TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC VÀ THPT CHUYÊN; MÔN TOÁN; CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT: SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG – NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) docx

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT: SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG – NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) -Phương trình bất phương trình chuyên đề phong phú, đa dạng, hấp dẫn chứa đựng nhiều thú vị Phép sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa chuyên đề chủ yếu đề cập tới lớp phương trình chứa thức, từ mức độ đơn giản tới phức tạp nhất, địi hỏi tư logic, tỉ mỉ xác Tài liệu nhỏ viết theo trình tự kiến thức tăng dần, phù hợp với bạn học sinh THCS (lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán cấp luyện thi đại học, cao đẳng KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Kỹ nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích đẳng thức, thêm bớt Sử dụng thành thạo ký hiệu logic phạm vi toán phổ thơng Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH x 1   x 1 x 3 x2 x 3 Bài tốn Giải phương trình Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với x 3   x 1  x 3     x 1  x 1 x 3    x 1  x 1  x   x   x 1  x   x  x 3  1  Giá trị thỏa mãn điều kiện Kết luận tập nghiệm phương trình S    4 x x 4x 1 Bài toán Giải bất phương trình   x 2 x 2 x4 Lời giải Điều kiện  x  Bất phương trình cho tương đương với x  x 2 x4  x x 2 x4   x    3x  x4 x  x  x  4x 1 0 x4 x 1  0 x40 x  x4 Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   4;    Nhận xét Hai toán dạng tốn bản, phức tạp hóa phương trình chứa ẩn mẫu thức cách thay x x Dạng toán quen thuộc với bạn học sinh lớp học biến đổi rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai Trong tốn bất phương trình, chưa xác định xác dấu mẫu thức lưu ý khơng bỏ mẫu thức mà cần chuyển vế giữ nguyên mẫu thức, sau xử lý tiếp tục CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực x 4x  x 1,   x 1 x 1 x 1 2, x x  x  x 1   x9 x 3 x 3 x 1 x  x x2 x x 2 3,  Bài tốn Giải phương trình x x  x   Lời giải Điều kiện x  Đặt x  t  t   thu t  6t    t  t  1  t  t  1   t  1    t  1  t  t     t   x  (Thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu S  1 Bài tốn Giải phương trình x   x 1 x 2   x   24 Lời giải Điều kiện x  Đặt x  t  t   thu t  t  1 t   t  3  24   t  3t  t  3t    24 y  ta có  y  1 y  1  24  y  25    y  5 t  Do y   y   t  3t      x   x  ; Do x  t  t   t  4 Đặt t  3t   y  y  0 Vậy phương trình cho có nghiệm S  1 Bài tốn Giải phương trình   x 1 x 4  x 2   90 x Lời giải Điều kiện x  Đặt x  t  t   thu  t  1 t   t    90t   t  5t   t  4t    90t (1) Xét t  khơng thỏa mãn phương trình (1)  4  Xét t  , phương trình (1) tương đương với  t     t     90 t  t  u  Đặt t    u  u     u  1 u  90   t u  10 Do u   u   t  t  x 1    t  5t      t t   x  16 Kết luận: Tập nghiệm phương trình cho S  1;16 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Nhận xét Ba toán 3, 4, dạng phương trình bậc cao quen thuộc với ẩn x  t  t   Điểm khác biệt biến t khơng âm, xuất nghiệm ngoại lai, cần tính tốn cẩn thận đối chiếu nghiệm Về dạng phương trình bậc cao, mời bạn tìm đọc Sở huy trung đồn 