SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ “PHƯƠNG
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT HÓA CÁC BÀI TOÁN TRONG DẠY HỌC TOÁN”
Người thực hiện: Nguyễn Thị Hòa Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Quý Đôn SKKN thuộc môn: Toán
BỈM SƠN NĂM 2017
Trang 2
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 52.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
3 Dạng 3: Các bài toán chứng minh bất đẳng thức 11
Trang 31.MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mớikhông ngừng Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạođiều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bảnmột cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứngthú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra chomình
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập củahọc sinh Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiếnthức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổngquát giúp học sinh có thể phát triển tốt tư duy Toán học
Thực tế trong quá trình dạy và học toán có rất nhiều các bài toán mangtính điển hình, từ bài toán đó ta có thể phát triển thêm các bài toán khác mangcác thuộc tính tổng quát hơn Vì vậy trong quá trình dạy theo tôi người dạy phảibiết trong mênh mông của toán, đâu là những bài toán mấu chốt, đâu là nhữngbài toán đại diện và vấn đề cơ bản của các bài toán ấy là vấn đề gì Từ đó họcsinh có thể dễ dàng nắm bài toán một cách tổng quát Đó là lý do mà tôi đã
chọn đề tài: “Tổng quát hoá các bài toán trong dạy học toán”
1.2 Mục đích nghiên cứu của đề tài :
“Tổng quát hoá các bài toán trong dạy học toán”để giúp học sinhhiểu được tổng quát hoá là chuyển từ trường hợp đặc biệt sang trường hợp tổngquát , nếu chứng minh được bài toán tổng quát ta có bài toán “mạnh hơn” bàitoán ban đầu , đúng với một lớp đối tượng rộng hơn so với bài toán ban đầu.Nhờ tổng quát hoá mà ta có thể đi đến công thức tổng quát, có thể sáng tạo racác bài toán mới, các định lý mới
Qua đó học sinh được rèn luyện phương pháp tìm lời giải cho một bàitoán cụ thể và rèn luyện cho học sinh phương pháp suy luận để chuyển từ việckhảo sát một tập hợp đối tượng đến tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợpban đầu
Thông qua việc tìm tòi cách giải cho một bài toán cụ thể, giáo viên đẫndắt để học sinh có thói quen xét bài toán trong trường hợp tổng quát hơn và cónhu cầu chứng minh bài toán tổng quát đó
Sau khi chứng minh được bài toán tổng quát , giúp học sinh có cái nhìnsâu rộng hơn , khái quát hơn và có phương pháp giải một lớp các bài toán cùngdạng
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Trang 4xã Bỉm Sơn-Thanh Hóa.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Từ một bài toán trong trường hợp riêng mà dẫn tới một bài toán chungcho nhiều trường hợp, cách làm như thế gọi là phương pháp tổng quát hóa
