tâm c a tam giác AHA' Do ta có: 4 4 xG xG HI 3GI G (1; 2) yG x G 3 3 1 xA 2(1 1) x A A(1; 4) +) M t khác ta có AM 2GM 2 yA 2(1 2) yA Khi BC qua M vuông góc AH nên có ph ng trình: x y 5 ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có tâm I ; bán kính IA nên có ph 3 ng trình: 4 50 x y 3 3 Suy t a đ B, C nghi m c a h : x x y x y B(3;0), C (1; 2) y 2 4 50 x 1 B(1; 2), C (3;0) y 2y x y y V y A(1;4) , B(3;0) , C (1; 2) ho c A(1; 4) , B(1; 2) , C (3;0) Chú ý: Vi c tìm B, C toán b n có th trình bày theo góc nhìn c a m lo i nh sau: G i B(3 2t; t ) BC , : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy 2 t B(3;0) 50 5t 10t IB IA IB IA 2t t 3 3 t B(1; 2) Do M (1;1) trung m c a BC nên suy : B(3;0) , C (1; 2) ho c B(1;2) , C (3;0) 2 Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có tr ng tâm thu c đ x y ng th ng qua A B có ph ng th ng : ng trình x y Tìm t a đ A B bi t AB , C (1; 1) hoành đ c a A l n h n hoành đ c a B Gi i: +) G i I trung m c a AB Do I AB nên I (3 2m; m) tr ng tâm G nên G(n; n) CG (n 1;3 n) +) Suy M t khác G tr ng tâm tam giác ABC nên : CI (4 2m; m 1) 3(n 1) 2(4 2m) 3n 4m m 1 I (5; 1) 3CG 2CI 3(3 n) 2(m 1) 3n 2m n G(3; 1) +) Khi A, B thu c đ ng tròn tâm I (5; 1) bán kính R AB 2 Suy t a đ A, B nghi m c a h : 3 A 6; 4; x y x y x y 2 2 x 6; y B 4; ( x 5) ( y 1) ( y 1) 3 1 +) V y A 6; B 4; 2 2 Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy Tìm t a đ đ nh l i c a tam giác ABC bi t A(5; 2) , ph trình đ ng trung tr c BC , đ ng trung n CD l n l t có ph ng ng trình x y x y 16 Gi i : +) G i M trung m c a BC nên M thu c đ ng th ng x y M (3t1 1; t1 ) G i G tr ng tâm tam giác ABC , G CD G(4 3t2 ; 4t2 ) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy AM (3t1 6; t1 2) Suy AG (3t2 1; 4t2 2) 3t1 3t2 1 t1 2t1 3t2 3 +) Khi AM AG M (2;1) t1 6t2 1 t2 t 4t +) BC qua M (2;1) vuông góc v i đ ng th ng x y nên có ph ng trình : 3x y 4 x y 16 x C (1; 4) Khi t a đ m C nghi m c a h 3x y y +) Do M (2;1) trung m c a BC , suy B(3; 2) V y C (1; 4), B(3; 2) Nh n xét : Ngoài cách gi i ví d b n có th tham kh o cách gi i th hai sau : + ) G i M trung m c a BC D(4 3n; 4n) Do D, M l n l t n m đ ng x y 16 x y nên g i M (3m 1; m) B(6n 3; 8n 2) C(6m 6n 5;2m 8n 2) + ) Ta có C CD 4(6m 6n 5) 3(2m 8n 2) 16 m M (2;1) + ) BC qua M (2;1) vuông góc v i đ nên BC có ph ng th ng x y ng trình: 3x y 3x y x C (1; 4) Khi t a đ m C nghi m c a h 4 x y 16 y Do M (2;1) trung m c a BC nên suy B(3; 2) + ) V y B(3; 2), C (1;4) Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC Bi t trung n k t B l nl t có ph A đ ng cao k t ng trình x y x y Bi t M (1; 2) trung m c a AB Tìm t a đ m C Gi i : +) G i N trung m c a BC H hình chi u vuông góc c a B AC Ta s tìm t a đ m A, B theo cách trình bày sau : A(3a 1; a ) AN Cách trình bày : G i , M (1; 2) trung m c a AB nên ta có : B(b; b 1) BH Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy xA xB xM 3a b 2 a A(4;1) a b b B(2;3) yA yB yM Cách trình bày : G i A(3a 1; a ) AN , M (1; 2) trung m c a AB nên ta có : xB xM xA 3a B(3a 1; a ) yB yM yA a A(4;1) Do B BH 3a (4 a ) 4a a B(2;3) +) Vi c tìm t a đ m C ta có hai cách trình bày sau : Cách trình bày : AC qua A(4;1) vuông góc v i đ ng th ng