BÀI TẬP MẶT CẦU NGOẠI TIẾP THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian M T C U NGO I TI P KH I A DI N ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng gi ng M t c u ngo i ti p kh i đa di n thu c khóa h c: Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Cho tam giác vuông cân ABC ( B  900 ), c nh góc vuông b ng a M t đ ng th ng   ( ABC ) t i A Trên  l y m S cho SB t o v i ( ABC ) m t góc 600 M t ph ng ( P ) qua A vuông góc v i SC c t SB, SC l n l t t i H , K Xác đ nh tâm bán kính 1) m t c u ( S1 ) qua m S, A, H , K 2) m t c u ( S2 ) qua m A, B, C, K, H Gi i : Do SA  ( ABC )   SB,( ABC )   SBA  600 S Suy SA  AB.tan 600  a CB  AB 1)Ta có   CB  ( SAB)  CB  AK CB  SA H I1 M t khác, AK  SC nên suy AK  (SBC )  AK  SB Nh v y K, H nhìn SA d i góc vuông nên tâm c a m t c u ( S1 ) qua m S, A, H , K trung m I1 c a SA K A C I2 SA a  2 2) Do AK  (SBC ) (ch ng minh trên), suy AK  KC Khi ( S1 ) có bán kính R1  Khi m B, H , K nhìn AC d B i m t góc vuông nên tâm c a m t c u ( S2 ) qua m A, B, C, K, H trung m I c a AC Khi ( S2 ) có bán kính R2  AC a  2 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình ch nh t AB  a , BC  a 3, SA  a SA vuông góc S v i m t đáy Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Gi i : CB  AB  CB  ( SAB)  CB  SB hay CBS  900 Ta có   CB SA  Ch ng minh t ng t ta đ I c CDS  90 A M t khác SA  ( ABCD)  SA  AC hay CAS  900 Nh v y CBS  CDS  CAS  900 Ngh a m B, D, A nhìn CS d Hocmai.vn – Ngôi tr i góc vuông ng chung c a h c trò Vi t B T ng đài t v n: 1900 58-58-12 D C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Do m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD có tâm I trung m c a SC có bán kính : SC SA2  AC SA2  AB2  BC 5a  a  3a 3a R     2 2 3a V y R Bài Cho hình vuông ABCD c nh b ng a Trên đ ng th ng  vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) t i A l y m S M t ph ng qua A vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n l t t i B1 , C1 , D1 1) Ch ng minh r ng m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 n m m t m t c u Tính di n tích c a m t c u th tích c a kh i c u 2) Xác đ nh v trí c a S  cho th tích c a kh i đa di n ABCDC1 l n nh t Tính th tích Gi i : S G i O giao m c a AC BD CB  AB  CB  ( SAB)  CB  AB1 1) Ta có  CB  SA C1 Mà AB1  SC , suy AB1  (SCB)  AB1  BC Ch ng minh t ng t ta c ng đ c AD1  D1C Khi ta có : ABC  AC1C  AD1C  ADC  ABC  900 D1 B1 D A Suy m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 n m m t c u tâm O ( O trung m c a AC ) có bán kính H O B C  Smc  4 R2  2 a AC a   R   a3 2  V R   kc 3  2) Trong m t ph ng ( SAC ) k C1H  AC ( H  AC ), C1H // SA, suy C1H  ( ABCD) a2 V y VABCDC1  VC1 ABCDC  C1H SABCD  C1H 3 Trong tam giác vuông HC1O có C1H  C1O , suy C1H l n nh t H  O hay C1H  C1O  R  ng trung bình tam giác SAC , suy SA  2C1H  a Lúc C1H đ Khi VABCDC1  a 2 a2 a a3  Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD n a l c giác đ u AB  BC  CD  a , AD  2a C nh bên SA  2a SA vuông góc v i m t ph ng đáy Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Gi i : Hình h c không gian S Cách : G i O trung m c a AD , O tâm c a n a l c giác đ u ABCD Suy ABD vuông t i B  DB  AB Khi   DB  ( SAB)  DB  SB hay SBD  900  DB SA  Ch ng minh t ng t ta đ c SCD  900 Nh v y SBD  SCD  SAD  900 Ngh a B, C , A nhìn SD d i góc vuông Do tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD trung m I c a SD Khi m t c u có bán kính : R I O A SD SA2  