Trên cơ sở thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng pháthuy tính tích cực của học sinh trong học tập , làm cho học sinh chủ động nắmbắt kiến thức, chủ động tư duy hình thành các khái niệm, các công thức… thìngười thầy phải chủ đạo, hướng học sinh nắm bắt kiến thức một cách khoahọc, giáo viên cần tung ra những tình huống nhằm kích thích học sinh ham tìmtòi sáng tạo
Giáo viên có thể đưa ra những dạng bài cụ thể, mang tính đơn lẻ, có tínhchất dễ dàng lĩnh hội và đặt học sinh vào tình huống làm thế nào để có đượckhái niệm, bài toán tổng quát của những bài toán đơn lẻ đó, Qua đó học sinh sẽtiếp nhận kiến thức một cách chủ động, sáng tạo theo tư duy của từng cá nhân
Trên cơ sở phân loại các dạng bài tập, chúng tôi đưa ra các ví dụ từ dễđến khó, từ đơn giản đến phức tạp từ đó hình thành bài toán tổng quát
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Trang 52.1 Cơ sở lý luận:
Trong toán học, nhất là trong dạy học toán theo chương trình đổi mới thìviệc dạy học theo phương pháp tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, họcsinh được tiếp cận kiến thức một cách chủ động sáng tạo, từ những hình ảnh, môhình, ví dụ để hình thành các khái niệm trừu tượng, tổng quát hơn
Tổng quát hóa được các nhà toán học thường xuyên sử dụng, nhờ đó mà
ta có một nền toán học đồ sộ và phong phú Sự tổng quát của bài toán cho thấyrằng bài toán được giải bao giờ cũng sáng sủa hơn về mặt phương pháp và kếtquả thu được cũng cho thấy rõ bản chất của vấn đề
Rất nhiều bạn không dừng lại ở những bài toán tưởng chừng như rấtnhỏ, các bạn luôn cố gắng suy nghĩ tự tìm tòi sáng tạo để mở rộng, tổng quátcác bài toán lên
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình dạy học chúng tôi nhận thấy đa phần học sinh chỉ chútrọng việc giải toán , giải thế nào để bài toán có lời giải ngắn gọn Thực tế, đócũng là việc làm rất cần thiết đối với học sinh , tuy nhiên chỉ dừng lại ở đó thìhọc sinh không thể phát huy được tính sáng tạo qua các bài toán
Vấn đề đặt ra là người giáo viên khi đứng trên bục giảng có biết hướngcác em đi đến những bài toán khác, xây dựng những bài toán mới từ những bàitoán mà các em vừa được làm hay không, từ đó tổng quát lại các bài toán
Tổng quát hoá bài toán giúp học sinh phát huy được tính tích cực, chủđộng sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thúhọc tập bộ môn
Trong quá trình dạy học mỗi người giáo viên cần biết dạy cho họcsinh đi từ những bài toán dễ đến bài toán khó, từ bài toán cụ thể đến bài toántổng quát
2.3.Các giải pháp thực hiện :
Dạng 1: Các bài toán tính toán
Ở các bài toán thực hiện phép tính rất quen thuộc với các em, tuynhiên thông thường thì các em chỉ dừng lại ở việc tính toán mà ít tư duy đểkhái quát các bài toán đó, đưa bài toán về dạng tổng quát
Chính vì vậy khi dạy giáo viên cần hướng các em đi từ những ví dụ nhỏ
để hình thành cách tính tổng quát hơn, Chẳng hạn với các ví dụ sau các em cóthể tự mình tổng quát hoá được bài toán:
Khi dạy lớp 9 ta có bài toán (bài 66-trang34–sgk toán 9 tập 1)
Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức
3 2
1
+
3 2
1
bằng :(A)
2
1
Trang 6Hãy chọn câu trả lời đúng.