1, – Sư đồn 5, Qn đồn binh Bài tốn tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x x  x  x   2, x x   x  x 1 x  x 1 3, x  x   x  x 2  x 1   x 1  x 1 4,   2    x 3  x 3   x9         5, x  x   x  x  x  2x  Bài tốn Giải phương trình 2x 1  x 1 Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x  x 1   x  1  x       x   x  (Thỏa mãn điều kiện x   )    2  x    x  1 2 x   x  x   x  x      x    Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  4 Bài tốn Giải phương trình x  x   x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x  5 x 1  x    x  5   x       x    x  x    x  10 x  25 3x  x      x         Phương trình cho có nghiệm S   ;1   Nhận xét Hai toán dạng tốn phương trình chứa thức (bậc hai) Các bạn ý đặt điều kiện cho ẩn (kể biểu thức bậc hai luôn không âm) Dễ thấy vế không âm, phương trình có nghiệm vế phải khơng âm, ngun phương trình ln tương đương với hệ điều kiện Dạng tổng quát: Phương trình f  x  g  x   g  x   Điều kiện f  x   Khi      f  x    g  x      CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH x3  x   x  Bài toán Giải phương trình Lời giải Điều kiện x3  x   (*) Phương trình cho tương đương với  x  1   x 1    x  1  x  1     x  0;1 Thỏa mãn (*)  2  x  x  1 x     x  2;0;1  x  x 1  x  x   x  x  x  2     Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  0;1 Nhận xét Trong số phương trình, việc tìm điều kiện phức tạp, đơi mức độ khó vượt xa tốn thức Do cần đặt điều kiện hình thức, giữ vai trị "chính – phụ", tất nhiên khơng làm ảnh hưởng đến kết tốn, cịn phép thử lại để kết luận nghiệm Trong trường hợp bất phương trình, biểu thức dấu khơng q phức tạp, u cầu tìm điều kiện xác Bài tốn Giải phương trình x   x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x   x3  3x  x   x  x  x   x  x  1 x     x  4;0;1 (Thỏa mãn phương trình cho) Vậy phương trình có nghiệm S  4;0;1 Bài tốn 10 Giải phương trình x  x  x   Lời giải Điều kiện x  x   Phương trình cho tương đương với  2 x    10 x  (Thỏa mãn x  x   ) 2x   x  4x 1     x 2 4 x  12 x   x  x  3 x  16 x    Vậy phương trình cho có nghiệm x   10 Nhận xét Phương trình tốn 10 ban đầu chưa có dạng f  x  g  x   Thành thử cá tính "ương ngạnh" khơng đưa dạng (*), có bạn bình phương trực tiếp Hoặc sai thiếu điều kiện, phức tạp điều kiện cồng kềnh, chí dẫn tới phương trình hệ chứa lũy thừa bậc mà chưa khử thức Sự sáng tạo mạo hiểm đáng hoan nghênh, nhiên giá phải phù hợp chân lý, bảo đảm logic thẩm mỹ, tất nhiên tránh theo lối mòn mà đánh tư Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x   x  2, x2  6x  2x  3, x3  3x   x  4, 5, x3  3x  x   x  x2   2x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 11 Giải bất phương trình x  3x    x Lời giải x  Điều kiện x  x     (*) x 1 4  x  x  Bất phương trình cho tương đương với   x 5 x   x  x   x  x  16 Kết hợp điều kiện (*) thu nghiệm x  Bài toán 12 Giải bất phương trình x  x  x   Lời giải Điều kiện x   Bất phương trình cho tương đương với  x    2 x    34  x   34 x   x2  x       x  x 2 3 4 x  x   x  x  3 x  x       34  x     34  Kết luận tập nghiệm: S   ;      Nhận xét Bất phương trình nội dung dễ ngộ nhận mắc sai sót tính tốn, lý luận Điều kiện biểu thức dấu yêu cầu độ xác cao (ngoại trừ trường hợp nghiệm), không ảnh hưởng mạnh mẽ đến kết