BH : x y c c ng trình : x y G i C (c; c 3) AC N ; c2 c M t khác N AN c C (2; 5) nên AC có ph Cách trình bày : G i N(3t 1; t ) AN C 6t 4;2t 3 AC (6t;2t 4) Ta có uBH (1;1) , AC.uBH 6t 2t 4t t 1 C (2; 5) V y A(4;1), B(2;3), C (2; 5) Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có đ nh A(3;3) I (2;1) tâm đ ngo i ti p ng phân giác c a góc nh n A có ph l i c a tam giác ABC , bi t BC +) ng tròn ng trình x y Tìm t a đ đ nh Gi i : ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có tâm I bán kính R IA nên có ph ng trình: (T ) : ( x 2)2 ( y 1) +) Khi t a đ giao m c a đ ng phân giác góc A v i (T ) nghi m c a h : x y x y O(0;0) giao m th hai 2 x y ( x 2) ( y 1) Do OA phân giác c a góc A nên OI vuông góc v i BC t i trung m M c a BC 4 5 Khi đó: IM R CM Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy +) M t khác BAC nh n nên ta có: xM (2) xM IM 4 2 5 IM IO IO M ; IO 5 5 y (1) y M M 5 +) BC qua M vuông góc v i IO nên có ph ng trình: x y Suy t a đ m B, C nghi m c a h : x 8 6 y B(0; 2), C ; 2 x y 5 5 x 2 8 6 ( x 2) ( y 1) 5 B ; , C 0; 5 5 x 8 6 8 6 V y B 0; , C ; ho c B ; , C 0; 5 5 5 5 IM IM Chú ý: V i góc BAC nh n ta có IM IO , n u BAC tù ta s d ng IM IO IO IO Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân t i đ nh A , BM đ ng trung n K đ ng th ng qua A vuông góc v i BM c t BC t i E (2;1) , tr ng tâm tam giác ABC G(2; 2) Xác đ nh t a đ đ nh c a tam giác ABC Gi i : +) Do ABC cân t i A nên AG BC G tr c tâm tam giác ABE EG AB GE GF G i AG AB F , : GE GF MC MA Suy G trung m c a EF F (2;3) Khi AB qua F (2;3) vuông góc v i EG nên có ph ng trình: y +) G i B(b;3) AB Ta có ABC 450 EFB vuông cân t i F , đó: b B(4;3) FB FE (b 2)2 b B(0;3) +) V i B(4;3) Do G tr ng tâm tam giác ABC EG // AC nên ta có: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy 2 2( xC 2) xC C (1;0) BE EC 1 2( yC 1) yC x 3(2 2) x A A(1;3) CA 3EG A y 3(2 1) y A A +) V i B(0;3) t ng t ta đ c C (3;0), A(3;3) V y A(1;3), B(4;3), C(1;0) ho c A(3;3), B(0;3), C(3;0) Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thang ABCD v i đáy l n AD AD 2BC , đ nh B(4;0) , ph ng trình đ ng chéo AC : x y , trung m E c a AD thu c đ ng th ng : x y 10 Tìm t a đ đ nh l i c a hình thang ABCD , bi t cot ADC Gi i : +) G i AE AC I , AD 2BC nên ABCE hình bình hành I trung m c a BE E (2;6) t t G i E (2t 10; t ) I t 3; Mà I AC 2(t 3) t 2 I (3;3) +) M t khác BCDE hình bình hành nên Ta có BE (2;6) g i C (c; 2c 3) AC BC (c 4; 2c 3) Khi : cot EBC cot ADC cos EBC BE.BC BE.BC 1 tan EBC 1 1 2 cos EBC 5 c 1 2(c 4) 6(2c 3) 2 5 40 (c 4) (2c 3) 10 5c 20c 25 C (5;7) c 3c 22c 35 7 5 C ; c +) V i C (5;7) A(1;1), D(3;13) (do I , E l n l t trung m c a AC , AD ) 7 5 11 13 23 +) V i C ; A ; , D ; (do I , E l n l t trung m c a AC , AD ) 3 7 3 3 11 13 23 V y A(1; 1), C(5;7), D(3;13) ho c A ; , C ; , D ; 3 3 7 3 Bài 10 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t x2 2 2 y2 m M ; Vi t ph 3 3 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 ng trình - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) đ Hình h c Oxy ng th ng qua M c t E t i hai m A, B cho MA 2MB Gi i : x y02 x02 y02 (1) +) Do M n m ( E ) nên t MA 2MB +) G i B( x0 ; y0 ) ( E ) 2 xA 2 x0 xA x0 MA 