Bằng cách quy đồng mẫu số của hai phân số trong biểu thức, ta có thểnhẩm ngay ra giá trị của biểu thức là 4 ( câu trả lời là D) Tuy nhiên, nếu tanhìn số 2 dưới dạng khác là 2 = 4và nhận ra ( 4- 3)( 4- 3) =1 (*) thì ta
cũng có
3 2
1
+
3 2
1
= ( 4 - 3) + ( 4 - 3) = 4Đẳng thức (*) đã được phát biểu mở rộngtrong nội dung bài tập71( trang 14, sách bài tập toán 9, tập1):
1
-3 2
1
+
4 3
1
-5 4
1
+
6 5
1
-7 6
1
+
8 7
-1 2
1
+
2 3
1
-3 4
1
+
4 5
1
-
5 6
1
+
6 7
1
-7 8
Từ bài toán trên ta lại có bài toán tổng quát “mạnh hơn”
Bài toán tổng quát: Rút gọn:
2 1
1
-
3 2
1
+
4 3
1
-5 4
Trang 7Từ đẳng thức (1) tương đương với: n1 + n =
n
n1
1
, áp dụngvào bài toán ta có :
-(
1 2
1
+
2 3
1
)-(
3 4
1
+
4 5
1
)-… –(
1 2 2
2 n + 2n)
= 2 n 1- 1
Ví dụ 2: Rút gọn: S =
2 1 1 2
1
+
3 2 2 3
1
+
4 3 3 4
1
+
5 4 4 5
1
=
2
1 1
1
3 2 2 3
1
=
3
1 2
1
4 3 3 4
1
=
4
1 3
1
5 4 4 5
1
=
5
1 4
1
+
3
1 2
1
+
4
1 3
1
+
5
1 4
1
3 2 2 3
1
+
4 3 3 4
1
1 )
1 (
1
=
2
11
1
3 2 2 3
1
=
3
1 2
1
4 3 3 4
1
=
4
13
1
………
………
Trang 81 )
1 (
n n
S =
2
1 1
1
+
3
1 2
1
+
4
1 3
1
+ ….+
1
11
n n
S =
1
11
n n
Dạng 2: Chứng minh các bài toán
Vì a(a - 1) (a + 1) (a - 2) (a + 2) 5 ( tích của 5 số tự nhiên liêntiếp) và 5 a(a2 - 1) 5
a7 - a 7
- Nếu a có dạng 7k + 2 thì:
a3 = (7k + 2)3
Trang 9= (7k)3 + 3(7k)2 2 + 3(7k).22 + 23
= 7( 72 k3 + 3 7k2 2 + 3k 22) +8 a3 - 1 =7( 72 k3 + 3 7k2 2 + 3k 22) + 7
Qua các ví dụ trên giáo viên cho học sinh nhận xét số mũ của a và
số chia của biếu thức từ đó tổng quát bài toán Lúc đó học sinh dễ dàng phápbiểu được bài toán như sau:
Bài toán tổng quát : “Nếu p là số nguyên tố và a là 1 số nguyênthì ap – p chia hết cho p” (*)
Đây cũng chính là bài toán nhỏ Fecma
Trang 10Số nguyên tố p lớn hơn k nên p không rút gọn được với một thừa số nào
ở mẫu của (***), điều đó chứng tỏ biều thức (***) chia hết cho p, do đó Ak+1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
2 2
1 3
1 1
1
2 2
1 4
1 1
1
2 2
1 5
1 1
1
) + (1+
4
1 3
1
) + (1+
5
1 4
1
)+ ( 1+
6
1 5
1 1
1 1
1 1
1
2 2
2
1 )
1 1
1
2 2
1 3
1 1
1
2 2
1 4
1 1
1
………
Trang 112 2 2
1 ) 1 (
1 1
1 1
1
) + (1+
4
1 3
1
) + (1+
5
1 4
2 nên không thể có đẳng thức với n >1
Vậy với 3 nguyên >1 , ta có :
Bài toán tổng quát:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n >1, ta đều có :
2 2
2 1 1
1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( n) 2
Trang 12= n 12 n
=
2
)1( n n n
= n
2
)1( n
Vì
1
1 1
2 nên không thể có đẳng thức với n >1
Vậy với n số nguyên lớn hơn 1 , ta có :
1+ 2 + 3+ … + n < n
2
)1( n
(1)
Mặt khác, n
2
)1( n
2 2
1
n n
(2)
Bất đẳng thức cần chứng minh suy ra từ hai bất đẳngthức (1) và (2)
Ví dụ 2: Với a, b, c là ba số dương, chứng minh :
c b
a
2 +
a c
b
2 +
b a
(1)Với một số cách nhìn thông thường để mở rộng một bất đẳng thứcnhư xét các hệ số ; số mũ; số các biến, ta có các bất đẳng thức mở rộngvà bấtđẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (1)
- Nếu nhìn BĐT (1) dưới dạng:
c b
a
1
2
b c a
ta được mở rộng của (1)như sau:
Bài toán tổng quát : Với a, b, c, m, n là các số dương, chứng minh
c n b
m
a
.
2
+
a n c m
b
.
2
+
b n a m
c
.
2
c b a
b
2 +
b a
Bài toán tổng quát
c b
a n
+
a c
b n
+
b a
c n
1 1
Trang 13- Còn nếu nhìn BĐT (1) dưới dạng:
3 2
2 1
a a
a
+
1 3
2 2
a a
a
+
2 1
2 3
a a
a
3 2
2 1
a a
a
+
4 3
2 2
a a
a
+ +
2 1
2
a a
n a a
3
2 2
a
a a
1
2 3
a n với a1, a2, , an dương, n là số tự nhiên lớn hơn 2
Qua đó ta thấy mỗimột bài toán với cách nhìn khác nhau ta có các cách tổng quát bài toán khácnhau
Ví dụ 3:
Giả sử các số dương a, b, c thỏa mãn:
(a2 + b2 + c2)2 > 2(a4 + b4 + c4) Chứng minh : a, b, c là độ dài 3 cạnhcủa một tam giác
Suy ra a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Dễ dàng nhận ra rằng , cách chứng minh bài toán trên vẫn còn hiệu lựcđối với bìa toán mở rộng sau:
Bài toán tổng quát : Giả sử các số dương a, b, c thỏa mãn:
(a2k + b2k + c2k)2 > 2(a4k + b4k + c4k) Chứng minh : a, b, c là độ dài 3cạnh của một tam giác
Lời giải:
Trang 14Theo kết quả của bài toán 1 ta có ak , bk , ck là độ dài ba cạnh của mộttam giác Khi đó nếu a + b c thì ak + bk < (a + b)k
ck là điều vô lý , suy ra a+ b > c Tương tự b + c > a, c + a > b Vậy ta có điều phải chứng minh
Dạng 4: Các bài toán cực trị:
Ví dụ 1: Cho bốn số: a < b < c < d là các số thực tùy ý Với giả trị nàocủa x ta có biểu thức : f(x) = x a + x b + x c + x d đạt giá trị nhỏnhất
(
0 ) )(
(
x c b x
x d a x
d x a
min f(x) = d + c – a – b , khi b x c
Bài toán tổng quát:
Cho n số: a1 < a2 < a3 <….< an là các số thực tùy ý Với giả trị nàocủa x ta có biểu thức : f(x) = x a1 + x a2 + x a3 +….+ x a n đạt giátrị nhỏ nhất
Trường hợp 1: n = 2k – 1 ( k = 1 ,m )
Trang 15a
x + x a2 k 1 a2k – 1 – a1
2
a
x + x a2 k 2 a2k – 2 – a2
………
1 a k x + x a k 1 ak + 1 – ak – 1 k a x 0 f(x) (a2k – 1 + a2k – 2 + …….+ ak + 1) – (a1 + a2 +…+ ak – 1 ) min f(x) = (a2k – 1 + a2k – 2 + …….+ ak + 1) - (a1 + a2 +…+ ak – 1 ) Khi : x = ak Dạng 5: Giải phương trình và hệ phương trỡnh đại số Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2000
3
2
1
1999 4 3 2 1 2000 4 2 1 2000 4 3 1 2000 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x Giải: Cộng từng vế của n phương trình , ta có: x1 + 1999(x1 + x2 +x3 …+x2000) = 2001000 hệ có nghiệm x2 = -1, x3 = -2, … , x2000 = -1999 và x1 = 2 2 2000 2000 2 = 1999001 Bài toán tổng quá t : Ví dụ: Giải hệ phương trình: n x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n 1 4 3 2 1 4 2 1 4 3 1 4 3 2 1
3
2
1
Giải: Cộng từng vế của n phương trình , ta có: x1 + (n – 1)(x1 + x2 + …+xn) = 1 + 2 + 3 +… + n x1 + (n – 1)(x1 + x2 + …+xn) = 2 ) 1 ( n n Suy ra hệ có nghiệm: x2 = -1, x3 = -2, … , xn = -(n – 1) và x1 = 2 2 2 n n Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x13- 5y3 - 25z3 = 0 (1)
Trang 16Từ phương trình (1) ta suy ra x3 chia hết cho 5 Đặt x = 5x1 ( x1 nhận giá trị nguyên), ta có phương trình (1) tươngđương với: 125x13- 5y3 - 25z3 = 0
25x13- y3 - 5z3 = 0 (2)
Từ phương trình (2) ta lại suy ra y3 chia hết cho 5 y chia hết cho 5
Đặt y = 5y1 ( y1 nhận giá trị nguyên), ta có phương trình (2) tươngđương với: 25x13- 125y13 - 5z3 = 0
5x13- 25y13 - z3 = 0 (3)
Từ phương trình (3) ta lại suy ra z3 chia hết cho 5 z chia hết cho 5
Đặt z = 5z1 ( z1 nhận giá trị nguyên), ta có phương trình (3) tươngđương với: 5x13- 25y13 - 125z13 = 0
x13- 5y13 - 25z13= 0 (4)Như vậy ta có x, y, z cùng chia hết cho 5
Từ phương trình (4) hoàn toàn tương tự ta cũng suy ra x1, y1, z1
cùng chia hết cho 5, suy ra x, y, z cùng chia hết cho 52
Quá trình này tiếp tục mãi , suy ra x, y, z cùng chia hết cho 5n với
n là một số nguyên dương tuỳ ý Điều này sảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0 Vậy phương trình (1) có nghiệp duy nhất x = y = z = 0
Từ đó ta có bài toán tổng quát :
Giải phương trình ngiệm nguyên:
a1x1n + a2x2n+ a3x3n + + akxkn = 0 (*)Với n là số tự nhiên lớn hơn 1,các tham số nguyên a1, a2, , ak và các ẩn
x1, x2, xk được giải bằng phương pháp lùi vô hạnvà sử dụng tính chất chiahết để chứng minh x1, x2, xk cùng chia hết cho số nguyên tố p, tương tựchứng minh được x1, x2, xk cùng chia hết cho pm với m là số nguyên dươnglớn tuỳ ý Điều này xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xk = 0 Vậy phươngtrình (*) có nghiệm duy nhất x1 = x2 = = xk = 0
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm :
Khi chưa thực hiện đề tài này học sinh chỉ biết làm các bài toán mộtcách rời rạc,không biết vận dụng vào việc giải các bài toán khác cùng loại,do
đó khi giải bài tập thường gặp khó khăn và ngại làm
Sau khi áp dụng đề tài trên đối với 44 học sinh của lớp 9B tôi nhận thấyhọc sinh nắm vững các kiến thức cơ bản có hệ thống và có hứng thú giảitoán ,các em nắm được bản chất của bài toán và biết tổng quát lên để giải cácbài tập cùng loại, từ đó kích thích lòng say mê học toán góp phần không nhỏ
Trang 17vào việc phát triển tư duy cho học sinh, so sánh với khi chưa áp dụng đề tài có
sự chênh lệch về chất lượng Cụ thể như sau:
Trang 18đến học sinh những kiến thức trọng tâm một cách chính xác, sâu sắc và hấpdẫn nhất
Học sinh là yếu tố quan trọng cho thành công của mỗi giờ học nên cầnđộng viên, hướng dẫn, đôn đốc, kiểm tra một cách thường xuyên để các em có
ý thức và hứng thú trong học tập
Bản thân thấy: Khi dạy cần cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cáchthoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhậndạng được các bài toán , tổng hợp và khái quát bài toán, từ đó hầu hết giảiđược các bài tập, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắcgiải tổng quát Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, cácphẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phongphú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này
em nắm kiến thức một cách chắc chắn và có hệ thống
-Kiến nghị:
Phương pháp tổng quát hóa các bài toán trong dạy-học Toán là mộtphương pháp quan trọng trong chương trình Toán trung học cơ sở Nội dungkiến thức này không những phục vụ cho học sinh đại trà mà còn phục vụ chohọc sinh khá giỏi Với mục đích phát triển tư duy toán học, bên cạnh kiến thức
cơ bản trong sách giáo khoa cần mở rộng kiến thức một cách có hệ thống lôgíc chặt chẽ, để rèn luyện phương pháp tư duy toán học sâu sắc góp phần pháttriển trí tuệ cho học sinh.Để đạt được mục tiêu đó tôi xin đề xuất một số ý kiếnsau:
- Đối với tổ chuyên môn và nhà trường :Nên xây dựng các chuyên đề cụ thể
để tổ chức và dạy học tự chọn là hết sức cần thiết
- Đối với phòng Giáo dục: Tổng hợp các sáng kiến kinh nghiệm có chất
lượng đưa về các trường để triển khai cho giáo viên học tập và áp dụng
