Bài toán tính thể tích khối đa diện là một bài toán cơ bản trong chương trình hình học lớp 12, theo cấu trúc có trong đề thi THPT QG và chiếm 01 điểm. Đây là phần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập, đây cũng là phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Đứng trước một bài toán hình học không gian, yêu cầu đối với người học về “kiến thức nền” là kỹ năng vẽ hình, kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, cách xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ
TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Tác giả: Đào Huy Khánh TTCM tổ Toán – Tin - TD Giáo viên trường THPT Nguyễn Duy Thì Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi THPT QG Số tiết dự kiến:10T lớp + 10T tự học I-LỜI NĨI ĐẦU Bài tốn tính thể tích khối đa diện tốn chương trình hình học lớp 12, theo cấu trúc có đề thi THPT QG chiếm 01 điểm Đây phần kiến thức hay khó học sinh trình làm tập, phần kiến thức xuất từ nhu cầu thực tế ứng dụng nhiều thực tế Đứng trước tốn hình học khơng gian, yêu cầu người học “kiến thức nền” kỹ vẽ hình, kiến thức đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, cách xác định góc hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, kiến thức hệ thức lượng tam giác vng, cơng thức tính diện tích tam giác, tứ giác, cơng thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ… Ngồi học sinh cần nắm hai phương pháp giải để giải tốn tính thể tích khối đa diện phương pháp tính trực tiếp phương pháp tính gián tiếp Phương pháp tính trực tiếp dựa vào việc tính chiều cao diện tích đáy từ suy thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức ta chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích Chính lượng “kiến thức nền” tương đối nhiều trừu tượng nên với hầu hết học sinh, kể học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn giải tập, em thường ngại lúng túng bắt đầu giải Chuyên đề nhằm ôn tập cho em học sinh kiến thức hình học khơng gian dạng tốn tốn tính thể tích khối đa diện II- NỘI DUNG ÔN TẬP CƠ BẢN Kỹ vẽ hình Hình chóp + Vẽ mặt đáy (chú ý đường nét đứt) + Xác định chân đường cao dựa vào giả thiết + Nối đỉnh hình chóp với đỉnh mặt đáy (chú ý đường nét đứt) Vẽ hình lăng trụ: + Vẽ mặt đáy từ đầu (chú ý đường nét đứt) + Từ đỉnh đáy, vẽ đoạn thẳng song song (nếu lăng trụ đứng vẽ đoạn thẳng phải vng góc với mặt đáy) + Nối đỉnh mặt đáy lại từ đoạn thẳng vừa vẽ Lưu ý vẽ hình: + Phần đường thẳng bị mặt phẳng che khuất vẽ nét đứt + Các đường thẳng song song, trung điểm đoạn thẳng phải vẽ Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC + Các đoạn thẳng góc nhau, góc vng khơng thiết phải vẽ + Các hình vng, hình chữ nhật, hình thoi vẽ theo dạng hình bình hành + Hình thang nên vẽ nghiêng bên + Đường thẳng vng góc với mặt phẳng phải vẽ (vẽ theo hướng vng góc với biên hình bình hành tượng trưng mặt phẳng) Một số mẫu hình: * Các loại đáy: A D B C ABCD hình bình hành, hình thoi, hình vng, hình chữ nhật D A B C A C ABCD hình thang vng A D ABC tam giac * Cạnh bên vng góc với đáy (VD: SA vng góc với đáy) * Hình chóp với mặt bên vng góc với đáy (VD: SAB vng góc với đáy) + Cách xử lý: Từ S kẻ SH vuông góc với AB Chú ý: Thường người ta cho tam giác SAB đặc biệt VD: SAB tam giác => H trung điểm AB Hoặc cho tỷ lệ điểm H để giúp xác định cách xác điểm H + Mặt phẳng vng góc với đáy : Nếu đáy tam giác khép góc A lại, mặt phẳng vng góc phía đằng sau VD: +Nếu đáy tứ giác mở góc A bình thường mặt phẳng vng góc nằm phía bên tay trái: Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn B TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC * Một số kiểu hình khác lăng trụ đứng , hình hộp chữ nhật đứng * Hình chóp có cách cạnh bên nhau: +Tính chất ( khơng cần chứng mình) : Khi có cạnh bên nhau, hình chiếu vng góc đỉnh xuống đáy tâm đường tròn ngoại tiếp đáy - Tam giác thường, tam giác cân: giao đường trung trực - Tam giác vuông: Trung điểm cạnh huyền - Tam giác đều: Giao trung tuyến - Hình chữ nhật, hình vng: giao đường chéo Chú ý: Luôn cố gắng mở rộng góc BAD tốt (gấp bình thường), để nhỏ, góc xấu VD: SA=SB=SC=SD ABCD hình vng Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Vẽ hình u cầu mở rộng góc BAD cịn áp dụng cho tốn có chân đường cao rơi vào bên mặt phẳng đáy VD Cho SABCD, ABCD hình vng O giao AC BD, I trung điểm OA SI vuông với đáy Các hệ thức tam giác 2.1 Hệ thức lượng tam giác vuông : cho ABC vuông A ta có : a Định lý Pitago : BC AB AC b BA2 BH BC ; CA2 CH CB c AB AC = BC AH d 1 2 AH AB AC e BC = 2AM b c , cosB , a a f b c tan B , cot B c b sin B g b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = b b , sin B cos C b = c tanB = c.cot C 2.2 Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA * Định lý hàm số Sin: a b c 2R sin A sin B sin C 2.3 Các cơng thức tính diện tích a Cơng thức tính diện tích tam giác: a.b.c S a.ha a.b sin C p.r 2 4R abc với p Đào Huy Khánh p.