Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian M T C U NGO I TI P KH I A DI N ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng gi ng M t c u ngo i ti p kh i đa di n thu c khóa h c: Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Cho tam giác vuông cân ABC ( B 900 ), c nh góc vuông b ng a M t đ ng th ng ( ABC ) t i A Trên l y m S cho SB t o v i ( ABC ) m t góc 600 M t ph ng ( P ) qua A vuông góc v i SC c t SB, SC l n l t t i H , K Xác đ nh tâm bán kính 1) m t c u ( S1 ) qua m S, A, H , K 2) m t c u ( S2 ) qua m A, B, C, K, H Gi i : Do SA ( ABC ) SB,( ABC ) SBA 600 S Suy SA AB.tan 600 a CB AB 1)Ta có CB ( SAB) CB AK CB SA H I1 M t khác, AK SC nên suy AK (SBC ) AK SB Nh v y K, H nhìn SA d i góc vuông nên tâm c a m t c u ( S1 ) qua m S, A, H , K trung m I1 c a SA K A C I2 SA a 2 2) Do AK (SBC ) (ch ng minh trên), suy AK KC Khi ( S1 ) có bán kính R1 Khi m B, H , K nhìn AC d B i m t góc vuông nên tâm c a m t c u ( S2 ) qua m A, B, C, K, H trung m I c a AC Khi ( S2 ) có bán kính R2 AC a 2 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình ch nh t AB a , BC a 3, SA a SA vuông góc S v i m t đáy Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Gi i : CB AB CB ( SAB) CB SB hay CBS 900 Ta có CB SA Ch ng minh t ng t ta đ I c CDS 90 A M t khác SA ( ABCD) SA AC hay CAS 900 Nh v y CBS CDS CAS 900 Ngh a m B, D, A nhìn CS d Hocmai.vn – Ngôi tr i góc vuông ng chung c a h c trò Vi t B T ng đài t v n: 1900 58-58-12 D C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Do m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD có tâm I trung m c a SC có bán kính : SC SA2 AC SA2 AB2 BC 5a a 3a 3a R 2 2 3a V y R Bài Cho hình vuông ABCD c nh b ng a Trên đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) t i A l y m S M t ph ng qua A vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n l t t i B1 , C1 , D1 1) Ch ng minh r ng m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 n m m t m t c u Tính di n tích c a m t c u th tích c a kh i c u 2) Xác đ nh v trí c a S cho th tích c a kh i đa di n ABCDC1 l n nh t Tính th tích Gi i : S G i O giao m c a AC BD CB AB CB ( SAB) CB AB1 1) Ta có CB SA C1 Mà AB1 SC , suy AB1 (SCB) AB1 BC Ch ng minh t ng t ta c ng đ c AD1 D1C Khi ta có : ABC AC1C AD1C ADC ABC 900 D1 B1 D A Suy m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 n m m t c u tâm O ( O trung m c a AC ) có bán kính H O B C Smc 4 R2 2 a AC a R a3 2 V R kc 3 2) Trong m t ph ng ( SAC ) k C1H AC ( H AC ), C1H // SA, suy C1H ( ABCD) a2 V y VABCDC1 VC1 ABCDC C1H SABCD C1H 3 Trong tam giác vuông HC1O có C1H C1O , suy C1H l n nh t H O hay C1H C1O R ng trung bình tam giác SAC , suy SA 2C1H a Lúc C1H đ Khi VABCDC1 a 2 a2 a a3 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD n a l c giác đ u AB BC CD a , AD 2a C nh bên SA 2a SA vuông góc v i m t ph ng đáy Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Gi i : Hình h c không gian S Cách : G i O trung m c a AD , O tâm c a n a l c giác đ u ABCD Suy ABD vuông t i B DB AB Khi DB ( SAB) DB SB hay SBD 900 DB SA Ch ng minh t ng t ta đ c SCD 900 Nh v y SBD SCD SAD 900 Ngh a B, C , A nhìn SD d i góc vuông Do tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD trung m I c a SD Khi m t c u có bán kính : R