2MB A(2 x0 ; y0 ) 2 y y 2 A y 2 y A 3 +) Mà A ( E ) (2 x0 )2 (2 y0 ) x02 y02 x0 y0 (2) +) T (1) (2) ta đ B(0;1) x0 0; y0 2 x0 y0 ch : 8 3 B ; x y ; x y x y 0 0 5 5 8 3 V i B(0;1) : x y ; V i B ; : x 14 y 10 5 5 V y x y ho c x 14 y 10 Bài 11 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình ch nh t ABCD có A(5; 7) , M m cho ng th ng qua DM có ph 3MA MB i m C thu c đ ng th ng d : x y x y 57 Tìm t a đ đ nh c a tam giác BCD bi t m B có hoành đ âm Gi i : +) G i I giao m c a AC DM Do AM // DC nên áp d ng Ta – let ta đ AI AM AM AI AC AI CI DC AB AC AC (c 5; c 11) C (c; c 4) d +) G i 7a 57 7a 15 I a ; DM AI a 5; ng trình c: c 5(a 5) c c 5a 20 Khi AC AI 7a 15 21 C (1;5) c 11 6c 35a 141 a 7t 15 7t 57 +) G i M t; DM AM t 5; Khi : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy xB 4.(t 5) xB 4t 15 14t 51 3MA MB AB AM 7t 15 14t 51 B 4t 15; yB yB 14t 30 AB 4t 20; Suy CB 4t 16; 14t 66 +) Ta có: AB CB ABCB (4t 20)(4t 16) (14t 30)(14t 66) 0 B(3; 3) t 17t 132t 243 81 69 89 B t ; 17 17 17 Do B có hoành đ âm nên ta đ c B(3; 3) xD (3) x D D(9;1) +) ABCD hình ch nh t nên CD BA yD 7 (3) yD V y B(3; 3), C(1;5), D(9;1) Bài 12 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có AC AB i m M (1;1) trung m c a BC , m D thu c BC cho AD đ i x ng v i AM qua tia phân giác góc BAC ng th ng có ph ng trình d : 3x y qua D Xác đ nh t a đ đ nh B c a tam giác ABC , bi t C thu c đ ng th ng d ' : x y Gi i : +) G i N trung m c a AC , E chân đ ng phân giác c a góc BAC G, H , P l n l t giao m c a BN v i đ ng AM , AE, AD Khi ABN cân t i A Do AE phân giác c a BAC DAM ; G tr ng tâm tam giác ABC NB NB NB Suy PG HG NH NG NG PG PB hay P trung m c a BG +) Lúc ta s ch MD CM Th t v y: m m m AD mAP AB AG AB AM AD mAP t MD nMB AD AM MD AM nMB AM n MA AB n AB (1 n) AM Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy m m n m m 2 Suy AB AM n AB (1 n) AM m 1 n n 3 3 Khi MD MB CM hay MD CM 5 MD (2d 1;3d 3) D(2d ; 3d ) d , đó: +) G i (1 ; 6) CM c c C (c;7 c) d ' 2d 1 c 10d 3c d 1 MD CM C (6;1) 5d c 11 c 3d c Do M (1;1) trung m c a BC B(4;1) V y B(4;1) Hocmai.vn – Ngôi tr Giáo viên Ngu n ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]... Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy 6 m m n m m 2 5 Suy ra AB AM n AB (1 n) AM 2 3 m 1 n n 3 3 5 3 3 3 Khi đó MD MB CM hay MD CM 5 5 5 MD (2d 1;3d 3) D(2d ; 4 3d ) d , khi đó: +) G i (1 ; 6) CM c c C (c;7 c) d ' 3 2d 1 1 c 10d 3c 8 d 1 3. .. 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là các khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n bài b n Là các khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho các h c sinh đã tr i qua quá trình ôn luy n t ng th Là nhóm các khóa h c t ng ôn nh... 3 2d 1 1 c 10d 3c 8 d 1 3 5 MD CM C (6;1) 5 5d c 11 c 6 3d 3 3 c 6 5 Do M (1;1) là trung đi m c a BC B(4;1) V y B(4;1) Hocmai.vn – Ngôi tr Giáo viên Ngu n ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam 5 L I ÍCH C A H C TR C... a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian đi l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm 4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: đã có h n 30 0 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h