AD 12a  4a    2a 2 D C B Cách : +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD , :  IA  IB  IC  ID (1) IA  IB  IC  ID  IS hay   IA  IS (2) +) G i O trung m c a AD , ABCD n a l c giác đ u nên ta có OA  OB  OC  OD  a hay O tâm đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD D ng d qua O vuông góc ( ABCD) , d tr c S d K I c a đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD T (1) suy I  d (*) +) Ta có d / / SA (cùng vuông góc v i đáy) nên SA, d thu c m t m t ph ng Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ ng trung tr c A  c a SA Khi đó, t (2) suy I   (2*) +) T (*) (2*), suy d D O   I  B Ta có KIOA hình ch nh t ( K trung điêm c a SA) SA Khi IO  KA   a Suy bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp : C R  IA  OA2  IO2  a  3a  2a Bài Cho tam giác ABC vuông cân t i A BC  a T B C d ng đo n BD, CE vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) v m t phía c a ( ABC ) cho BD  CE  a Tính di n tích m t c u ngo i ti p hình chóp ABCED th tích c a kh i c u Gi i : D E I G i I giao m c a DC BE CA  AB  CA  ( ABD)  CA  AD hay CAD  900 Ta có   CA BD  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t B T ng đài t v n: 1900 58-58-12 C A - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Khi CED  CBD  CAD  900 , ngh a m E, B, A nhìn CD d i góc vuông, m t c u ( S ) ngo i ti p hình chóp DC DB2  BC a  2a a    có tâm I trung m c a DC bán kính : R  ABCED 2 2  a3 3 Suy S( S )  4 R  3 a V( S )   R  Bài Cho hình chóp t giác đ u có c nh đáy b ng a , c nh bên t o v i đáy góc  Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Gi i : 2 S +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD  IA  IB  IC  ID (1) IA  IB  IC  ID  IS hay   IA  IS (2) M +) G i H giao m c a AC BD Do S ABCD hình chóp đ u nên SH  ( ABCD) I Suy  SA,( ABCD)   SAH   B Ta có SH tr c c a hình vuông ABCD T (1) , suy I  SH (*) a H C +) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng  trung tr c c a SA T (2), suy I   (2*) T (*) (2*), suy SH A D   I  +) Xét tam giác SHA ta có : SH  HC tan   HA a a tan  SA   cos  2cos  G i M trung m c a SA, SMI SHA hai tam giác đ ng d ng nên : SI SM SM SA SASA SA2  a  a   SI        2SH 2SH  2cos   a tan  SA SH SH sin 2 a V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp R  SI  sin 2 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD t giác có AB  a , BC  a 3, CD  a 2, DA  a , AC  2a C nh bên SA vuông góc v i đáy SA  2a Xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S Gi i : +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD d  IA  IB  IC  ID (1) K IA  IB  IC  ID  IS hay   IA IS (2)   AB2  BC  a  3a  4a  AC  +) Ta có   ABC  ADC  900 2 2   AD  DC  2a  2a  4a  AC I A B Khi trung m O c a AC tâm c a đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD Qua O d ng đ ng th ng d vuông góc v i ( ABCD) D O C Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Suy d tr c c a t giác ABCD d / / SA T (1), suy I  d (*) +) Trong m t ph ng ( SAO) ch a SA d , ta d ng đ Hình h c không gian ng th ng trung tr c  c a SA   I  T (2), suy I   (2*) T (*) (2*), suy d +) Ta có KIOA hình ch nh t ( K trung điêm c a SA) Khi IO  KA  SA  a Suy bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp : R  IA  OA2  IO2  a  3a  2a Chú ý : toán ta có th ch B, D, A nhìn SC d i m t góc vuông, suy tâm I trung SC  2a Bài Cho hình l ng tr đ ng ABC A' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông t i A AC  a , m c a SC bán kính R  ACB  600 ng chéo BC ' c a m t bên ( BB ' C ' C ) t o v i m t ph ng ( AA' C ' C ) góc 300 1) Tính th tích kh i l ng tr 2) Xác đ nh tâm bán kính m t c u ( S ) ngo i ti p hình l ng tr Gi i : A' C'  BA  AC Ta có   BA  ( AA' C ' C )   BC ', ( AA' C ' C )   AC ' B  300  BA AA '  Ta có AB  AC tan 600  a  SABC  O2 300 1 a2 AB AC  a 3.a  2 B' I Xét tam giác ABC ' vuông t i A ta có : AC '  AB.cot 300  a 3  3a a A 600 Khi CC '  AC '2  AC  9a  a  2a O1 a2 1) Suy VABC A' B'C '  CC '.SABC  2a  a3 2) G i O1 , O2 l n l t trung m c a BC, B ' C ' Do ABC A' B ' C ' tam vuông l n l t t i A B nên O1 , O2 l n l B t tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC A' B ' C ' Khi O1O2 tr c c a hai đáy Suy tâm I c a m t c u ngo i ti p l ng tr trung m c a O1O2 Th t v y :  IA  IB  IC Do I  O1O2   (*)  IA'  IB '  IC ' M t khác : I trung m c a O1O2 nên IC  IC ' (2*) T (*) (2*), suy I tâm c a m t c u ngo i ti p l ng tr ABC A' B ' C ' Khi bán kính R  IB  BB ' CC '2  BC CC '2  AB2  AC 8a  3a  a    a 2 2 Bài Cho t di n ABCD có hai m t ( ABC ) ( DBC ) vuông góc v i Bi t BC  a , BAC  600 BDC  300 Tính bán kính th tích c a kh i c u ngo i ti p t di n ABCD Gi i : *) D ng tâm Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - C Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) G i O1 , O2 l n l t tâm đ Hình h c không gian ng tròn A ngo i ti p tam giác BCD ABC G i E trung m c a BC Ta có O1E  BC  O1E  ( ABC ) (do ( DBC )  ( ABC) ) T d2 O2 ng t ta có O2 E  ( BCD) Qua O1 d ng đ d1 ng th ng d1 vuông góc v i ( BCD) I B D d1 tr c c a tam giác BCD d1 // O2 E Qua O2 d ng đ O1 E ng th ng d vuông góc v i ( ABC ) d tr c c a tam giác ABC d // O1 E C Khi giao m I c a d1 d tâm c a m t c u ngo i ti p t n ABCD Th t v y :  I  d1  IB  IC  ID  IA  IB  IC  ID , suy I tâm c a m t c u c n xác đ nh   I  d  IA  IB  IC *) Tính bán kính R c a m t c u Ta có EO1IO2 hình ch nh t, suy IE  O1E  O2 E G i R1 , R2 l n l t bán kính c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD ABC , đó:   BC  2 2 O1 E  O1C  EC  R1    2 BC BC    2 2 2 2  IE  R1  R2   R  IC  IE  EC  R1  R2   2  BC   2 2 O E O C EC R     2       Áp d ng đ nh lý sin tam giác BCD ABC ta có : BC a  2 R1  sin BDC  sin 300  2a  R1  a a a 13a a 39 2       R R a  12 2 R  BC  a  2a  R  a  sin BAC sin 600 3 4  a 39  13 a 39 Khi th tích c a kh i c u : V   R      3   54 Bài 10 Cho hình chóp đ u S ABC có đ ngo i ti p hình chóp cho ng cao SH  h , SAB  450 Xác đ nh tâm bán kính m t c u Gi i : +) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S ABCD  IA  IB  IC  ID (1) IA  IB  IC  ID  IS hay   IA  IS (2) S M +) G i H giao m c a AC BD Do S ABCD hình chóp đ u nên SH  ( ABCD) I Ta có SH tr c c a hình vuông ABCD T (1) , suy I  SH (*) +) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng  trung tr c c a SA T (2), suy I   (2*) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t 450 B A H C T ng đài t v n: 1900 58-58-12 D - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) T (*) (2*), suy SH Hình h c không gian   I  +) G i M trung m c a SA, SMI SHA hai tam giác đ ng d ng nên : SI SM SM SA SASA SA2   SI    2SH 2SH SA SH SH Tam giác SAB cân t i S có SAB  450 , suy SAB vuông cân t i S t SA  x , : AB  x HA AB x  3 Trong tam giác vuông SHA có : SA2  HA2  SH  x2  V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp R  x2 3h2 3h  h  x2  3h  R   2h 3h Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -