GIẢI Ý KHÓ TRONG CÂU THỂ TÍCH KHÔI ĐA ĐIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

GIẢI Ý KHÓ TRONG CÂU HHKG ĐƠN GIẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI Ý KHÓ TRONG CÂU HHKG ĐƠN GIẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI Ý KHÓ TRONG CÂU HHKG ĐƠN GIẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI Ý KHÓ TRONG CÂU HHKG ĐƠN GIẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của

hai đường chéo của hình thoi ABCD

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

;0

;2

C

a A

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và

đường cao bằng h Gọi I là trung điểm

C A

S

y z

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và  ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có

x

y z

x

y z

B

C A

S

x y z

Tam giác ABC vuông tại B có

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại C

 ABC vuông tại C CA a CB b ; 

chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại A

 ABC vuông tại A AB a AC b ; 

chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông cân tại C

z

B

C A

H S

x

y

z

Tam giác ABC vuông cân tại C có

CA CB a  đường cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau : O(0;0;0) ; A (a;0;0);

( a b

AB 

) ;0 ;



i vì : Ox(OBC)

)0 ,1 ,0 (



j vì : Oy (OCA)

)1 ,0 ,0 (



k vì : Oz (OAB)

Sử dụng công thức tính góc giữa hai

mặt phẳng:

( ),( )cos

cos  OBC ABC

( ),( )cos

cos  OBC ABC

b a a c c b

c b

b a a c c b

a c

S

x y

2 2 2 2 2 2

.cos

b a a c c b

b a

2 2 2 2 2 2 2 2

b a a c c b







Bài toán 2 Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a

a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng (AB'D')

b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng (AB'D') là trọng tâm của tam giác AB 'D'

c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD)

d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA'C) và (ABB'A')

( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau : O A(0;0;0) ;

''

D AB C

A AD C

A

AB C

)

;0

;('

)

;

;('

a a AD

a a AB

a a a C A

''

00

'.'

00

'.'

2 2

2 2

AD C A

AB C A a

a AD

C A

a a

AB C A

Nên A'C mp(AB'D')

b Chứng minh : G là trọng tâm của

tam giác AB 'D' Phương trình

tham số của đường thẳng A' C

)(:

t a

B’

A B

Phương trình tổng quát của mặt

phẳng (AB'D')

0:

a y

a x

z y x

t a z

t y

t x

;3

a a a

33

33

' '

' '

' '

a z

z z z

a y y y y

a x x x x

D B A G

D B A G

D B A G

(2)

So sánh (1) và (2), kết luận

Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và mặt phẳng (AB'D') là trọng tâm của tam giác AB 'D'

(AB'D') // ( BD C' )

3)''(,)

'(),''

(DA'C),(ABB'A')45o

Bài toán 3 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a

Chứng minh hai đường chéo B 'D'và A' Bcủa hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B 'D'và A' B

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

vuông góc Oxyznhư sau :

)0

Chứng minh B 'D'và A' B chéo

nhau, ta chứng minh ba vectơ

',

'.]

',''['

,'

'

B A D B

BB B A D B B

','

3

4 4 4

a

a a

a a

a B

A D B







Bài toán 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi

AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A(2;0;0); B(0;1;0); S(0;0;2 2) Gọi M là trung điểm của SC

1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N

Tính thể tích khối chóp S.ABMN

( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau : O(0;0;0);

BM SA

BM SA BM

30



1b Tính khoảng cách giữa SA và BM

Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử

dụng công thức tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng chéo nhau

)2

;0

;22(],[SA BM    ; AB(2;1;0)

024]

,[SA BM AB  

3

6248

24]

,[

]

,[),

AB BM SA BM

SA d

2 Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Dễ dàng nhận thấy :

)()

MN  

AMN S ABM S ABMN

Trong đó :

SB SM SA

MN// // N là trung điểm của SD Toạ độ trung điểm N 

1

;

)22

;0

;2



SA ; SM(1;0; 2)

)22

;1

;0( 



SB ; SM(1;0; 2)

)0

;24

;0(],

 SA SM

3

226

24]

,[6

22]

,[6

.ABMN  S ABM  S AMN 

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau :O(0;0;0);

;3

;

0

(

)4

;3

Phương trình mặt cầu có tâm là A

3(:x2  y 2 z2  Phương trình mặt phẳng (P) : 



Tìm vectơ pháp tuyến của (P)

],[)

BC AM n

;24

;6(],

Bài toán 6 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC  AD4cm ;

cm

AB 3 ; BC 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh

ĐH&CĐ khối D năm 2002 )

Dựng hình :

ABC

 có : AB2 AC2  BC2 25 nên

vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ

Đêcac vuông góc Oxyz như sau

129916

12)

Bài toán 7 Cho hai nửa đường thẳng Axvà Byvuông góc với nhau và nhận ABa (a 0)là đoạn vuông góc chung Lấy điểm M trên Axvà điểm N trên By sao cho AM BN 2a Xác định tâm I và tính theo abán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI

Hướng dẫn Bài giải

1a Xác định tâm I của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABMN

Ay Ax

By Ax

Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm 

I của MN là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN

1b.Tính bán kính R của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABMN

Ta có : MN  a(2 ;2 ;1) Bán kính mặt cầu :

2

32

a MN

BI ; AB(0;0;a)

)2

;

;0(],[AM BI  a2 a2

5

52],[

]

,[),

BI AM

AB BI AM BI

AM

Bài toán 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh

MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC ( trích đề thi

tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau :

422

4]

,[

]

,[,

2 2

2

a h a

h a

AC MN

AM AC MN AC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Gọi I là trung điểm của BC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

BC Tính theo athể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN (

trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )

Dựng hình :

Gọi H là hình chiếu vuông góc

của S trên AB  SH (ABCD)

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau :H(0;0;0);

a a

AA a Gọi M là trung điểm của BC Tính theo athể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và

khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau :

71

22

minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển

sinh Cao đẳng năm 2008 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau :

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau :

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau :O(0;0;0)

x y z

3 2

&CĐ khối D năm 2007 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau :

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu

vuông góc của A trên SB

Phương trình tham số của SB :

d H SCD

1 Hình chóp tam giác

Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002) Cho hình chóp tam giác đều S ABC có độ dài cạnh

AB=a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích của tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Đặt SG =z>0. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A,

tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song

song với SG (xem hình vẽ) Khi đó

Bài 2 (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007) Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB

và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho AC=R Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60o Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB,

SC Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp S ABC

Gợi ý:

Ta có AC =R BC, =R 3 Đặt SA= z>0

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡C, tia Ox chứa A,

tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và

song song với SA (xem hình vẽ) Khi đó:

6.12

Bài 3 (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có

giao tuyến là đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB=a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC =BD= AB=a Tính bán kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a

x A B D

C

Bài 4 (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác

đều cạnh a, SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM

.50

Bài 5 (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân

tại B, AB=BC =2a , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 o

Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

S

Bài 6 (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, BA=3 ,a BC =4a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB =2a 3 và SBC=30 o

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

O

Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a,

AB = 2a, AC = 4a, BAC =60o Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD Đườngthẳng HK cắt đường thẳng AD tại E Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể tích khối tứ diện

Vậy BE vuông góc với CD

A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

60o Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

aC

a aS

B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chóp vuông góc của A trên

cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a

Giải:

K O

A

B

C S

Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và  o

ABC=30 Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60o Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên

mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

22

ax

xa

Giải hệ (1), (2) và (3), ta được S(2a;-3a;6a)

Suy ra đường cao của hình chóp S.ABC là h=zS =6a

21

2ABC

S = AB AC= a VS ABC. =48a3

2 Hình chóp tứ giác

Bài 1 (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh

a, góc BAD=60 ,o SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi C’ là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại B D', ' Tính thể tích khối chóp ' ' '

S AB C D

Gợi ý:

Gọi O là giao điểm của AC và DB

OB=OD= OA=

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy

chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song

song với SA (xem hình vẽ) Khi đó:

AB=a AD=a SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của )

AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Gợi ý:

+Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡ A, tia Ox chứa B, tia

Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:

N

C B

A S

Vectơ pháp tuyến của (SBM) là

2

22

Bài 3 (Trích đề ĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP

Gợi ý:

Gọi O là trung điểm AD, khi đó SO⊥(ABCD) Chọn

hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy

chứa N và tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:

M

NO

CD

A

BS

Bài 4 (Trích đề ĐH Khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của

BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC

Gợi ý:

Gọi O là giao điểm của AC và BD Chọn hệ trục tọa độ

Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz

chứa S (xem hình vẽ) Đặt SO=z, Khi đó:

EI

O

CD

Gợi ý:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A, tia Ox chứa B, tia Oy

chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy

vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi

S

+ Thể tích của khối chóp S.BMDN là

3

3.3

Bài 7 (Trích đề ĐH Khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D;AB =AD =2 ,a CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp

S.ABCD theo a

Gợi ý:

Từ giả thiết suy ra SI ⊥(ABCD) Đặt SI = z>0

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ , tia Ox chứa D, I

tia Oy vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình

3 15

.5

I

C

BA

DS

Bài 8 (Trích đề ĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi

M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡H, tia

Ox chứa N, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình

M

CB

S

+ Thể tích khối chóp S.CDNM là

3

.24

Bài 9 (Trích đề ĐH Khối D năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a cạnh

bên SA=a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡H , tia

Ox song song với tia AB, tia Oy song song với tia

AD và tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:

14.48

S BMC

a

Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là bình hành, AD = 4a, các cạnh bên của hình chóp bằng

nhau và bằng a 6 Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp

S.ABCD lớn nhất

Gợi ý:

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD; M,N lần lượt là

AB và AD Từ giả thiết suy ra

S

+ Bằng cách xét hàm số ( ) 8 2 2 2

3

f x = ax a −x với x∈(0;a 2) hoặc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy

ra V S ABCD. lớn nhất khi và chỉ khi x=a Suy ra SO=a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi

3 Hình lăng trụ tam giác

Bài 1 (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 có

Bài 2 (Trích đề dự bị 2 – ĐH Khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 có tất cả các cạnh đều

bằng a, M là trung điểm của đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥B C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

BM và B C1

Gợi ý:

Gọi O là trung điểm BC và chon hệ trục tọa độ Oxyz có tia Ox chứa

A , tia Oy chứa C và tia Oz chứa trung điểm của B C1 1 (xem hình vẽ)

x

y O