( p a )( p b)( p c ) daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUN - VĨNH PHÚC b Cơng thức đường trung tuyến ma2 b2 c2 a c Các tam giác đặc biệt * Tam giác vuông : A b c B + Diện tích tam giác vng: S ABC AB AC A C a * Tam giác cân: + Đường cao AH đường trung tuyến + Tính đường cao diện tích : �, AH BH tan B S ABC BC AH B A * Tam giác cạnh a + Đường cao tam giác : h AM AB ( đường cao h = a ) + Diện tích : S ABC a C H G C B M A B d Tứ giác * Hình vng cạnh a + Diện tích hình vng S = a (cạnh nhân cạnh) + Đường chéo hình vng AC BD a + OA = OB = OC = OD = a 2 O D C * Hình chữ nhật + Diện tích hình vng : S ABCD AB AD ( Diện tích dài nhân rộng) A B + Đường chéo hình chữa nhật OA = OB = OC = OD (chéo dài x chéo ngắn) D * Diện tích hình thang : S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao * Diên tích hình thoi : S = Đào Huy Khánh O daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn C TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC c Các tính chất hình học khơng gian quan trọng b Nếu A, B, C ba điểm chung hai mặt phẳng phân biệt A, B, C thẳng a hàng Ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến song song đồng quy Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) qua d cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với d Hai đường thẳng chéo có cặp mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với Nếu đường thẳng d vng góc với mp(P) d vng góc với đường thẳng mp(P) Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mp(P) d vng góc với mp(P) Hệ : Một đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc �d AB � d BC d AC � với cạnh lại � d Định lý ba đường vng góc : Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a Khi P đường thằng d vng góc với a d vng góc với hình chiếu a (P) Nếu đường thẳng d vng góc với mp(P) mặt phẳng chứa d vng góc với mp(P) Nếu mp(P) vng góc với (Q) A nằm (P) Khi đường thẳng qua A vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mp(Q) 10 Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng (nếu có) vng góc với mặt phẳng d' P a A Q III- PHƯƠNG PHÁP GIẢI A Phương pháp tính trực tiếp Ở phương pháp ta thường áp dụng cơng thức trực tiếp tính thể tích khối đa diện Cụ thể ta có : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h với B diện tích đáy h độ dài đường cao lăng trụ h B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn a a a TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC V = a.b.c với a,b,c ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V= Bh h � B : die� n t� ch �a� y với � B u cao �h: chie� Việc áp dụng phương pháp thường dẫn đến toán tính khoảng cách góc Bài tốn tính khoảng cách Một số khoảng cách từ số đối tượng không gian Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB Ngồi a, b chéo nên có mp(P) chứa a, mp(Q) chứa b (P)//(Q) Do d(a;b)=d(a,(Q))=d(b,(P))=d((P);(Q)) Đào Huy Khánh O O a H P a P P Q a b H O H O H A B daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Khi tính khoảng cách dối tượng ta thường quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hay đường thẳng Do để thuận tiện ta sử dụng kết hai toán sau: Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) ba điểm A,B, C thẳng hàng, C �( P) Chứng minh d A, ( P ) d B, ( P ) AC BC Chứng minh Gọi A’, B’ hình chiếu vng góc A B lên (P) Khi d A, ( P) AA '; d B, ( P ) BB ' Từ suy d A, ( P ) d B, ( P ) AA ' CA Suy đpcm BB ' CB Bài toán 2: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: OH mp(ABC) 1 1 2 OH OA OB OC Chứng minh: Đây toán nên học sinh tự chứng minh Nhận xét: Với Bài tốn 1, ta thay việc tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hay mặt phẳng điểm khác dễ tính Với Bài tốn ta tính nhanh khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng thơng qua ba tia vng góc với đơi có gốc từ điểm Chẳng hạn ta xét ví dụ: Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với đáy SA= a Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác SCD Tính khoảng cách từ M tới mp(SBD); từ G tới mp(ABCD) mp(SAC) Giải: Ta có 1 d C ,( SBD) d