I O A SD SA2 AD 12a 4a 2a 2 D C B Cách : +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD , : IA IB IC ID (1) IA IB IC ID IS hay IA IS (2) +) G i O trung m c a AD , ABCD n a l c giác đ u nên ta có OA OB OC OD a hay O tâm đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD D ng d qua O vuông góc ( ABCD) , d tr c S d K I c a đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD T (1) suy I d (*) +) Ta có d / / SA (cùng vuông góc v i đáy) nên SA, d thu c m t m t ph ng Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ ng trung tr c A c a SA Khi đó, t (2) suy I (2*) +) T (*) (2*), suy d D O I B Ta có KIOA hình ch nh t ( K trung điêm c a SA) SA Khi IO KA a Suy bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp : C R IA OA2 IO2 a 3a 2a Bài Cho tam giác ABC vuông cân t i A BC a T B C d ng đo n BD, CE vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) v m t phía c a ( ABC ) cho BD CE a Tính di n tích m t c u ngo i ti p hình chóp ABCED th tích c a kh i c u Gi i : D E I G i I giao m c a DC BE CA AB CA ( ABD) CA AD hay CAD 900 Ta có CA BD Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t B T ng đài t v n: 1900 58-58-12 C A - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Khi CED CBD CAD 900 , ngh a m E, B, A nhìn CD d i góc vuông, m t c u ( S ) ngo i ti p hình chóp DC DB2 BC a 2a a có tâm I trung m c a DC bán kính : R ABCED 2 2 a3 3 Suy S( S ) 4 R 3 a V( S ) R Bài Cho hình chóp t giác đ u có c nh đáy b ng a , c nh bên t o v i đáy góc Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Gi i : 2 S +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD IA IB IC ID (1) IA IB IC ID IS hay IA IS (2) M +) G i H giao m c a AC BD Do S ABCD hình chóp đ u nên SH ( ABCD) I Suy SA,( ABCD) SAH B Ta có SH tr c c a hình vuông ABCD T (1) , suy I SH (*) a H C +) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng trung tr c c a SA T (2), suy I (2*) T (*) (2*), suy SH A D I +) Xét tam giác SHA ta có : SH HC tan HA a a tan SA cos 2cos G i M trung m c a SA, SMI SHA hai tam giác đ ng d ng nên : SI SM SM SA SASA SA2 a a SI 2SH 2SH 2cos a tan SA SH SH sin 2 a V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp R SI sin 2 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD t giác có AB a , BC a 3, CD a 2, DA a , AC 2a C nh bên SA vuông góc v i đáy SA 2a Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S Gi i : +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD d IA IB IC ID (1) K IA IB IC ID IS hay IA IS (2) AB2 BC a 3a 4a AC +) Ta có ABC ADC 900 2 2 AD DC 2a 2a 4a AC I A B Khi trung m O c a AC tâm c a đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD Qua O d ng đ ng th ng d vuông góc v i ( ABCD) D O C Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Suy d tr c c a t giác ABCD d / / SA T (1), suy I d (*) +) Trong m t ph ng ( SAO) ch a SA d , ta d ng đ Hình h c không gian ng th ng trung tr c c a SA I T (2), suy I (2*) T (*) (2*), suy d +) Ta có KIOA hình ch nh t ( K trung điêm c a SA) Khi IO KA SA a Suy bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp : R IA OA2 IO2 a 3a 2a Chú ý : toán ta có th ch B, D, A nhìn SC d i m t góc vuông, suy tâm I trung SC 2a Bài Cho hình l ng tr đ ng ABC A' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông t i A AC a , m c a SC bán kính R ACB 600 ng chéo BC ' c a m t bên ( BB ' C ' C ) t o v i m t ph ng ( AA' C ' C ) góc 300 1) Tính th tích kh i l ng tr 2) Xác đ nh tâm bán kính m t c u ( S ) ngo i ti p hình l ng tr Gi i : A' C' BA AC Ta có BA ( AA' C ' C ) BC ', ( AA' C ' C ) AC ' B 300 BA AA ' Ta có AB AC tan 600 a SABC O2 300 1 a2 AB AC a 3.a 2 B' I Xét tam giác ABC ' vuông t i A ta có : AC ' AB.cot 300 a 3 3a a A 600 Khi CC ' AC '2 AC 9a a 2a O1 a2 1) Suy VABC A' B'C ' CC '.SABC 2a a3 2) G i O1 , O2 l n l t trung m c a BC, B ' C ' Do ABC A' B ' C ' tam vuông l n l t t i A B nên O1 , O2 l n l B t tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC A' B ' C ' Khi O1O2 tr c c a hai đáy Suy tâm I c a m t c u ngo i ti p l ng tr trung m c a O1O2 Th t v y : IA IB IC Do I O1O2 (*) IA' IB ' IC ' M t khác : I trung m c a O1O2 nên IC IC ' (2*) T (*) (2*), suy I tâm c a m t c u ngo i ti p l ng tr ABC A' B ' C ' Khi bán kính R IB BB ' CC '2 BC CC '2 AB2 AC 8a 3a a a 2 2 Bài Cho t di n ABCD có hai m t ( ABC ) ( DBC ) vuông góc v i Bi t BC a , BAC 600 BDC 300 Tính bán kính th tích c a kh i c u ngo i ti p t di n ABCD Gi i : *) D ng tâm Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - C Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) G i O1 , O2 l n l t tâm đ Hình h c không gian ng tròn A ngo i ti p tam giác BCD ABC G i E trung m c a BC Ta có O1E BC O1E ( ABC ) (do ( DBC ) ( ABC) ) T d2 O2 ng t ta có O2 E ( BCD) Qua O1 d ng đ d1 ng th ng d1 vuông góc v i ( BCD) I B D d1 tr c c a tam giác BCD d1 // O2 E Qua O2 d ng đ O1 E ng th ng d vuông góc v i ( ABC ) d tr c c a tam giác ABC d // O1 E C Khi giao m I c a d1 d tâm c a m t c u ngo i ti p t n ABCD Th t v y : I d1 IB IC ID IA IB IC ID , suy I tâm c a m t c u c n xác đ nh I d IA IB IC *) Tính bán kính R c a m t c u Ta có EO1IO2 hình ch nh t, suy IE O1E O2 E G i R1 , R2 l n l t bán kính c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD ABC , đó: BC 2 2 O1 E O1C EC R1 2 BC BC 2 2 2 2 IE R1 R2 R IC IE EC R1 R2 2 BC 2 2 O E O C EC R 2 Áp d ng đ nh lý sin tam giác BCD ABC ta có : BC a 2 R1 sin BDC sin 300 2a R1 a a a 13a a 39 2 R R a 12 2 R BC a 2a R a sin BAC sin 600 3 4 a 39 13 a 39 Khi th tích c a kh i c u : V R 3 54 Bài 10 Cho hình chóp đ u S ABC có đ ngo i ti p hình chóp cho ng cao SH h , SAB 450 Xác đ nh tâm bán kính m t c u Gi i : +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD IA IB IC ID (1) IA IB IC ID IS hay IA IS (2) S M +) G i H giao m c a AC BD Do S ABCD hình chóp đ u nên SH ( ABCD) I Ta có SH tr c c a hình vuông ABCD T (1) , suy I SH (*) +) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng trung tr c c a SA T (2), suy I (2*) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t 450 B A H C T ng đài t v n: 1900 58-58-12 D - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) T (*) (2*), suy SH Hình h c không gian I +) G i M trung m c a SA, SMI SHA hai tam giác đ ng d ng nên : SI SM SM SA SASA SA2 SI 2SH 2SH SA SH SH Tam giác SAB cân t i S có SAB 450 , suy SAB vuông cân t i S t SA x , : AB x HA AB x 3 Trong tam giác vuông SHA có : SA2 HA2 SH x2 V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp R x2 3h2 3h h x2 3h R 2h 3h Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -