Các bài toán tổ hợp – xác suất và nguyên lý dirichlet

MỞ ĐẦU Toán học tổ hợp – xác suất là một trong những lĩnh vực được nghiên cứu từ khá sớm.. Hiện nay trong giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp – xác suất là một trong những nội dung quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Vũ Đỗ Long

Hà Nội – 2016

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……….1

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN LÝ THUYẾT TỔ HỢP……… 3

1.1 Nhắc lại về tập hợp……… 3

1.2 Các phép đếm cơ bản……… 4

1.2.1 Quy tắc cộng……… ….4

1.2.2 Quy tắc nhân……… ….…5

1.2.3 Hoán vị……… …5

1.2.4 Chỉnh hợp……… 7

1.2.5 Tổ hợp……….9

1.3 Khái niệm về xác suất………10

1.3.1 Biến cố……… 10

1.3.2 Xác suất của biến cố……… … 11

1.3.3 Quy tắc cộng xác suất……… ….12

1.3.4 Quy tắc nhân xác suất……… ….13

1.3.5 Xác suất có điều kiện……… 14

1.3.6 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes……….… 14

1.3.7 Biến ngẫu nhiên rời rạc……… … 15

CHƯƠNG 2 - CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT……… 17

2.1 Các bài toán về tổ hợp……… 17

2.1.1 Phương pháp chung giải bài toán tổ hợp……… …17

2.1.2 Các dạng toán thường gặp……… ….18

2.1.2.1 Dạng 1: Bài toán đếm số……….18

2.1.2.2 Dạng 2: Bài toán sắp xếp đồ vật hoặc người……… 26

2.1.2.3 Dạng 3: Bài toán chọn số phương án để thỏa mãn một số điều kiện cho trước……….32

2.1.2.4 Dạng 4: Các bài toán đếm trong hình học……… 38

2.2 Các bài toán về xác suất và phân bố xác suất………44

2.2.1 Dạng 1: Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa về xác suất…… 44

2.2.2 Dạng 2: Tính xác suất bằng quy tắc cộng và quy tắc nhân……… 52

2.2.3 Dạng 3: Xác suất có điều kiện ……… ……….… 61

2.2.4 Dạng 4: Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc………….…78

2.3 Các bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet trong tổ hợp……….86

CHƯƠNG 3 - CÁC BÀI TOÁN KHÁC VỀ TỔ HỢP………106

KẾT LUẬN……….119

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….120

MỞ ĐẦU

Toán học tổ hợp – xác suất là một trong những lĩnh vực được nghiên cứu từ khá sớm Hiện nay trong giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp – xác suất là một trong những nội dung quan trọng, nó thường xuất hiện trong các đề thi cao đẳng và đại học ở nước

ta Mặc dù ở mức độ không khó nhưng học sinh vẫn gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán này Còn trong các kỳ thi Quốc gia và Quốc tế, các bài toán tổ hợp luôn có mặt

và là một thử thách thực sự với các thí sinh, thậm chí quyết định thành tích đối với các đội tuyển dự thi

Trong luận văn này đã đề cập đến một số bài toán tổ hợp – xác suất trong toán học phổ thông, cụ thể là các bài toán tổ hợp sử dụng các phương pháp đếm, ứng dụng nguyên lý Đirichlê vào giải một số bài toán tổ hợp, các bài toán tìm xác suất của một biến cố ngẫu nhiên sử dụng định nghĩa về xác suất và các phép tính của lí thuyết xác suất Đây có thể coi là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh THPT về chủ đề này

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 - Tổng quan lý thuyết tổ hợp

Chương 2 - Các bài toán về tổ hợp và xác suất

Chương 3 - Các bài toán khác về tổ hợp

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS.TS Vũ

Đỗ Long, em xin gửi tới thầy lòng biết ơn sâu sắc Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của học trò trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và giúp đỡ em hoàn thành luận văn này

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa cùng các thầy cô giáo khoa Toán – Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện, dạy bảo và dìu dắt em trong những năm học vừa qua

Do sự hạn chế về trình độ kiến thức và thời gian nên các bài toán tổ hợp, xác suất trong luận văn còn ít, chưa có nhiều bài toán khó Ngoài ra luận văn cũng không

thể tránh khỏi những sai sót ở nhiều góc độ Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô cùng các bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Huế

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN LÝ THUYẾT TỔ HỢP 1.1 Nhắc lại về tập hợp

Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai bộ sắp thứ tự ( a1, a2, … , am) và (b1, b2, … , bm) bằng nhau khi mọi phần tử tương ứng bằng nhau ( a1, a2, … , am) = (b1, b2, … , bm) ⟺ ai = bi, i = 1, 2, … , m

Số phần tử của một số tập hợp

Tập hợp A có hữu hạn phần tử thì số phần tử của A được kí hiệu là: |A| hoặc n(A)

A, B, C là 3 tập hợp hữu hạn, khi đó:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc

phương án B Có n cách thực hiện phương án A và có m cách thực hiện phương án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi m + n cách

Quy tắc cộng cho công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án

A1, A2, … , Ak Có n1 cách thực hiện phương án A1, có n2 cách thực hiện phương án A2,

… và nk cách thực hiện phương án Ak Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi

n1+ n2+ ⋯ + nk cách

Chú ý

Quy tắc cộng có thể được phát biểu dưới dạng sau:

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của A ∪ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là:

|A ∪ B| = |A| + |B|

1.2.2 Quy tắc nhân

Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn

A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể được thực hiện theo n m cách

Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như sau:

Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, … , Ak Công đoạn A1

có thể được thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách, …, công đoạn Ak có thể được thực hiện theo nk cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 n2 … nk cách

tử nào trong n phần tử của A nên có n cách thực hiện Sau khi chọn xong phần tử xếp vào vị trí thứ nhất, ở công đoạn 2 ta có thể chọn bất kì phần tử nào trong n − 1 phần tử còn lại của A để xếp vào vị trí thứ hai nên có n − 1 cách thực hiện Tiếp tục như vậy ở bước thứ 3 ta có n − 2 cách thực hiện, …, và ở bước thứ n (bước cuối cùng) ta chỉ còn

1 cách thực hiện Theo quy tắc nhân, ta có: n(n − 1)(n − 2) … 1 = n! cách sắp xếp thứ

Mỗi cách sắp thứ tự n vật như trên vào n vị trí gọi là hoán vị có lặp của n phần tử đó

Công thức xác định: Số hoán vị có lặp của n vật là n!

vị trí thứ k Vì tập hợp có n phần tử nên công đoạn 1 có n cách thực hiện Sang công đoạn 2 chỉ còn n − 1 phần tử chưa chọn cho nên có n − 1 cách thực hiện tương

tự công đoạn 3 có n − 2 cách thực hiện, … và ở công đoạn cuối (công đoạn thứ k) ta

có n − k + 1 cách thực hiện Theo quy tắc nhân, ta có n(n − 1)(n − 2) … (n − k + 1) cách lập ra một chỉnh hợp chập k Đó cũng chính là số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của một tập hợp n phần tử là một chỉnh

hợp chập n của tập đó nên Ann = Pn = n!

Định nghĩa: Một cách sắp xếp có thứ tự r phần tử có thể lặp lại của một tập n phần tử

được gọi là một chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử Nếu A là tập gồm n phần tử đó thì mỗi chỉnh hợp như thế là một phần tử của tập Ar Ngoài ra, mỗi chỉnh hợp lặp chập

r từ tập n phần tử là một hàm từ tập r phần tử vào tập n phần tử Vì vậy số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử là nr

1.2.5 Tổ hợp

a, Tổ hợp

Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử phân biệt và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n Mỗi tập con gồm k phần tử phân biệt không sắp thứ tự lấy trong số n phần tử đã cho được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)

Kí hiệu Cnk (hoặc (nk)) là số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử

Mỗi dãy n  1 thanh và k ngôi sao ứng với một tổ hợp lặp chập k của n phần tử

Do đó mỗi dãy ứng với một cách chọn k chỗ cho k ngôi sao từ n + k − 1 chỗ chứa

n – 1 thanh và k ngôi sao Đó là điều cần chứng minh

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:

- Kết quả của nó không đoán trước được

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó

Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu Ω

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là ΩA Khi đó người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập ΩA

- Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T Biến cố chắc chắn được mô tả bởi tập Ω

- Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được thực hiện Biến cố không thể được mô tả bởi tập ∅

1.3.2 Xác suất của biến cố

Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập

hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức P(A) = |ΩA |

Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T

Khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê (số này cũng chính là P(A) trong định nghĩa

cổ điển của xác suất)

Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, … , Ak Biến cố “có ít nhất một trong các biến cố

A1, A2, … , Ak xảy ra”, kí hiệu là A1∪ A2∪ … ∪ Ak, được gọi là hợp của k biến cố đó

b, Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy

ra thì biến cố kia không xảy ra

Hai biến cố A và B xung khắc nếu và chỉ nếu ΩA∩ ΩB = ∅

c, Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố được phát biểu như sau:

Cho k biến cố A1, A2, … , Ak đôi một xung khắc Khi đó:

P(A1∪ A2∪ … ∪ Ak) = P(A1) + P(A2) + ⋯ + P(Ak)

d, Biến cố đối

Cho A là một biến cố Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là A̅, được gọi là biến

cố đối của biến cố A

Nếu ΩA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho A̅

là Ω ∖ ΩA Ta nói A và A̅ là hai biến cố đối nhau

Kí hiệu S = A̅ ∪ A Do A̅ và A là hai biến cố xung khắc nên ta có:

P(S) = P(A̅) + P(A) Rõ ràng biến cố S luôn luôn xảy ra nên S là biến cố chắc chắn Vậy P(S) = 1 Suy ra P(A̅) = 1 − P(A)

1.3.4 Quy tắc nhân xác suất

không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại

c, Quy tắc nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A) P(B)

Nhận xét: Nếu P(AB) ≠ P(A) P(B) thì hai biến cố A và B không độc lập với nhau Quy tắc nhân xác suất cho nhiều biến cố được phát biểu như sau: Nếu k biến cố

A1, A2, … , Ak độc lập với nhau thì P(A1A2… Ak) = P(A1)P(A2) … P(Ak)

1.3.5 Xác suất có điều kiện

Giả sử A, B là các biến cố cùng liên quan đến một phép thử Xác suất của biến cố B chỉ được tính trong điều kiện A đã xảy ra được gọi là xác suất của biến cố B với điều kiện

- Nếu A, B, C là các biến cố bất kì ta có: P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B A⁄ ) P(C A⁄ ∩ B)

- Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì P(A B⁄ ) = P(A) hoặc P(B A⁄ ) = P(B)

1.3.6 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

a, Công thức xác suất đầy đủ

- Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử { B1, B2, … , Bn} là hệ đầy đủ các biến cố với P(Bi) > 0 với mọi i = 1, 2, …,n Khi đó với bất kỳ biến cố A, ta có:

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + ⋯ + P(Bn)P(A/Bn)

b, Công thức Bayes

Giả sử P(A) > 0 và { B1, B2, … , Bn} là hệ đầy đủ các biến cố với P(Bk) > 0 với mọi k = 1, 2, …, n Khi đó với mọi k = 1, 2, …., n, ta có:

P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + ⋯ + P(Bn)P(A/Bn)

1.3.7 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa : Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị

bằng số thuộc tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên không đoán trước được

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị { x1, x2, … , xn} Để hiểu rõ hơn về X, ta thường quan tâm đến xác suất để X nhận giá trị xk tức là các số P(X = xk) = pk với k = 1,2, …,n

Các thông tin về X như vậy được trình bày dưới bảng sau:

Bảng 1 Bảng 1 được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X

Và p1+ p2+ ⋯ + pn = 1

Kì vọng

Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là { x1, x2, … , xn} Kì vọng của X, kí hiệu là E(X), là một số được tính theo công thức:

E(X) = x1p1+ x2p2+ ⋯ + xnpn = ∑ xipi

n

i=1

Trong đó: pi = P(X = xi), (i = 1, 2,…, n)

Ý nghĩa: E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình của X Vì thế kì vọng

của E(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X

Nhận xét: Kì vọng của X không nhất thiết thuộc tập các giá trị của X

Trong đó: pi = P(X = xi)(i = 1, 2, … , n) và µ = E(X)

Ý nghĩa: Phương sai là một số không âm Nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tán

các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình Phương sai càng lớn thì độ phân tán càng lớn

Độ lệch chuẩn

Định nghĩa: Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là σ(X), được gọi là độ lệch chuẩn của

X, nghĩa là σ(X) = √V(X)

CHƯƠNG 2 - CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

2.1 Các bài toán về tổ hợp

2.1.1 Phương pháp chung giải bài toán tổ hợp

a Phương pháp đếm trực tiếp

Tùy theo bài toán chúng ta có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp

Nội dung: Đếm các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán

b Đếm vị trí

Chọn vị trí cho số thứ nhất theo yêu cầu bài toán, suy ra số vị trí cho các số tiếp theo … Sắp xếp các số còn lại

c Phương pháp đếm loại trừ

Đếm loại trừ theo hai bước:

Bước 1: Đếm số phương án xảy ra bất kỳ ta có kết quả n1

Bước 2: Đếm số phương án xảy ra không thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có kết quả n2 Bước 3: Số phương án đúng là n = n1− n2

Chú ý

Khi phương pháp đếm trực tiếp có nhiều trường hợp quá chúng ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ

d Phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau

Bước 1: Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tính chất mà bài toán yêu cầu (ví

e Phương pháp tạo vách ngăn

Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m + 1 vách ngăn

Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu bài toán từ m + 1 vách ngăn nói trên

Nhận xét: Hầu hết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương pháp trên để

giải quyết, tuy nhiên sự linh hoạt của phương pháp tùy thuộc vào khả năng của mỗi

người

Đối với bài toán mà tập ban đầu có số 0 ta xét trường hợp xem số 0 là một số có nghĩa

ta được kết quả n1, xét trường hợp số 0 đứng đầu ta có kết quả n2, kết quả cần tìm là

Bước 2: Liệt kê các tính chất của số n thỏa mãn yêu cầu

Bước 3: Dựa vào tính chất xem bài toán có chia trường hợp không

Bước 4: Thứ tự đếm (đếm ưu tiên)

Cho A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập A tạo được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số

phân biệt sao cho:

a, Luôn có mặt chữ số 8, 9

b, Luôn có mặt chữ số 8, 9 và hai chữ số này luôn đứng kề nhau

c, Luôn có mặt chữ số 8, 9 và hai chữ số này không đứng kề nhau

b, Dùng phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau:

+ Lấy ra 5 số lập từ tập A: Số 8,9 có 1 cách chọn, 3 số còn lại được lấy từ A\{8,9}nên

có C73 cách, suy ra có C73 cách lấy ra 5 số mà luôn có số 8 và 9

+ Sắp xếp số 8 và 9 kề nhau ta xem như là một số a có 2! cách, sắp xếp số a với 3 số còn lại có 4! cách, từ đó số cách sắp xếp 5 chữ số đã chọn như trên là 2!.4! cách

Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7} Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác

nhau sao cho:

Suy ra có 4.8 A28 = 1792 số

Vậy có 504 + 1792 = 2296 số cần tìm

Bài 8:

Cho tập 𝐴 = {0,1,2,3,4,5, ,6,7,8,9} Hỏi có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau

sao cho luôn có đúng 3 chữ số chẵn trong số tạo thành

Giải

Cách 1:

- Số 0 đứng đầu thỏa mãn điều kiện

Lấy trước rồi sắp xếp sau

Trường hợp 2: 6 chữ số lấy ra luôn có chữ số 0

Bước 1: Chữ số 0 có 1 cách lấy, lấy 2 chữ số chẵn có C42 cách lấy, lấy 3 chữ số lẻ có C53

+ Sắp xếp k phần tử giống nhau vào n vị trí có Cnk cách (1 ≤ k ≤ n)

+ Sắp xếp n phần tử giống nhau (không thay đổi kết quả) vào n vị trí có 1 cách sắp xếp

Bài 1:

Có 4 quyển sách Toán, 4 quyển sách Văn, 4 quyển sách Anh Các quyển sách

khác nhau Sắp xếp các cuốn sách trên một kệ dài Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

Người ta sắp xếp 1 quyển sách Toán, 1 quyển sách Văn, 6 quyển sách Anh vào

một kệ dài Biết các quyển sách là khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 2 quyển Toán và Văn không đứng cạnh nhau

Giải

Cách 1:

+ Sắp xếp 8 quyển sách vào một kệ dài có 8! cách

+ Sắp xếp 2 quyển sách Toán và Văn đứng cạnh nhau có 2! cách, vì 2 quyển sách Toán và Văn đứng cạnh nhau nên ta coi nó là 1 quyển và 6 quyển sách Anh nên ta có

7 quyển sách suy ra ta có 7! cách Khi đó số cách sắp xếp 8 quyển sách sao cho 2 quyển Toán và Văn đứng cạnh nhau là 2!.7!

Vậy có 8! − 2! 7! = 30240 cách sắp xếp

Cách 2:

+ Sắp xếp 6 quyển sách tiếng Anh vào một kệ dài có 6!

+ 6 quyển sách tiếng Anh tạo nên 7 vách ngăn ta chọn 2 vách ngăn xếp 2 quyển sách Toán và Văn suy ra có C72 cách chọn

+ 2 quyển sách Toán và Văn xếp vào 2 vách ngăn có 2! cách xếp

+ Lấy 4 trong 8 vị trí và sắp xếp 4 viên bi đen giống hệt nhau vào ta có C84 cách

+ Còn 4 vị trí sắp xếp 4 viện bi trắng khác nhau vào ta có 4! cách

Vậy số cách sắp xếp là C84 4! = 1680 cách

b,

+ Số cách sắp xếp 4 viên đen giống nhau làm thành 1 nhóm là 1 cách

+ Số cách sắp xếp 4 viên bi trắng là 4!

+ Số cách sắp xếp 4 viên bi đen cạnh nhau và cạnh 4 viên bi trắng là 2!

Vậy có 4!.2! = 48 cách sắp xếp

c,

+ Chọn 4 vị trí xen kẽ sắp xếp 4 viên bi đen giống hệt nhau vào là 1 cách

+ Có 3 vị trí xen kẽ giữa 4 viên bi đen ta sắp xếp 3 viên trắng vào có 3! cách xếp, cách chọn 3 viên bi trắng trong 4 viên là C43 Viên bi còn lại ta có 2 cách xếp ở ô đầu hoặc ô cuối

Vậy có 3!.C43 2 = 48 cách sắp xếp

Bài 4:

Sắp xếp 8 viên bi khác nhau vào 5 hộp giống nhau Có bao nhiêu cách sắp xếp

sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi

Giải

Cách 1:

+ Chọn ra 5 viên bi trong 8 viên bi và sắp xếp vào 5 hộp ta có C85 5! cách

+ Còn 3 viên bi sắp xếp vào 5 hộp

Trường hợp 1: Một hộp chứa 1 lần 3 viên bi có C33 5! cách

Trường hợp 2: Có 3 hộp mỗi hộp chứa thêm 1 viên bi có C31 C53 cách

Trường hợp 3: Có 1 hộp chứa thêm 1 viên bi và 1 hộp chứa thêm 2 viên có C31C51C22C41

Dùng phương pháp tạo vách ngăn

+ Xếp 6 thầy giáo vào 6 vị trí có 6! Cách

+ 6 thầy giáo tạo ra 7 vách ngăn Ta đặt 3 cô giáo vào 7 vách ngăn có 𝐴73

Vậy có 6!.A37 = 151200 cách sắp xếp

Bài 6:

Một đoàn tàu có 3 toa chở khách toa I, II, III Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị

đi tàu Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống, hỏi:

a, Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa ?

b, Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên ?

Người khách thứ tư có 3 cách chọn toa

Vậy có 3.3.3.3 = 81 cách xếp 4 vị khách lên 3 toa

Cách 2:

Số cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa tàu là số các chỉnh hợp lặp chập 4 của 3 phần

tử nên có 34 = 81 cách sắp xếp

b, Giả sử toa chứa 3 khách hàng trong 4 khách hàng là toa I thì ta có C43 2 cách xếp (vì người khách thứ tư có 2 cách chọn)

Vậy ta có 3 C43 2 = 24 cách sắp xếp 4 vị khách lên tàu mà một toa có 3 trong 4 vị khách nói trên

Bài 7:

Cho một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 12 bạn nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh này trên một bàn tròn sao cho không có nhóm 3 bạn nữ nào ngồi liên tiếp nhau ?

Giải

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Có 2 bạn nam ngồi sát cạnh nhau ⟹ giữa các bạn nam chỉ còn 6 khoảng trống ⇒ mỗi khoảng trống phải có đúng 2 bạn nữ

Trong trường hợp này ta sẽ xếp các học sinh qua 2 bước:

Bước 1: Xếp các học sinh nam: có P7 = 7! cách xếp (ta không sử dụng công thức hoán

vị vòng quanh là do các vị trí để xếp các bạn nam không có vai trò bình đẳng nữa) Bước 2: Xếp các học sinh nữ: có P12 = 12! cách hoán vị các bạn nữ

⇒ Trong trường hợp này thì số cách xếp các học sinh là 7!.12!

Trường hợp 2: Không có 2 bạn nam nào ngồi cạnh nhau ⇒ trong 7 khoảng trống giữa các bạn nam thì 5 khoảng là có 2 bạn nữ ngồi, 2 khoảng là có 1 bạn ngồi

Ta tiến hành xếp học sinh theo các bước:

Bước 1: Xếp các bạn nam vào bàn tròn có 6! cách xếp

khoảng còn lại sẽ có 2 bạn nữ ngồi

Bước 3: Hoán đổi vị trí của các bạn nữ với nhau có P12 = 12! cách hoán đổi

Trong trường hợp này có 21.6!.12! cách xếp

⇒ Số cách xếp học sinh tổng cộng là 7!.12! + 21.6!.12! cách xếp

Bài 8:

Có n bạn nam và n bạn nữ ngồi quanh một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách xếp

khác nhau sao cho:

a, Không có điều kiện gì

b, 2 bạn cùng giới không được ngồi cạnh nhau

Giải

a, Đầu tiên ta xếp 1 bạn bất kì vào vị trí Sau đó có thể coi việc xếp 2n – 1 bạn còn lại vào bàn tròn tương đương với việc xếp 2n – 1 bạn này vào một dãy bàn thẳng

⇒ Số cách xếp là (2n − 1)! cách

b, Đầu tiên ta xếp trước n bạn nam vào bàn ⇒ có (n – 1)! cách xếp Sau đó ta xếp n bạn

nữ còn lại vào bàn: Có n cách xếp bạn nữ đầu tiên, ( n – 1) cách xếp bạn nữ thứ 2, … Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là n!.(n – 1)! cách

Bài 9:

Có n người tham dự một cuộc họp trong đó có 1 giám đốc và 2 phó giám đốc

Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho n người đó quanh một bàn tròn sao cho giám đốc và 2 phó giám đốc luôn ngồi cạnh nhau, giám đốc ngồi giữa, hai phó giám đốc ngồi 2 bên

Giải

Giám đốc ngồi vào một cái ghế, hai ghế ở hai bên cạnh dành cho phó giám đốc Do đó

có 2 cách sắp xếp chỗ ngồi cho hai giám đốc Còn lại n – 3 người ngồi vào n – 3 ghế

Do đó có (n – 3)! cách sắp xếp cho các người còn lại Kết quả có 2 (n − 3)! cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài

2.1.2.3 Dạng 3: Bài toán chọn số phương án để thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Chọn tên của người có mặt

Chọn tên các thành viên còn lại

- Bài toán chọn nhiệm vụ

Cách giải

Chọn chức vụ các thành viên có chức vụ được chọn từ tập ban đầu

Sau khi chọn xong chức vụ thì chọn các thành viên không có chức vụ

- Bài toán chọn tên và có chức vụ

Cách giải

Chia trường hợp

Bài 1:

Tổ 2 lớp 12A có 10 học sinh trong đó 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ

a, Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh tùy ý

b, Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh có cả nam và nữ

c, Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh có ít nhất 2 học sinh nữ

a, + Chọn 10 học sinh bất kì trong 30 học sinh của cả 3 khối có C3010 cách

+ Chọn 10 học sinh từ 10 học sinh khối 10 có 1 cách

+ Chọn 10 học sinh từ 10 học sinh khối 11 có 1 cách

+ Chọn 10 học sinh từ 10 học sinh khối 12 có 1 cách

+ Chọn 10 học sinh ở cả 2 khối 10 và 11 có C2010− (C1010+ C1010) = C2010− 2 cách

+ Chọn 10 học sinh ở cả 2 khối 10 và 12 có C2010− (C1010+ C1010) = C2010− 2 cách + Chọn 10 học sinh ở cả 2 khối 11 và 12 có C2010− (C1010+ C1010) = C2010− 2 cách Vậy có C3010− (1 + 1 + 1 + C2010− 2 + C2010− 2 + C2010− 2) = 29490750 cách

Một lớp học có 40 học sinh trong đó có Bảo Sơn Lập thành một nhóm học tập

có 10 người trong đó có 1 đội trưởng và 2 đội phó

a, Có bao nhiêu cách lập một đội như trên sao cho Bảo Sơn luôn có mặt

b, Có bao nhiêu cách lập một đội như trên và Bảo Sơn luôn có mặt trong đó và là đội trưởng hoặc đội phó

Giải

a, Lấy ra học sinh Bảo Sơn có 1 cách

+ Lấy ra 9 học sinh bất kì trong các học sinh còn lại có C399 cách

+ Chọn ra 1 đội trưởng trong 10 bạn có C101 cách

+ Chọn ra 2 đội phó trong 9 bạn còn lại có C92 cách

Vậy có 1 C399 C101 C92 cách

b, Xét trường hợp

Trường hợp 1: Bảo Sơn là đội trưởng Khi đó:

+ Chọn 2 đội phó trong 39 học sinh còn lại có C392 cách

+ Chọn 7 thành viên trong 37 học sinh còn lại có C377 cách

Suy ra có C392 C377 cách

Trường hợp 2: Bảo Sơn là đội phó Khi đó:

+ Chọn 1 đội trưởng trong 39 học sinh còn lại có C391 cách

+ Chọn 1 đội phó trong 38 học sinh còn lại có C381 cách

+ Chọn 7 thành viên trong số 37 học sinh còn lại có C377 cách

Giải

Số cạnh chọn 7 quyển sách đủ hai loại:

+ Số cách lấy ra 7 quyển sách bất kì từ 15 quyển sách là C157 cách

+ Số cách lấy ra 7 quyển sách từ 10 quyển sách toán là C107 cách

Do số quyển sách văn ít hơn số lấy ra suy ra có C157 − C107 cách lấy 7 quyển sách đủ hai loại

Lấy 7 quyển sách trên đem tặng cho 7 học sinh mỗi em một quyển có 7! cách

Vậy có (C157 − C107 ) 7! = 31827600 cách

Bài 5: (ĐH – B -2015)

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 sinh viên gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện về giúp đỡ 3 xã miền núi sao cho mỗi xã có 4 nam và 1 nữ ?

Bài 6: (Đề thi tuyển sinh đại học – khối B – 2004)

Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau, gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi trên có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra có 5 câu hỏi, trong mỗi đề nhất định phải có mặt đủ ba loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?

Giải

Số cách chọn đề thi gồm 5 câu hỏi thỏa mãn yêu cầu bài toán có các trường hợp sau:

- 2 câu dễ + 2 câu trung bình + 1 câu khó có C152 C102 C5 1 đề

- 2 câu dễ + 1 câu trung bình + 2 câu khó có C152 C101 C5 2 đề

- 3 câu dễ + 1 câu trung bình + 1 câu khó có C153 C101 C5 1đề

Vậy có C152 C102 C5 1 + C152 C101 C5 2 + C153 C101 C51 = 56875 đề thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 7:

Trong một cuộc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia có 3 câu: 1 câu số học,

1 câu đại số và 1 câu về hình học Trong số 40 thí sinh dự thi có 25 thí sinh làm được câu số học, 30 thí sinh làm được câu đại số và 15 thí sinh làm được câu hình học Ngoài ra, số thí sinh làm được cả 2 câu số học và đại số là 20, làm được số học và hình là 5, làm được câu đại số và hình học là 10 Biết rằng không có thí sinh không làm được câu nào Hỏi có bao nhiêu thí sinh làm được cả 3 câu ?