A, ( SBD ) Mà 2 a dễ thấy d A, ( SBD) Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn d M ,( SBD) TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC a Do d M , ( SBD) = a 3 2 1a a Tương_tự d G, ( SAC ) d N , SAC d D, SAC 3 a Ví dụ Cho hình chóp tứ giác cạnh đáy a chiều cao Gọi E điểm Gọi N trung điểm CD suy GN SN � d G, ( ABCD) d S , ABCD đối xứng với D qua trung điểm SA M, N trung điểm AE BC Tính khoảng cách từ M tới mp(SAD) khoảng cáchd MN AC Giải Dễ thấy d(M,(SAD))=2d(O,(SAD)), với O tâm ABCD Đặt d(O,(SAD))=h 1 1 2 a 2a � h Do d(M,(SAD))= 2 2 h SO OA OD a a a a 3 Gọi P trung điểm AB H giao MP với BD Suy (MNP)//(SAC) nên d MN , AC d H , SAC HO a Bài tốn tính góc Các khái niệm góc đối tượng khơng gian i Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b ii Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 Đào Huy Khánh a b P a' b' a a' daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUN - VĨNH PHÚC iii Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến điểm b a a Q P b Q P Chú ý: Khi xác định góc đối tượng học sinh thường lúng túng việc xác định góc hai mặt phẳng Để xác định góc gữa hai mặt phẳng ta làm theo hai cách: Cách 1: Trên (P) (Q) có sẵn (hoặc dễ dàng tìm được) điểm mà xác định hình chiếu mặt phẳng lại B1: Xác định giao tuyến d (P) (Q) (thơng thường có sẵn) B2: Chọn điểm A (Q) xác định hình chiếu H A lên (P) B3:Từ H kẻ HB vng góc với d ( B �d ) góc hai mặt phẳng � ABH Cách 2: Từ điểm giao tuyến hai mặt phẳng ta kẻ hai đường thẳng vng góc với giao tuyến nằm hai mặt phẳng Góc hai đường thẳng góc hai mặt phẳng Thể tích khối chóp a Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Đây khối chóp thường dễ dàng tính thể tích Ở khối chóp cạnh bên đường cao Các giả thiết tốn đủ để tính độ dài đường cao Ví dụ (THPT QG 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳn (ABCD) góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB, AC Lời giải *Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: Vẽ hình vng đáy, vẽ đường cao SA (ABCD) vẽ thẳng đứng Xác định góc SC (ABCD) góc SCSvới hình chiếu lên (ABCD) - Xác định khoảng cách hai đường thẳng SB, AC * Ta có : ABCD hình vng cạnh a SA ( ABCD) � AC hình chiếu SC lên mp H � 45o , (ABCD) � (� SC ,( ABCD)) (� SC , AC ) SCA A Đào Huy Khánh D daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn M d 10 B C TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC � SAB ABC � � SA ABC SAC ABC � Có � góc � 600 (ABC) (SBC) SBA Suy SA AB.tan 600 2a Vậy 1 4a 3 4a3 VSABC 2a 4a � VSBCNM a 3 3 Ví dụ 5.(ĐHD10) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA =a HÌnh chiếu vng góc S lên mp(ABCD) điểm H thuộc AC AH= AC Gọi CM đường cao tam giác SAC CMR M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Lời giải: Ta có SH SA2 AH a a a 14 Suy SC SH HC 2 a 9a a 8 Vậy tam giác SAC cân C nên M trung điểm SA Ta có VS MBC SM 1 1 a 14 � VS MBC VS ABC SH a VS ABC SA 2 12 Ví dụ 6.(ĐHA10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với (ABCD) SH= a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách DM SC theo a Lời giải: Ta có Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 20 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC a a 5a Vậy 8 5a 5a 3 a 24 SCDNM S ABCD S AMN S BCM a VS CDNM SH SCDNM Gọi K hình chiếu H lên SC Ta có DM CN uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuur (Do DM CN DA AM CD DN ) nên DM SCN � DM HK hay HK đoạn vng góc chung DM SC Gọi I trung điển CD BI CH ta có HC d DM , SC HK SH HC SH HC CI CB 2a 2a BI 5 2a 19 Ví dụ 7.(ĐHB09) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc BB’ (ABC) 600; tam giác ABC vuông C � 600 Hình chiếu vng góc B’ lên BAC (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Lời giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có BG ABC �' BG 600 � B ' G BB '.sin 600 a B a Ta có BG Gọi M trung điểm AC 3a BM � 600 nên BC AC Mặt khác BAC Theo định lý pitago tam giác BCM BC CM BM � AC AC 9a 3a 3a � AC � BC 16 13 13 1 3a 3a S ABC CA.CB 2 52 104 Suy thể tích Ví dụ 8: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ( ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng S N Lời giải: Đào Huy Khánh M D A O daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 21 C B TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Kẻ MN // CD (N SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) VSAND SN 1 VSANB VSADB VSABCD VSADB SD 2 VSBMN SM SN 1 1 VSBMN VSBCD VSABCD Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSBCD SC SD 2 4 VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD VSABMN Do : V ABMN ABCD + Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ Đs: k số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD Bài 2: Cho tứ diên ABCD tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Đs: V = m3 Bài 3: Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC cho a 2a AB ;AC' Tính thể tích tứ diên AB'C'D Đs: V a3 36 Bài 4: Cho tứ diênABCD tích 12 m3 Gọi M,P trung điểm AB CD lấy N AD cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diên BMNP Đs: V = m Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A vng góc với SB H cắt SC K Tính thể tích hình chóp Đs: V SAHK a3 40 Bài 6: Cho hình chóp SABCD tích 27m3 Lấy A'trên SA cho SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = m Bài 7: Cho hình chóp SABCD tích 9m3, ABCD hình bình hành , lấy M SA cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN Đs: V = 4m Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN song song với BD cắt SB,SDF M Đs: V P Tính thể tích khối chóp SAMNP a2h Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC.Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần.Tính tỉ số thể tích phần Đào Huy Khánh Đs: k daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 22 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA SM x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tích SA 51 Đs: x cho Thể tích khối lăng trụ a Thể tích khối lăng trụ đứng Lăng trụ có đường cao cạnh bên Do việc tính thể tích lăng trụ đứng ta cần phải tính cạnh bên diện tích đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Ta có VABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng � AA ' AB VAA 'B � AA '2 A 'B2 AB2 8a2 � AA ' 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 Ví dụ 2:(ĐHD08) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng cân B AB = a Biết AA’ = a , M trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách AM B’C Lời giải: a3 - VABC.A’B’C’ = BB’.SABC = a a 2 - Gọi K trung điểm BB’ B’C//MK nên d(AM,B’C) = d(C,mp(AMK))=d(B,(AMK))=h Mà VB.AMK = 1 a3 h.S AMK KB.S ABM 3 12 1a a2 Lại có AM BCC ' B ' � AM MK nên SAMK AM MK a Suy h 3a a 2 2 3a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 23 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Gọi I trung điểm BC Ta có AI C' A' V ABC nên AB & AI BC � A 'I BC(dl3 ) B' 2S SA'BC BC.A 'I � A 'I A'BC BC AA ' (ABC) � AA ' AI A C VA 'AI � AA ' A 'I AI Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= 2 I B Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 60 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a SABCD = 2SABD = a2 C' D' a a VDD'B � DD' BD'2 BD a a3 Vậy V = SABCD.DD' = B' A' Theo đề BD' = AC = C D A 60 B Ví dụ 5:(ĐHB10) Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có AB = a, biết góc gữa hai mp(A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích lăng trụ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC Lời giải: - Gọi M trung điểm BC BC AMA ' , suy a 3a � 3 AMA ' 600 Do AA ' AM tan 60 2 3a a 3a VABC A ' B 'C ' AA '.S ABC - Gọi G’ trọng tâm ABC GG’//AA’ Trong mp(AMA’) gọi O giao đường trung trực AG với GG’ Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC R = OA R OG GA2 a 2GG ' Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A � = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích với AC = a , ACB lăng trụ Lời giải: Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 24 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC VABC � AB AC.tan60o a Ta có: AB AC;AB AA ' � AB (AA 'C'C) nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = � BC'A = 30o VAC'B � AC' A' AB 3a tan30o C' B' V =B.h = SABC.AA' VAA 'C' � AA ' AC'2 A 'C'2 2a 2 VABC nửa tam giác nên SABC a 3 Vậy V = a A o 30 a o 60 C B Bài tập luyện tập Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ a3 ĐS: V ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết Đs: V = 2a BD' a Tính thể tích lăng trụ Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = 240cm S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a b Thể tích khối lăng trụ xiên Đây lăng trụ chưa biết đường cao Đối với lăng trụ thơng thường phải xác định hình chiếu đỉnh đón lên mặt đáy cịn lại tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ Ví dụ 1(ĐHB11): Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc gữa (ADD’A’) (ABCD) 60 Tính thể tích lăng trụ khoảng cách từ B’ đến mp(A’BD) Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 25 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Lời giải Gọi H trung điểm AD O giao điểm AC BD A’O (ABCD) a � A ' HO 600 Suy A ' O HO.tan 60 a 3a Vậy VABCD A' B 'C ' D ' A ' O.S ABCD a 2 Dễ thấy khoảng cách từ B’ tới mp(A’BD) khoảng cách từ A đến mp(A’BD) Gọi I hình chiếu A lên BD Ta có �AI BD � AI A ' BD � d A, A ' BD AI � �AI A ' O 1 a � AI 2 AI AB AD 3a a Vậy d B ', A ' BD Lại có Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ Lời giải: Gọi H hình chiếu A lên (A’B’C’) 3a � AA 'H 60o � AH AA 'sin 600 2 a 3a 3 SABC = Vậy V = SABC.AH = Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = , AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 45 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên Lời giải: Gọi H hình chiếu A’ lên (ABCD) ; M, N hình chiếu H lên AB AD Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 26 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC A' M AB, A' N AD (đl ) D' �'NH 60o �� A 'MH 45o,A C' Đặt A’H = x Khi 2x A’N = x : sin 600 = , AN = A' B' 4x HM Mà HM = x.cot 450 = x suy x = AA' A' N D C N 4x x A Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = H M B 3 Bài tập tự giải Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cách cạnh a hình chiếu A’ lên (ABC) trùng với trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V a3 Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD hình vuông cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336 Bài : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách A,B,C biết AA' = Đs: V 2a Tính thể tích lăng trụ a3 Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs: V 3a 3 IV KẾT LUẬN Trên nội dung chuyên đề “Phương pháp tính thể tích đa diện” Chuyên đề dùng cho học sinh lớp 12 (Sau học xong kiến thức chương 1) học sinh ôn thi đại học Chuyên đề chủ yếu tập chung vào giải tốn tính thể tích khối đa diện Chun đề ngồi mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ tính thể tích khối đa diện mà cịn củng cố, rèn luyện thêm kỹ xác định góc khoảng cách đối tượng khơng gian Từ phát triển khả quan sát tư trừu tượng giúp học sinh tự tin giải tốn hình khơng gian Khi nắm kỹ học sinh tự tìm tịi giải tốn hay khó hình học khơng gian Thời gian dự kiến chun đề 10 tiết lớp 20 tiết tự học nhà Cụ thể phân phối lớp sau: Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 27 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUN - VĨNH PHÚC Tiết 1+2 Ơn tập kiến thức, công thức Rèn kỹ tình khoảng cách, góc Tiết 3+4 Tính thể tích khối lăng trụ Tiết 5+6 Rèn phương pháp tính thể tích hình chóp Tiết 7-10 Rèn kỹ tính thể tích phương pháp gián tiếp Chuyên đề tác giả áp dụng cho học sinh lớp 12A2+12A4 Trong lớp 12A2 gồm Khá (60%) + Trung bình (40%); 12A4 Khá (49%) + Trung bình (51%) Kết quả: Nhìn chung em học sinh khơng cịn cảm giác “sợ hãi” gặp tốn hình khơng gian Đối với em học sinh trung bình tự tin Các em giải 80% tập hình học khơng gian túy đề thi thử ĐH- CĐ V TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục [2] Văn Như Cương, Bài tập Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục [3] Lê Bích Ngọc(CB), Học ơn tập tốn Hình học 11, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Đậu Thế Cấp(CB), Tuyển chọn 400 tập toán 12, NXB ĐHQG TP HCM [5] Bộ đề thi ĐH-CĐ từ 2002-2011, BGD&ĐT [6] Tạp chí TH&TT [7] http://math.vn/ [8] http://www.vnmath.com/ Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 28 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC PHỤ LỤC: BÀI TẬP LÀM THÊM Ở NHÀ I Thể tích khối lăng trụ Bài 1: Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3 Bài 2: Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m Tính thể tích khối lập phương Đs: V = m Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3 Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt Đs: V = 5; 10; 13 Tính thể tích khối hộp Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng cân B biết A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V a3 16 Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng B biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V a3 Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o a3 Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ ĐS: AB' a ; V Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng A biết AC = a � ACB 60o biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V a , S = diện tích tam giác ABC' 3a Bài 9: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 ĐS: V Tính thể tích lăng trụ 32a Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o hợp với (ABB'A') góc 45o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V a3 Bài 11: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng Gọi O tâm ABCD OA' = a Tính thể tích khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' khối lập phương 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o 3) A'B hợp với (AA'CC') góc 30o Đs:1) V 2a a3 4a 3 ;2) V ;3) V 9 Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 29 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUN - VĨNH PHÚC BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o 2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30o Đs: 1)V = a3 a3 2)V = 16 Bài 13: Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc đường chéo phát xuất từ đỉnh mặt bên kề 60 o.Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = a3 S = 6a2 Bài 14: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD góc 30o mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 60 Tính thể tích hộp chữ nhật Đs: V 2a 3 Bài 15: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh bên a biết mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30 o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3 Bài 16: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45 o Tính thể tích lăng trụ Đs: V a Bài 17: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a � BAC 120o biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích Đs: V lăng trụ a3 Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vng B BB' = AB = h biết (B'AC) hợp với đáy ABC góc 60 o Tính thể tích lăng trụ Đs: V h3 Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 60o 2) A'B hợp với đáy ABC góc 45o 3) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ Đs: 1) V a 3 ; 2) V = a3 ; V = a3 Bài 20: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 45o 2) BD' hợp với đáy ABCD góc 600 3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a Đs: 1) V = 16a3 2) V = 12a3 3) V = 16a 3 Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o 2) Tam giác BDC' tam giác 3) AC' hợp với đáy ABCD góc 450 Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 30 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC a3 Đs: 1) V ; 2) V = a ; V = a 2 Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A = 60o Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o 2) Khoảng cách từ C đến (BDC') 3) AC' hợp với đáy ABCD góc 450 a Đs: 1) V 3a 3 ; 2) V = 3a ; V = 3a Bài 23: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp trường hợp sau đây: 1) AB = a 2) BD' hợp với AA'D'D góc 30o 3) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300 Đs: 1) V 8a ; 2) V = 5a 11 ; V = 16a Bài 24: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh bên CC' = a hợp với đáy ABC góc 60o C' có hình chiếu ABC trùng với O 1) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' Đs: 1) S a2 3a 3 2) V Bài 25: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân đường vng góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ 2) Tính thể tích lăng trụ Đs: 1) 30o 2) V a3 Bài 26: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a mặt bên (AA'C'C) (BB'C'C) hợp với góc 90 o Đs: V 27a Bài 27: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a, hình chiếu vng góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi, cạnh xuất phát từ A hộp đôi tạo với góc 60o 1) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B' 2) Tính thể tích hộp Đs: 1) SACC'A' a 2;SBDD'B' a 2) V a3 2 Bài 28: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 60o chân đường vng góc hạ từ B' xng ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy biết BB' = a 1)Tìm góc hợp cạnh bên đáy 2)Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 31 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Đs: 1) 60o 2) V 3a &S a 15 II Thể tích khối chóp Bài 29: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình vng biết SA (ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60 o Tính thể tích khối chóp Đs: V a3 48 Bài 30: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết SA (ABCD) , SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a , BC = 4a ính thể tích khối chóp Đs: V = 20a Bài 31: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 60o SA (ABCD) ,biết khoảng cách từ A đến cạnh SC = a Đs: V Tính thể tích khối chóp SABCD a3 Bài 32: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) (SCD) hợp với đáy góc 60o Tính Đs: V thể thích khối chóp SABCD a3 Bài 33 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD góc 4o.Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V 3R3 Bài 34 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB Đs: V 2) Tính thể tích khối chóp SABCD 4h3 Bài 35: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc Đs: V 30o Tính thể tích hình chóp SABCD a3 Bài 36: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc Đs: V 30o Tính thể tích hình chóp SABCD 8a3 Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a tam giác SAD vuông cân S , nằm mặt phẳng vng góc với ABCD Tính thể tích Đs: V hình chóp SABCD a3 12 Bài 38: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD Đào Huy Khánh Đs: V a3 daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 32 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUN - VĨNH PHÚC Bài 39 : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a � ASB 60o 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp 2) Tính thể tích hình chóp a2 3 a3 Đs: V Đs: S Bài 40 : Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V 2h3 Bài 42: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45 o khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a Tính thể tích hình chóp Đs: V 8a3 3 Bài 42: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o Tính thề tích hình chóp Đs: V a3 12 Bài 43: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh Chứng minh SABCD chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp thể tích V 9a3 Đs: AB = 3a III Bài tập tổng hợp Bài 44: Cho hình chóp S.ABCD cạnh đáy a,góc cạnh bên mặt đáy Tính góc mặt bên mặt đáy theo tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 45: Cho hình chóp S ABCD, SA (ABCD), SA = a, SC BD; đáy a ABCD hình thang vuông có BC = 2a, AD đường cao AB = a M điểm cạnh SA, đặt AM = x ( x a) Tính độ dài đường cao DE tam giác BMD Định x để DE đạt giá trị nhỏ Bài 46: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình bình hành, AB a , a Lấy M, N trung điểm cạnh A’D’, A’B’ Biết AC ' mp BDMN , tính thể tích khối đa diện A’NM.ABD AA ' Bài 47 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy tam giác ABC vuông B AB a , BC a , AA ' 3a Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với CA’ cắt cạnh CC’ BB’ M N Gọi H, K giao điểm AM cắt A’C AN cắt A’B Chứng minh A’B vng góc với AN Tính thể tích khối đa diện ABCHK Bài 48: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt bên (SBC) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 33 TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Bài 49: Cho hình chóp S.ABC có SA ABC tam giác ABC vuông B, AB a ; BC b Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 o Tính thể tích khối chóp S.ABC khối cầu ngoại tiếp hình chop S.ABC Bài 50: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình bình hành, AB a , a Lấy M, N trung điểm cạnh A’D’, A’B’ Biết AC ' mp BDMN , tính thể tích khối đa diện A’NM.ABD Bài 51: Tính thể tích khối hộp ABCD A' B' C ' D' theo a Biết AA' B' D' khối tứ diện cạnh a Bài 52: Trong không gian cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB a , AC 2a , � 120o Gọi M trung điểm cạnh CC Hãy chứng minh AA1 2a BAC MB MA1 tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A1BM) Bài 53: Cho hình chóp S.ABC có SA 3a SA vng góc mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC có AB BC 2a , góc ABC 120o Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt AA ' phẳng (SBC) Bài 54: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có chiều cao h Góc hai 0 đường chéo hai mặt bên kề kẻ từ đỉnh a (0 < a < 90 ) Tính thể tích khối lăng trụ Bài 55: Cho hình chop S.ABC,SA=x,BC=y,Các cạnh cịn lại 1.Với giá trị x,y thể tích khối chóp lớn Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 34 ... 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V h3 B Phương pháp gián tiếp tính thể tích khối đa diện Phương pháp gián tiếp nghĩa tính thể tích khối đa diện thông qua Phép phân chia khối đa diện thành khối. .. chương 1) học sinh ôn thi đại học Chuyên đề chủ yếu tập chung vào giải tốn tính thể tích khối đa diện Chun đề ngồi mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ tính thể tích khối đa diện mà cịn củng cố,... III- PHƯƠNG PHÁP GIẢI A Phương pháp tính trực tiếp Ở phương pháp ta thường áp dụng cơng thức trực tiếp tính thể tích khối đa diện Cụ thể ta có : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h với B diện tích