toán (đi vào ngõ cụt, đáp số sai) Dạng toán tổng quát cho hai 11 12: f  x   g  x  (*) g  x    Điều kiện f  x   Khi       f  x    g  x     Bài tốn 13 Giải bất phương trình x  x   x  (1) Lời giải x  Điều kiện x  x     (*) x  Xét x    x  Kết hợp điều kiện (*) suy bất phương trình (1) nghiệm với x  x  Xét x    x  Khi 1   1 x   x  5x   x  x  Kết hợp điều kiện (*) thu  x  5  Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình cho S   ;  3  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 14 Giải bất phương trình x  x  10 x   Lời giải x 1 Điều kiện x  10 x     (*) x   Bất phương trình cho tương đương với x   x  10 x  (1) Xét x    x  Kết hợp điều kiện (*), suy (1) nghiệm với x  Xét x    x  Bất phương trình (1) tương đương với   x  3 x    x  9 x2  12 x   x  10 x   x     1    Kết hợp điều kiện (*) thu x  Kết luận tập nghiệm bất phương trình: S   ;    ;   9    Bài tốn 15 Giải bất phương trình 2 x  x    x Lời giải x  Điều kiện x  x     (*) x   Phương trình cho tương đương với x   x    x   x  2  2 x  3x   x     x      x  7   x  x  2   x  x  1  x  x      x   1  Kết hợp điều kiện (*) thu tập nghiệm S   ;   1;   2  Nhận xét Các toán 13, 14, 15 dạng f  x   g  x  Đặt điều kiện f  x   Xét trường hợp g  x   , bất phương trình ln nghiệm Kết hợp nghiệm Xét trường hợp g  x   Bình phương hai vế kết hợp nghiệm Tổng hợp trường hợp đối chiếu điều kiện f  x   , kết luận tập hợp nghiệm phương trình ban đầu Lời giải tốn 15 gọi trình bày "trọn gói" Về chất khơng thay đổi, có cồng kềnh đảm bảo logic dễ sửa chữa Tùy theo gu trình bày, bạn tùy nghi lựa chọn cho cách giải phù hợp Bài tập tương tự Giải bất phương trình sau tập hợp số thực 1, 3x  x   x  2, x  x    x CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 16 Giải phương trình 2x 1   4x 1 Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với  4 x   x  x 1   4x 1  x 1  4x      x  (Thỏa mãn x  ) 2 2 x   16 x  24 x  8 x  13 x    Vậy phương trình cho có nghiệm S  1 Bài tốn 17 Giải bất phương trình x  3x    3x  x  Lời giải Điều kiện    x 1 3 x  3x   x  3x   x  2 0  (1) 3x  3x  x  Xét x    x  ; 1  x  x   x     x 1  x  x   36 x  72 x  36 x 1 Kết hợp điều kiện thu  x  2 Xét x    x  ; 1  x  x   x  (Nghiệm với x  ) 3 2  Vậy bất phương trình cho có tập hợp nghiệm S   ;   1   2;   3  Bất phương trình cho tương đương với Bài tốn 18 Giải bất phương trình x2 x  3x    Lời giải Điều kiện x  1; x  Bất phương trình cho có dạng x2 x  3x   1   x   x  3x  x  3x    (1) x  x  3x    x  3x     x 1 x   x2 1  x   x  3x    2  x  x   x  3x  Xét x  3x    x  3x     x  1  x  1  x   1 x  1    x  x   x  3x   x   x  3x    Vậy bất phương trình cho có nghiệm  x  Xét CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 19 Giải bất phương trình 3x   x  x   x2 x Lời giải Bất phương trình cho tương đương với x   x  x   x  x  x   x  x 1  x 1  x    13 x     x       13  x  1  x    3 x   x2  x     13  x   13        13  Bất phương trình cho có tập nghiệm S   ;    3 Nhận xét Các toán 16  19 bất phương trình chứa thức, mức độ phức tạp hóa tăng dần theo biểu thức mẫu thức Lưu ý gặp bất phương trình chứa ẩn mẫu, tùy theo điều kiện xác định thức, bạn cần xét dấu biểu thức mẫu, thực chuyển vế, quy đồng mẫu thực theo dạng Bài tốn tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực Điều kiện x  3x   x 3 x 1 4x  2, 1 x  x4 2 1, 3,  3x   3x 2 x 4, x  3x  x   x  x2 x 1 x2   2x2  x 1 2 x2  x   x 1 6, 2 x4 5, Bài tốn 20 Giải phương trình 2x 1  x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 2x 1 x    x  1 x     2 x  5x    3x   x  7  x  x       x  (Thỏa mãn x  ) x 1 8 x  20 x  12  x  42 x  49  x2  62 x  61      x  61  Vậy phương trình cho có nghiệm x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 21 Giải phương trình 3x   x   Lời giải 1 Phương trình cho tương đương với 3x   x    3x   x    2 x   x   2 x   x  1  x  1 x  1 (Thỏa mãn x  )    x   x  2x 1  8x   x  6x   Điều kiện x  Vậy phương trình cho nghiệm S  1;5 Lời giải Phương trình cho tương đương với  3x   x     3 x   x  3x   x      2 3 x   x   x  x   5 x   x  x    Điều kiện x   x  2  x  2    x  1;5 2 25 x  10 x   24 x  x   x  6x   Kết hợp điều kiện x  ta thu nghiệm S  1;5 Nhận xét Hai toán 20 21 tăng dần độ khó, với xuất hai bậc hai Phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng phép nâng lũy thừa sử dụng theo hai hướng khác Khi nâng lũy thừa bậc chẵn, đưa hai vế biểu thức không âm, đơn giản, giảm thiểu phức tạp, tối thiểu cần có điều kiện kèm, không xuất nghiệm ngoại lai tất yếu mắc sai lầm Lời giải tốn 21 minh họa cho tình Bài tốn 22 Giải bất phương trình  8x   x  Lời giải Điều kiện x   Bất phương trình cho tương đương với  8x   x    x  x   x   x   x  3  x    x     x   x 1 49 x  42 x   x  12    x   49  Kết luận tập nghiệm S  1;   Bài toán tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 1, x    x  2, x   x  3,  x   x  4, x   x   CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 23 Giải bất phương trình 2x 1 1  3x   Lời giải Điều kiện   x  Bất phương trình cho tương đương với Xét x   3x  0 3x   (1) 3x     x  0; 1  x   x   x  x     x  0; 1  x   x   x  Kết hợp điều kiện suy   x  Vậy bất phương trình cho có nghiệm   x  5x   x   Bài toán 24 Giải bất phương trình  x2  Xét Lời giải Điều kiện x  Do x   x   nên bất phương trình cho tương đương với x    x   x   x   x   x   x   (1) (1) vô nghiệm x   x   0x  Tập nghiệm bất phương trình S   Bài toán 25 Giải bất phương trình 3x   x    3x  x Lời giải Điều kiện x  Nhận xét: x    x  x Do bất phương trình cho tương đương với 3 x   x    x  x  x    x  25 x  x  10   x   x  11   11x   x   11x    x     11   x   x  121x  110 x  25   27 x 121x  137 x  16   16   x  121  Kết luận nghiệm bất phương trình x  Nhận xét Các toán từ 20  25 mức độ phức tạp tăng dần, xuất hai thức phân thức gây trở ngại cho số bạn Tuy nhiên phương pháp sử dụng biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, đặc biệt ý bất phương trình chứa ẩn mẫu đối chiếu điều kiện Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 1, x   x   2, x   x   3, 4, 3x   x  3x   x  8x   x  x  1 8x   x CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 10 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐỒN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 26 Giải phương trình 3x   x  x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 3x   x  x   3x   x   x  3x   x  x  3x x  2  x  x     x    x  x   x  3x 3 x  x    Kết hợp điều kiện x  ; phương trình cho có nghiệm x  Bài tốn 27 Giải bất phương trình x   x   x  Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với 5x   x   3x   5x   x  3x  x   x   3x2  x  x  x  x      x 1 x  x   3x  x   x    1  x   Vậy bất phương trình cho có nghiệm x  Bài tốn 28 Giải bất phương trình 3x   x   x  3x   x  Lời giải Nhận xét: x   3x   x  Bất phương trình cho tương đương với 3x   x   x  3x   2 x   3x   x  x  Điều kiện x  x   x   3x   2 x  x   x  x  x  x     x    Kết hợp điều kiện x  ta thu nghiệm S  1;   2 10 x   x Bài tốn 29 Giải bất phương trình  1 x 2 x3 Lời giải 1 Điều kiện x  Nhận xét: x   x  x  Bất phương trình cho tương đương với 10 10 10 x   x  x   x  10 x   x  x   10 x   x   x  x 1   x  x   x   x  3x     x 1 2 16 x  16 x   x  x 15 x  19 x     Bất phương trình cho có nghiệm x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 11 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 30 Giải bất phương trình 2x   x  2x  x  Lời giải 2x   x 1 x  x   2x 20  (1) 2x  x  2x  x  2 x  x    x  (Loại  x  ) Suy x  x   Điều kiện  x  Bất phương trình đưa dạng Xét trường hợp 1   x  x   2x    x  x   2x  3x    x  x   x   x  x    x    Bất phương trình (2) nghiệm với  x  Vậy nghiệm bất phương trình ban đầu  x  Nhận xét Các toán từ 26  30 chứa ba thức với biểu thức khác nhau, độ phức tạp chưa cao đặc điểm phân thức độc lập vế bậc biểu thức dấu tối đa bậc Đường lối giải chung xét dấu biểu thức mẫu thức nâng lũy thừa Điều kiện xác định mấu chốt lời giải giảm thiểu trường hợp xảy Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực x   x 1 1, 3 1 x   x 2, 3, x   6x 1   2 2x  1 5x   x  5  x 6 4,  x   x  x Bài toán 31 Giải bất phương trình x  3x   3 x Lời giải x 1 Điều kiện  2  x  Xét  x   x  Bất phương trình cho tương đương với x  x  3x    x    x  x  3x   x  x  x  Kết hợp điều kiện thu  2  x    7 Xét  x   x  Bất phương trình cho vơ nghiệm Vậy tập nghiệm S   ;1   2;   3 1 Bài toán 32 Giải bất phương trình  2x 1 x3  x Lời giải 1 Điều kiện x  Nhận xét: x   x   x 2 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 12 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bất phương trình cho tương đương với x   x   x  x   x  x   3x   2 x  x  x   x  x   x 2  x  x  x      4  x   4  x  2 x  x  x  x   x  3x   1  Kết hợp điều kiện x  phương trình cho có tập nghiệm S   ;1 2  x x Bài tốn 33 Giải bất phương trình  x  6x  2x  x  Lời giải Điều kiện   x  1 Xét trường hợp x  , bất phương trình cho tương đương với   x  x  2 x  6x   2x      x  Kết hợp x  ta có x  2  x  x   x  12 x  3  x  12  13    1 Xét trường hợp x  1 , bất phương trình cho tương đương với (vô nghiệm)  x2  6x  x  Kết luận nghiệm x  x 1 x 1 Bài toán 34 Giải bất phương trình  3x  x  3 Lời giải Điều kiện  x  Khi bất phương trình cho tương đương với x 1 x 1 x2 x 1  0 x 1    (1) 3x  x  2x   3x  1 x   Xét x    x  Bất phương trình (1) nghiệm Xét x  1  x    x  3  Vậy bất phương trình ban đầu có tập nghiệm S  1   ;   2  Bài toán 35 Giải bất phương trình 12  x  x 2 12  x  x  x 3 3x   3  x   Lời giải Điều kiện   x  3; x   Bất phương trình cho tương đương với  x4 12  x  x  12  x  x   0 12  x  x    (1)   x  3 3x    x  3 3x    x  3x   Xét 12  x  x   x  3; 4 ; bất phương trình (1) nghiệm x  Xét 12  x  x  ; 1   x  3 x      x    3 Bất phương trình cho có tập nghiệm S  3;    3; 4  2 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 13 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐỒN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 36 Giải bất phương trình 2x 1   2x  x 3x   2x2  x Lời giải 1   x 1 Điều kiện    x    Bất phương trình cho tương đương với 2x 1  3x  0 1 x  2x2  x  x2  x  2x2  x Xét  x  x   x  x      x  ; 1   x   x    1  Kết hợp điều kiện thu S1    ;0    ;1   2  x  2 Xét  x  x   x  x     x    Khi 1   x   x  Kết hợp điều kiện thu S  1;    (1)   1  Tổng hợp lại, bất phương trình có nghiệm S    ;0    ;1  1;     2  Nhận xét Các toán từ 31  36 bất phương trình hai vế có dạng mẫu thức, tử thức mẫu thức có phần chung Các bạn ý đặt điều kiện xác, biến đổi hợp lý, đầy đủ logic Đối với tử số cần xét trường hợp thức 0, sử dụng điều kiện để xác định dấu biểu thức khác (nếu có thể) Đối với mẫu số cần xét hai trường hợp lời giải phía Bài tốn tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực x2  x  x2  x   x2  x  3x  2x 1 2x 1 2,  x 1 x  11 3x  5x  3,  x  1 3x   1, 4, 2x  x x   x  5x  x  x 3x  5, x  3x   2x 1 6,  1 x  7x  x  7, 8, x 1   x   4x  3x   x  2 x 1 x  1 4x 1  3x  x2  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 14 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 37 Giải bất phương trình x 4  2x2  x   Lời giải Điều kiện x    23  Nhận xét: x  x    x       2x2  x   4  Bất phương trình cho tương đương với x    x2  x   x2  x    x 7  x  x  x      7  x   x    22   x 1    18 x  x  27  x  14 x  49  17 x  x  22   17    22  Vậy bất phương trình có nghiệm S    ;1   7;    17  Bài tốn 38 Giải bất phương trình    2 x x x Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x 1 25 20 22 24 (Thỏa mãn điều kiện)           x  12 x  11    x x x x x x  x  11 Phương trình cho có nghiệm S  1;11 Bài toán 39 Giải bất phương trình     (1) x x x Lời giải Điều kiện x  x3 Xét      3  x  Bất phương trình cho nghiệm x x x  x3 Xét    0 x x  x  3 3  1  x   x  x   x  x  1  x     Khi 1     x    x    x 1 x   x  3    x  3      x  3    3  x  Vậy bất phương trình cho có nghiệm  x  Nhận xét Bài toán 37 điều kiện đơn giản, song cách nhìn tinh tế theo hướng "làm giảm, làm trội", dễ dàng loại trừ trường hợp, giảm thiểu tính tốn sai lầm Hai toán 38 39, biểu thức dấu trở nên phức tạp, chứa ẩn mẫu thức, phương hướng giải theo đường mòn nâng lũy thừa Các bạn ý giải bất phương trình hệ cẩn thận so sánh điều kiện xác định để đáp số xác CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 15 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 40 Giải phương trình x  34  x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với   x  34  x  3    x  34   x  3  3 x  34 x    x  34  x    3 x  34 x  3.1  36  x  34  x  3  12  x  31x  102  123  x  31x  1830   x  61;30 Thử lại hai giá trị x thỏa mãn phương trình Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  61;30 Bài tốn 41 Giải phương trình x  x 1  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với   x  x 1   x  x   3 x.3 x 1   x  x    3 x.3 x    2x x   27 x  x  1  1  x    x  1  x  11x      8 x  11x     Phương trình (*) vơ nghiệm   Thử lại thấy x  nghiệm phương trình cho Nhận xét Đối với dạng tốn chứa thức bậc ba, bạn đặt điều kiện x   thực tam thừa (nâng lũy thừa bậc ba) để khử thức Các bạn ý đẳng thức quen thuộc  a  b   a3  b3  3a 2b  3ab2  a3  b3  3ab  a  b   a  b   a3  b3  3a2b  3ab2  a3  b3  3ab  a  b  Phương trình bậc ba khơng có điều kiện chặt chẽ phương trình bậc hai nên qua phép biến đổi hệ quả, bạn cần thêm phép thử lại để kết luận nghiệm Bài tốn 42 Giải phương trình x   3x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x   3x    x   x   x   3 x  3 x    x   3 x   4 x   3 x  3 x  x   8 x   27  x  1 x  1 x     x     17  17      x  1  81x  108 x  19    x   ; ;  9       17  17    Thử lại kết luận phương trình cho có ba nghiệm S   ; ;  9     Bài toán 43 Giải bất phương trình 1 x  1 x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 1 x 1  x  33  x 1 x  1  x  1 x   1 x   x  Thử lại thấy x  nghiệm phương trình cho CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 16 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 44 Giải bất phương trình x3  x  x   x  Lời giải Điều kiện x   x 1 Bất phương trình cho tương đương với x3  x  x   x  x  x   x  x    x  Vậy nghiệm bất phương trình S   ;0 1;   Bài tốn 45 Giải bất phương trình x  x   3x  Lời giải Điều kiện x   Bất phương trình cho tương đương với x  x   27 x3  27 x  x   27 x  33 x  x   x 1   x  1  27 x  x     1  13  13  x  9  1  13  13  Vậy bất phương trình cho có nghiệm S   ;   1;     Nhận xét Đối với bất phương trình chứa bậc ba, cách giải tương tự bất phương trình chứa thức bậc hai Điều kiện rõ ràng nhẹ nhàng hơn, song đổi lại phép nâng lũy thừa bậc ba phức tạp Trong phép giải phương trình chứa bậc ba, bạn lưu ý thêm lần nữa: Sau phép biến đổi hệ quả, cần thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai Trong toán số 42, sử dụng điểm đặc biệt toán, tránh phép lập phương  a  b  c  Ngoài phương pháp lập phương hai vế, bạn giải cách hệ phương trình, phương pháp hiệu phổ biến Về vấn đề tác giả xin trình bày sáng tỏ cụ thể Lý thuyết sử dụng ẩn phụ (phần 3); Sở huy Trung đoàn – Sư đoàn – Quân đoàn binh Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 1, 2, 3 x 1  2x 1  x  x    2x 3, 3 x   x   x  4, x3  x  x   3x  5, x3  x   3x  6,  x    x   7, 3  x  x   8, x3  x  x   x  9, 2x2  x   x2  x  10,  x  x   x  x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 17 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 46 Giải phương trình 3x   x   x   x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 3x   x     3x  1 x  1  x   x    x  1 x  1  3x  1 x  1   x  1 x  1  x  x   x  3x   x  x     x  2;0 Cả hai giá trị bị loại x  Kết luận phương trình vơ nghiệm Bài tốn 47 Giải phương trình 3x   x   x   x  Lời giải Phương trình cho tương đương với x   x   x   x  (1) Giả sử hai vế (1) dấu Khi Điều kiện x  1  x    3x  1 x  3  x    x   x    3x  1 x     x   x   1 5  12 x  x   x  x   x  13 x    x   ;  2 3 5 Đối chiếu điều kiện thử lại ta thấy x  thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm x  3 Bài toán 48 Giải phương trình  x  x  x 1   x Lời giải  x  Giả sử hai vế phương trình cho dấu Suy Điều kiện 3x   x 3  x   3x    x  11  x   x 3  x    x  11  x  1   x  x  7 x  x   x  x    x   ;  3  1  Đối chiếu điều kiện thử lại ta thấy x  thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm S    2 Bài tốn 49 Giải bất phương trình x   x   x   x Lời giải Bất phương trình cho tương đương với Điều kiện  x  x    x   3x  x   x    x  2  x    x  5  x    x  2 x   x   2 x  x  10  2 x  14 x  x  Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm 2x   x  10 13 10  x 13 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 18 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 50 Giải bất phương trình x   x   3x   x Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với  x   x  0; 3x   x   1  x   x  x  1  5x    3x   x  3  x   x  x   x  (1) Do x   3x   x  3  x  x  1  x  x   x  x  x  x    1  x  Kết luận tập nghiệm  x  Bài tốn 51 Giải bất phương trình x   x   x   x Lời giải Bất phương trình cho tương đương với x   x  x   x  (1)  3x   x  3x   x x  5  Xét trường hợp     x  Khi (1) nghiệm với x  3 5 x   x  3 x   5x   2x    Xét trường hợp x   x ; x   x  dấu Điều kiện x  1   3x   x  x   x   x    3x  1 x  x   5 x   x  3  5x  2 x  3   3x  1 x  10 x  11x   12 x  x x   2x2  x     x   2 3 Bất phương trình cho có nghiệm S   ;    2;   5 2 Nhận xét Các toán từ 46  51 chứa bốn thức bậc hai, độ khó tăng lên nhiều Đường lối chung sử dụng biến đổi tương đương, nâng cao lũy thừa kết hợp điều kiện xác định Điểm đặc biệt dạng toán sau bình phương xuất hiện: ax  b  f  x   ax  b  g  x  Tất nhiên để có điều cần nhóm hạng tử thích hợp khéo léo Riêng bất phương trình cần xét trường hợp, điển tốn 51 Bài tốn tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 1,  x  x   x  x  2, x   x   x   x   3, x   x   x  4,  x   2x 1   x 5, x   x   x   x  6, x   x  x   x  7, x   x   x CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 19 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 52 Giải phương trình x  x  11  x  x  11  Lời giải Phương trình cho tương đương với 8  x  x  x  11  x  x  11  x  x  11  16  x  x  11   x    x   x  x  11  x  16 x  64 Thử lại thấy phương trình cho có nghiệm x  Bài tốn 53 Giải phương trình x  1  x  x  Lời giải  x  1  Điều kiện  x  x    Phương trình cho tương đương với  x  1      x  x  x      2 x    x   x   x  12  x  3 x   x  x   x 1  x  x       x    x     x   x  9 x  48 x  64  16 x  128    x    Phương trình cho có nghiệm x   3x   Bài toán 54 Giải bất phương trình   1 x  x   x x2  Lời giải x  Điều kiện   1  x  Bất phương trình cho tương đương với x2  x   x   x   x x    x  x x   (1) x2  x       x2  x  x 1  x  1 x   Xét x  x     x  0; 4 Bất phương trình (1) nghiệm  x  1 x4 0 x 1  x  4 x  Kết hợp điều kiện thu   x  4 Bất phương trình cho có nghiệm S   ; 4  0   4;   Xét x  x    1  [Hẹn gặp lại bạn Lý thuyết sử dụng biến đổi tương đương (Phần 2); Sở huy trung đoàn – Sư đoàn – Quân đoàn binh] CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 20 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ... hai Phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng phép nâng lũy thừa sử dụng theo hai hướng khác Khi nâng lũy thừa bậc chẵn, đưa hai vế biểu thức không âm, đơn giản, giảm thi? ??u phức tạp, tối thi? ??u... hệ phương trình, phương pháp hiệu phổ biến Về vấn đề tác giả xin trình bày sáng tỏ cụ thể Lý thuyết sử dụng ẩn phụ (phần 3); Sở huy Trung đoàn – Sư đoàn – Quân đoàn binh Bài tập tương tự Giải phương. .. nghiệm bất phương trình x  Nhận xét Các toán từ 20  25 mức độ phức tạp tăng dần, xuất hai thức phân thức gây trở ngại cho số bạn Tuy nhiên phương pháp sử dụng biến đổi tương đương, nâng lũy thừa,